FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
f: R→ R è detta funzione periodica di periodo T>0 se
per ogni x∈R
f(x+T) = f(x)
Gli angoli hanno natura periodica: un angolo di 30° o un
angolo di 30°+360° = 390° sono lo stesso angolo.
Il grado è un’unità di misura non collegabile all’unità di
misura delle lunghezze.
Il radiante è strettamente legato all’unità di misura delle
lunghezze
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
Si definisce l’angolo di 1 radiante, l’angolo che sottende
un arco di lunghezza 1 in una circonferenza di raggio 1.
La misura in radianti di un angolo coincide con la
lunghezza dell’arco sotteso in una circonferenza di
raggio unitario.
L’angolo giro, 360°, sottende l’intera circonferenza che è
lunga 2π , quindi l’angolo giro misura 2π radianti
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
L’angolo piatto, 180°, sottende mezza circonferenza che è
lunga π , quindi l’angolo piatto misura π radianti
L’angolo retto, 90°, sottende un quarto di circonferenza
che è lunga 2π/4 , quindi l’angolo giro misura π/2
radianti
In generale, un angolo di x gradi, x°, sottende x/360 di
circonferenza e quindi misura 2πx/360 radianti
x°= πx/180 rad
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
Viceversa, avendo la misura di un angolo in radianti si
ottiene la corrispondente misura in gradi moltiplicando
per 180/π
r rad =(180r/ π)°
Si ha quindi
1 rad =(180/ π)° ≈ 57.29°
Gli angoli hanno un verso: possiamo percorrerli in senso
orario o antiorario, di conseguenza la loro misura ha un
segno positivo o negativo.
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
Per convenzione, si considera positivo un angolo
percorso in senso antiorario, e negativo un angolo
percorso in senso orario.
Sia C ⊂ R2 la circonferenza nel piano cartesiano di centro
l’origine e di raggio unitario. Per ogni θ∈R l’angolo di θ
radianti, misurato a partire dalla semiretta positiva delle
ascisse, identifica in modo unico un punto P(θ) sulla
circonferenza C. Definiamo le due seguenti funzioni: cosθ
(coseno di θ) l’ascissa del punto P(θ), sinθ (seno di θ)
l’ordinata di P(θ).
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
Abbiamo definito due funzioni
sin: R→ R
cos: R→ R
periodiche di periodo 2π
∀k∈Z
cos(θ+2k π)=cosθ e sin(θ+2k π) = sinθ
Poiché ascissa e ordinata del punto P(θ) variano tra -1 ed
1, lo stesso accade per seno e coseno
-1 ≤ cos θ ≤ 1
-1 ≤ sin θ ≤ 1
Quindi l’insieme immagine delle funzioni seno e coseno è
l’intervallo [-1, 1]
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
La funzione coseno, ascissa del punto P(θ), risulterà
strettamente decrescente da 0, dove assume valore
massimo 1 (cos0=1), fino a π, dove assume valore
minimo -1 (cosπ=-1); strettamente crescente da π fino a
2π, e, data la sua periodicità, ripeterà questo andamento.
quindi
cosθ risulterà strettamente decrescente negli intervalli
[2kπ, (2k+1)π]
∀k∈Z
cosθ risulterà strettamente crescente negli intervalli
[(2k-1)π, 2kπ]
∀k∈Z
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
La funzione coseno risulterà positiva nell’intervallo
(-π/2, π/2) e, più in generale, negli intervalli
(2kπ -π/2, 2kπ + π/2) ∀k∈Z
Si ha cosπ/2=0= cos(-π/2) e quindi, più in generale,
cos(π/2 + kπ)=0 ∀k∈Z
In generale si osserva che, per ogni θ, cosθ =cos(-θ), la
funzione coseno è una funzione pari
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
La funzione seno, ordinata del punto P(θ), risulterà
strettamente crescente da 0, dove assume valore 0
(sin0=0), fino a π/2, dove assume valore massimo 1
(sinπ/2=1); strettamente decrescente da π/2 fino a 3π/2,
dove assume valore minimo -1 (sin3π/2= -1); di nuovo
crescente da 3π/2 fino a 2π, a partire dal quale, data la
periodicità ripeterà questo andamento.
