esercitazione 2, 28 gennaio 2016

UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA
Corso di Laurea Magistrale in Scienze della Nutrizione Umana
Corso di Statistica Medica, anno 2015-16
P.Baldi
Lista di esercizi 2, 28 gennaio 2016.
Esercizio 1 Si sa che in una schedina del totocalcio i tre simboli 1, X, 2 compaiono con
probabilità 0.46, 0.28 e 0.26 rispettivamente. Supponiamo inoltre che una colonna del
totocalcio riguardi 13 partite, com’era fino a poco tempo fa e inoltre che i risultati delle
singole partite siano indipendenti. Calcolare la probabilità che nella schedina di domenica
a) il 2 compaia più (≥) di 4 volte;
b) il simbolo X non compaia mai;
c) i simboli 2 e X insieme compaiano 7 volte.
Esercizio 2 Una moneta equilibrata viene lanciata 8 volte.
a) Quale delle sequenze
TTTTTTTT
T T T T CCCC
T CT T CT CC
è più probabile ?
b) Rispondere alla stessa questione, supponendo ora che la moneta dia T con probabilità
p = 23 e C con probabilità 1 − p = 13 .
Esercizio 3 Una moneta equilibrata viene lanciata più volte. Qual è la probabilità che al
decimo lancio
a) si siano avute esattamente 5 teste ?
b) Si sia avuto testa almeno una volta ?
c) Si abbia testa per la prima volta al decimo lancio ?
Esercizio 4 Una fabbrica produce componenti elettronici. Questi escono da due linee di
produzione, A e B, nelle proporzioni del 30% e 70% rispettivamente. La linea A ha una
percentuale di pezzi difettosi del 10%, contro 17% per B.
a) Qual è la probabilità che un chip scelto a caso sia difettoso ?
b) I chip vengono venduti in confezioni di 10 pezzi, tutti prodotti dalla stessa linea.
Una di queste viene ispezionata.
b1) Qual è la probabilità che essa risulti contenere esattamente 1 pezzo difettoso ?
b2) Sapendo che essa contiene 1 pezzo difettoso, qual è la probabilità che essa provenga
dalla linea A ? Qual è la probabilità che provenga dalla linea B ? Quale delle due eventualità
è più probabile ?
Esercizio 5 100 palline sono distribuite a caso in 10 scatole.
a) Qual è la probabilità che la scatola n.1 contenga 10 palline ?
b) Qual è la probabilità che le scatole n.1 e n.2 contengano insieme 25 palline ?
c) Qual è la probabilità che la n.1 contenga 10 palline e la n.2 15 ?
Esercizio 6 Un’urna contiene 10 dadi di cui 1 truccato in modo da dare 1 con probabilità 21
1
e ognuno degli altri 5 risultati con probabilità 10
(gli altri 9 dadi sono equilibrati). Dall’urna
viene estratto un dado che è poi lanciato tre volte
a) Qual è la probabilità che i risultati siano due volte 1 e una volta un numero diverso
da 1 ?
b1) Qual è la probabilità che il dado sia truccato sapendo che i tre lanci hanno dato due
volte 1 e una volta un numero diverso da 1 ?
b2) Sapendo che i tre lanci hanno dato due volte 1 e una volta un numero diverso da 1,
è più probabile che si tratti di un dado truccato oppure di uno equilibrato ?
Esercizio 7 Un dado viene lanciato successivamente più volte.
a) Qual è la probabilità che dopo n lanci non sia ancora comparso il numero 6 ?
b) Indichiamo con T il numero di lanci necessario per ottenere 6 per la prima volta.
b1) Quanto vale la probabilità P(T > n) (cioè che dopo n lanci il 6 non sia ancora
comparso) ?
b2) Qual è la probabilità P(T = n) (cioè che il 6 compaia per la prima volta esattamente
allo n-esimo lamcio) ?
Esercizio 8 Si suppone che il numero di pazienti che manifestano in un anno una complicazione postoperatoria grave in seguito ad una data operazione chirurgica in un ospedale
segua una legge di Poisson di parametro λ = 1.
a) Qual è la probabilità che in quell’ospedale non ci sia nessun caso di complicazione
postoperatoria ?
b) Qual è la probabilità che ci siano piu‘ (≥) di 2 casi di complicazione postoperatoria ?
E più di 3 ? E più di 4 ?
Soluzioni
Esercizio 1. a) Se supponiamo che i risultati delle singole partite siano indipendenti, il numero, Y , di 2 che compare in una colonna vincente seguirà una legge binomiale B(13, 0.26).
La probabilità richiesta è dunque
P(Y ≥ 4) =
13 X
13
k=4
k
0.26k 0.7413−k .
