programma dettagliato

MATEMATICA GENERALE (M-Z)
prof. Gianna Figà-Talamanca
Argomenti svolti durante le lezioni e le esercitazioni – a.a. 2015-2016
sett
I
II
III
IV
V
VI
VII
data
14-09
ore
2
tipo
15-09
2
LP
Tenuta dal Prof. Pagliacci
Notazioni e operazioni tra insiemi. Unione e intersezione tra insiemi Differenza tra insiemi e prodotto cartesiano.
Insiemi di numeri: i numeri naturali e la loro struttura algebrica.
16-09
2
LP
Tenuta dal Prof. Pagliacci
I numeri interi e razionali e reali e la loro struttura algebrica. Insiemi densi e completi. Q e denso, R è completo.
Sottoinsiemi di R: intervalli e semirette. L'asse reale e il piano cartesiano.
17-09
2
LP
Tenuta dal Prof. Pagliacci
Il concetto di funzione reale di variabile reale. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Il grafico di una funzione per
punti.
22-09
2
L
23-09
2
L
23-09
2
L
24-09
0
Una generica funzione quadratica come traslata di una parabola con vertice nell’origine e derivazione formula
risolutiva eq. II grado. La funzione valore assoluto di un numero reale.
Annullata, da recuperare
29-09
2
L
Le funzioni cubiche. Funzioni cubiche (caso particolare). Traslazioni verticali e orizzontali. Funzioni polinomiali e
Richiami su Teorema fondamentale dell’algebra.
Esercizi su traslazioni verticali e orizzontali di funzione quadratiche, cubiche. Studio del segno.
30-09
2
L
30-09
2
L
01-10
2
L
Simmetrie rispetto a un punto e rispetto a una retta. Funzioni pari e dispari . Esempi. La funzione valore assoluto e
proprietà. Traslate della funzione valore assoluto.
Dal grafico di f(x) a quello di –f(x) e di |f(x)|. Le funzioni del tipo a/x e le sue traslazioni verticali e orizzontali; studio
dei zeri e segno.
Rapporto di polinomi di primo grado come traslazione di una funzione a/x (nei dettagli). Esempi di applicazione.
06-10
2
L
07-10
2
E
07-10
2
L
08-10
2
L
13-10
2
L
14-10
2
L
14-10
2
E
15-10
2
L
19-10
2
L
20-10
2
L
20-10
2
SD
21-10
2
L+E
21-10
2
L+E
22-10
2
L
27-10
2
L
LP
Argomento
Presentazione e introduzione al corso. Modalità di organizzazione del corso e regole per il superamento
dell'esame. La matematica come metodo e come strumento. Assiomi e teoremi. Il metodo ipotetico deduttivo.
Modellazione e formalizzazione di contratti.
Tenuta dal Prof. Pagliacci
Le funzioni lineari. Rappresentazione grafica e studio degli zeri e del segno (equazioni e disequazioni di primo
grado) come soluzione a “quesiti rilevanti”. Traslazioni verticali del grafico di una funzione lineare e di una
funzione qualsiasi. Esempi su traslazioni del grafico di una funzione verso l’alto e verso il basso.
Funzioni Quadratiche (casi particolari). Studio degli zeri e del segno delle funzioni quadratiche e le relative
equazioni e disequazioni di secondo grado. Traslazioni del grafico di una funzione a destra e a sinistra.
Funzioni irrazionali e loro traslate. Dominio e studio del segno. Equazioni e disequazioni irrazionali. Funzioni
composte. Esempi. Funzioni invertibili. Funzione inversa e sua rappresentazione grafica.
Esercizi sulla ricerca di dominio zeri e segno di una funzione. Traslazioni di funzioni elementari e grafico di f, -f, |f|
e f(||). Esercizi su rappresentazione grafica funzione inversa.
Funzioni esponenziali e loro traslate. Dominio e studio del segno. Soluzione di equazioni esponenziali. Il logaritmo
e le sue proprietà.
