Richiami di geometria analitica nel piano

Corso di Matematica II
Università degli Studi della Basilicata
Dipartimento di Scienze
Corsi di Laurea in Chimica e Scienze Geologiche
A.A. 20112/13
dott.ssa Vita Leonessa
Elementi di geometria analitica nel piano
17 aprile 2013
Piano cartesiano
Distanza
6
y0
P (x0 , y0 )
•
0
x0
-
Piano cartesiano
Distanza
6
OP =
q
x20 + y02
y0
P (x0 , y0 )
•
0
x0
-
Piano cartesiano
Distanza
6
Q(x, y)
•
y
OP =
q
x20 + y02
y0
P (x0 , y0 )
•
0
x0
x
-
Piano cartesiano
Distanza
6
Q(x, y)
•
y
y0
P (x0 , y0 )
•
0
x0
q
x2 + y02
p 0
P Q = (x − x0 )2 + (y − y0 )2
OP =
x
-
Piano cartesiano
Distanza
Esercizi
1 Determinare la distanza fra le seguenti coppie di punti
O(0, 0), P (1, 1); P (−1, −1), Q(1, 2); P (−1, 3), R(3, 0).
2
Trovare il perimetro del triangolo di vertici
A(1, 2), B(−3, −2), C(2, −4).
3
Determinare il valore di x in modo tale che il triangolo di
vertici O(0, 0), A(0, 2), B(1/3, x) sia equilatero.
Rette nel piano
Retta parallela all’asse delle x
y = y0
6
P (0, y0 )
0
Q(x, y0 )
•
x
-
Rette nel piano
Retta parallela all’asse delle y
x = x0
6
y
Q(x0 , y)
•
0
•
P (x0 , 0)
-
Rette nel piano
Retta generica
Equazione in forma esplicita:
y = mx + q
m ∈ R coefficiente angolare, q ∈ R
m>0
6
6
• (0, −q/m)
•
(q, 0)
-
m<0
@•(0, −q/m)
@
@
@
@•
(q, 0) @
In particolare
m = 0 =⇒ retta parallela all’asse delle x
-
Rette nel piano
Retta generica
Equazione in forma implicita:
ax + by + c = 0
a, b, c ∈ R con a, b non contemporaneamente nulli
In particolare
a = 0, b 6= 0 =⇒ y = −c/b retta parallela all’asse delle x
b = 0, a 6= 0 =⇒ x = −c/a retta parallela all’asse delle y
In generale
b 6= 0 =⇒ y = −a/b · x − c/b
Rette nel piano
Retta passante per un punto e di coeff. angolare m
Sia P (x0 , y0 ) un punto del piano. La retta passante per P e
avente coefficiente angolare m ha equazione
y = m(x − x0 ) + y0 .
Rette nel piano
Retta passante per due punti
Dati P (x1 , y1 ) e Q(x2 , y2 ), l’equazione della retta passante per
tali punti è
y − y1
x − x1
=
.
x2 − x1
y2 − y1
Rette nel piano
Retta generica
Esercizi
1 Scrivere l’equazione della retta di coefficiente angolare
m = −2 e passante per il punto P (3, −5).
2
Scrivere l’equazione della retta passante per i punti
P (2, −1) e Q(−4, 1).
Rette nel piano
Posizioni fra rette
Siano r e r0 due rette di equazione
r : ax + by + c = 0 ovvero
r0 : a0 x + b0 y + c0 = 0 ovvero
y = mx + q
y = m0 x + q 0
Rette parallele
r e r0 sono parallele se i loro coefficienti angolari sono uguali,
cioè se risulta
a
b
= 0 ovvero m = m0
0
a
b
Rette nel piano
Posizioni fra rette
Intersezione fra rette
Date r e r0 , con m 6= m0 , le coordinate del punto di intersezione
sono la soluzione del seguente sistema
ax + by + c = 0
y = mx + q
ovvero
a0 x + b0 y + c0 = 0
y = m0 x + q 0
Rette perpendicolari
r e r0 sono perpendicolari se i loro coefficienti angolari sono
reciproci e opposti, cioè se risulta
aa0 + bb0 = 0 ovvero
m0 = −
1
m
Rette nel piano
Posizioni fra rette
Esercizio
1 Dire se le seguenti rette sono parallele o incidenti e in
quest’ultimo caso determinare le coordinate del punto di
intersezione
(a) 2x + 3y − 1 = 0, x − y − 3 = 0;
(b) x + y − 4 = 0, 3x + 4 + 7 = 0.
Coniche
Sono particolari curve del piano, precisamente
circonferenza
ellisse
parabola
iperbole
che si ottengono tutte come intersezione tra un cono e un piano
nello spazio.
Circonferenza
Definizione
Il luogo geometrico dei punti P (x, y) del piano aventi distanza r
da un punto C(x0 , y0 ) prende il nome di circonferenza di raggio
r e centro C.
Circonferenza
Definizione
Il luogo geometrico dei punti P (x, y) del piano aventi distanza r
da un punto C(x0 , y0 ) prende il nome di circonferenza di raggio
r e centro C.
q
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r
ovvero
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2
C
P
Circonferenza
Sviluppando il quadrato si ottiene l’equazione cartesiana della
circonferenza di centro C(x0 , y0 ) e raggio r:
x2 + y 2 + ax + by + c = 0
dove
a = −2x0 , b = −2y0 , c = x20 + y02 − r2 .
