MATEMATICA GENERALE (M-Z)

MATEMATICA GENERALE (M-Z)
prof. Gianna Figà-Talamanca
Argomenti svolti durante le lezioni e le esercitazioni – a.a. 2016-2017
sett
data
ore
tipo
argomento
I
12-09
2
LP
Presentazione e introduzione al corso. Modalità di organizzazione del corso e regole per il superamento
dell'esame. La matematica come metodo e come strumento. Assiomi e teoremi. Il metodo ipotetico
deduttivo. Modellizzazione e formalizzazione di contratti.
13-09
2
LP
Tenuta dal Prof. Pagliacci
Notazioni e operazioni tra insiemi. Unione e intersezione tra insiemi Differenza tra insiemi e prodotto
cartesiano. Insiemi di numeri: i numeri naturali e la loro struttura algebrica.
14-09
2
LP
Tenuta dal Prof. Pagliacci
I numeri interi e razionali e reali e la loro struttura algebrica. Insiemi densi e completi. Q e denso, R è
completo. Sottoinsiemi di R: intervalli e semirette. L'asse reale e il piano cartesiano.
19-09
2
L
Tenuta dal Prof. Pagliacci
Il concetto di funzione reale di variabile reale. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Il grafico di una
funzione per punti. Esempi
20-09
2
L
22-09
2
L
22-09
2
L
26-09
2
L
27-09
2
L
29-09
2
L
29-09
2
E
Simmetrie rispetto a un punto e rispetto a una retta. Funzioni pari e dispari . Esempi. La funzione valore
assoluto e proprietà. Traslate della funzione valore assoluto. Dal grafico di f(x) a quello di –f(x) e di |f(x)|.
Le funzioni cubiche. Funzioni cubiche (caso particolare). Traslazioni verticali e orizzontali. Funzioni
polinomiali e Richiami su Teorema fondamentale dell’algebra. Le funzioni del tipo a/x (iperbole) e loro
traslate.
Rapporto di polinomi di primo grado come traslazione di una funzione a/x (nei dettagli). Esempi di
applicazione.
Esercizi su traslazioni e studio del segno per funzioni quadratiche, cubiche, valore assoluto e del tipo a/x.
3-10
2
L
Funzioni irrazionali. Radice aritmetica. Sue traslate e studio del segno. Disequazioni irrazionali. Esempi
4-10
2
L
5-10
2
SD
Funzioni del tipo x^α . Funzioni esponenziali e traslate. Studio del segno e disequazioni esponenziali.
Esempi.
Il logaritmo come soluzione di una equazione esponenziale.
Esercizi si traslazioni di funzioni
6-10
2
L
6-10
2
E
10-10
2
L
11-10
2
L
12-10
2
SD
13-10
2
L
13-10
2
E
17-10
2
L
18-10
2
L
19-10
2
SD
20-10
2
L
20-10
2
E
II
III
IV
V
VI
Le funzioni lineari. Rappresentazione grafica e studio degli zeri e del segno (equazioni e disequazioni di
primo grado) come soluzione a “quesiti rilevanti”. Traslazioni verticali del grafico di una funzione lineare e
di una funzione qualsiasi. Esempi su traslazioni del grafico di una funzione verso l’alto e verso il basso.
Traslazioni del grafico di una funzione a destra e a sinistra. Funzioni Quadratiche elementari. Traslazioni
verticali e orizzontali. Studio degli zeri e del segno delle funzioni quadratiche a partire dal grafico.
Una generica funzione quadratica come traslata di una parabola con vertice nell’origine e derivazione
formula risolutiva eq. II grado. Studio degli zero e del segno delle funzioni quadratiche e le relative
equazioni e disequazioni di secondo grado.
Logaritmo e proprietà. La funzione logaritmo e le sue traslate Studio del segno e disequazioni logaritmiche.
Successioni. Dominio e codominio Esempi.
Esercizi su traslate di funzioni elementari
Funzioni composte. Funzione invertibile e funzione inversa. Rappresentazione grafica di f^-1 a partire dal
grafico di f. Particolari composizioni di funzione. Dal grafico di f(x) al grafico di f(|x|).
Minorante, maggiorante, Estremo inferiore e Superiore, Massimo e minimo di un insieme. Insieme limitato
inferiormente, superiormente e insieme limitato. Funzione limitata superiormente/inferiormente e funzione
limitata. Punto di accumulazione e isolato per un insieme A.
Prova intermedia 2015
Il concetto di limite. Definizione di limite di una funzione per x che tende ad un punto di accumulzione x0
del dominio della funzione stessa o per x che tende a ±∞
Esercizi sui limiti di funzioni
Limite di somma, prodotto, quoziente di funzioni e del prodotto di una funzione per un scalare. Forme
indeterminate. Limiti della composizione di una funzione con la funzione radice, esponenziale e logaritmo.