Il logaritmo e le sue proprietà (con dim.) . Formula di cambiamento della base (con dim.). La funzione logaritmica
e le sue traslazioni. Dominio e studio del segno. (equazioni e disequazioni logaritmiche). Esempi.
Minoranti e maggioranti per un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore di un insieme. Massimo e minimo
per un insieme. Insieme limitato (inferiormente, superiormente). Funzione limitata (inferiormente, superiormente)
Esempi
Funzioni monotone: crescenti, non crescenti, decrescenti, non crescenti. Esempi. Punto di massimo e di minimo
globale/assoluto per una funzione. Intorno di un punto. Punto di massimo e minimo locale/relativo di una funzione.
Esercizi su ricerca del dominio, zeri e segno di una funzione. Esercizi teorici su invertibilità di funzioni.
Successioni. Esempi di successioni. Il Codominio di una successione. Rappresentazione grafica di una
successione. Successioni geometriche. Successioni limitate. Punti isolati, interni e d accumulazione per un
insieme A.
Limite di una funzione f per x
x0 punto d accumulazione per il dominio della funzione e per x
+/- ∞ .
Definizioni formali. Limite finito e limite infinito. Limite di somma, prodotto, quoziente di funzioni e del prodotto di
una funzione per un scalare. Forme infeerminate. Limiti della composizione di una funzione con la funzione radice,
esponenziale e logaritmo.
Limite della funzione f(x)g(x). Esempi di calcolo del limite di una funzione e verifica in base alla definizione formale.
Limite di una successione per n
+∞.
Supporto alla Didattica: Svolgimento esercitazione assegnata su e-learning.
Limite di successioni geometriche al variare della ragione. Esercizi sui limiti di funzioni e di successioni. Soluzione
di alcune forme indeterminate.
Ancora sui limiti di funzioni e di successioni. Definizione di infinito ed infinitesimo per x
x0 punto di
accumulazione per il dominio della funzione e per x
+/- ∞ .
Teorema di cancellazione per infiniti simultanei (con dim.). Teorema di sostituzione per infinitesimi simultanei (con.
dim.). Esempi.
Funzioni continue in un punto x0. Discontinuità: salto di ampiezza finita (I specie), salto di ampiezza infinita (II
specie), discontinuità di III specie (eliminabile). Esempi.
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
27/10
2
SD
Svolgimento esercitazione assegnata su e-learning.
28/10
2
L
28/10
2
E
Teorema degli zeri, Teorema dei valori intermedi di Darboux (con. dim.). Teorema di Weiestrass per funzioni
definite in un intervallo chiuso. Monotonia, continuità e inversa di una funzione.
Esercizi su infiniti e infinitesimi. Esercizi sulle funzioni continue/discontinue.
29/10
2
E
Esercizi di riepilogo sulla I parte del corso.
10/11
2
L
10/11
2
SD
Funzione derivabile in un punto ed in un insieme. Interpretazione geometrica della derivata. Derivata destra,
derivata sinistra in un punto.
Svolgimento prova intermedia
11/11
2
L
11/11
2
E
17/11
2
L
17/11
2
SD
18/11
2
L
18/11
2
E
19/11
2
L
24/11
2
L
24/11
2
SD
25/11
2
L
25/11
2
E
26/11
2
L
1/12
2
L
1/12
2
SD
2/12
2
L
2/12
2
E
3/12
2
L
9/12
L
9/12
L
10/12
SD
10/12
L
15/12
L
15/12
SD
16/12
L
16/12
L
17/12
E
17/12
L
Legenda
tipo
Punti di non derivabilità: punti angolosi, cuspide, flesso a tangente verticale. Algebra delle derivate. Dimostrazione
che una funzione derivabile è continua (non vale il viceversa).
Derivate funzioni elementari: xα , log(x), ex. Calcolo mediante utilizzo di limiti notevoli. Derivata funzioni composte.
