Trigonometria sferica
Giovanni Torrero
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Indice
Capitolo 1. Geometria sferica
1.1. Concetti introduttivi
1.2. Triangoli sferici
5
5
10
Capitolo 2. Trigonometria sferica
2.1. Teoremi sui triangoli sferici
2.2. Teoremi sui triangoli sferici rettangoli
15
15
24
Capitolo 3. Coordinate geografiche
3.1. Latitudine e longitudine
3.2. Distanza tra due punti
3.3. Coordinate cartesiane
27
27
29
34
Indice analitico
41
Bibliografia
43
3
CAPITOLO 1
Geometria sferica
1.1. Concetti introduttivi
La geometria sferica studia le proprietà delle figure che sono dei
sottoinsiemi dell’insieme formato da tutti i punti di una superficie
sferica.
Definition 1.1. (Circonferenza massima) Data una sfera si definisce
circonferenza massima ogni circonferenza che si ottiene intersecando la superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera
stessa.
F IGURA 1.1.1. Circonferenza massima
5
6
1. GEOMETRIA SFERICA
Remark 1.2. Nella geometria sferica la circonferenza massima gioca
lo stesso ruolo della retta nella geometria piana.
Theorem 1.3. Presi due punti distinti su una sfera per essi passa
una ed una sola circonferenza massima.
F IGURA 1.1.2. Circonferenza massima per due punti
D IMOSTRAZIONE . I due punti A e B e il centro O non sono allineati
quindi individuano uno ed un solo piano che passa per il centro della
sfera e quindi una ed una sola circonferenza massima che passa per
i due punti dati.
Definition 1.4. (Poli di una circonferenza massima) Data una circonferenza massima si consideri la perpendicolare al piano della circonferenza passante per il centro O della sfera, detta perpendicolare
verrà chiamata asse relativo alla circonferenza massima considerata. L’asse della circonferenza massima incontra la sfera in due punti chiamati poli, fissato un verso di percorrenza della circonferenza
1.1. CONCETTI INTRODUTTIVI
7
massima, un omino che percorra la circonferenza nel verso prescelto vedrà il polo nord PN alla sua sinistra e il polo sud PS alla sua
destra.
F IGURA 1.1.3. Poli
Definition 1.5. (Distanza sferica o segmento sferico) Dati due punti
A e B , distinti, su una sfera, esiste una ed una sola circonferenza massima che li contiene, i due punti individuano su questa circonferenza due archi, il minore di essi si chiama distanza sferica o
segmento sferico tra i due punti
8
1. GEOMETRIA SFERICA
F IGURA 1.1.4. Distanza sferica
ˆ e
Se si indica con a la misura in radianti dell’angolo al centro AOB
si suppone che l’unità di misura per le lunghezze sia il raggio della
_
circonferenza 1 allora la misura dell’arco AB è proprio a .
Remark 1.6. D’ora innanzi le sfere considerate avranno tutte raggio
unitario, questo equivale a dire che il raggio della sfera viene scelto
come unità di misura per le lunghezze.
Definition 1.7. (Fuso sferico) Data una sfera si considerino due piani
passanti per il suo centro essi individuano due circonferenze massime che dividono la superficie sferica in quattro parti ciascuna delle
quali si chiama fuso sferico.
1
Imporre che l’unità di misura per le lunghezze si il raggio della sfera è come
imporre che la sfera abbia raggio unitario.
1.1. CONCETTI INTRODUTTIVI
9
F IGURA 1.1.5. Fuso sferico
L’ampiezza α dell’angolo diedro che determina il fuso, espressa in
radianti, è anche l’ampiezza del fuso sferico.
Theorem 1.8. L’area di un fuso sferico di ampiezza α è data da:
Area = 2α
D IMOSTRAZIONE . Vi è una proporzionalità diretta tra l’area del
fuso e la sua ampiezza e la sfera stessa può essere pensata come
un fuso di ampiezza 2π , di conseguenza è possibile scrivere la
10
1. GEOMETRIA SFERICA
seguente proporzione
2π : 4π = α : Area
Area = 2α
Definition 1.9. (Circonferenze massime perpendicolari)Su una superficie sferica due circonferenze massime si dicono perpendicolari
se incontrandosi individuano quattro fusi retti.
