CAPITOLO
16
[numerazione araba]
[numerazione devanagari]
[numerazione cinese]
LA GEOMETRIA
ANALITICA
DELLO SPAZIO
LA MOSCA DI CARTESIO Si narra che Cartesio, una sera d’estate, mentre si rilassava e meditava
sdraiato sul suo letto, si mise a osservare le curve irregolari del volo di una mosca. Si rese conto che,
se avesse potuto misurare la distanza dell’insetto dalle pareti e dal soffitto della camera, avrebbe
potuto determinare la posizione della mosca nello spazio in qualsiasi momento.
Come poteva Cartesio descrivere il volo di una mosca?
La risposta a pag. 1100
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TEORIA
CAPITOLO 16. LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO
1. LE COORDINATE CARTESIANE
NELLO SPAZIO
● Il piano Oxy è anche
detto piano terra.
I punti
Per rappresentare lo spazio con un riferimento di tipo cartesiano, utilizziamo tre
particolari rette a due a due perpendicolari, x, y e z, orientate come in figura 1.
Esse si intersecano in un punto O, detto origine degli assi. In tale sistema Oxyz un
punto P è individuato da una terna ordinata di numeri reali e si indica P(x; y ; z). I
numeri x, y, z vengono detti rispettivamente ascissa, ordinata e quota. La coppia
(x ; y) individua il punto A, proiezione di P nel piano Oxy.
P(x; y; z)
z
P(3; 6; 7)
z
quota
ascissa
O
x
ordinata
䉴 Figura 1 Rappresenta-
zione di un punto P nello
spazio.
● La diagonale di un
O
y
A(x; y)
a. Punto P generico.
y
A(3; 6)
x
b. Punto P di ascissa 3, ordinata 6 e
quota 7.
La distanza fra due punti
Consideriamo i punti A(xA; yA; zA ) e
B (xB; yB; zB). Con l’aiuto della figura 2,
possiamo osservare che il segmento AB
è una delle diagonali di un parallelepipedo rettangolo i cui spigoli misurano
xA - xB , yA - yB , zA - zB . Applichiamo la formula per calcolare la lunghezza
della diagonale di un parallelepipedo:
z
zB
B
zA
B''
A
xB
parallelepipedo si ottiene
con la formula:
xA
d = a2 + b2 + c2 ,
dove a, b, c sono le misure
degli spigoli.
x
M
yA
O
yB
y
B'
A'
M'
䉱 Figura 2
AB =
(x A - x B) 2 + (y A - y B) 2 + (z A - z B) 2 .
In particolare, la distanza di un punto dall’origine si calcola con la formula:
AO =
x2A + y2A + z2A .
Il punto medio di un segmento
Consideriamo il segmento di estremi A(xA; yA; zA ), B(xB; yB; zB) e il suo punto
medio M. Possiamo calcolare le coordinate di M utilizzando le formule viste nella
geometria analitica del piano. Le coordinate del punto medio M sono quindi date
dalle formule:
xM =
y + yB
xA + xB
z + zB
, yM = A
, zM = A
.
2
2
2
1082
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PARAGRAFO 2. IL PIANO
TEORIA
2. IL PIANO
L’equazione generale del piano
Consideriamo un generico piano a nello
spazio che non passi per l’origine O.
Tracciamo la retta r per O perpendicolare ad a e consideriamo il punto A(a; b; c)
in cui r interseca a (figura 3).
Prendiamo su a un punto generico
P(x; y; z).
Poiché OA = a, allora OA = AP, quindi
il triangolo OAP è rettangolo.
Applichiamo il teorema di Pitagora:
䉳 Figura 3
z
α
A
r
P
O
y
x
PO 2 = AO 2 + AP 2 "
● Per calcolare PO , AO ,
AP, applichiamo più volte
la formula della distanza.
" x 2 + y2 + z 2 = a 2 + b2 + c2 + (x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 "
" x2 + y2 + z2 = a 2 + b2 + c2 + x2 - 2ax + a 2 + y2 - 2by + b2 + z 2 +
- 2cz + c2 " ax + by + cz - (a2 + b2 + c2) = 0 .
Poniamo - (a2 + b2 + c2) = d e otteniamo l’equazione del piano a:
ax + by + cz + d = 0.
In generale si può dimostrare che ogni equazione ax + by + cz + d = 0 ,
con a, b, c non tutti nulli, rappresenta un piano e viceversa.
