file - Dipartimento di Matematica

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C.d.L. in Informatica
Analisi matematica
Corso B – prof. Lorenzo Pisani
Programma dettagliato – A.A. 2003/04
Insiemi e funzioni
Insiemi, appartenenza ad un insieme; sottoinsiemi; operazioni tra insiemi. Funzioni tra due insiemi;
immagine diretta; codominio; funzione identica; funzioni ingettive e surgettive; funzione composta;
funzioni invertibili; procedure di restrizione per considerare una funzione invertibile.
Insiemi numerici
Corpo ordinato dei numeri reali. Proprietà dedotte dagli assiomi. Sottocorpo dei razionali. Assioma
di completezza. Rappresentazione decimale. Retta reale, intervalli. Piano cartesiano. Potenze ad
esponente intero e relative proprietà formali.
Funzioni reali di variabile reale
Rappresentazione cartesiana del grafico. Algebra delle funzioni. Simmetria e periodicità. Funzioni
limitate, minimi e massimi assoluti, estremo inferiore e superiore. Funzioni monotone. Funzioni
convesse (in un intervallo). Funzioni elementari (potenze e radici, proprietà delle potenze, potenze
ad esponente reale, esponenziali e logaritmi, funzioni circolari con le rispettive inverse). Valore
assoluto. Trasformazioni elementari dei grafici. Disequazioni relative alle funzioni elementari.
Successioni
Generalità. Cenni sulle definizioni per ricorrenza. Definizione di limite (finito ed infinito).
Successioni regolari e non. Successioni monotone (con dimostrazione parziale); il numero di
Nepero; progressione geometrica. Teoremi di confronto (con dimostrazione), divergenza e
convergenza obbligata (con dimostrazione).
Limiti e continuità per funzioni di una variabile
Retta ampliata. Punti di accumulazione. Definizione sequenziale di limite (finito ed infinito) per le
funzioni. Continuità in un punto. Asintoti verticali ed orizzontali. Carattere locale del limite. Limite
unilaterale; regolarità delle funzioni monotone. Teoremi sui limiti. Calcolo dei limiti:
comportamento rispetto alle operazioni, forme indeterminate, limite della funzione composta,
equivalenze asintotiche tra infinitesimi, limiti notevoli. Funzioni continue in un intervallo: teorema
degli zeri e applicazioni alla risoluzione qualitativa di equazioni; teorema di Weierstrass.
Serie numeriche
Serie numeriche. Esempi di calcolo delle somme parziali: serie geometrica e serie telescopiche.
Condizione necessaria per la convergenza (con dimostrazione). Serie a termini non negativi:
regolarità, criteri di confronto, di confronto asintotico, del rapporto (con cenno di dimostrazione),
degli infinitesimi. Serie armonica generalizzata. Serie a segno alterno. Serie a termini di segno
variabile; assoluta convergenza.
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Rapporto incrementale, derivata. Esempi. Continuità delle funzioni derivabili (con dimostrazione).
Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Retta tangente e cenni sul differenziale. Derivate
delle funzioni elementari. Algebra delle derivate. Derivata della funzione composta e della funzione
inversa (con cenno di dimostrazione). Massimi e minimi locali; teorema di Fermat (con
dimostrazione), punti stazionari.
Lemma di Rolle (con dimostrazione); teorema del valor medio di Lagrange (con dimostrazione).
Caratterizzazione delle funzioni costanti su intervallo (con dimostrazione); controesempi.
Caratterizzazione delle funzioni monotone su un intervallo (con dimostrazione); controesempi.
Derivata seconda; interpretazione grafica. Caratterizzazioni delle funzioni convesse (tramite la
derivata prima e tramite la derivata seconda). Studio del grafico di una funzione.
Teorema di de l’Hospital. Approssimazione locale con i polinomi di Taylor (con dimostrazione nel
caso del II ordine); valutazione del resto secondo Lagrange; cenni sulle serie di Taylor.
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
Primitive ed integrale indefinito. Struttura dell’integrale indefinito su un intervallo (con
dimostrazione). Integrali indefiniti immediati, per scomposizione, per sostituzione, per parti.
Integrazione indefinita delle funzioni razionali.
Somme inferiori e superiori di una funzione limitata. Integrabilità secondo Riemann ed integrale di
Riemann; esempi. Classi di funzioni integrabili (monotone, continue, continue quasi ovunque).
Linearità e additività rispetto al dominio. Proprietà dell’integrale di Riemann: teorema della media,
positività, confronto; continuità rispetto al dominio.
Integrale definito e relative proprietà. Funzione integrale e teorema fondamentale del Calcolo:
esistenza di primitive (con dimostrazione). Formula fondamentale del Calcolo (con dimostrazione).
Cenni sull’integrazione approssimata.
Integrali impropri: funzioni non limitate e/o intervalli illimitati. Esistenza dell’integrale per funzioni
positive (con dimostrazione). Criteri di integrabilità per funzioni a segno costante e non. Criterio
dell’integrale per le serie numeriche; applicazione alla stima della somma.
Testi consigliati
P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi matematica uno, Liguori.
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di matematica, I volume, parti I e II, Liguori.
Appunti del corso, disponibili online.
Per l’impostazione del calcolo integrale si consiglia di seguire gli appunti del corso.
Gli studenti al primo approccio con questa disciplina potranno trovare utile consultare anche il
seguente testo, di tradizione anglosassone, comprensivo anche di esercizi: J. Steward, Calcolo Funzioni di una variabile, Apogeo.
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