La soluzione di Marco Mantovani

Marco Mantovani
E' più probabile che sia pari o dispari?
Siano a e b due numeri reali presi uniformemente tra 0 ed 1. Sia x l'intero più vicino al rapporto
a/b.
E' più probabile che x sia pari o dispari?
Soluzione:
Siano A e B due variabili aleatorie indipendenti uniformemente distribuite in [0,1].
Si consideri la variabile aleatoria Z=A/B. La funzione densità di probabilità per la
variabile aleatoria Z è data da [Rif. 1]
fZ(z)=
∞
-∞ ∫|b|fAB(z•b,b)db
dove fAB(a,b) è la densità di probabilità congiunta delle variabili aleatorie A e B.
Essendo A e B indipendenti, la densità di probabilità congiunta è:
fAB(a,b)=fA(a)fB(b)
e quindi
fZ(z)=
∞
-∞ ∫|b| fA(z•b)fB(b)db
e, considerando che A e B sono variabili aleatorie indipendenti uniformemente
distribuite in [0,1], si ottiene:
Per z<0, fZ(z)=0
1
Per 0<z<1, fZ(z)= 0 ∫bdb=1/2
1
Per z>1, fZ(z)= 0
1/z
∫bdb=(1/2)•(1/z2)
La densità di probabilità fZ(z) è in figura.
fZ(z)
(1/2)•(1/z2)
1/2
z
Si consideri ora la variabile aleatoria X definita dall’intero più vicino a Z. Essa è
una variabile aleatoria discreta, di cui calcoliamo la distribuzione di massa:
pX(x)=P[X=x]=P[x-1/2<z< x+1/2]=FZ(x+1/2)- FZ(x-1/2)= x-1/2
x+1/2
∫ fZ(z)dz
dove x appartenente agli interi e FZ(z) è la funzione distribuzione di probabilità
della variabile aleatoria Z.
Si ottiene:
per x<0, pX(x)=0.
1/2
1/2
per x=0, pX(0)= -1/2 ∫ fZ(z)dz=0 ∫(1/2)dz=1/4.
3/2
1
3/2
per x=1, pX(1)= 1/2 ∫ fZ(z)dz=1/2 ∫(½)dz + 1 ∫(½)(1/z2)dz=1/4 + 1/6 = 5/12
per x>1, pX(x)= x-1/2
x+1/2
x+1/2
∫ fZ(z)dz= x-1/2
∫ (½)(1/z2)dz=(½)[-1/z] x-1/2x+1/2=
=(½)[(-1)/(x+1/2)+ 1/(x-1/2)]= 1/(2x-1) - 1/(2x+1)
2
Calcoliamo ora la probabilità che X sia pari e la probabilità che X sia dispari.
∞
∞
P[X è pari] = pX(0) + ∑1 pX(2x) = pX(0) + ∑1 [1/(2(2x)-1) - 1/(2(2x)+1)]=
= 1/4 + [1/(4-1) - 1/(4+1) + 1/(8-1) - 1/(8+1) + 1/(12-1) - 1/(12+1) + 1/(16-1) 1/(16+1) + …]=
= 1/4 + [1/3 – 1/5 + 1/7 – 1/9 + 1/11 – 1/13 + 1/15 – 1/17 + …]
Ma, essendo
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + 1/17 …
si ottiene
1 - π/4 = 1/3 – 1/5 + 1/7 – 1/9 + 1/11 – 1/13 + 1/15 – 1/17 + …
Allora, si ha
P[W è pari] = 1/4 + 1 - π/4 = (5-π)/4
e
P[W è dispari] = 1 - P[W è pari] = 1- (5-π)/4 = (π-1)/4
In conclusione,
P[W è dispari] > P[W è pari]
FINE
Riferimento
[1]: Athanasios Papoulis, “Probability, Random Variables and Stochastic Processes”, 2nd
edition, 1984, McGraw-Hill, pages 136-137.
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