L’equazione viene detta equazione generale del piano.
In particolare, l’equazione ax + by + cz = 0 rappresenta un piano passante per
l’origine.
Piani particolari
Se l’equazione generale contiene una sola variabile, essa rappresenta piani paralleli a uno dei piani coordinati (figura 4). In particolare:
• x = 0, piano Oyz ;
• y = 0, piano Oxz;
• z = 0, piano Oxy;
● I piani Oyz, Oxz e Oxy
vengono anche detti piani
coordinati.
• x = k, piano parallelo al piano Oyz ;
• y = k, piano parallelo al piano Oxz;
• z = k, piano parallelo al piano Oxy.
z
䉲 Figura 4
z
z
piano y = 0
piano x = 0
k
piano z = k
piano x = k
O
y
O
k
y
y
O
piano z = 0
k
piano y = k
x
a
x
b
x
c
1083
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TEORIA
CAPITOLO 16. LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO
Inoltre, se nell’equazione ax + by + cz + d = 0 di un piano una sola variabile ha
coefficiente 0, il corrispondente piano è parallelo all’asse di tale variabile e perciò
perpendicolare al piano individuato dagli assi delle altre due variabili (figura 5).
z
z
z
y
O
x
O
y
y
O
x
x
piano ax + by + d = 0
piano ax + cz + d = 0
piano by + cz + d = 0
a. c = 0: il piano è parallelo all’asse z
e perpendicolare al piano Oxy.
b. b = 0: il piano è parallelo all’asse y
e perpendicolare al piano Oxz.
c. a = 0: il piano è parallelo all’asse x
e perpendicolare al piano Oyz.
䉱 Figura 5 Rappresenta-
zione grafica di tre generici
piani paralleli rispettivamente all’asse z, all’asse y e
all’asse x.
La forma esplicita
Se nell’equazione generale del piano ax + by + cz + d = 0 è c ! 0, allora possiamo risolvere l’equazione rispetto a z e otteniamo:
z = mx + ny + q .
Diciamo che l’equazione del piano è scritta in forma esplicita.
Osserviamo che, poiché per c = 0 l’equazione generale rappresenta un piano
parallelo all’asse z, si può scrivere in forma esplicita soltanto l’equazione di un
piano non parallelo all’asse z.
ESEMPIO
Determiniamo l’equazione del piano a passante per i punti A(2; 0; 0),
B (0; 1; 0), C (0; 0; 3) (figura 6).
Dalla figura vediamo che il piano a
non è parallelo all’asse z, quindi possiamo utilizzare l’equazione esplicita z = mx + ny + q. Sostituendo le
coordinate dei tre punti dati deduciamo il sistema nelle incognite m, n, q:
Z
Z2m q 0
] m =- 3
+ =
2
]
]]
[
" n =- 3
[n + q = 0
]
]] q = 3
]q = 3
\
\
z
C 3
α
O
y
A
x
䉱 Figura 6 I punti A(2; 0; 0), B(0; 1; 0),
C(0; 0; 3) e il piano a.
Pertanto l’equazione del piano ABC è:
z =-
1
B
2
3
x - 3y + 3 oppure 3x + 6y + 2z - 6 = 0 .
2
1084
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PARAGRAFO 2. IL PIANO
TEORIA
I piani paralleli
Consideriamo i piani aventi le seguenti equazioni:
2x - y + 3 z - 5 = 0 , -
1
1
3
5
x + y - z + = 0.
2
4
4
4
Le due equazioni sono equivalenti perché i coefficienti corrispondenti sono proporzionali: i coefficienti della prima si deducono da quelli della seconda moltiplicandoli per - 4. Esse rappresentano pertanto lo stesso piano.
Consideriamo ora le seguenti equazioni:
x - y - 2z - 4 = 0,
2x - 2y - 4z - 3 = 0.
1
Vediamo che i coefficienti delle variabili corrispondenti hanno rapporto
,
2
4
. Le due equazioni non hanno somentre i termini noti hanno rapporto
3
luzioni comuni. Infatti nella prima, per tutti i valori attribuiti alle variabili,
l’espressione x - y - 2z deve valere 4, mentre nella seconda, per tutti i valori
3
. I due piani, perattribuiti alle variabili, la stessa espressione deve valere
2
tanto, non hanno punti comuni e sono paralleli.
In generale, per piani che non siano paralleli ai piani coordinati, si può dimostrare
il seguente teorema sul parallelismo fra due piani.
