Formulario di Matematica

Formulario di Matematica
Nicola Morganti
16 dicembre 2003
Indice
1 F ORMULE DI G EOMETRIA A NALITICA P IANA
1.1 L A RETTA . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 L A C IRCONFERENZA . . . . . . . . . . .
1.3 L’E LLISSE . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 L’I PERBOLE . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 L A P ARABOLA . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 T RASFORMAZIONE DELLE COORDINATE .
2 E SPONENZIALI
3 A REA
E
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L OGARITMI
7
8
DELLA SUPERFICIE E VOLUME DI SOLIDI NOTEVOLI
4 F ORMULE DI T RIGONOMETRIA
4.1 R ELAZIONI FRA LE FUNZIONI .
4.2 A NGOLI A SSOCIATI . . . . . .
4.3 F ORMULE GONIOMETRICHE .
4.4 F UNZIONI GONIOMETRICHE DI
4.5 R ELAZIONI FRA GLI ELEMENTI
4.6 A REA DEL TRIANGOLO . . . .
3
3
4
5
5
6
6
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9
9
9
10
12
13
13
5 F ORMULE DI A NALISI
5.1 T ABELLA DELLE FORMULE E REGOLE DI DERIVAZIONE . . . . . . . . .
5.2 T ABELLA DELLE PRIMITIVE DI ALCUNE FUNZIONI D ’ USO FREQUENTE .
14
14
15
. . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . .
ANGOLI NOTEVOLI . .
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DI UN TRIANGOLO QUALUNQUE .
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Questo documento è soggetto alla legge sulla tutela dei diritti d’autore. Si
ricorda che, in base alla legge n. 633/1941 e successive modificazioni e integrazioni, l’autore ha il diritto esclusivo all’utilizzazione economica dell’opera (Capo
III, sezione I).Viene consentita però la riproduzione per uso strettamente personale. In ogni caso questo documento non può essere modificato al di fuori o
contro il parere dell’autore nè privato di questo avviso.
Bergamo 16 dicembre 2003
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2
1
F ORMULE DI G EOMETRIA A NALITICA P IANA
• Distanza fra due punti P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) :
q
d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
• Coordinate del punto medio M del segmento di estremi P 1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) :
xM =
x1 + x 2
,
2
yM =
y1 + y 2
2
• Coordinate del baricentro G del triangolo di vertici P 1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ) e
P3 (x3 , y3 ) :
x1 + x 2 + x 3
y1 + y 2 + y 3
xG =
, yG =
3
3
1.1
LA
RETTA
a) equazione generale:
ax + by + c = 0,
b) equazione esplicita:
y = mx + q
c) equazione segmentaria:
x y
+ =1
p q
(a 2 + b2 6= 0)
• Coefficiente angolare:
m=−
y2 − y 1
b
=
= tan α
a
x2 − x 1
• Retta passante per due punti P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) :
y − y1
x − x1
=
y2 − y 1
x2 − x 1
• Date le rette r, s di equazioni generali: a 1 x + b1 y + c1 = 0, e a2 x + b2 y + c2 = 0
oppure di equazioni esplicite: y = m 1 x + q1 , e y = m2 x + q2 :
Le due rette sono parallele se e solo se:
(1)
a 1 b2 = a 2 b1 ,
oppure
m 1 = m2
Le due rette sono perpendicolari se e solo se:
(2)
oppure
a1 a2 + b1 b2 = 0,
3
m1 m2 = −1
Formulario di Matematica
La retta parallela ad r e passante per P 1 (x1 , y1 ) ha equazione:
(3)
oppure
a1 (x − x1 ) + b1 (y − y1 ) = 0,
y − y1 = m1 (x − x1 )
La retta perpendicolare ad r e passante per P 1 (x1 , y1 ) ha equazione:
(4)
oppure
b1 (x − x1 ) − a1 (y − y1 ) = 0,
y − y1 = −
1
(x − x1 )
m1
La distanza assoluta d del punto P1 (x1 , y1 ) dalla retta r è data da:
(5)