(1)
Circonferenza
Sviluppando il quadrato si ottiene l’equazione cartesiana della
circonferenza di centro C(x0 , y0 ) e raggio r:
x2 + y 2 + ax + by + c = 0
(1)
dove
a = −2x0 , b = −2y0 , c = x20 + y02 − r2 .
Si osserva che
r2 = x20 + y02 − c,
per cui un’espressione del tipo (1) individua una circonferenza
solo se x20 + y02 − c > 0 .
Circonferenza
Esercizi
1 Scrivere l’equazione della circonferenza di centro C(2, −1) e
raggio r = 1/2.
2
Data la circonferenza di equazione
x2 + y 2 + x − 6y + 29/4 = 0, determinare centro e raggio.
3
Determinare per quali valori di k l’equazione
x2 + y 2 − kx − 2y + k = 0 è una circonferenza.
Ellisse
Definizione
Dati due punti F1 e F2 , si chiama ellisse il luogo geometrico dei
punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze
da F1 e F2 , che vengono detti fuochi dell’ellisse.
L’equazione canonica dell’ellisse è la seguente
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
dove (±a, 0) e (0, ±b) sono i punti in cui l’ellisse interseca gli
assi coordinati (e si dicono vertici dell’ellisse)
Ellisse
Definizione
Dati due punti F1 e F2 , si chiama ellisse il luogo geometrico dei
punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze
da F1 e F2 , che vengono detti fuochi dell’ellisse.
L’equazione canonica dell’ellisse è la seguente
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
dove (±a, 0) e (0, ±b) sono i punti in cui l’ellisse interseca gli
assi coordinati (e si dicono vertici dell’ellisse)
Ellisse
Se a > b i fuochi appartengono all’asse delle x, ovvero sono del
tipo F1 (−c, 0), F2 (c, 0) e vale la seguente relazione
b2 = a2 − c2
(0,b)
(-a,0)
(c,0)
(-c,0)
(-b,0)
(a,0)
Ellisse
Se a < b i fuochi appartengono all’asse delle y, ovvero sono del
tipo F1 (0, −c), F2 (0, c) e vale la seguente relazione
a2 = b2 − c2
(0,b)
(a,0)
(-a,0)
(-b,0)
Ellisse
Esercizi
1
2
Data l’ellisse 18x2 + 8y 2 = 2 ridurre la sua equazione in
forma canonica e disegnarla.
Determinare le coordinate dei fuochi e dei vertici
dell’ellisse di equazione 3x2 + 6y 2 = 1.
Parabola
Definizione
Dati una retta d e un punto F ∈
/ d, si chiama parabola di fuoco
F e direttrice d il luogo dei punti del piano equidistanti da F e
da d.
6
@
P
•
@
@
@
F
•
@
@
@
@
@
Parabola
Parabola con direttrice parallela all’asse delle x (ed asse di
simmetria parallelo all’asse delle y):
y = ax2 + bx + c
a>0
Parabola
Parabola con direttrice parallela all’asse delle x (ed asse di
simmetria parallelo all’asse delle y):
y = ax2 + bx + c
a > 0, a < 0
Parabola
Parabola con direttrice parallela all’asse delle y (e asse di
simmetria parallelo all’asse delle x):
x = ay 2 + by + c
a>0
Parabola
Parabola con direttrice parallela all’asse delle y (ed asse di
simmetria parallelo all’asse delle x):
x = ay 2 + by + c
a > 0, a < 0
Parabola
Data l’equazione della parabola, ecco come ricavare le
coordinate del vertice V e del fuoco F e le equazioni della
direttrice e dell’asse di simmetria (i.e., asse ortogonale alla retta
direttrice e passante per F):
Coordinate V
Coordinate F
Equazione d
Equazione asse
∆ = b2 − 4ac
y = ax2 + bx + c
b
∆
− 2a
, − 4a
b 1−∆
− 2a
, 4a
y = − 1+∆
4a
b
x = − 2a
x = ay 2 + by + c
∆
b
− 4a
, − 2a
1−∆
b
4a , − 2a
x = − 1+∆
4a
b
y = − 2a
Parabola
Esercizi
Data la parabola di equazione y = −x2 /4 + x determinare
le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice.
Data la parabola di equazione x = y 2 − y + 1/2 determinare
le coordinate del vertice, l’equazione dell’asse di simmetria
e disegnarla.
Iperbole
Definizione
È il luogo dei punti P (x, y) del piano per i quali è costante la
differenza tra le distanze da due punti fissi (fuochi dell’iperbole).
Fuochi sull’asse delle x:
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
Iperbole
Fuochi sull’asse delle y:
x2 y 2
− 2 = −1
a2
b
y = ± ab x equazione degli asintoti
Iperbole
Se a = b l’iperbole si dice equilatera. In tal caso le equazioni
degli asintoti diventano y = ±x
Iperbole
Se a = b l’iperbole si dice equilatera. In tal caso le equazioni
degli asintoti diventano y = ±x
Iperbole
L’iperbole equilatera avente come asintoti gli assi coordinati ha
equazione
xy = k
k>0
k<0
Iperbole
Esercizio
1
Data l’iperbole di equazione 2x2 − 9y 2 = 18 determinare le
coordinate dei vertici e l’equazione degli asintoti.
Abbozzare il suo disegno.