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Liceo Scientifico “G. Galilei” Siena
Anno scolastico 2015-16
PROGRAMMA SVOLTO MATEMATICA
INSEGNANTE: De Nicola Maria
CLASSE I C
ALGEBRA
I numeri
I numeri naturali: definizione, ordinamento e rappresentazione su una retta orientata; insieme N; operazioni e proprietà:
addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza; operazioni interne ad N.
Multipli e divisori di un numero naturale, numeri primi, M.C.D. e m.c.m. tra numeri naturali; espressioni.
I numeri interi: definizione, valore assoluto di un numero intero, ordinamento e rappresentazione su una retta orientata;
insieme Z; operazioni e proprietà: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza con esponente naturale;
operazioni interne a Z; espressioni.
I sistemi di numerazione: sistemi additivi e posizionali; sistema decimale e sistemi con base diversa da dieci; passaggio
da un sistema qualunque al sistema decimale e viceversa.
Le leggi di monotonia nelle uguaglianze e nelle disuguaglianze.
Gli insiemi
Definizione di insieme matematico e sue rappresentazioni; elementi di un insieme e appartenenza, insieme vuoto.
Sottoinsiemi: definizione; sottoinsieme proprio e improprio; inclusione e inclusione stretta.
Operazioni tra insiemi e loro proprietà: intersezione, unione, differenza, complementare di un insieme, prodotto
cartesiano.
Insieme delle parti e partizione di un insieme.
La logica
Proposizioni logiche, connettivi logici ed espressioni: negazione, congiunzione, disgiunzione inclusiva ed esclusiva,
implicazione e doppia implicazione; proprietà dei connettivi logici.
Logica e insiemi; proposizioni aperte e insieme di verità; i quantificatori.
Relazioni e funzioni
Relazioni binarie: definizioni e rappresentazioni; dominio, codominio, immagine di un elemento.
Relazioni su un insieme e proprietà (riflessiva, simmetrica, transitiva, antiriflessiva, antisimmetrica).
Relazioni di equivalenza: classi di equivalenza e insieme quoziente.
Relazioni d'ordine: largo e stretto, totale e parziale.
Le funzioni: definizione, dominio, codominio, immagine.
Funzioni iniettive, suriettive e biiettive, funzione inversa.
Funzioni numeriche: dominio naturale, rappresentazione in un sistema di coordinate cartesiane; composizione di
funzioni numeriche.
Funzioni numeriche particolari: proporzionalità diretta, inversa, quadratica; funzione lineare, funzione valore assoluto.
I numeri razionali
Frazioni: definizione, frazioni equivalenti, proprietà invariantiva, ordinamento e rappresentazione su una retta orientata.
Numeri razionali come classi di equivalenza di una relazione di equivalenza. Insieme Q come insieme quoziente.
Operazioni con i numeri razionali: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza con esponente intero;
operazioni interne a Q .
Percentuali; proporzioni: definizione e proprietà.
Rappresentazione decimale di un numero razionale: numeri decimali finiti, illimitati periodici.
Numeri illimitati non periodici: numeri irrazionali e numeri reali, insieme R.
I monomi e i polinomi
I monomi: definizioni, grado di un monomio e grado rispetto a una lettera; riduzione a forma normale.
Operazioni con i monomi: addizione, sottrazione, moltiplicazione, potenza, divisione.
M.C.D. e m.c.m. tra monomi.
I polinomi: definizioni, riduzione a forma normale, grado complessivo e grado rispetto a una lettera; polinomio
ordinato, completo, omogeneo.
Operazioni con i polinomi: addizione, sottrazione, moltiplicazione di un monomio per un polinomio e tra due polinomi.
I prodotti notevoli: somma per differenza, quadrato di un binomio, quadrato di un trinomio, cubo di un binomio.
Funzioni polinomiali: zeri di un polinomio.
Divisione di un polinomio per un monomio; divisione tra polinomi: divisione in colonna e metodo di Ruffini.
Teorema del resto e teorema di Ruffini. Applicazione alla somma e differenza di cubi: divisione esatta.
La scomposizione in fattori e le frazioni algebriche
Scomposizione in fattori: raccoglimento a fattore comune totale e parziale; riconoscimento di prodotti notevoli;
applicazione del teorema e metodo di Ruffini; scomposizione di un trinomio particolare di secondo grado.
M.C.D. e m.c.m. tra polinomi.
Frazioni algebriche: definizione e condizioni di esistenza.
Frazioni equivalenti: semplificazione e riduzione allo stesso denominatore.
Operazioni: addizione e sottrazione, moltiplicazione, divisione e potenza.
Espressioni.
GEOMETRIA
La geometria del piano
Introduzione alla geometria razionale, definizioni, postulati, teoremi, corollari.