Per fare il calcolo numerico, conviene piuttosto calcolare 1 − P(Y ≤ 3), cioè
13
13
13
13
13
12
2
11
0.74 −
1−
0.26 · 0.74 −
0.26 · 0.74 −
0.263 · 0.7410 = 0.45 .
0
1
2
3
b) Il numero, Z, di X che compaiono nella schedina segue una legge B(13, 0.28).
Dunque la probabilità che il simbolo X non compaia mai è
P(Z = 0) = (1 − 0.28)13 = 0.014 .
c) Uno dei simboli 2 e X ha la probabilità di comparire in corrispondenza di una singola
partita con probabilità 0.26+0.28 = 0.54. Dunque, sempre assumendo che i singoli risultati
siano indipendenti, il numero di volte che uno di questi simboli compare nella schedina dei
risultati sarà una v.a. binomiale B(13, 0.54). La probabilità di 7 apparizioni sarà dunque
13
0.547 (1 − 0.54)6 = 0.218
7
Esercizio 2. a) Poiché siamo in presenza di prove ripetute indipendenti gli eventi ‘‘esce
T al primo lancio’’, ‘‘esce T al secondo lancio lancio’’,. . . sono indipendenti. Dunque la
probabilità di avere T T T T T T T T sarà uguale alla probabilità di avere T al primo lancio
moltiplicata per la probabilità di avere T al secondo. . . , cioè
1 1 1 1 1 1 1 1
1
= 8 ·
|2 2 2 2{z2 2 2 2} 2
(8volte)
Ma anche la probabilità di avere C in un singolo lancio è uguale a 21 . Dunque, ripetendo
il ragionamento di prima, anche la probabilità di avere T T T T CCCC o T CT T CT CC
saranno uguali a 218 . In realtà tutte le possibili ‘‘ottine’’ sono equiprobabili.
b) Ora, sempre usando il fatto che i lanci sono indipendenti, la probabilità di una
sequenza di 8 T o C è uguale a p k (1 − p)8−k , dove k è il numero di T nella sequenza e
p =la probabilità di T . Dato che p = 23 > 1 − p = 31 , sono più probabili le sequenze con
più teste. La prima sequenza è la più probabile.
Esercizio 3. Indichiamo con X il numero di T ottenuto nei primi 10 lanci. Sappiamo che
X segue una legge binomiale B(10, 21 ) (numero di apparizioni in una sequenza di prove
indipendenti). A partire da questa due osservazione la risposta alle questioni proposte è
immediata, tranne forseper la d).
1 10
a) P(X = 5) = 10
5 ( 2 ) = 0.246.
b) P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − ( 21 )10 = 0.999.
c) Se indichiamo con Xi l’esito dello i-esimo lancio, la probabilità richiesta è P(X1 =
C, X2 = C, . . . X9 = C, X10 = T ). Poiché gli eventi relativi agli esiti di lanci diversi sono
indipendenti, questa probabilità è uguale al prodotto
P(X1 = C)P(X2 = C) . . . P(X9 = C)P(X10 = T ) =
1
= 0.001 .
210
Esercizio 4. a) Indichiamo con A, B e C rispettivamente gli eventi ‘‘il pezzo proviene dalla
linea A’’, ‘‘proviene dalla linea B’’ e ‘‘il pezzo è difettoso’’. Il punto chiave è che i dati
del problema ci permettono di affermare che
P(A) = 0.3,
P(B) = 0.7,
P(C | A) = 0.1,
P(C | B) = 0.17 .
Inoltre gli eventi A e B costituiscono una partizione dell’evento certo (sono disgiunti e la
somma delle loro probabilità vale 1). Dunque per la formula delle probabilità totali
P(C) = P(C | A)P(A) + P(C | B)P(B) = 0.1 · 0.3 + 0.17 · 0.7 = 0.15 .
b1) Se consideriamo una scatola contenente 10 pezzi provenienti dalla linea A, allora
ciascuno di essi può essere difettoso con probabilità 0.1. Possiamo inoltre supporre che
ogni pezzo sia difettoso oppure no indipendentemente dagli altri. Dunque il numero di
pezzi difettosi in una scatola di 10 proveniente dalla linea A si modellizza con una v.a. di
legge binomiale B(10, 0.1). Analogamente se la scatola proviene dalla linea B il numero
di pezzi difettosi seguirà una legge B(10, 0.17). Se ora indichiamo con C1 l’evento ‘‘nella
scatola vi è (esattamente) un pezzo difettoso’’, allora avremo
10
P(C1 | A) =
0.1 · 0.99 = 10 · 0.1 · 0.99 = 0.39
1
10
0.17 · 0.839 = 10 · 0.17 · 0.839 = 0.32 .