TEOREMA
Condizione di parallelismo fra piani
Due piani di equazioni ax +by + cz + d = 0 e alx + bly + clz + d l = 0
sono paralleli se:
a
b
c
=
= .
al
bl
cl
In particolare, se
● Se vogliamo considerare anche piani paralleli
ai piani coordinati, allora
possiamo dire che i due
piani sono paralleli se:
a = kal, b = kbl, c = kcl,
con k ! R .
a
b
c
d
=
=
=
, i piani sono coincidenti.
al
bl
cl
dl
I piani perpendicolari
Si può dimostrare il seguente teorema sulla perpendicolarità fra due piani.
TEOREMA
Condizione di perpendicolarità fra piani
Due piani di equazioni ax +by + cz + d = 0 e alx + bly + clz + d l = 0
sono perpendicolari se:
● Se le equazioni dei due
piani sono in forma esplicita, la condizione è:
mml + nnl = - 1.
aal + bbl + cc l = 0 .
La distanza di un punto da un piano
Dato il piano a di equazione ax +by + cz + d = 0 e il punto A(xA; yA; zA), si dimostra che la distanza h di A da a è:
h=
ax A + by A + cz A + d
.
a2 + b2 + c2
1085
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TEORIA
CAPITOLO 16. LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO
ESEMPIO
Calcoliamo la distanza del punto P (0; 1; - 1) dal piano di equazione
x - y + 2z - 1 = 0.
Utilizziamo la formula della distanza di un punto da un piano:
h=
1 $ 0 - 1 $ 1 + 2 $ (- 1) - 1
4
=
.
6
12 + (- 1) 2 + 22
3. LA RETTA
● Nel piano cartesiano
Oxy due rette non parallele
si intersecano in un
punto. Per determinarne
le coordinate occorre risolvere il sistema formato
dalle equazioni delle due
rette.
Le equazioni generali
Nello spazio due piani non paralleli si intersecano lungo una retta: il sistema formato dalle equazioni dei due piani permette di determinare l’equazione della retta
intersezione.
In generale, a ogni retta nello spazio corrisponde un sistema formato da due equazioni di primo grado che rappresentano due piani non paralleli:
*
ax + by + cz + d = 0
alx + bly + c lz + d l = 0
Queste equazioni si dicono equazioni generali della retta.
Il sistema che individua la retta non è unico, perché sono infiniti i piani che hanno
per intersezione la retta (figura a lato). Dunque ogni sistema equivalente rappresenta la stessa retta.
ESEMPIO
Il sistema
z
*
x - 2y + z - 1 = 0
2x + y - z + 1 = 0
rappresenta una retta. I due piani infatti non sono paralleli perché i coefficienti delle variabili corrispondenti non hanno lo stesso rapporto.
y
Altre forme dell’equazione di una retta
x
● Abbiamo scritto l’equazione della retta attraverso
l’intersezione di un piano
parallelo all’asse y e di un
piano parallelo all’asse x.
Le equazioni ridotte
Riprendiamo l’esempio precedente e risolviamo le equazioni in modo che x e y
siano in funzione di z:
Z
]] x = 1 z - 1
x - 2y =- z + 1
5
5
" [
*
2x + y = z - 1
]] y = 3 z - 3
5
5
\
Le equazioni ottenute vengono chiamate le equazioni ridotte della retta data. Attribuendo a z valori arbitrari si hanno le coordinate di punti appartenenti alla retta data.
In generale le equazioni ridotte di una retta si ottengono scegliendo opportune
coppie di piani paralleli a uno degli assi coordinati, a seconda che il sistema generale sia risolubile rispetto alle variabili x e y, o x e z, o y e z.
1086
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PARAGRAFO 3. LA RETTA
Le equazioni sono:
*
x = gz + p
y = hz + q
se la retta non è parallela al piano Oxy;
*
x = ky + r
z = ly + s
se la retta non è parallela al piano Oxz;
)
y = mx + t
z = nx + u
se la retta non è parallela al piano Oyz.
La retta passante per due punti
Siano dati i punti P(x; y; z), A(x1; y1; z1), B(x 2; y 2; z 2). È possibile dimostrare che,
se le coordinate verificano le condizioni
Z
] x - x1 = y - y1
] x - x1
y - y1
y2 - y1
x - x1
z - z1
, ossia [ 2
,
=
=
x 2 - x1
y2 - y1
z 2 - z1
y
y
z - z1
1
]
=
] y2 - y1
z2 - z1
\
allora P, A, B sono allineati. Tali relazioni si dicono condizioni di allineamento
di tre punti.