Esercizi.
Teorema di Lagrange con interpretazione geometrica. Teorema di Rolle (con dim.). Dimostrazione che una
funzione che abbia derivata nulla in un intervallo è costante in quell'intervallo
Esercizi sul calcolo derivate. derivate di logax e di ax.
Test per la monotonia (con dim.) . Teorema di de L'Hospital e applicazioni (caso ordine infinito della funzione
esponenziale e logaritmica). Derivate di ordine superiore al I.
Esercizi sullo studio di funzioni (Test per monotonia)
Insieme convesso di R2. Esempi. Epigrafico di una funzione. Funzione convessa,; funzione concava. Cambio di
concavità/convessità e punti di flesso per una funzione. Proprietà equivalenti alla convessità/concavità in caso di
funzioni derivabili una o due volte e Test per la convessità. Esempi.
Funzioni differenziabili in un punto. Dimostrazione dell'equivalenza tra derivabilità e differenziabilità in un punto
per funzioni di una variabile reale. Interpretazione geometrica .
Esercizi assegnati tramite e-learning
Il differenziale di una funzione e approssimazione lineare/polinomiale del valore in un punto. Formula di Taylor.
Approssimazione polinomiale del valore di una di una funzione in un punto. Esempi di applicazione.
La formula di Mc Laurin. Esempi. Esercizi su studio di funzione completo e sulla formula di Taylor. Esercizi teorici.
Definizione di Primitiva di una funzione. Dimostrazione che due primitive di una stessa funzione differiscono per
una costante. Primitive per unzioni elementari. L'integrale indefinito e proprietà- Metodo di soluzione di un
integrale per sostituzione.
Calcolo di un integrale con il metodo per parti (con dim). Esempi di applicazione. L’integrale di una funzione del
tipo f(x)=(ax+b)/(cx+d). Definizione di integrale definito: area sottesa dal grafico di una funzione e sua
approssimazione dal basso e dall’alto con aree di rettangoli. Esistenza dell’integrale definito. Proprietà
dell’integrale definito
Esercizi su integrali indefiniti. Studi di funzione completi
Integrale e Area con Segno. Il Teorema della media (con dim.). La funzione integrale, definizione, Il Teorema di
Torricelli-Barrow (con dim). Il teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim.)
Applicazione Teorema fondamentale calcolo integrale. Esempi di calcolo di integrali definiti e di Aree
Definizione di vettore di R^n. Somma tra vettori e proprietà. R^n come spazio vettoriale rispetto alle due
operazioni menzionate. Sottospazio vettoriale. Base e dimensione di un sottospazio vettoriale di R^n. Prodotto tra
uno scalare e un vettore e proprietà. Interpretazione grafica della somma e del prodotto per una scalare per vettori
di R^2. Combinazioni lineari di vettori.
Dipendenza e indipendenza lineare tra vettori di R^n. Definizione ed esempi.
Interpretazione grafica della relazione di dipendenza lineare tra vettori di R^2.
Sottospazio vettoriale. Spazio delle combinazioni lineari. Generatori di uno spazio. Base e dimensione di un
sottospazio vettoriale di R^n. Prodotto scalare tra vettori di R^n. Esempi.
Esercizi su studio di funzioni e integrali.
Prodotto scalare tra vettori di R^n. Esempi. Matrici m x n. Definizione e rappresentazione. Matrice trasposta.
Matrice quadrata. Matrice simmetrica. Matrice diagonale. Matrice triangolare inferiore e superiore.
Operazioni tra matrici. Somma e prodotto per uno scalare. Proprietà. Prodotto tra matrici (riga per colonna):
condizioni per l'esistenza. Prodotto tra matrici quadrate di dimensione n. Proprietà. La matrice identica In. Matrice
invertibile.
Esercizi di riepilogo
LP: lezione propedeutica, L: lezione, .E: esercitazione, SD: attività di supporto alla didattica.