sinθ risulterà strettamente decrescente negli intervalli
[2kπ + π/2 , 2kπ + 3π/2]
∀k∈Z
sinθ risulterà strettamente crescente negli intervalli
[2kπ - π/2, 2kπ + π/2]
∀k∈Z
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
La funzione seno risulterà positiva nell’intervallo
(0, π) e, più in generale, negli intervalli
(2kπ , (2k+1)π ) ∀k∈Z
Si ha sin0= 0 =sinπ = sin(kπ)
sinπ/2 =1 =sin(2kπ + π/2)
sin(-π/2) = -1 = sin(2kπ - π/2)
In generale si osserva che, per ogni θ, si ha
sin(-θ) = -sin θ
per cui la funzione seno è una
funzione dispari
Grafici delle funzioni sinx e cosx
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
Ruotando di ±π, cambiamo di segno ascisse e ordinate
dei punti, quindi
cos(θ ± π) = -cos θ,
sin(θ ± π) = -sin θ
Ruotando in senso antiorario di π/2, trasformiamo le
ascisse in ordinate sin(θ + π/2) = cosθ e le ordinate in
ascisse cambiate di segno cos(θ + π/2) = -sin θ
Le funzioni seno e coseno non hanno limite sia per
θ→+∞ che per θ→−∞ , infatti continuano ad oscillare
tra i valori -1 ed 1.
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
Il punto P(θ) si muove sulla circonferenza di centro
l’origine e raggio 1, quindi dista dall’origine 1, per cui
vale per le sue coordinate la relazione
cos2 θ + sin2 θ = 1
E’ possibile, inoltre, ricavare le seguenti relazioni, note
come formule di addizione
sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
Tenendo conto che coseno è una funzione pari e che seno
è una funzione dispari, si hanno anche
sin(α- β) = sinαcosβ - cosαsinβ
cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
In generale, se consideriamo nel piano cartesiano un
punto P= (x,y) a distanza r dall’origine ed indichiamo
con θ l’angolo che la semiretta per l’origine e per P
forma con l’asse positivo delle ascisse, dalla similitudine
dei triangoli otteniamo
x=rcosθ, y= rsinθ
(r, θ) sono chiamate le coordinate polari di P
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
Conoscendo le coordinate cartesiane di un punto è
possibile determinare le sue coordinate polari, basta
utilizzare il teorema di Pitagora e le due relazioni
precedenti, si ha
r=sqr(x2 + y2 )
cosθ = x/r = x/sqr(x2 + y2 )
sinθ = y/r =y/ sqr(x2 + y2 )
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
Si definisce la funzione tangente, tanθ, (talvolta indicata
tgθ), nel modo seguente
tanθ =sinθ/cosθ
La funzione tangente non è definita dove si annulla il
coseno, quindi è definita per θ≠ π/2 +kπ per ogni k∈Z
tanθ è periodica di periodo π
tan(θ +kπ) = tanθ
tanθ è strettamente crescente in ciascun intervallo
(kπ - π/2, kπ + π/2) , per ogni k∈Z
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI
TRIGONOMETRICHE
tanθ è positiva in ciascun intervallo
(kπ , kπ + π/2) , per ogni k∈Z
Il grafico di tanθ ha un asintoto verticale nei punti di
singolarità
limθ→(π/2+k π)+ tanθ =−∞
limθ→(π/2+k π)- tanθ =+∞
L’insieme immagine è tutto R
Grafico della funzione tanx
Alcuni limiti:
limx→0 sinx/x = 1
Alcuni limiti:
limx→0 sinx/x = 1
Consideriamo il caso α→0+, analogo è il caso α→0-.
Con riferimento alla figura precedente, si osserva che
l’area del triangolo di vertici ABC, è minore dell’area
del settore circolare ABE, che a sua volta è minore
dell’area del triangolo ADE (essendo questi insiemi
contenuti uno dentro l’altro). Poiché l’area di un settore
circolare è proporzionale alla lunghezza dell’arco,
essendo l’area del cerchio unitario, sotteso ad un arco di
lunghezza 2π , uguale a π, la costante di proporzionalità
è 1/2 e quindi l’area del settore circolare ABE è α/2
Alcuni limiti:
limx→0 sinx/x = 1
1/2 sinα cosα < α/2 < 1/2 tan α
Dividiamo per sinα (che per α>0 è positivo) e
moltiplichiamo per 2
cosα < α/sinα < 1/cosα
Passiamo ai reciproci
cosα < sinα/α < 1/cosα
Da cui, per il teorema del confronto, otteniamo
limx→0+sin α/α = 1
Analogo risultato si ha per il limite sinistro
Alcuni limiti……
Dal precedente limite ricaviamo anche
limx→0 (1-cosx)/x2 = 1/2
Funzioni inverse: arcsinx
La funzione sinx non è iniettiva e quindi non può
essere globalmente invertibile, ma se la restringiamo a
opportuni intervalli, è possibile determinare una
funzione inversa.
