file - Dipartimento di Matematica

C.d.L. in Informatica
Analisi matematica
Corso B – prof. Lorenzo Pisani
Programma dettagliato – A.A. 2004/05
Insiemi numerici
Campo ordinato dei numeri reali. Regole di calcolo dedotte dagli assiomi. Assioma di completezza.
Sottocampo dei razionali. Rappresentazione e manipolazione di numeri. Retta reale, intervalli.
Piano cartesiano. Potenze ad esponente intero e relative proprietà formali.
Funzioni reali di variabile reale
Rappresentazione del grafico nel piano cartesiano. Algebra delle funzioni. Simmetria e periodicità.
Funzioni limitate, minimi e massimi assoluti, estremo inferiore e superiore. Funzioni monotone.
Funzioni convesse (in un intervallo). Funzioni elementari (potenze e radici, potenze ad esponente
reale, esponenziali e logaritmi, funzioni circolari con le rispettive inverse). Valore assoluto.
Trasformazioni elementari dei grafici. Disequazioni relative alle funzioni elementari.
Successioni
Generalità. Cenni sulle definizioni per ricorrenza. Definizione di limite (finito ed infinito).
Successioni regolari e non. Successioni monotone (dimostrazione parziale della regolarità); il
numero di Nepero; progressione geometrica. Teoremi di confronto (con dimostrazione), divergenza
e convergenza obbligata (con dimostrazione).
Limiti e continuità per funzioni di una variabile
Retta ampliata. Intorni. Punti di accumulazione. Definizione sequenziale di limite (finito ed infinito)
per le funzioni. Continuità in un punto. Asintoti verticali ed orizzontali. Carattere locale del limite.
Limite unilaterale; regolarità delle funzioni monotone. Teoremi sui limiti. Calcolo dei limiti:
comportamento rispetto alle operazioni, forme indeterminate, limite della funzione composta.
Equivalenze asintotiche tra infinitesimi, limiti notevoli. Classificazione della crescita all’infinito.
Punti di salto. Funzioni continue in un intervallo: teorema di Weierstrass; teorema degli zeri e
applicazioni alla risoluzione qualitativa di equazioni.
Serie numeriche
Serie numeriche. Esempi di calcolo delle somme parziali: serie geometrica e serie telescopiche.
Condizione necessaria per la convergenza (con dimostrazione). Serie a termini non negativi:
regolarità, criteri di confronto e di confronto asintotico, criterio del rapporto (con cenno di
dimostrazione), serie armonica generalizzata, criterio degli infinitesimi. Serie a termini di segno
variabile: assoluta convergenza (con dimostrazione); criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno.
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Rapporto incrementale, derivata. Esempi. Continuità delle funzioni derivabili (con dimostrazione).
Retta tangente e cenni sul differenziale. Flessi a tangente verticale, cuspidi, punti angolosi. Derivate
delle funzioni elementari. Algebra delle derivate. Derivata della funzione composta e della funzione
inversa (con cenno di dimostrazione). Massimi e minimi locali; teorema di Fermat (con
dimostrazione), punti stazionari.
Lemma di Rolle (con dimostrazione); teorema del valor medio di Lagrange (con dimostrazione).
Caratterizzazione delle funzioni costanti su intervallo (con dimostrazione); controesempi.
Caratterizzazione delle funzioni monotone su un intervallo (con dimostrazione); controesempi.
Teorema di de l’Hospital.
Derivata seconda; interpretazione grafica. Condizione sufficiente per punti di estremo locale (con
dimostrazione). Caratterizzazioni delle funzioni convesse (tramite la derivata prima e tramite la
derivata seconda).
Studio del grafico di una funzione.
Approssimazione locale con i polinomi di Taylor (con dimostrazione nel caso del II ordine);
valutazione del resto secondo Lagrange; cenni sulle serie di Taylor.
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
Primitive ed integrale indefinito. Struttura dell’integrale indefinito su un intervallo (con
dimostrazione). Integrali indefiniti immediati, per scomposizione, per sostituzione, per parti.
Integrazione indefinita delle funzioni razionali.
Somme inferiori e superiori di una funzione limitata. Integrabilità secondo Riemann ed integrale di
Riemann; esempi. Classi di funzioni integrabili (monotone, continue, continue quasi ovunque).
Linearità e additività rispetto al dominio. Proprietà dell’integrale di Riemann: teorema della media,
positività, confronto; continuità rispetto al dominio.
Integrale definito e relative proprietà. Funzione integrale e Teorema Fondamentale del Calcolo:
derivabilità della funzione integrale (con dimostrazione). Formula fondamentale del Calcolo
integrale (con dimostrazione). Cenni sull’integrazione approssimata. Calcolo di aree.
Integrali impropri: funzioni non limitate e/o intervalli illimitati. Integrabilità di 1/xα. Cenni sui
criteri di integrabilità per funzioni a segno costante e non. Criterio dell’integrale per le serie
numeriche; applicazione alla stima della somma.
Testi consigliati
P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi matematica uno, Liguori.
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di matematica, I volume, parti I e II, Liguori
G. Naldi, L. Pareschi e G. Aletti, Matematica I, McGraw-Hill (capitoli 0-6)
Appunti del corso, disponibili sulla pagina web del docente.
Per l’impostazione del calcolo integrale si consiglia di seguire gli appunti del corso.
Gli studenti al primo approccio con questa disciplina potranno trovare utile consultare anche il
seguente testo, di tradizione anglosassone, comprensivo anche di esercizi: J. Steward, Calcolo Funzioni di una variabile, Apogeo.