Enti geometrici fondamentali: postulati di appartenenza della retta e del piano, postulato di ordine per la retta.
Postulato di partizione del piano, definizioni di semipiano, segmento, angolo; angoli particolari.
Figure concave e convesse. Congruenza tra figure, lunghezza di un segmento, distanza tra due punti, confronto e somma
tra segmenti.
Punto medio di un segmento e costruzione con riga e compasso.
Confronto e operazioni tra angoli.
Bisettrice di un angolo e costruzione con riga e compasso.
Teorema sugli angoli complementari.
Angoli opposti al vertice. Teorema degli angoli opposti al vertice.
I triangoli
Definizioni e classificazioni dei triangoli.
Bisettrici, mediane, altezzae angolo esterno.
Congruenza e criteri di congruenza dei triangoli (dimostrazione).
Teorema del triangolo isoscele e suo inverso (dimostrazioni).
Teorema della bisettrice del triangolo isoscele (dimostrazione).
Proprietà del triangolo equilatero.
Teorema dell'angolo esterno - maggiore (dimostrazione).
Relazione tra lato maggiore e angolo maggiore e relazione tra i lati di un triangolo (teoremi con dimostrazione).
I poligoni: definizioni.
Parallelismo e perpendicolarità nel piano
Rette perpendicolari; teorema di esistenza e unicità della perpendicolare (dimostrazione).
Le proiezioni ortogonali di un punto e di un segmento; la distanza di un punto da una retta; l'asse di un segmento.
Rette tagliate da una trasversale: angoli alterni (interni ed esterni), coniugati (interni ed esterni), corrispondenti.
Le rette parallele: teorema delle rette parallele e suo inverso (dimostrazioni); corollari; quinto postulato di Euclide.
Teorema dell'angolo esterno – somma (dimostrazione); teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo
(dimostrazione) e corollari: secondo criterio di congruenza dei triangoli generalizzato. La somma degli angoli interni e
degli angoli esterni di un poligono convesso.
I criteri di congruenza dei triangoli rettangoli: enunciati e relazione con i criteri di congruenza dei triangoli qualunque.
I parallelogrammi: definizioni e proprietà. Condizioni necessarie (dimostrazione) e sufficienti (enunciato).
Il rettangolo: definizione e proprietà. Condizione necessaria e sufficiente sulle diagonali (dimostrazione).
Teorema della distanza tra due rette parallele (dimostrazione).
Il rombo: definizione e proprietà. Condizione necessaria e condizioni sufficienti (dimostrazioni).
Il quadrato: definizione e proprietà.
Il trapezio: definizioni e classificazione. Il teorema del trapezio isoscele (dimostrazione) e suo inverso (enunciato).
Fascio improprio di rette: definizione. Teorema del fascio di rette (enunciato) e corollario. Teorema del segmento con
estremi nei punti medi dei lati (dimostrazione).
Libri di testo in adozione: Algebra.blu con Statistica Aut. Bergamini-Trifone-Barozzi, Vol. 1, Ed Zanichelli;
Geometria.blu, Aut. Bergamini-Trifone-Barozzi, Ed. Zanichelli.
CLASSE I S
ALGEBRA
I numeri
I numeri naturali: definizione, ordinamento e rappresentazione su una retta orientata; insieme N; operazioni e proprietà:
addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza; operazioni interne ad N.
Multipli e divisori di un numero naturale, numeri primi, M.C.D. e m.c.m. tra numeri naturali; espressioni.
I numeri interi: definizione, valore assoluto di un numero intero, ordinamento e rappresentazione su una retta orientata;
insieme Z; operazioni e proprietà: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza con esponente naturale;
operazioni interne a Z; espressioni.
I sistemi di numerazione: sistemi additivi e posizionali; sistema decimale e sistemi con base diversa da dieci; passaggio
da un sistema qualunque al sistema decimale e viceversa.
Gli insiemi
Definizione di insieme matematico e sue rappresentazioni; elementi di un insieme e appartenenza, insieme vuoto.
Sottoinsiemi: definizione; sottoinsieme proprio e improprio; inclusione e inclusione stretta.
Operazioni tra insiemi e loro proprietà: intersezione, unione, differenza, complementare di un insieme, prodotto
cartesiano.
Insieme delle parti e partizione di un insieme.
La logica
Proposizioni logiche, connettivi logici ed espressioni: negazione, congiunzione, disgiunzione inclusiva ed esclusiva,
implicazione e doppia implicazione.
Logica e insiemi; proposizioni aperte e insieme di verità; i quantificatori.
Relazioni e funzioni
Relazioni binarie: definizioni e rappresentazioni; dominio, codominio, immagine di un elemento.
Relazioni su un insieme e proprietà (riflessiva, simmetrica, transitiva, antiriflessiva, antisimmetrica).