Esempi di calcolo del limite di una funzione e verifica in base alla definizione formale.
Limite di una successione per n
+∞.
Esercizi sui limiti. Limite della funzione f(x)g(x).
Limite di successioni geometriche al variare della ragione. Esercizi sui limiti di funzioni e di successioni.
Definizione di infinito ed infinitesimo per x
x0 punto di accumulazione per il dominio della funzione e per
x
+/- ∞ .Soluzione di alcune forme indeterminate.
Esercizi sui limiti e riepilogo.
VII
VIII
IX
X
XI
24/10
2
L
Teorema di cancellazione per infiniti simultanei (con dim.). Teorema di sostituzione per infinitesimi
simultanei (con. dim.). Esempi.
25/10
2
E
Esercizi riepilogo prova intermedia
26/10
2
SD
Esercizi riepilogo prova intermedia
27/10
2
L
Non tenuta causa chiusura Dipartimento- Terremoto
27/10
2
E
Non tenuta causa chiusura Dipartimento- Terremoto
07/11
2
L
08/11
2
L
09/11
2
SD
Funzione derivabile in un punto ed in un insieme. Interpretazione geometrica della derivata. Derivata
destra, derivata sinistra in un punto.
Punti di non derivabilità: punti angolosi, cuspide, flesso a tangente verticale. Algebra delle derivate.
Dimostrazione che una funzione derivabile è continua (non vale il viceversa).
Svolgimento prova intermedia
10/11
2
L
10/11
2
E
14/11
2
L
15/11
2
L
16/11
2
SD+L
17/11
2
E
17/11
2
L
21/11
2
L
22/11
2
L
23/11
2
SD
24/11
2
L
24/11
2
E
28/11
2
L
29/11
2
L
30/11
2
E
1/12
2
L
1/12
2
SD
Legenda
tipo
Derivate funzioni elementari: x^α , log(x), e^x. Calcolo mediante utilizzo di limiti notevoli. Derivata funzioni
composte. Esempi
Esercizi sulle derivate.
Teorema di Lagrange con interpretazione geometrica. Teorema di Rolle (con dim.). Dimostrazione che una
funzione che abbia derivata nulla in un intervallo è costante in quell'intervallo . Teorema di Fermat (con
dimostrazione)
Test per la monotonia (con dim.) . Teorema di de L'Hospital e applicazioni (caso ordine infinito della
funzione esponenziale e logaritmica). Derivate di ordine superiore al I.
Esercizi sul calcolo derivate. derivate di logax e di ax. Elasticità: definzione e proprietà
Insieme convesso di R2. Esempi. Epigrafico di una funzione. Funzione convessa,; funzione concava.
Cambio di concavità/convessità e punti di flesso per una funzione. Proprietà equivalenti alla
convessità/concavità in caso di funzioni derivabili una o due volte e Test per la convessità. Esempi.
Esercizi su studio di una funzione.
Funzioni differenziabili in un punto. Dimostrazione dell'equivalenza tra derivabilità e differenziabilità in un
punto per funzioni di una variabile reale. Interpretazione geometrica .
Il differenziale di una funzione e approssimazione lineare/polinomiale del valore in un punto. Formula di
Taylor. Approssimazione polinomiale del valore di una di una funzione in un punto. La formula di Mc
Laurin. Esempi.
Esercizi su studio di funzione e formula di Taylor
Definizione di Primitiva di una funzione. Dimostrazione che due primitive di una stessa funzione
differiscono per una costante. Primitive per unzioni elementari. L'integrale indefinito e proprietà- Metodo di
soluzione di un integrale per sostituzione. Integrazione per parti.
Esercizi su studio di funzione completo e formula di Taylor
Calcolo di un integrale con il metodo per parti (con dim). Esempi di applicazione. Definizione di integrale
definito: area sottesa dal grafico di una funzione e sua approssimazione dal basso e dall’alto con aree di
rettangoli. Esistenza dell’integrale definito. Proprietà dell’integrale definito
Integrale e Area con Segno. Il Teorema della media (con dim.). La funzione integrale, definizione, Il
Teorema di Torricelli-Barrow (con dim). Il teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim.)
Esercizi su integrali indefiniti e definiti.
. L’integrale di una funzione del tipo f(x)=(ax+b)/(cx+d). Altri esempi. Definizione di vettore di R^n.
Esempi. Vettori fondamentali.
Esercizi su integrali e integrali definiti. Calcolo aree. Esempi di come si possa risalire al grafico di f dal
grafico della sua funzione derivata f'.
LP: lezione propedeutica, L: lezione, .E: esercitazione, SD: attività di supporto alla didattica.