Lista di esercizi 2

UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA
Corso di Laurea in Biotecnologie
Corso di Statistica, anno 2010-11
P.Baldi
Lista di esercizi 2.
Esercizio 1 Si sa che in una schedina del totocalcio i tre simboli 1, X, 2 compaiono con
probabilità 0.46, 0.28 e 0.26 rispettivamente. Supponiamo inoltre che una colonna del
totocalcio riguardi 13 partite, com’era fino a poco tempo fa. Calcolare la probabilità che
nella schedina di domenica
a) il 2 compaia più (≥) di 4 volte;
b) il simbolo X non compaia mai;
c) i simboli 2 e X insieme compaiano 7 volte.
Esercizio 2 Una moneta equilibrata viene lanciata più volte. Qual è la probabilità che al
decimo lancio
a) si siano avute esattamente 5 teste ?
b) Si sia avuto testa almeno una volta?
c) Si siano avute esattamente testa esattamente una volta?
d) Si abbia testa per la prima volta al decimo lancio ?
Esercizio 3 Una fabbrica produce componenti elettronici. Questi escono da due linee di
produzione, A e B, nelle proporzioni del 30% e 70% rispettivamente. La linea A ha una
percentuale di pezzi difettosi del 10%, contro 17% per B.
a) Qual è la probabilità che un chip scelto a caso sia difettoso ?
b) I chip vengono venduti in confezioni di 10 pezzi, tutti prodotti dalla stessa linea.
Una di queste viene ispezionata e risulta contenere 1 pezzo difettoso. Qual è la probabilità
che essa provenga dalla linea A? Qual è la probabilità che provenga dalla linea B ? Quale
delle due eventualità è più probabile ?
Esercizio 4 100 palline sono distribuite a caso in 10 scatole.
a) Qual è la probabilità che la scatola n.1 contenga 10 palline?
b) Qual è la probabilità che le scatole n.1 e n.2 contengano insieme 25 palline?
c) Qual è la probabilità che la n.1 contenga 10 palline e la n.2 15?
Esercizio 5 Un’urna contiene 10 dadi di cui 1 truccato in modo da dare 1 con probabilità 21
1
(gli altri 9 dadi sono equilibrati). Dall’urna
e ognuno degli altri 5 risultati con probabilità 10
viene estratto un dado che è poi lanciato tre volte
a) Qual è la probabilità che i risultati siano due volte 1 e una volta un numero diverso
da 1 ?
b1) Qual è la probabilità che il dado sia truccato sapendo che i tre lanci hanno dato due
volte 1 e una volta un numero diverso da 1 ?
b2) Sapendo che i tre lanci hanno dato due volte 1 e una volta un numero diverso da 1,
è più probabile che si tratti di un dado truccato oppure di uno equilibrato?
Esercizio 6 Un dado viene lanciato successivamente più volte.
a) Qual è la probabilità che dopo n lanci non sia ancora comparso il numero 6 ?
b) Indichiamo con T il numero di lanci necessario per ottenere 6 per la prima volta.
b1) Quanto vale la probabilità P(T > n) (cioè che dopo n lanci il 6 non sia ancora
comparso) ?
b2) Qual è la probabilità P(T = n) (cioè che il 6 compaia per la prima volta esattamente
allo n-esimo lamcio)?
Soluzioni
Esercizio 1. a) Se supponiamo che i risultati delle singole partite siano indipendenti, il numero, Y , di 2 che compare in una colonna vincente seguirà una legge binomiale B(13, 0.26).
La probabilità richiesta è dunque
P(Y ≥ 4) =
13 X
13
k=4
k
0.26k 0.7413−k .
Per fare il calcolo numerico, conviene piuttosto calcolare 1 − P(Y ≤ 3), cioè
13
13
13
13
2
11
12
13
0.263 · 0.7410 = 0.45 .
0.26 · 0.74 −
0.26 · 0.74 −
0.74 −
1−
3
2
1
0
b) Il numero, Z, di X che compaiono nella schedina segue una legge B(13, 0.28).
Dunque la probabilità che il simbolo X non compaia mai è
P(Z = 0) = (1 − 0.28)13 = 0.014 .
c) Uno dei simboli 2 e X ha la probabilità di comparire in corrispondenza di una singola
partita con probabilità 0.26+0.28 = 0.54. Dunque, sempre assumendo che i singoli risultati
siano indipendenti, il numero di volte che uno di questi simboli compare nella schedina dei
risultati sarà una v.a. binomiale B(13, 0.54). La probabilità di 7 apparizioni sarà dunque
13
0.547 (1 − 0.54)6 = 0.218
7
Esercizio 2. Indichiamo con X il numero di T ottenuto nei primi 10 lanci. Sappiamo che
X segue una legge binomiale B(10, 21 ) (numero di apparizioni in una sequenza di prove
indipendenti). A partire da questa due osservazione la risposta alle questioni proposte è
immediata, tranne forseper la d).
1 10
a) P(X = 5) = 10
5 ( 2 ) = 0.246.
b) P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − ( 21 )10 = 0.999.
1 10
1 10
c) P(X = 1) = 10
1 ( 2 ) = 10( 2 ) = 0.01.
d) Se indichiamo con Xi l’esito dello i-esimo lancio, la probabilità richiesta è P(X1 =
C, X2 = C, . . . X9 = C, X10 = T ). Poiché gli eventi relativi agli esiti di lanci diversi sono
indipendenti, questa probabilità è uguale al prodotto
P(X1 = C)P(X2 = C) . . . P(X9 = C)P(X10 = T ) =
1
= 0.001 .
