Approssimazione della funzione seno

Prof.ssa Elisa Garagnani – Isis Archimede Approssimazione della funzione seno Spesso in fisica si approssima, per piccoli angoli, il valore del seno di un angolo con il valore dell’angolo stesso in radianti. Questa approssimazione risulta, ad esempio, utile nello studio delle piccole oscillazioni di un pendolo semplice. Ci chiediamo: perché proprio in radianti e non in gradi? 1. Apri Microsoft Excel. 2. Considera le prime tre colonne. 3. Scrivi nella cella A1, gradi 4. Scrivi nella cella A2, radianti 5. Scrivi nella cella A3, seno 6. Consideriamo dei valori piccoli per i radianti. E riempiamo la colonna corrispondente con alcuni valori sempre più prossimo a 0. 7. Converti tali valori in gradi. Ad esempio nella cella A2, convertiremo la misura in radianti presente in B2 scrivendo la formula1 “=180/ PI.GRECO( )*B2”. Copia la formula nelle celle sottostanti. Per visualizzare la rappresentazione decimale (e non esponenziale) evidenzia le celle, tasto destro, formato celle, numero. Seleziona il numero di cifre decimali che ritieni opportuno. 8. Determiniamo il corrispondente valore del seno. In Excel è presente la funzione SEN ma tieni conto che è riferita alle misure degli angoli date in radianti, quindi dovremo utilizzare la colonna dei radianti come input. Quindi, ad esempio, nella cella C2 inseriremo la formula2: “=SEN(B2)”. Copia la formula nelle celle sottostanti. Cosa osservi? ___________________________________________________________________________________________ 9. Ora che abbiamo capito perché si scelgono proprio i radianti, verifica che i due valori (seno e angolo in radianti) differiscono per meno del 2% fino a circa 20°. Verificata algebricamente utilizzando Excel, vediamo che ricaduta grafica ha l’approssimazione lineare sin 𝑥 ≅ 𝑥 vicino al punto 0 per la funzione seno. 1. Apri ora il software grafico GeoGebra e traccia il grafico di f(x)=sin(x) (coloralo di blu) e della funzione g(x)=x (coloralo di rosso). Cosa osservi intorno all’origine? 2. Utilizza lo strumento zoom+ per osservare più da vicino i punti dei due grafici vicino all’origine. Cosa osservi? _______________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________ 1 Funzione PI.GRECO in Excel: restituisce il numero 3,14159265358979, la costante matematica π, con una precisione di 15 cifre. Sintassi: =PI.GRECO( ) 2 Funzione SEN in Excel: restituisce il seno dell'angolo specificato. Sintassi: =SEN(num). L’argomento è l’angolo espresso in radianti di cui si calcola il seno. Analogamente operano le funzioni =COS(num) e =TAN(num). Prof.ssa Elisa Garagnani – Isis Archimede Da un punto di vista algebrico, denotiamo il fatto che per angoli che tendono ad avvicinarsi sempre più a 0, il seno di un angolo e la sua misura in radianti tendono sempre più a coincidere (ovvero il loro rapporto tende ad avvicinarsi ad 1) con la scrittura: sin 𝑥
lim = 1 !→!
𝑥
che si legge il limite per x che tende a 0 di sen x su x è uguale a 1. Questo limite notevole sarà formalizzato meglio quando sarai in quinta e giocherà un ruolo fondamentale. Da un punto di vista geometrico, il fatto che la retta di equazione y = x approssima bene la funzione seno vicino all’origine implica che la bisettrice del primo e terzo quadrante è la tangente nell’origine al grafico della funzione seno! … magari ricordatelo quando tracci il grafico di tale funzione! Prova tu. 1. Senza fare nessun calcolo aggiuntivo, cosa puoi concludere se ti avvicini a 0 con angoli negativi? 2. Mostra che vale una proprietà analoga per la funzione tangente. 3. Vale una proprietà analoga per la funzione coseno? 4. Utilizzando le simmetrie della sinusoide, determina l’equazione della tangente alla sinusoide nel suo punto di ascissa π e controlla con GeoGebra che tale retta è effettivamente la tangente alla curva in quel punto. 5. Utilizzando il fatto che la cosinusoide è una sinusoide traslata, determina i punti della cosinusoide che hanno tangente una retta parallela alle bisettrici.