numeri complessi in forma trigonometrica

Prof. Chirizzi Marco
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1.6
Forma trigonometrica dei numeri complessi
Talvolta può essere più conveniente esprimere i numeri complessi in forma trigonometrica. Al fine
di passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica, consideriamo la figura 3, in cui è
rappresentato un numero complesso Z = a + jb .
Figura 3. Rappresentazione grafica di un numero complesso.
→
Notiamo che la parte reale a è la proiezione ortogonale del segmento OP lungo l’asse reale, cioè
→
a = Z ⋅ cos α , mentre la parte immaginaria b è la proiezione ortogonale del segmento OP lungo

l’asse immaginario, cioè b = Z ⋅ sen α . Pertanto, il numero complesso scritto in forma algebrica
può essere espresso anche nel modo seguente:
Z = a + jb = Z ⋅ cos α + j ⋅ Z ⋅ sen α = Z ⋅ (cos α + j ⋅ sen α )
La ( 9 ) si chiama forma trigonometrica del numero complesso Z .
Esempio
Consideriamo il numero Z = 1 − j e scriviamolo in forma trigonometrica.
Z = 2
Una volta calcolato il modulo, lo si mette in evidenza al secondo membro del numero Z , cioè:
1 
 1
Z = 2 ⋅
−j

2
 2
(9)
1

cos
α
=

2
e si pone: 
sen α = − 1

2
Risolvendo il sistema si ottiene:
7
α= π
4
Il numero Z scritto in forma trigonometrica è:
7
7 

Z = 2 ⋅  cos π − j sen π 
4
4 

Consideriamo due numeri complessi scritti in forma trigonometrica e calcoliamo il prodotto:
Z 1 = Z1 (cos α + j sen α ),
Z 2 = Z 2 (cos β + j sen β ).
Z1 ⋅ Z 2 = Z1 ⋅ Z 2 ⋅ cos α ⋅ cos β + j Z1 ⋅ Z 2 cos α ⋅ sen β + j Z1 ⋅ Z 2 ⋅ sen α ⋅ cos β +
− Z1 ⋅ Z 2 senα ⋅ sen β = Z1 ⋅ Z 2 ⋅ [(cosα ⋅ cos β − senα ⋅ sen β ) +
( 10 )
+ j (cos α ⋅ sen β + sen α ⋅ cos β ) ] = Z1 ⋅ Z 2 ⋅ [cos (α + β ) + jsen (α + β )]
In definitiva, il prodotto di due numeri complessi, scritti nella forma trigonometrica, è un numero
complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e per fase la somma delle fasi. Si verifica
facilmente che il rapporto di due numeri complessi, scritti in forma trigonometrica, è un numero
complesso avente per modulo il rapporto dei moduli e per fase la differenza delle fasi. In formula si
ha:
Z1 ⋅ (cos α + j sen α ) Z1
Z1
=
=
Z 2 Z 2 ⋅ (cos β + j sen β ) Z 2
[ cos (α − β ) + j sen (α − β ) ]
( 11 )