d=
|a1 x1 + b1 y1 + c1 |
p
,
a21 + b21
oppure
d=
|m1 x1 − y1 + q|
p
m21 + 1
A TTENZIONE, mentre le equazioni 1,2,3,4 scritte a sinistra sono valide qualunque siano le rette, quelle scritte sulla destra esigono che queste non
siano parallele all’asse y.
a) Area del triangolo di vertici P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ) e P3 (x3 , y3 ) :
1 x3 − x1 y3 − y1
A=± 2 x2 − x 1 y2 − y 1
,
(si sceglie, + o −, per il quale risulta: A ≥ 0)
b) Bisettrici degli angoli formati dalle due rette a 1 x + b1 y + c1 = 0, e a2 x + b2 y +
c2 = 0 :
a2 x + b 2 y + c 2
a1 x + b 1 y + c 1
p
=± p 2
2
2
a1 + b1
a2 + b22
c) L’angolo α formato da due rette non perpendicolari e di equazioni y = m 1 x +
q1 , e y = m 2 x + q 2 :
m2 − m 1
tan α = ± √
1 + m 1 m2
1.2
L A C IRCONFERENZA
• Circonferenza di centro C(α, β) e raggio r
(x − α)2 + (y − β)2 = r 2 ,
oppure:
con:
4
x2 + y 2 + ax + by + c = 0
Formulario di Matematica
a
α=− ,
2
s 2
a 2
b
r=
+
+ c,
2
2
b
β=− ,
2
con
2 2
a
b
+
+c≥0
2
2
Se P1 (x1 , y1 ) sta sulla circonferenza T : x2 + y 2 + ax + by + c = 0, l’equazione
della retta tangente in P1 a T ha equazione
xx1 + yy1 + a
1.3
y + y1
x + x1
+b
+c=0
2
2
L’E LLISSE
• Ellisse di centro O e fuochi F 0 (−c, 0), F (c, 0):
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
1.4
con:
Eccentricità:
b 2 = a2 − c2 .
e=
c
<1
a
e=
c
>1
a
L’I PERBOLE
• Iperbole di centro O e fuochi F 0 (−c, 0), F (c, 0):
x2 y 2
− 2 = 1,
a2
b
• Asintoti:
con:
Eccentricità:
b 2 = c2 − a2 .
y=
b
x
a
b
y=− x
a
e
• Iperbole equilatera: x2 − y 2 = a2 . Asintoti: y = ±x
• Iperbole equilatera riferita agli asintoti: xy = k
• Funzione omografica:
y=
ax + b
cx + d
Se c 6= 0 e ad 6= bc esse è rappresentata, in coordinate cartesiane ortogonali,
da un’iperbole equilatera avente per asintoti le rette di equazioni:
x=−
d
c
5
e
y=
a
c
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1.5
L A PARABOLA
• Parabola di asse parallelo all’asse y, di fuoco F e direttrice d:
y = ax2 + bx + c
Posto ∆ = b2 − 4ac per tale parabola avremo le seguenti caratteristiche
• Vertice V
V =
∆
b
− ,−
2a 4a
• Asse di simmetria (parallelo all’asse y)
x=−
• Fuoco F
F =
b
2a
b 1−∆
− ,
2a 4a
• Direttrice (retta parallela all’asse delle x)
y=−
1.6
T RASFORMAZIONE
1+∆
4a
DELLE COORDINATE
a) Traslazione.
Dato un punto P (x, y) nel sistema Oxy, questo avrà coordinate P (X, Y )
nel sistema O 0 XY , con O 0 di coordinate (a, b) nel sistema Oxy e gli assi
rispettivamente paralleli ed equiversi, secondo la seguente trasformazione:
x = X +a
y =Y +b
oppure:
X =x−a
Y =y−b
b) Rotazione.
Dato un punto P (x, y) nel sistema Oxy, questo avrà coordinate P (X, Y ) nel
d secondo la seguente trasformazione:
sistema OXY , con α
b = xX,
x = X cos α − Y sin α
y = X sin α + Y cos α
oppure:
6
X = x cos α + y sin α
Y = −x sin α + y cos α
Formulario di Matematica
c) Rototraslazione.
Dato un punto P (x, y) nel sistema Oxy, questo avrà coordinate P (X, Y ) nel
d e O 0 di coordinate (a, b) nel sistema Oxy, secondo
sistema O 0 XY , con α
b = xX
la seguente trasformazione:
x = a + X cos α − Y sin α
y = b + X sin α + Y cos α
oppure:
X = (x − a) cos α + (y − b) sin α
Y = −(x − a) sin α + (y − b) cos α
c) Coordinate Polari.
Dato un punto P (x, y) nel sistema Oxy, questo avrà coordinate P (ρ, ϑ), dove
ρ è la distanza assoluta dell’origine e ϑ l’angolo formato da ρ con l’asse x,
positivo se antiorario, secondo la seguente trasformazione:

 x = ρ cos ϑ

2
oppure:
y = ρ sin ϑ
p

2
2

 ρ= x +y

 ϑ = arctan y
x
E SPONENZIALI E L OGARITMI
Se a > 0, b > 0 e a 6= 1, l’equazione:
ammette una e una sola soluzione.
ax = b
Teoremi sui logaritmi
ax = b ⇔ x = log a b ⇒ aloga b = b
log a (bc) = log a b + log a c
log a
b
= log a b − loga c
c
log b N =
loga
loga N
loga b
log an bm =
m
n
loga bc = c log a b
√
1
n
b = loga b
n
logb a · log a b = 1
logan bn = loga b
log a b
7
Formulario di Matematica
3
A REA DELLA SUPERFICIE E VOLUME DI SOLIDI NOTEVOLI
Nella tabella seguente indicheremo con:
Al l’area della superficie laterale;
A t l’area della superficie totale;
Ab , A, A0 l’area della superficie di base;
V il volume;
h la misura dell’altezza;
p la misura del perimetro della base;
a la misura dell’apotema;
r la misura del raggio di base;
Solido
Area Laterale
Area Totale
Volume
Prisma Retto
Al = ph
At = Al + 2Ab
V = Ab · h
A t = Al + A + A 0
√
1
V = h(A + A0 + AA0 )
3
Parallelepipedo
At = 2(ab + bc + ac)
V = abc
Cubo
At = 6l2
V = l3
At = 2πr(r + h)
V = πr 2 h
Tronco di Piramide Al =
p + p0
·a
2
Cilindro
Al = 2πrh
Piramide Retta
Al =
Cono
Al = πra
Tronco di Cono
Al = πa(r + r 0 ) At = πa(r + r 0 ) + πr 2 + πr 02
Sfera
a·p
2
At = A l + A b
At = πr(r + a)
At = 4πr 2
8
1
V = Ab · h
3
1
V = πr 2 h
3
1
V = πh(r 2 + r 02 + rr 0 )
3
4
V = πr 3
3
Formulario di Matematica
4
4.1
F ORMULE DI T RIGONOMETRIA
R ELAZIONI
FRA LE FUNZIONI
La seguente tabella riassume l’espressione di tutte le funzioni goniometriche di
un angolo orientato mediante una sola di essere
Noto
sin α
cos α
cos α
sin α
p
± 1 − sin2 α
1−
cos2
α
tan α
cos α
sin α
±p
1 − sin2 α
±
√
1 − cos2 α
cos α
cot α
p
1 − sin2 α
±
sin α
cos α
±√
1 − cos2 α
tan α
tan α ± √
1 + tan2 α
1
±√
1 + tan2 α
tan α
1
tan α
1
±√
1 + cot2 α
cot α
±√
1 + cot2 α
1
cot α
cot α
cot α
4.2
±
p
sin α
A NGOLI A SSOCIATI
Angoli opposti
Angoli supplementari
Angoli che differiscono
di un angolo piatto

 sin(−α) = − sin α
cos(−α) = cos α

tan(−α) = − tan α

 sin(π − α) = sin α
cos(π − α) = − cos α

tan(π − α) = − tan α

 sin(π + α) = − sin α
cos(π + α) = − cos α

tan(π + α) = tan α
9
Formulario di Matematica
Angoli esplementari
Angoli complementari
Angoli che differiscono
di un angolo retto

sin(2π − α) = − sin α





cos(2π − α) = cos α





tan(2π − α) = − tan α
π


sin
−
α
= cos α


2





π
cos
− α = sin α

2






 tan π − α = cot α
2
π


sin
+
α
= cos α


2





π
cos
+ α = − sin α

2






 tan π + α = − cot α
2
4.3
F ORMULE
GONIOMETRICHE
Formule di addizione
Formule di sottrazione


sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α


cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
tan α + tan β


 tan(α + β) =
1 − tan α tan β

sin(α − β) = sin α cos β − sin β cos α



cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
tan α − tan β


 tan(α − β) =
1 + tan α tan β
Formule di duplicazione
Formule di triplicazione

sin(2α) = 2 sin α cos α


cos(2α) = cos2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1

 tan(2α) = 2 tan α
1 − tan2 α

sin(3α) = 3 sin α − 4 sin3 α



cos(3α) = 4 cos 3 α − cos α

3 tan α − tan3 α

 tan(3α) =
1 − 3 tan2 α
Formule di bisezione

r
α

1 − cos α


sin
=∓


2
2

r

α
1 + cos α
cos
=∓

2
2

r

α


1 − cos α
sin α
1 − cos α

 tan
=∓
=
=
2
1 + cos α
1 + cos α
sin α
10
Formulario di Matematica
Formule di prostaferesi
Formule di Werner

p+q
p−q


sin(p) + sin(q) = 2 sin
cos


2
2






p+q
p−q



 sin(p) − sin(q) = 2 cos 2 sin 2

1


sin(α) sin(β) = [cos(α − β) − cos(α + β)]


2





1
cos(α) cos(β) = [cos(α + β) − cos(α − β)]

2







 sin(α) cos(β) = 1 [sin(α + β) + sin(α − β)]
2


p−q
p+q


cos
cos(p) + cos(q) = 2 cos


2
2







 cos(p) − cos(q) = −2 sin p + q sin p − q
2
2
Espressione di sin(α), cos(α), tan(α) in funzione di t = tan
sin(α) =
2t
1 + t2
cos(α) =
1 − t2
1 + t2
tan(α) =
α
2
2t
1 − t2
Relazioni fra gli elementi di un triangolo rettangolo
Se ABC è un triangolo rettangolo in A, indichiamo con a, b, c, le misure dei
lati rispettivamente opposti ai vertici A, B, C e con α, β, γ, le misure degli angoli
aventi i vertici rispettivamente in A, B, C. Valgono quindi l seguenti relazioni:

c = a sin γ



b = a cos γ
c = b tan γ



b = c cot γ

b = a sin β



c = a cos β
b = c tan β



c = b cot β
11
Formulario di Matematica
4.4
F UNZIONI
GONIOMETRICHE DI ANGOLI NOTEVOLI
Angolo orientato
in gradi
in radianti
0◦
0
9◦
π
20
15
◦
π
12
18
◦
π
10
22◦ 3000
π
8
30◦
π
6
◦
π
5
45◦
π
4
36
54
◦
60◦
72
◦
75◦
90◦
3π
10
π
3
2π
5
5π
12
π
2
Funzione Goniometrica
seno
coseno
0
p
3+
cotangente
0
non esiste
√
5−1
p
√
4 − 10 + 2 5
1
p
√
√
5− 5− 5
4
√
√
6− 2
4
√
5−1
4
p
√
2− 2
2
p
tangente
1
2
√
10 − 2 5
4
√
2
2
√
5+1
4
√
3
2
p
√
10 + 2 5
4
√
√
6+ 2
4
p
3+
√
√
p
5+
4
6+
4
p
√
5−
1
2
5−1
4
√
√
6− 2
4
1
0
12
4−
2
√
10 + 2 5
4
p
√
2+ 2
2
√
3
2
√
5+1
4
√
2
2
p
√
10 − 2 5
4
√
√
5
p
p
√
√
10 + 2 5
5−1
2−
√
3
√
25 − 10 5
5
√
2+
q
√
q
√
5−2 5
p
1
√
25 + 10 5
5
√
3
q
√
5+2 5
2+
√
3
√
25 + 10 5
5
1
p
2+1
√
3
3
3
√
5+2 5
√
2−1
√
3
non esiste
q
√
5−2 5
√
3
3
p
√
25 − 10 5
5
√
2− 3
0
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4.5
R ELAZIONI
FRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO QUALUNQUE
1. Teorema dei seni (o di E ULERO) e della corda:
a
b
c
=
=
= 2R
sin α
sin β
sin γ
dove R indica il raggio del cerchio circoscritto al triangolo.
2. Teorema delle proiezioni