P(C1 | B) =
1
Usando la formula delle probabilità totali abbiamo
P(C1 ) = P(C1 | A)P(A) + P(C1 | B)P(B) = 0.39 · 0.3 + 0.32 · 0.7 = 0.341 .
b2) La probabilità che la scatola con un solo pezzo difettoso provenga dalla linea A non
è altro che la probabilità condizionale P(A | C1 ). Per calcolarla si usa la formula di Bayes:
P(A | C1 ) =
P(C1 | A)P(A)
0.39 · 0.3
=
= 0.343 .
P(C1 )
0.34
P(B | C1 ) =
0.32 · 0.7
P(C1 | B)P(B)
=
= 0.657 .
P(C1 )
0.34
Allo stesso modo
È quindi più probabile che la scatola provenga dalla linea B.
Esercizio 5. a) Poniamo
Xi =
n
1
0
se la i–esima pallina finisce nella scatola 1
altrimenti .
1
poiché, per come il
La probabilità che una singola pallina finisca nella scatola 1 vale 10
problema è posto, possiamo supporre che tutte le scatole abbiano la stessa probabilità di
1
1
e cioè Xi ∼ B(1, 10
). Inoltre le v.a. X1 , . . . , X100
essere scelte. Dunque P(Xi = 1) = 10
si possono supporre indipendenti.
Il numero di palline finite nella scatola 1 è dunque Y1 = X1 + . . . + X100 ; se ne ricava
1
che Y1 , numero di palline che sono finite nella scatola numero 1, è binomiale B(100, 10
)
per cui la probabilità richiesta vale
100 1 10 1 90
= 0.13 .
1−
P(Y1 = 10) =
10
10
10
b) Indichiamo con Y il numero di palline che finiscono nella scatola 1 o nella 2. Ripe2
tendo gli argomenti precedenti Y1 è binomiale B(100, 10
) (ora la probabilità di finire nella
2
scatola 1 o nella 2 è 10
= 15 ). Dunque
100 1 4 75
= 0.04
P(Y = 25) =
25 525 5
c) Indichiamo con Y1 , Y2 , Y3 il numero di palline che finiscono rispettivamente nella
scatola 1, nella 2 e in una qualunque delle scatole dalle 3 alla 10. Allora la loro legge
1 1 4
congiunta è multinomiale di parametri 10
, 10 , 5 rispettivamente. Quindi
100! 1 10 1 15 4 75
.
P(Y1 = 10, Y2 = 15) =
10!15!75! 10
10
5
Esercizio 6. a) La probabilità di osservare 1 in un singolo lancio è 16 se il dado è equilibrato e
1
2 se il dado è truccato. Dunque il numero di uni in tre lanci sarà una v.a. di legge binomiale
B(3, 16 ) se il dado è equilibrato e B(3, 21 ) se è truccato. Indichiamo con B0 l’evento ‘‘il
dado prescelto è equilibrato’’ e con B1 l’evento ‘‘il dado prescelto è truccato’’. I dati del
problema permettono quindi di affermare che
P(B0 ) =
9
,
10
5
3
1 25
P(A | B0 ) =
=
= 0.07,
6 6
72
2
1
10 3
3 1 2 1
P(A | B1 ) =
= = 0.375 .
2 2
8
2
P(B1 ) =
Dunque
P(A) = P(A | B0 )P(B0 ) + P(A | B1 )P(B1 ) =
3 1
1
5 9
+
=
= 0.1 .
72 10 8 10
10
b1) Si tratta di calcolare P(B1 | A). La formula di Bayes dà subito
P(B1 | A) =
3
P(A | B1 )P(B1 )
= = 0.375 .
P(A)
8
b2) Poiché evidentemente P(B0 | A) = 1 − P(B1 | A) = 58 , è più probabile che si tratti
di un dado equilibrato.
Esercizio 8. Si tratta di applicare le formule della legge di Poisson.
a) La probabilità che una v.a. di Poisson di parametro λ = 1 prenda il valore 0 è
e
−1 1
0
0!
= e−1 = 0.368 = 36.8%
b) La probabilità di osservare 2 casi o più è uguale a 1 meno la probabilità di osservarne
0 oppure 1, dunque
1 − e−1
10
11
− e−1 = 1 − 2e−1 = 0.264 = 26.4% .
0!
1!
La probabilità di osservare 3 casi o più è uguale a 1 meno la probabilità di osservarne 0
oppure 1 oppure 2, cioè
1 − e−1
10
11
12
− e−1 − e−1
= 1 − 2.5e−1 = 0.08 = 8.0% .
0!
1!
2!
Infine per 4, tenendo conto che 3! = 6,
1 − e−1
10
11
12
13
− e−1 − e−1 − e−1 = 0.019 = 1.9% .
0!
1!
2!
3!