Funzioni circolari

Funzioni circolari
Strumenti per la fisica
Le funzioni goniometriche o circolari
Un’importante categoria di funzioni nasce in ambito geometrico e ha notevoli applicazioni
in fisica.
Consideriamo un triangolo ABC, rettangolo in B, e indichiamo con x la misura dell’angolo
acuto in A (fig. 1).
Ricordiamo che, in un triangolo rettangolo, il lato
C¢
opposto all’angolo retto è chiamato ipotenusa e i
due lati adiacenti all’angolo retto sono i cateti;
gli angoli acuti hanno come somma 90°, quindi
C
C
A + C = 90°.
Tracciamo una qualsiasi retta parallela al cateto
BC, chiamiamo B ′ e C ′ i punti di intersezione
con i prolungamenti di AB e AC (fig. 2).
Otteniamo un triangolo AB′C′, in cui A è in comune con ABC, l’angolo B = B′, l’angolo C = C′.
x
x
In questa situazione si dice che i triangoli ABC e
B
B¢
A
B A
AB′C′ sono simili tra loro, e si dimostra che i lati
Figura 1
Figura 2
corrispondenti, AC e AC ′, AB e AB ′, BC e BC ′
sono in proporzione.
Allora il rapporto tra la lunghezza del cateto BC e quella dell’ipotenusa AC risulta uguale
a quello tra i lati corrispondenti B′C’ e AC′:
BC = B ′ C ′
AC
AC ′
Possiamo quindi dire che, in un triangolo rettangolo, il rapporto tra il cateto opposto
all’angolo x e l’ipotenusa, non dipende dalle misure dei lati del triangolo, ma solo
dalla misura dell’angolo x.
BC
Possiamo anche dire che il rapporto
è funzione dell’angolo x.
AC
Poniamo:
BC = lunghezza del cateto opposto = sen x
lunghezza dell’ipotenusa
AC
dove sen x si legge “seno dell’angolo x”, e diciamo che sen x è una funzione goniometrica
(dalla parola greca gonion che significa “angolo”).
Anche il rapporto AB della lunghezza del cateto AB, adiacente all’angolo x, rispetto alAC
l’ipotenusa è una funzione goniometrica dell’angolo x :
AB = lunghezza del cateto adiacente = cos x
AC
lunghezza dell’ipotenusa
dove cos x si legge “coseno dell’angolo x”.
1
© 2010 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce
Una terza funzione goniometrica viene definita considerando il rapporto tra le lunghezze
dei due cateti:
BC = lunghezza del cateto opposto = tg x
lunghezza del cateto adiacente
AB
che si legge “tangente dell’angolo x”.
ESEMPI
C
1. Nel triangolo rettangolo ABC sono date le misure (in cm) dei lati
(fig. 3). Calcoliamo le funzioni dell’angolo A:
sen A = 4
cos A = 3
tg A = 4
5
5
3
5
4
A
B
3
Figura 3
2. Anche nel triangolo ABC della figura 4 sono assegnate le misure (in cm) dei lati. Determiniamo
le funzioni dell’angolo C:
sen C = 1
5
cos C = 2
5
2
B
1
tg C = 1
2
C
`5
÷
A
Figura 4
Possiamo anche determinare le funzioni dell’angolo C:
sen A = 2
cos A = 1
tg A = 2 = 2
1
5
5
3. Nel triangolo ABC (fig. 5) conosciamo le misure
(in m) dei cateti: per determinare le funzioni degli
angoli del triangolo, dobbiamo calcolare la misura dell’ipotenusa.
A
5
B
Figura 5
Applichiamo il teorema di Pitagora:
AC 2 = AB 2 + BC 2
Abbiamo allora:
sen A = 12
13
sen C = 5
13
Æ
AC =
cos A = 5
133
cos C = 12
13
C
12
2
2
AB + BC =
52 + 122 = 169 = 13
tg A = 12
5
tg C = 5
12
Diamo ora a x un valore particolare, per esempio x = 45°, e calcoliamo il valore della funzione seno per questo valore, sen 45°.
In questo caso, il triangolo ABC è rettangolo e isoscele: AB ≅ BC (fig. 6).
2
© 2010 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce
Dal teorema di Pitagora ricaviamo la relazione tra l’ipotenusa e i cateti:
AC 2 = 2BC 2
cioè
Æ
AC =
2 BC
C
2
AC = BC ⋅ 2
Senza conoscere le lunghezze dei cateti, da queste relazioni otteniamo:
BC
sen 45∞ = BC =
AC
BC ⋅ 2
e semplificando: sen 45∞ = 1 ≈ 0,7 .