Nell’intervallo [-π/2, π/2 ] la funzione seno è
strettamente crescente e quindi iniettiva, se
consideriamo come codominio l’intervallo [-1, 1]
possiamo definire la funzione inversa arcoseno,
arcsin: [-1, 1] → [-π/2, π/2 ]
arcsinx è l’unica soluzione nell’intervallo [-π/2, π/2 ]
dell’equazione sinθ =x
Grafico della funzione arcsinx
Funzioni inverse: arccosx
Analogamente,
considerando la funzione coseno
ristretta all’intervallo [0, π], dove è strettamente
decrescente, e con codominio l’intervallo [-1, 1],
otteniamo una funzione invertibile. Definiamo la
funzione inversa arcocoseno
arccos: [-1, 1]→ [0, π], arcocosx è l’unica soluzione
nell’intervallo [0, π] dell’equazione cosθ =x
Attenzione! L’equazione cosθ =x ha infinite soluzioni,
ma per θ∈ [0, π] la soluzione è unica.
Grafico della funzione arccosx
Funzioni inverse: arctanx
Infine,
considerando la funzione tanx ristretta
all’intervallo [-π/2, π/2], dove è strettamente crescente,
e con
codominio R,
otteniamo una funzione
invertibile.
Definiamo
la
funzione
inversa
arcotangente
arctan: R → [-π/2, π/2], arctanx è l’unica soluzione
nell’intervallo [-π/2, π/2], dell’equazione tanθ =x
Attenzione! L’equazione tanθ =x ha infinite soluzioni,
ma per θ∈ [-π/2, π/2], la soluzione è unica.
Grafico della funzione arctanx
FUNZIONI SINUSOIDALI
Diremo curva sinusoidale una curva ottenuta dal grafico
della funzione seno tramite traslazioni o moltiplicazioni
di ascisse e /o ordinate, la funzione di cui la curva è
grafico si dirà funzione sinusoidale.
FUNZIONI SINUSOIDALI
Una funzione sinusoidale è determinata da:
- il periodo (per seno e coseno 2π)
- l’ampiezza, data da (M-m)/2, dove M è il valore
massimo, ed m è il valore minimo, è, quindi, metà
dell’intervallo di variazione (per seno e coseno è 1)
- il valor medio, dato da (M+m)/2, punto centrale
dell’intervallo di variazione, (per seno e coseno è 0)
- la fase, primo punto non negativo in cui la funzione
assume valore massimo M (per il coseno la fase è 0, per
il seno la fase è π/2)
FUNZIONI SINUSOIDALI: UN ESEMPIO
Una popolazione di uccelli varia stagionalmente da un
minimo di circa 1000 (inizio aprile) individui ad un
massimo di circa 1500 (inizio ottobre). Cerchiamo una
funzione sinusoidale che rappresenti questo andamento in
funzione dei giorni dell’anno.
La funzione sinusoidale che cerchiamo deve avere:
Periodo 365 giorni
Ampiezza (1500-1000)/2 = 250 e valor medio
(1500+1000)/2 =1250
Fase : il primo massimo si ha all’inizio di ottobre, quindi
il giorno 274
FUNZIONI SINUSOIDALI: UN ESEMPIO
Partiamo dalla funzione cosx e modifichiamo il periodo
per passare dall’intervallo [0, 2π] all’intervallo [0, 365]
cos[(2π/365)x]
Sistemiamo la fase, perché la precedente funzione ha il
primo massimo in 0, mentre la funzione che cerchiamo
deve averlo in 274
cos[(2π/365)(x - 274)]
Sistemiamo l’ampiezza, la funzione precedente ha
ampiezza 1, quella che cerchiamo deve avere ampiezza
250
250cos[(2π/365)(x - 274)]
FUNZIONI SINUSOIDALI: UN ESEMPIO
Il valore massimo deve essere 1500, la funzione
precedente ha valore massimo 250, quindi la funzione che
cerchiamo è
250cos[(2π/365)(x - 274)] + 1250
1250 è il valor medio
A questa funzione corrisponde valore minimo giusto
1000, assunto per x*= 91.5, quindi inizi aprile come deve
essere. Per avere 0 ≤ x*≤ 365 basta porre
(2π/365)(x - 274) = (2k +1)π
FUNZIONI SINUSOIDALI
In generale, se cerchiamo una funzione sinusoidale di
periodo P, ampiezza A, valor medio y*, fase F, avremo,
analogamente a quanto visto nell’esempio precedente,
una funzione
f(x) = Acos[(2π/P)(x-F)] + y*
Il numero f= 1/P è chiamato frequenza della funzione
La quantità ω=2π/P viene detta frequenza angolare della
funzione, e, talvolta la funzione sinusoidale è espressa
come f(x) = Acos[ω(x-F)] + y*
