file - Dipartimento di Matematica

C.d.L. in Informatica
Analisi matematica
Corso B – prof. Lorenzo Pisani
Programma dettagliato – A.A. 2005/06
Insiemi numerici
Campo ordinato dei numeri reali; assioma di completezza. Sottocampo dei razionali. Numeri per
esprimere lunghezze. Retta reale, intervalli. Piano cartesiano. Rappresentazione e manipolazione di
numeri.
Funzioni reali di variabile reale
Rappresentazione del grafico nel piano cartesiano. Simmetria e periodicità. Monotonia. Convessità
(in un intervallo). Funzioni limitate, minimi e massimi assoluti, estremo inferiore e superiore.
Algebra delle funzioni. Trasformazioni elementari dei grafici. Generalità su equazioni e
disequazioni. Funzioni elementari (potenze e radici, potenze ad esponente reale, esponenziali e
logaritmi, funzioni circolari con le rispettive inverse, valore assoluto e parte intera). Disequazioni
relative alle funzioni elementari.
Successioni
Generalità. Cenni sulle definizioni per ricorrenza. Definizione di limite (finito ed infinito).
Successioni regolari e non. Successioni monotone (dimostrazione parziale della regolarità); il
numero di Nepero; progressione geometrica. Teoremi di permanenza del segno (con
dimostrazione), confronto (con dimostrazione), divergenza e convergenza obbligata (con
dimostrazione).
Limiti e continuità per funzioni di una variabile
Retta ampliata, intorni, punti di accumulazione. Definizione sequenziale di limite (finito ed infinito)
per le funzioni. Continuità in un punto, asintoti verticali ed orizzontali. Carattere locale del limite.
Limite unilaterale; regolarità delle funzioni monotone. Teoremi sui limiti. Calcolo dei limiti:
comportamento rispetto alle operazioni, forme indeterminate, limite della funzione composta.
Equivalenze asintotiche tra infinitesimi, limiti notevoli. Classificazione della crescita all’infinito,
asintoti obliqui.
Prolungamenti per continuità; punti di salto. Funzioni continue in un intervallo: teorema di
Weierstrass; teorema degli zeri e applicazioni alla risoluzione qualitativa di equazioni; immagine
diretta di intervalli.
Serie numeriche
Serie numeriche. Esempi di calcolo delle somme parziali: serie geometrica e serie telescopiche.
Teoremi sulle serie convergenti, condizione necessaria. Somme approssimate. Serie a termini non
negativi: regolarità, criteri di confronto e di confronto asintotico, serie armonica generalizzata,
criteri del rapporto e degli infinitesimi. Serie a termini di segno variabile: criterio di Leibnitz per le
serie a segno alterno; assoluta convergenza (con dimostrazione).
Introduzione al calcolo differenziale
Rapporto incrementale, derivata. Esempi. Continuità delle funzioni derivabili (con dimostrazione).
Monotonia rispetto ad un punto, punti stazionari. Trasmissione dell’errore. Retta tangente e cenni
sul differenziale. Flessi a tangente verticale, cuspidi, punti angolosi. Algebra delle derivate.
Derivate delle funzioni elementari. Derivata della funzione composta e della funzione inversa (con
cenno di dimostrazione). Massimi e minimi locali; teorema di Fermat (con dimostrazione).
Funzioni derivabili e derivate di ordine superiore
Lemma di Rolle (con dimostrazione); teorema del valor medio di Lagrange (con dimostrazione).
Caratterizzazione delle funzioni costanti su intervallo (con dimostrazione); controesempi.
Caratterizzazione delle funzioni monotone su un intervallo (con dimostrazione); controesempi.
Teorema di de l’Hospital.
Derivata seconda; interpretazione grafica. Condizione sufficiente per punti di estremo locale (con
dimostrazione). Caratterizzazioni delle funzioni convesse (tramite la derivata prima e tramite la
derivata seconda).
Studio del grafico di una funzione.
Polinomi di Taylor e teorema sul resto (con dimostrazione nel caso del II ordine); valutazione del
resto secondo Lagrange; cenni sulle serie di Taylor.
Primitive e tecniche di integrazione indefinita
Primitive ed integrale indefinito. Struttura dell’integrale indefinito su un intervallo (con
dimostrazione). Integrali indefiniti immediati, per scomposizione, per sostituzione, per parti.
Integrazione indefinita delle funzioni razionali.
Integrali definiti e impropri
Somme inferiori e superiori di una funzione limitata. Integrabilità secondo Riemann ed integrale di
Riemann; esempi. Classi di funzioni integrabili (monotone, continue, continue quasi ovunque);
proprietà di linearità. Proprietà dell’integrale di Riemann: teorema della media, positività,
confronto; additività e continuità rispetto al dominio. Calcolo di aree.
Integrale definito e relative proprietà. Funzione integrale e Teorema Fondamentale del Calcolo:
derivabilità della funzione integrale (con dimostrazione). Formula fondamentale del Calcolo
integrale (con dimostrazione). Cenni sull’integrazione approssimata.
Integrali impropri: funzioni non limitate e/o intervalli illimitati. Integrabilità di 1/xα, su (0,1] e su
[1,+∞). Criteri di integrabilità per funzioni a segno costante e non (argomento facoltativo). Criterio
dell’integrale per le serie numeriche; applicazione al calcolo di somme approssimate.
Testi consigliati
P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi matematica uno, Liguori.
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di matematica, I volume, parti I e II, Liguori
G. Naldi, L. Pareschi e G. Aletti, Matematica I, McGraw-Hill (capitoli 0-6)
Appunti del corso, disponibili su http://multimedialab.di.uniba.it/.
Per l’impostazione del calcolo integrale si consiglia di seguire gli appunti del corso.
Gli studenti al primo approccio con questa disciplina potranno trovare utile consultare anche il
seguente testo, di tradizione anglosassone, comprensivo anche di esercizi:
J. Steward, Calcolo - Funzioni di una variabile, Apogeo.