210
Esercizio 3. a) Indichiamo con A, B e C rispettivamente gli eventi ‘‘il pezzo proviene dalla
linea A’’, ‘‘proviene dalla linea B’’ e ‘‘il pezzo è difettoso’’. Il punto chiave è che i dati
del problema ci permettono di affermare che
P(A) = 0.3,
P(B) = 0.7,
P(C | A) = 0.1,
P(C | B) = 0.17 .
Inoltre gli eventi A e B costituiscono una partizione dell’evento certo (sono disgiunti e la
somma delle loro probabilità vale 1). Dunque per la formula delle probabilità totali
P(C) = P(C | A)P(A) + P(C | B)P(B) = 0.1 · 0.3 + 0.17 · 0.7 = 0.15 .
b) Se consideriamo una scatola contenente 10 pezzi provenienti dalla linea A, allora
ciascuno di essi può essere difettoso con probabilità 0.1. Possiamo inoltre supporre che
ogni pezzo sia difettoso oppure no indipendentemente dagli altri. Dunque il numero di
pezzi difettosi in una scatola di 10 proveniente dalla linea A si modellizza con una v.a. di
legge binomiale B(10, 0.1). Analogamente se la scatola proviene dalla linea B il numero
di pezzi difettosi seguirà una legge B(10, 0.17). Se ora indichiamo con C1 l’evento ‘‘nella
scatola vi è (esattamente) un pezzo difettoso’’, allora avremo
10
0.1 · 0.99 = 10 · 0.1 · 0.99 = 0.39
P(C1 | A) =
1
10
0.17 · 0.839 = 10 · 0.17 · 0.839 = 0.32 .
P(C1 | B) =
1
La probabilità che un pezzo difettoso provenga dalla linea A non è altro che la probabilità
condizionale P(A | C1 ). Per calcolarla si usa la formula di Bayes:
P(A | C1 ) =
P(C1 | A)P(A)
·
P(C1 )
Nella frazione a destra nella formula precedente conosciamo tutte le quantità che intervengono tranne P(C1 ). Il calcolo di questa probabilità è però facile, sempre usando la formula
delle probabilità totali:
P(C1 ) = P(C1 | A)P(A) + P(C1 | B)P(B) = 0.39 · 0.3 + 0.32 · 0.7 = 0.341 .
Dunque
P(A | C1 ) =
0.39 · 0.3
= 0.343 .
0.34
Allo stesso modo
P(B | C1 ) =
P(C1 | B)P(B)
0.32 · 0.7
=
= 0.657 .
P(C1 )
0.34
È quindi più probabile che la scatola provenga dalla linea B.
Esercizio 4. a) Poniamo
n
1
Xi =
0
se la i–esima pallina finisce nella scatola 1
altrimenti .
1
La probabilità che una singola pallina finisca nella scatola 1 vale 10
poiché, per come il
problema è posto, possiamo supporre che tutte le scatole abbiano la stessa probabilità di
1
1
e cioè Xi ∼ B(1, 10
). Inoltre le v.a. X1 , . . . , X100
essere scelte. Dunque P(Xi = 1) = 10
si possono supporre indipendenti.
Il numero di palline finite nella scatola 1 è dunque Y1 = X1 + . . . + X100 ; se ne ricava
1
)
che Y1 , numero di palline che sono finite nella scatola numero 1, è binomiale B(100, 10
per cui la probabilità richiesta vale
1 90
100 1 10 1−
= 0.13 .
P(Y1 = i) =
10
10
10
b) Indichiamo con Y il numero di palline che finiscono nella scatola 1 o nella 2. Ripe2
tendo gli argomenti precedenti Y1 è binomiale B(100, 10
) (ora la probabilità di finire nella
2
1
scatola 1 o nella 2 è 10 = 5 ). Dunque
100 1 4 75
P(Y = 25) =
= 0.04
25 525 5
c) Indichiamo con Y1 , Y2 , Y3 il numero di palline che finiscono rispettivamente nella
scatola 1, nella 2 e in una qualunque delle scatole dalle 3 alla 10. Allora la loro legge
1 1 4
, 10 , 5 rispettivamente. Quindi
congiunta è multinomiale di parametri 10
100! 1 10 1 15 4 75
.
P(Y1 = 10, Y2 = 15) =
10!15!75! 10
10
5
Esercizio 5. a) La probabilità di osservare 1 in un singolo lancio è 61 se il dado è equilibrato e
1
2 se il dado è truccato. Dunque il numero di uni in tre lanci sarà una v.a. di legge binomiale
B(3, 61 ) se il dado è equilibrato e B(3, 21 se è truccato. I dati del problema permettono quindi
di affermare che
9
1
,
P(B0 ) =
P(B1 ) =
10
10 3 1 2 1
5
3
1 25
3
=
= 0.07,
P(A | B1 ) =
= = 0.375 .
P(A | B0 ) =
2
6 6
72
2 2
8
2
Dunque
P(A) = P(A | B0 )P(B0 ) + P(A | B1 )P(B1 ) =
5 9
3 1
1
+
=
= 0.1 .
72 10 8 10
10
b1) Si tratta di calcolare P(B1 | A). La formula di Bayes dà subito
P(B1 | A) =
P(A | B1 )P(B1 )
3
= = 0.375 .
P(A)
8
b2) Poiché evidentemente P(B0 | A) = 1 − P(B1 | A) = 85 , è più probabile che si tratti
di un dado equilibrato.