La circonferenza e il cerchio

La circonferenza e il cerchio
Def.:
Si dice circonferenza una linea piana chiusa formata dall’insieme dei punti che hanno la
stessa distanza da un punto detto centro.
Si dice raggio di una circonferenza la distanza tra un punto qualunque della circonferenza
e il centro.
C = circonferenza
r = raggio
C = centro
Def:
Un punto P la cui distanza dal centro O è minore del raggio r si dice interno alla
circonferenza; se la distanza dal centro O è maggiore del raggio r si dice esterno; se la
distanza dal centro O è congruente al raggio r, il punto appartiene alla circonferenza.
Def.:
Si dice cerchio la parte di piano costituita dai punti di una circonferenza e dai punti
interni ad essa.
Osservazione: la circonferenza è una linea, il cerchio è una superficie!
Proprietà:
due circonferenze o due cerchi che hanno raggi congruenti sono tra loro congruenti e,
viceversa, due circonferenze o due cerchi congruenti tra loro hanno raggi congruenti.
⇔
1
Def.:
Si dice corda di una circonferenza ogni segmento che unisce due suoi punti.
̅̅̅̅
Def:
Si dice diametro ogni corda passante per il centro.
̅̅̅̅
Osservazione: ogni diametro è il doppio del raggio e quindi tutti i diametri sono
congruenti.
Proprietà:
ogni corda non passante per il centro è minore del diametro. Il diametro è la corda
massima.
Teorema:
la perpendicolare condotta per il centro di una circonferenza
a una corda divide la corda a metà.
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
è un triangolo isoscele
è l’altezza relativa alla base  è anche mediana
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Vale anche il teorema inverso:
la perpendicolare ad una corda condotta per il suo punto medio (ASSE DELLA CORDA)
passa per il centro della circonferenza.
Def:
Si dice arco di circonferenza ciascuna delle due parti in cui una circonferenza risulta
divisa da due suoi punti che si dicono estremi dell’arco.
L’arco di estremi A e B si indica con ̂ .
La corda che unisce gli estremi dell’arco si dice che sottende
l’arco; al contrario si dice che l’arco è sotteso dalla corda.
̅̅̅̅̅ SOTTENDE all’ARCO ̂
̂
̂
Proprietà:
in una circonferenza, archi congruenti sono sottesi da corde congruenti.
Osservazione: Se la corda è un diametro, la circonferenza si divide in due archi
congruenti chiamati semicirconferenze.
Posizioni di una retta rispetto a una circonferenza
1. Retta esterna, se la distanza d della retta dal centro della circonferenza è maggiore
del raggio r:
2. Retta tangente, se la distanza d della retta dal centro della circonferenza è
congruente al raggio r:
3. Retta secante, se la distanza d della retta dal centro della circonferenza è minore
del raggio r:
s è esterna a C
t è tangente a C
u è secante a C
3
Proprietà:
La retta tangente ad una circonferenza in un suo punto è perpendicolare al raggio,
avente un estremo in quel punto, detto punto di tangenza.
Posizioni reciproche di due circonferenze
1. circonferenze esterne: non hanno punti in comune e la distanza d tra i loro centri è
maggiore della somma dei raggi:
2. circonferenze tangenti esternamente: hanno un solo punto in comune e la distanza
tra i loro centri è congruente alla somma dei raggi:
3. circonferenze secanti: hanno due punti in comune e la distanza tra i loro centri è
minore alla somma dei raggi e maggiore della loro differenza:
e
4. circonferenze tangenti internamente: hanno un solo punto in comune e la distanza
tra i loro centri è congruente alla differenza dei raggi:
5. circonferenze l’una interna all’altra: non hanno alcun punto in comune e la
distanza tra i loro centri è minore alla differenza dei raggi:
5
6. circonferenze concentriche: non hanno alcun punto in comune e hanno lo stesso
centro.
Def:
La parte di piano limitata da due circonferenze concentriche di raggi diversi è detta
corona circolare.
Angoli al centro e angoli alla circonferenza
Def:
Si dice ANGOLO AL CENTRO ogni angolo che ha il vertice nel centro di una circonferenza.
 l’angolo al centro
̂ insiste sull’arco ̂ o corrisponde all’arco ̂ .
Proprietà:
A ogni angolo al centro corrisponde un solo arco e viceversa.
Proprietà:
Angoli al centro congruenti insistono su archi congruenti e viceversa.
Def:
Si dice ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA ogni angolo che ha
il vertice in un punto della circonferenza e i lati che passano
per altri due punti della circonferenza.
7
Proprietà:
ogni angolo alla circonferenza individua un solo arco su cui insiste.
Viceversa, ad uno stesso arco corrispondono infiniti angoli alla circonferenza.
Proprietà:
tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco sono congruenti.
Def.
Un angolo al centro e un angolo alla circonferenza che insistono su uno stesso arco si
dicono corrispondenti.
Proprietà:
ogni angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro corrispondente.
Proprietà:
ogni angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è un angolo retto.
Proprietà:
in ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è la metà dell’ipotenusa.
Def:
Si dice settore circolare ciascuna delle due parti in cui un CERCHIO risulta diviso da due
suoi raggi, che si considerano appartenenti al settore.
9
Def:
Si dice segmento circolare a una base ciascuna delle parti in cui un cerchio risulta diviso
da una sua corda, che si considera appartenente al segmento circolare.
Def:
Si dice segmento circolare a due basi la parte di cerchio limitata da due sue corde
parallele e dai due archi di circonferenza tra esse compresi.