Se P è un punto variabile, tali equazioni rappresentano la retta passante per due
punti A e B.
ESEMPIO
Scriviamo le equazioni della retta passante per i punti A(- 1; 2; 0), B(1; - 1; - 2).
Impostiamo le condizioni di allineamento del generico punto P(x; y; z) con i
punti A e B:
Z
Z
] x - (- 1) = y - 2
] x+1 = y-2
] 2
] 1 - (- 1)
-1 - 2
-3
[
" [
2
2
y
y
z
z-0
]]
]]
=
=
3
2
1
2
2
0
\
\
Riduciamo e risolviamo rispetto alla variabile y:
Z
]] x =- 2 y + 1
3
3
[
]] z = 2 y - 4
3
3
\
Abbiamo così ottenuto una coppia di equazioni ridotte della retta passante
per i punti dati.
Le equazioni frazionarie e le equazioni parametriche
Se poniamo x 2 - x 1 = l, y 2 - y 1 = m, z 2 - z 1 = n, le precedenti equazioni assumono la seguente forma:
Z
] x - x1 = y - y1
] l
y
y
m
x - x1
z - z1
1
, o anche [
=
=
l
m
n
y
y
z
z1
1
]]
=
m
n
\
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TEORIA
TEORIA
CAPITOLO 16. LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO
● I coefficienti l, m, n
determinano la direzione.
Se è data una terna ordinata di coefficienti (l; m; n),
tutte le terne del tipo
(kl; km; kn) individuano
la stessa direzione.
Si può allora dimostrare
che due rette sono parallele se hanno i coefficienti
direttivi proporzionali
ossia l = kll ; m = kml ;
n = knl e viceversa.
Queste equazioni si chiamano equazioni frazionarie della retta; i numeri l, m, n
costituiscono una terna ordinata di coefficienti direttivi. Il sistema può essere
utilizzato anche per scrivere le equazioni della retta passante per un punto dato
M(x 1; y 1; z 1) e con coefficienti direttivi assegnati l, m, n. Nell’esempio considerato
l = 2, m = - 3, n = - 2; M è uno dei due punti A o B.
Se x 1 = x 2, le equazioni frazionarie sono inutilizzabili. Tuttavia è immediato riconoscere che la retta passante per i due punti dati è parallela al piano Oyz, quindi
possiamo scrivere le equazioni ridotte.
Analogamente, se y 1 = y 2, la retta è parallela al piano Oxz; se z1 = z2, la retta è
parallela al piano Oxy.
ESEMPIO
Determiniamo le equazioni della retta passante per i punti A(1; 1; 1), B(- 1; 1; 0).
Poiché y 1 = y 2 = 1, la retta è parallela al piano Oxz e non è possibile utilizzare
le equazioni frazionarie. Scriviamo le equazioni ridotte utilizzando il primo
caso:
x = gz + p
*
y = hz + q
Sostituiamo le coordinate di A e di B:
Zg = 2
]
]h = 0
-1 = 0 + p
1 = g+p
A " *
, B " *
; quindi [
1 = h+q
1 = 0+q
] p =- 1
]q = 1
\
Le equazioni ridotte della retta data sono:
*
x = 2z - 1
y=1
Le equazioni frazionarie possono essere ulteriormente trasformate osservando
che, considerando una retta e un suo punto P (x; y; z), i rapporti
x - x1
,
l
y - y1
,
m
z - z1
n
sono uguali fra loro, ma il loro valore cambia al variare del punto P sulla retta.
Se indichiamo con t il valore comune dei tre rapporti, le equazioni frazionarie
si possono riscrivere nella seguente forma:
Zx x
] - 1 =t
] l
] y - y1
[
=t
] m
] z - z1
=t
]
\ n
"
Z
]] x = x1 + lt
[ y = y1 + mt , con t ! R.
]
z = z1 + nt
\
Queste sono le equazioni parametriche della retta; anch’esse rappresentano la
retta passante per un punto dato e con coefficienti direttivi assegnati. Rimangono
valide anche se uno dei coefficienti direttivi è nullo. In particolare:
• se l = 0, la retta è parallela al piano Oyz;
• se m = 0, la retta è parallela al piano Oxz;
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