Relazioni di equivalenza: classi di equivalenza e insieme quoziente.
Relazioni d'ordine: largo e stretto, totale e parziale.
Le funzioni: definizione, dominio, codominio, immagine.
Funzioni iniettive, suriettive e biiettive, funzione inversa.
Funzioni numeriche: dominio naturale, rappresentazione in un sistema di coordinate cartesiane; composizione di
funzioni numeriche.
Funzioni numeriche particolari: proporzionalità diretta, inversa, quadratica; funzione lineare.
I numeri razionali
Frazioni: definizione, frazioni equivalenti, proprietà invariantiva, ordinamento e rappresentazione su una retta orientata.
Numeri razionali come classi di equivalenza di una relazione di equivalenza. Insieme Q come insieme quoziente.
Operazioni con i numeri razionali: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza con esponente intero;
operazioni interne a Q .
Percentuali; proporzioni: definizione e proprietà.
Rappresentazione decimale di un numero razionale: numeri decimali finiti, illimitati periodici.
Numeri illimitati non periodici: numeri irrazionali e numeri reali, insieme R.
I monomi e i polinomi
I monomi: definizioni, grado di un monomio e grado rispetto a una lettera; riduzione a forma normale.
Operazioni con i monomi: addizione, sottrazione, moltiplicazione, potenza, divisione.
M.C.D. e m.c.m. tra monomi.
I polinomi: definizioni, riduzione a forma normale, grado complessivo e grado rispetto a una lettera; polinomio
ordinato, completo, omogeneo.
Operazioni con i polinomi: addizione, sottrazione, moltiplicazione di un monomio per un polinomio e tra due polinomi.
I prodotti notevoli: somma per differenza, quadrato di un binomio, quadrato di un trinomio, cubo di un binomio.
Funzioni polinomiali: zeri di un polinomio.
Divisione di un polinomio per un monomio; divisione tra polinomi: divisione in colonna e metodo di Ruffini.
Teorema del resto e teorema di Ruffini.
La scomposizione in fattori e le frazioni algebriche
Scomposizione in fattori: raccoglimento a fattore comune totale e parziale; riconoscimento di prodotti notevoli;
differenza di cubi; applicazione del teorema e metodo di Ruffini; scomposizione di un trinomio particolare di secondo
grado.
M.C.D. e m.c.m. tra polinomi.
GEOMETRIA
La geometria del piano
Introduzione alla geometria razionale, definizioni, postulati, teoremi, corollari.
Enti geometrici fondamentali: postulati di appartenenza della retta e del piano, postulato di ordine per la retta.
Postulato di partizione del piano, definizioni di semipiano, segmento, angolo; angoli particolari.
Figure concave e convesse. Congruenza tra figure, lunghezza di un segmento, distanza tra due punti, confronto e somma
tra segmenti.
Punto medio di un segmento e costruzione con riga e compasso.
Confronto e operazioni tra angoli.
Bisettrice di un angolo e costruzione con riga e compasso.
Teorema sugli angoli complementari.
Angoli opposti al vertice. Teorema degli angoli opposti al vertice.
I triangoli
Definizioni e classificazioni dei triangoli.
Bisettrici, mediane, altezza, angolo esterno. Costruzione con riga e compasso dell'altezza relativa a un lato.
Congruenza e criteri di congruenza dei triangoli (dimostrazione).
Teorema del triangolo isoscele (dimostrazione) e suo inverso (enunciato) .
Teorema della bisettrice del triangolo isoscele (dimostrazione).
Proprietà del triangolo equilatero.
Teorema dell'angolo esterno - maggiore (dimostrazione).
Relazione tra lato maggiore e angolo maggiore e relazione tra i lati di un triangolo (teoremi con dimostrazione).
I poligoni: definizioni.
Parallelismo e perpendicolarità nel piano
Rette perpendicolari; teorema di esistenza e unicità della perpendicolare (dimostrazione).
Le proiezioni ortogonali di un punto e di un segmento; la distanza di un punto da una retta; l'asse di un segmento.
Rette tagliate da una trasversale: angoli alterni (interni ed esterni), coniugati (interni ed esterni), corrispondenti.
Le rette parallele: teorema delle rette parallele e suo inverso (dimostrazioni); corollari; quinto postulato di Euclide.
Teorema dell'angolo esterno – somma (dimostrazione); teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo
(dimostrazione) e corollari: secondo criterio di congruenza dei triangoli generalizzato. La somma degli angoli interni e
degli angoli esterni di un poligono convesso.
I criteri di congruenza dei triangoli rettangoli: enunciati e relazione con i criteri di congruenza dei triangoli qualunque.
I parallelogrammi: definizioni e proprietà. Condizioni necessarie e sufficienti (enunciato).
