file - Dipartimento di Matematica

C.d.L. in Informatica
A.A. 2002/03
Programma di Analisi matematica
Corso B – prof. Lorenzo Pisani
Insiemi e funzioni
Insiemi, appartenenza ad un insieme; sottoinsiemi; operazioni tra insiemi. Funzioni tra due insiemi;
immagine diretta; codominio; funzione identica; funzioni ingettive e surgettive; funzione composta;
funzioni invertibili; procedure di restrizione per considerare una funzione invertibile.
Insiemi numerici
Il corpo ordinato dei numeri razionali Q. Rappresentazione geometrica su una retta. Ricoprimento
della retta tramite l’insieme dei numeri reali. Proprietà di corpo ordinato dell’insieme R. Assioma di
completezza. Rappresentazione decimale dei numeri reali. Proprietà algebriche e d’ordine dedotte
dagli assiomi di corpo ordinato. Intervalli. Piano cartesiano.
Funzioni reali di variabile reale
Rappresentazione cartesiana del grafico. Algebra delle funzioni. Simmetria e periodicità. Funzioni
limitate, minimi e massimi assoluti, estremo inferiore e superiore. Punti di minimo e massimo
relativo. Funzioni monotone. Funzioni convesse (in un intervallo). Funzioni elementari (potenze e
radici, proprietà delle potenze, potenze ad esponente reale, esponenziali e logaritmi, funzioni
circolari con le rispettive inverse). Valore assoluto. Trasformazioni elementari dei grafici.
Disequazioni relative alle funzioni elementari.
Successioni
Generalità. Definizione di limite (finito ed infinito). Successioni regolari e non. Teoremi di
confronto (con dimostrazione), divergenza e convergenza obbligata (con dimostrazione).
Successioni monotone. Il numero di Nepero. Progressione geometrica.
Limiti e continuità per funzioni di una variabile
Retta ampliata. Punti di accumulazione. Definizione unificata di limite (finito ed infinito) per
funzioni tramite le successioni. Continuità in un punto. Asintoti verticali ed orizzontali. Regolarità
delle funzioni monotone. Teoremi sui limiti. Calcolo dei limiti: comportamento rispetto alle
operazioni, forme indeterminate, limite della funzione composta, equivalenze asintotiche tra
infinitesimi, limiti notevoli. Funzioni continue in un intervallo: teorema degli zeri (con
dimostrazione facoltativa) e applicazioni alla risoluzione qualitativa di equazioni; teorema di
Weierstrass.
Serie numeriche
Cenni sulle definizioni per ricorrenza. Serie numeriche. Esempi di calcolo delle somme parziali:
serie geometrica e serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza (con
dimostrazione). Serie a termini non negativi: regolarità, criteri di confronto, di confronto asintotico,
del rapporto (con cenno di dimostrazione), degli infinitesimi. Serie armonica generalizzata. Serie a
segno alterno. Serie a termini di segno variabile; assoluta convergenza (con dimostrazione).
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Rapporto incrementale, derivata e retta tangente. Esempi. Continuità delle funzioni derivabili (con
dimostrazione). Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Differenziale. Derivate delle
funzioni elementari. Algebra delle derivate. Derivata della funzione composta e della funzione
inversa (con cenno di dimostrazione). Massimi e minimi locali; teorema di Fermat (con
dimostrazione), punti stazionari.
Lemma di Rolle (con dimostrazione); teorema del valor medio di Lagrange (con dimostrazione).
Caratterizzazione delle funzioni costanti su intervallo (con dimostrazione); controesempi.
Caratterizzazione delle funzioni monotone su un intervallo (con dimostrazione); controesempi.
Derivata seconda. Caratterizzazioni delle funzioni convesse (tramite la derivata prima e tramite la
derivata seconda). Studio del grafico di una funzione.
Teorema di de l’Hospital. Approssimazione locale con i polinomi di Taylor (con dimostrazione nel
caso del II ordine); valutazione del resto secondo Lagrange.
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
Primitive ed integrale indefinito. Struttura dell’integrale indefinito su un intervallo (con
dimostrazione). Integrali indefiniti immediati, per scomposizione, per sostituzione, per parti.
Somme inferiori e superiori di una funzione limitata. Integrabilità secondo Riemann ed integrale di
Riemann. Classi di funzioni integrabili (monotone, continue, continue quasi ovunque). Linearità e
additività rispetto al dominio. Proprietà dell’integrale di Riemann: positività, confronto; teorema
della media.
Integrale definito e relative proprietà. Funzione integrale e teorema fondamentale del Calcolo:
esistenza di primitive (con dimostrazione). Formula fondamentale del Calcolo (con dimostrazione).
Cenni sull’integrazione approssimata.
Integrali impropri: funzioni non limitate e/o intervalli illimitati. Criteri di integrabilità. Criterio
dell’integrale per le serie numeriche.
Testi consigliati
P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi matematica uno, Liguori.
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di matematica, I volume, parti I e II, Liguori.
Per l’impostazione del calcolo integrale: Appunti del corso, disponibili sul sito.
Gli studenti al primo approccio con questa disciplina portranno trovare utile la
consultazione del il seguente testo, di tradizione anglosassone, comprensivo anche di
esercizi:
J. Steward, Calcolo - Funzioni di una variabile, Apogeo.