2
x = 45°
A
B
Figura 6
Nei triangoli rettangoli con angoli acuti di 30∞ e 60∞ valgono altre relazioni speciali, con
cui si possono calcolare, per esempio, le funzioni dell’angolo di 30∞.
Sappiamo dalla geometria che nel triangolo ABC, con angoli acuti di 30∞ e 60∞ (fig. 7),
l’ipotenusa AC è il doppio del cateto minore, CB: AC = 2 BC .
Applicando il teorema di Pitagora, si ricava: AB =
Allora:
3 ⋅ AC .
2
C
sen 30∞ = BC = BC = 1
2
AC
2 ⋅ BC
3 ⋅ AC
AB
2
cos 30∞ =
=
= 3
2
AC
AC
Mettiti alla prova
x = 30°
A
B
Figura 7
6
1. Ricava i valori delle funzioni cos 45∞ e tg 45∞.
2. Ricava il valore di tg 30∞ e di tg 60∞: che cosa osservi?
3. Osserva negli esempi 2 e 3 i valori delle funzioni degli angoli acuti dei triangoli dati: quali
relazioni emergono?
Partendo dal triangolo rettangolo, abbiamo introdotto le funzioni goniometriche per un suo
angolo acuto x e, per alcuni valori di x, abbiamo anche calcolato i valori assunti dalle funzioni. In particolare, per la funzione seno,
possiamo scrivere le coppie di valori indicate
nella tabella a fianco.
Per cominciare a indagare come variano le
funzioni goniometriche al variare dell’angolo,
immaginiamo di far ruotare in senso antiorario
il cateto AC intorno al vertice A: la misura in
gradi dell’angolo x varia tra 0° e 90° e il vertice C si muove su una circonferenza di raggio
AC (fig. 8).
Per questo le funzioni seno, coseno e tangente
sono anche dette funzioni circolari.
3
x
30°
45°
60°
sen x
1
2
1
2
3
2
C¢¢
C¢
C
x
A
B
Figura 8
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Guardiamo in particolare la funzione sen x, considerando anche i valori dell’angolo per i
quali il triangolo scompare (si dice che è degenere):
se x = 0° il segmento BC si annulla, BC = 0, mentre il segmento AB è congruente al
segmento AC. Abbiamo quindi:
sen 0∞ = 0 = 0
AC
cos 0∞ = AC = 1
AC
se x = 90° il segmento AB si annulla, AB = 0, mentre il segmento BC è congruente al
segmento AC. Abbiamo quindi:
cos 90∞ = 0 = 0
AC
sen 90∞ = AC = 1
AC
Mettiamo ora il vertice A nell’origine degli assi di un riferimento cartesiano (fig. 9).
Facciamo ruotare ancora il segmento AC, superando l’angolo retto: guardando il triangolo
AB¢C¢¢¢, ritroviamo un triangolo rettangolo; possiamo quindi calcolare i rapporti tra le lunghezze dei lati, ma notiamo che il cateto AB¢ è orientato in senso opposto ad AB.
y
C¢¢¢
C¢¢
C¢
C
A∫O
B¢
x
B
Figura 9
Si giustifica così quello che possiamo verificare anche con una calcolatrice scientifica: il
seno di un angolo che va da 90° a 180° è positivo, mente il coseno dello stesso angolo risulta negativo.
Possiamo allora calcolare le funzioni circolari facendo variare l’angolo x tra 0° e 180°.
Riportiamo in una tabella i valori in alcuni casi particolari delle funzioni seno e coseno:
4
x
0
30°
45°
60°
90°
120°
135°
sen x
0
1
2
1
2
3
2
1
3
2
1
2
cos x
1
3
2
1
2
1
2
0
−1
2
− 1
2
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Mettiti alla prova
7
1. Che cosa puoi dire di tg 0° e di tg 90°?
2. Proponi una giustificazione geometrica del fatto che per gli angoli da 0° a 90° le funzioni sen x
e cos x non possono superare il valore 1. Per la funzione tg x vale una limitazione analoga?