Il rettangolo: definizione e proprietà. Condizione necessaria e sufficiente sulle diagonali (enunciato).
Libri di testo in adozione: Algebra.blu con Statistica Aut. Bergamini-Trifone-Barozzi, Vol. 1, Ed Zanichelli;
Geometria.blu, Aut. Bergamini-Trifone-Barozzi, Ed. Zanichelli.
CLASSE III C
COMPLEMENTI DI ALGEBRA
Disequazioni con valore assoluto.
Disequazioni irrazionali.
GEOMETRIA ANALITICA
La retta
Richiami sull'equazione e le sue caratteristiche; parallelismo e perpendicolarità; distanza di un punto da una retta.
Luoghi geometrici: asse di un segmento e bisettrice dell'angolo formato da due rette.
Fasci di rette: fasci propri e impropri. Combinazione lineare di due equazioni.
La parabola
Definizione come luogo geometrico e come conica. Fuoco, direttrice, asse, vertice.
Determinazione dell'equazione nel caso di asse coincidente con l'asse y e vertice nell'origine. Equazione nel caso
generale con asse parallelo all'asse y ricavato come traslazione del caso precedente. Equazione nel caso generale con
asse parallelo all'asse x. Significato dei coefficienti.
Posizioni reciproche retta-parabola; condizione di tangenza.
Area del segmento parabolico.
Determinazione dell'equazione di una parabola date alcune condizioni.
Fasci di parabole: punti base, parabole degeneri.
La circonferenza
Definizione come luogo geometrico e come conica.
Determinazione dell'equazione e significato dei coefficienti.
Posizioni reciproche retta-circonferenza. Determinazione di rette tangenti a una circonferenza passanti per un punto
dato: tramite la condizione di tangenza; tramite la distanza retta-centro; nel caso di punto appartenente alla
circonferenza, retta tangente come perpendicolare al raggio.
Determinazione dell'equazione di una circonferenza date alcune condizioni.
Posizioni reciproche tra due circonferenze: asse radicale.
Fasci di circonferenze: asse radicale del fasci, punti base.
L’ellisse
Definizione come luogo geometrico e come conica.
Determinazione dell'equazione dell'ellisse con i fuochi sull'asse x; equazione dell'ellisse con i fuochi sull'asse y.
Significato dei coefficienti.
Simmetrie; vertici e assi; eccentricità.
Posizioni reciproche retta-ellisse. Condizione di tangenza.
Determinazione dell'equazione di un'ellisse date alcune condizioni.
Equazione di un'ellisse con fuochi non appartenenti agli assi ricavata come traslazione del caso precedente.
Ellisse come dilatazione della circonferenza.
L’iperbole
Definizione come luogo geometrico e come conica.
Determinazione dell'equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse x; equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse y.
Significato dei coefficienti.
Simmetrie; vertici e assi; asintoti; eccentricità.
Posizioni reciproche retta-iperbole . Condizione di tangenza.
Determinazione dell'equazione di un' iperbole date alcune condizioni.
Equazione di un' iperbole con fuochi non appartenenti agli assi come traslazione del caso precedente.
Iperbole equilatera: riferita agli assi; riferita agli asintoti; funzione omografica.
Equazione generale di una conica.
GONIOMETRIA
Funzioni goniometriche
Misura degli angoli: gradi e radianti.
Angoli orientati e circonferenza goniometrica.
Funzioni goniometriche seno e coseno: definizione a partire dai triangoli rettangoli e dalla circonferenza goniometrica;
dominio, codominio, periodicità, grafici e simmetrie.
Funzioni tangente e cotangente: definizione come rapporto di coordinate, o a partire dalla retta tangente alla
circonferenza goniometrica; dominio, codominio, periodicità, grafici e simmetrie.
Relazioni fondamentali della goniometria. Seno e coseno in funzione di tangente e cotangente.
Significato goniometrico del coefficiente angolare di una retta.
Funzione secante e cosecante: definizione, dominio, codominio, periodicità, grafici e simmetrie.
Valori delle funzioni goniometriche per angoli particolari del primo quadrante: determinazione geometrica.
Funzioni goniometriche inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente: dominio, codominio e grafico.
Funzioni goniometriche e trasformazioni geometriche. Funzioni sinusoidali: ampiezza, pulsazione, fase iniziale.
Formule goniometriche
Angoli associati: determinazione geometrica delle relazioni tra angoli associati.
Formule di addizione e sottrazione di seno, coseno, tangente e cotangente.
Angolo tra due rette.
Formule di duplicazione e di bisezione.
Formule parametriche.
Libri di testo in adozione: Manuale blu 2.0 di matematica, Vol. 3; Aut. Bergamini-Trifone-Barozzi , Ed Zanichelli.
Siena, 8 giugno 2015
L’INSEGNANTE
Maria De Nicola