Definition 1.10. (Angolo tra due semicirconferenze massime) Due
semicirconferenze massime, aventi il diametro in comune, individuano un fuso, la sua ampiezza è anche l’ampiezza dell’angolo formato dalle due semicirconferenze.
Theorem 1.11. L’ampiezza di un fuso sferico è sempre minore o
uguale a π e quindi anche l’angolo tra due circonferenze massime
segue la stessa limitazione.
D IMOSTRAZIONE . Infatti due piani che si intersecano individuano
quattro diedri, a due a due uguali, ciascuno dei quali è minore o
uguale ad un angolo piatto.
Questa limitazione può essere in alcuni casi fastidiosa, ma così come
si possono considerare diedri concavi, volendo si possono anche
definire fusi sferici concavi con ampiezza compresa tra π e 2π . 1.2. Triangoli sferici
Definition 1.12. (Doppio fuso sferico) Ad ogni fuso sferico possiamo
associare un secondo fuso sferico ad esso opposto al vertice e quindi ad esso uguale i cui lati sono il prolungamento dei lati del primo
fuso, come è indicato in figura.
1.2. TRIANGOLI SFERICI
11
F IGURA 1.2.1. Doppio fuso sferico
L’unione di questi due fusi forma il doppio fuso sferico.
Essendo i due fusi uguali se la loro ampiezza è α la loro area sarà
4α .
Definition 1.13. (Triangolo sferico) Sulla sfera consideriamo tre punti A, B, C, non appartenenti ad una stessa circonferenza massima,
essi individueranno tre fusi sferici, il fuso BAC tale che BA e CA
siano dei segmenti, il fuso ABC tale che AB e CB siano dei segmenti, il fuso ACB tale che AC e BC siano dei segmenti, l’intersezione
di questi tre fusi forma il triangolo sferico.
12
1. GEOMETRIA SFERICA
F IGURA 1.2.2. Triangolo sferico
Theorem 1.14. Considerato un triangolo sferico ABC , individuato
dai tre fusi sferici di ampiezza rispettivamente: Â, B̂, Ĉ , l’area del
triangolo sferico è data da:
Area = Â + B̂ + Ĉ − π
D IMOSTRAZIONE . Dalla figura sottostante si deduce che unendo
i tre doppi fusi sferici di ampiezza  , B̂ , Ĉ si ricopre tutta la sfera,
A0 B 0 C 0 è il sim- una volta sola la parte esterna ai due triangoli ABC e A0 B 0 C 0 e tre
metrico di ABC volte ciascuno dei due triangoli.
rispetto al centro
della sfera
1.2. TRIANGOLI SFERICI
13
F IGURA 1.2.3. Area del triangolo sferico
Tenendo conto di ciò che è già noto sull’area dei fusi sferici e del fatto
che l’area della superficie sferica di raggio 1 è 4π si può scrivere:
4π = 4 Â + 4 B̂ + 4Ĉ − 4 Area
Area = Â + B̂ + Ĉ − π
Corollary 1.15. La somma degli angoli interni di un triangolo sferico
è maggiore, o al più uguale ad un angolo piatto.
D IMOSTRAZIONE . Infatti da quanto detto in precedenza si ha
 + B̂ + Ĉ = π + Area
14
e Area è una quantità positiva o al più nulla.
1. GEOMETRIA SFERICA
CAPITOLO 2
Trigonometria sferica
2.1. Teoremi sui triangoli sferici
Remark 2.1. Come già detto prima le sfere considerate saranno tutte
sfere trigonometriche, cioè sfere di raggio unitario, pertanto un qualsiasi segmento su dette sfere avrà una lunghezza 1 il cui valore sarà
l’ampiezza del corrispondente angolo al centro espresso in radianti.