3. Calcola (sen 30∞)2 + (cos 30∞)2 e (sen 45∞)2 + (cos 45∞)2.
4. Dimostra che, in generale, si ha: sen2 x + cos2 x = …..
Per determinare i valori delle funzioni goniometriche di ogni angolo tra 0° e 180°, ricorriamo alla calcolatrice scientifica, che ne fornisce il valore decimale, che noi approssimiamo alla cifra che ci interessa. Ricordiamo che, se le misure in gradi degli angoli non sono
intere, la calcolatrice le riceve in forma sessadecimale, cioè considerando frazioni di grado non in primi e secondi (sessagesimali), ma in decimi e centesimi.
ESEMPI
1. Utilizziamo una calcolatrice scientifica per calcolare, approssimando per troncamento
alla terza cifra decimale:
sen 15° = 0,258
cos 15° = 0,965
tg 15° = 0,267
2. Sfruttando le relazioni che abbiamo individuato, non usiamo la calcolatrice, ma deduciamo:
1 = 3,745
tg 75∞ =
sen 75° = 0,965
cos 75° = 0,258
0, 267
3. Usiamo la calcolatrice:
sen 82° = 0,990
sen 82°30′ = sen (82,5°) = 0,991
cos 46° = 0,694
cos 46°20′ = cos (46,33) = 0,690
4. Ancora con la calcolatrice:
sen 110° = 0,939
5
cos 110° = − 0,342
sen (82,65°) = 0,991
cos 46°30′ = cos (46,5) = 0,688
tg 110° = − 2,747
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ESERCIZI
Funzioni goniometriche o circolari
1
4
sen A = ......
cos A = ......
C
I triangoli ABC e DEF della figura sono simili. Determinare le misure (in cm) dei lati
di DEF, sapendo che DE = 2,25.
sen C = ......
cos C = ......
3
A
A
5
3
5
B
F
cos A = ......
sen C = ......
C
2
C
4
B
2,5
E
tg A = ......
tg C = ......
B
3
2,25
A
D
2
I triangoli ABC e BDE della figura sono
simili. I cateti di ABC misurano (in cm)
1
AB = 2 e BC = 5. Sapendo che AE = ,
2
calcolare la misura di ED.
6
A
sen A = ......
sen C = ......
3
tg A = ......
tg C = ......
B
C
7
C
5
E
F
D
sen D = ......
cos D = ......
2
÷
``40
D
8
A
⎡
3
⎤
⎢⎣ ED = 4 29 ⎥⎦
B
E
sen A = ......
cos A = ......
B
2
C
6
4
A
sen C = ......
cos C = ......
A
sen C = ......
cos C = ......
tg C = ......
2
Determinare le funzioni goniometriche
richieste degli angoli acuti dei triangoli dati.
Le misure dei lati sono in cm.
3
tg D = ......
tg F = ......
B
9
3
C
sen A = ......
cos A = ......
tg A = ......
In un triangolo ABC, rettangolo in B, la misura (in cm) dell’ipotenusa è AC = 5, quella
di un cateto è AB = 5 . L’angolo A allo2
ra misura:
a 30°
b 45°
c 60°
d 90°
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10 In un triangolo ABC, rettangolo in B, la misura (in cm) di un cateto è AB = 3,5, quella
dell’altro cateto è BC = 3, 5 ⋅ 3 . L’angolo
A allora misura:
a 30°
b 45°
c 60°
d 90°
12 cos(6°) = ......
cos(38°) = ......
cos(42°) = ......
cos(42,6°) = ......
cos(43°) = ......
cos(80°) = ......
cos(80,9°) = ......
cos(81°) = ......
13 tg(8°) = ......
Utilizzando una calcolatrice scientifica,
calcolare i valori delle funzioni richieste,
approssimando per troncamento alla seconda
cifra decimale.
11 sen(2°) = ......
tg(10°) = ......
tg(20°) = ......
tg(35°) = ......
tg(35,4°) = ......
tg(35,75°) = ......
tg(88°) = ......
tg(88,5°) = ......
tg(88,9°) = ......
14 Calcolare, usando la calcolatrice scientifica
e approssimando alla terza cifra decimale:
sen(18°) = ......
sen(20,5°) = ......
sen(36°) = ......
sen(50°) = ......
sen2 (12°) + cos2 (12°) = ......
sen(73°) = ......
sen(73,6°) = ......
sen2 (70°) + cos2 (70°) = ......
sen(73,25°) = ......
7
sen(12°) = ......
cos(15°) = ......
sen2 (70°) + sen2 (20°) = ......
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