 a = b cos γ + c cos β
b = c cos α + a cos γ

c = a cos β + b cos α
3. Teorema del coseno o di C ARNOT
 2
 a = b2 + c2 − 2bc cos α
b2 = c2 + a2 − 2ac cos β
 2
c = a2 + b2 − 2ab cos γ
4. Teorema delle tangenti o di N EPERO
tan α−β
a−b
2
=
α+β
a+b
tan 2
5. Formule di B RIGGS
r
α
(p − b)(p − c)
sin =
2
bc
4.6
A REA
tan β−γ
b−c
2
=
β+γ
b+c
tan 2
α
cos =
2
r
(p(p − a)
bc
tan γ−α
c−a
2
=
γ+α
c+a
tan 2
α
tan =
2
s
(p − b)(p − c)
p(p − a)
DEL TRIANGOLO
S =
1
1
1
ab sin γ = bc sin α = ca sin β
2
2
2
a2 sin β sin γ
b2 sin γ sin α
c2 sin α sin β
=
=
2 sin α
2 sin β
2 sin γ
p
S =
p(p − a)(p − b)(p − c) (Formula di E RONE)
S =
ove p, indica il semiperimetro del triangolo.
13
Formulario di Matematica
5
5.1
F ORMULE DI A NALISI
TABELLA
DELLE FORMULE E REGOLE DI DERIVAZIONE
Funzione Costante
D(costante) = 0
Funzione Potenza
α
D(x ) = αx
α−1
D(sgnx) =
Funzioni Goniometriche
D(sin x) = cos x
D(tan x) =
x
|x|
D(cos x) = − sin x
1
= 1 + tan2 x
cos2 x
D(cot x) = −
1
= −(1 + cot2 x)
sin2 x
Funzione logaritmica
1
1
D(log a x) = log a e =
x
x ln a
in particolare: D(ln x) =
1
x
Esponenziale
D(ax ) = ax ln a
in particolare: D(ex ) = ex
Funzioni iperboliche
D(sinh x) = cosh x
D(tanh x) =
D(cosh x) = sinh x
1
cosh2 x
D(coth x) = −
1
sinh2 x
Inverse delle Funzioni Goniometriche
1
1
D(arcsin x) = √
D(arccos x) = − √
1 − x2
1 − x2
1
1
D(arctan x) =
D(arccotx) = −
1 + x2
1 + x2
Principali regole di derivazione
D[kf (x)] = kf 0 (x)
D[f (x) + g(x)] = f (x) + g(x)
D[f (x)g(x)] = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
Df [g(x)] = f 0 [g(x)] · g 0 (x)
D[f (x)]n = n[f (x)]n−1 · f 0 (x)
Daf (x) = af (x) · ln a · f 0 (x)
D
f (x)
f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x)
=
g(x)
[g(x)]2
D(ln |f (x)|) =
Def (x) = ef (x) · f 0 (x)
14
f 0 (x)
f (x)
Formulario di Matematica
5.2
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
TABELLA
DELLE PRIMITIVE DI ALCUNE FUNZIONI D ’ USO FREQUENTE
1
xn+1 + c
x dx =
n+1
n
Z
(n 6= 1)
Z
sin xdx = − cos x + c
tan xdx = − ln | cos x| + c
x
x
e dx = e + c
1
f (x) f (x)dx =
f (x)n+1 + c (n 6= 1)
n+1
Z p
p
1
x
a2 − x2 dx =
a2 arcsin
+ x a2 − x2 + c
2
|a|
Z
x
1
dx = ln tan + c
sin x
2
Z
1
sin2 xdx = (x − sin x cos x) + c
2
Z
sinh xdx = cosh x + c
Z
cot xdx = ln | sin x| + c
Z
ax dx =
Z
x
1
√
+c
dx = arcsin
2
2
|a|
a −x
n 0
1
dx = tanh x + c
cosh2 x
15
cos xdx = sin x + c
Z
Z
1
dx = tan x + c
cos2 x
1
dx = ln |x| + c
x
Z
1
dx = − cot x + c
sin2 x
a2
1 x
a +c
ln a
1
x
1
dx = arctan
+c
2
+x
a
|a|
f 0 (x)
dx = ln |f (x)| + c
f (x)
Z
p
1
√
dx = ln x + x2 ± a2 + c
2
2
x ±a
Z
x π 1
dx = ln tan
+
+c
cos x
2
4
Z
1
cos2 xdx = (x + sin x cos x) + c
2
Z
cosh xdx = sinh x + c
Z
1
dx = − coth x + c
sin2 x