PROGRAMMA DIDATTICO
MATEMATICA GENERALE (L-Z) – BASE
A.A. 2007/08
1. Infinitesimi e infiniti
Definizione, confronto, infinitesimo principale, ordine di infinitesimo. Principio di eliminazione
degli infinitesimi (degli infiniti).
2. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Rapporto incrementale e suo significato geometrico. Derivata e suo significato geometrico.
Retta tangente in un punto a una curva. Punti angolosi e cuspidi. Teorema sulla continuità e
derivabilità (con dimostrazione). Derivate delle funzioni elementari (derivata di y=xn, n intero
positivo con dimostrazione). Regole di derivazione della somma, differenza, prodotto e
quoziente di funzioni. Derivata di funzione composta e di funzione inversa. Derivate successive.
Funzioni crescenti e decrescenti in un punto e relazioni col segno della derivata in tale punto
(con dimostrazione). Teorema di Fermat (con dimostrazione). Teorema di Rolle (con
dimostrazione) e sua interpretazione geometrica. Teorema di Lagrange (con dimostrazione) e
sua interpretazione geometrica. Corollari del teorema di Lagrange. Regola I per la ricerca dei
punti di massimo e minimo relativo interni di funzioni derivabili. Differenziale e suo significato
geometrico. Teorema di De l’Hospital sulle forme indeterminate. Formula di Taylor con il resto
secondo Peano e secondo Lagrange. Funzioni convesse e concave, strettamente convesse,
strettamente concave. Punti di flesso. Concavità e convessità per funzioni derivabili. Ricerca dei
massimi, dei minimi e dei flessi di funzioni derivabili (Regola I e Regola II). Asintoti. Studio di
una funzione.
2. Calcolo integrale
Primitive e integrale indefinito. T
eorema sulle primitive (con dimostrazione). Integrali immediati. Integrazione per
scomposizione, per parti (con dimostrazione della formula) e per sostituzione. Integrale definito
nel senso di Mengoli-Cauchy. Area di un trapezoide. Integrale definito di Riemann. Condizione
necessaria per l'integrabilità. Condizioni sufficienti di integrabilità. Proprietà dell'integrale
definito. Teorema della media integrale per funzioni continue (con dimostrazione) e sua
interpretazione geometrica. Teorema fondamentale del calcolo integrale (con
dimostrazione).Formula per il calcolo dell'integrale definito di una funzione continua (con
dimostrazione). Integrali generalizzati.
3. Funzioni reali di più variabili reali
Generalità. Limiti. Continuità (teoremi di Weierstrass, di Darboux, degli zeri). Derivate parziali.
Gradiente. Derivate parziali successive. Matrice Hessiana e teorema di Schwarz.
Differenziabilità. Equazione dell'iperpiano tangente. Ricerca dei punti di massimo e minimo
relativo interni.