F IGURA 2.1.1. Lunghezza del segmento sferico
Theorem 2.2. (Teorema del coseno o di Eulero) Con riferimento alla
figura sottostante, in un triangolo sferico valgono le seguenti formule:
cos(a) = cos(b) · cos(c) + sin(b) · sin(c) · cos(α)
cos(c) = cos(a) · cos(b) + sin(a) · sin(b · cos(γ)
cos(b) = cos(a) · cos(c) + sin(a) · sin(c) · cos(β)
1
Le lunghezze vengono espresse usando come unità di misura il raggio della
sfera
15
16
2. TRIGONOMETRIA SFERICA
F IGURA 2.1.2. Teorema del coseno
D IMOSTRAZIONE . Disegnato il triangolo sferico, avente i lati minori di π2 , si completa la costruzione con il piano α individuato dai tre
punti C , O, A . Dal vertice B del triangolo si conduce la tangente
alla circonferenza massima che individua il lato a e a quella che individua il lato c , i punti di intersezione di dette tangenti con il piano
α definiscono i due punti M eN . Si fissi l’attenzione sul triangolo
rettangolo M OB
2.1. TEOREMI SUI TRIANGOLI SFERICI
17
F IGURA 2.1.3. Triangolo MOB
Dalla trigonometria piana si deduce che:
M B = tan(a)
1
MO =
cos(a)
In modo analogo, ragionando sul triangolo rettangolo N OB si ricava
che
N B = tan(c)
1
NO =
cos(c)
Applicando il teorema di Carnot al triangolo M N O si ottiene
M N 2 = M O2 + N O2 − 2 · M O · N O · cos(b)
1
1
1
1
MN2 = =
+
−
2
·
·
· cos(b)
cos2 (a) cos2 (c)
cos(a) cos(c)
cos2 (c) + cos2 (a) − 2 · cos(a) · cos(b) · cos(c)
MN2 =
cos2 (a) · cos2 (c)
Applicando il teorema di Carnot al triangolo M N B si ottiene
M N 2 = M B 2 + N B 2 − 2M B · N B · cos(β)
18
2. TRIGONOMETRIA SFERICA
cos2 (c) + cos2 (a) − 2 · cos(a) · cos(b) · cos(c)
=
cos2 (a) · cos2 (c)
= tan2 (a) + tan2 (c) − 2 tan(a) · tan(c) · cos(β)
cos2 (c) + cos2 (a) − 2 · cos(a) · cos(b) · cos(c)
=
(
(
2 ((((
cos
(a) · cos2 (c)
((
(
sin2 (a) · cos2 (c) + sin2 (c) · cos2 (a) − 2 · cos(a) · cos(c) · cos(β) · sin(a) · sin(c)
=
(
(
2 ((((
cos
(a) · cos2 (c)
((
(
2 cos2 (a) · cos2 (c) − 2 · cos(a) · cos(b) · cos(c) =
= −2 · cos(a) · cos(c) · cos(β) · sin(a) · sin(c)
2 · cos(a) · cos(c) = 2 · cos(b) − 2 cos(β) · sin(a) · sin(c)
cos(b) = cos(a) · cos(c) + sin(a) · sin(c) · cos(β)
In modo analogo si possono dimostrare altre due formule
cos(a) = cos(b) · cos(c) + sin(b) · sin(c) · cos(α)
cos(c) = cos(a) · cos(b) + sin(a) · sin(b · cos(γ)
Theorem 2.3. (Teorema dei seni) Dimostrare le seguenti uguaglianze:
sin(a)
sin(b)
sin(c)
=
=
sin(α)
sin(β)
sin(γ)
2.1. TEOREMI SUI TRIANGOLI SFERICI
19
F IGURA 2.1.4. Teorema dei seni
D IMOSTRAZIONE . Dal punto A si conduca la perpendicolare AH
al piano individuato dai tre punti BOC , dal punto H si conduca la
perpendicolare HL alla retta OB e la perpendicolare HK alla retta
OC . Per il teorema delle tre perpendicolari [1, a pagina 134 ] la
retta OB è perpendicolare al piano individuato dai punti ALH quindi
ˆ è una sezione normale del diedro che individua il fuso
l’angolo ALH
ˆ = β . In modo analogo si
sferico con vertice in B , quindi ALH
ˆ = γ . Considerando il triangolo ALO, rettangolo
dimostra che AKH
in L , si ha che
AL = sin(c)
Considerando il triangolo ALH, rettangolo in H , si ha che
AH = AL · sin(β)
AH = sin(c) · sin(β)
Considerando il triangolo AKO, rettangolo in K , si ha che
AK = sin(b)
20
2. TRIGONOMETRIA SFERICA
Considerando il triangolo AKH, rettangolo in H , si ha che
AH = AK · sin(γ)
AH = sin(b) · sin(γ)
Dalle precedenti equazioni si deduce che
sin(c) · sin(β) = sin(b) · sin(γ)
sin(c)
sin(b)
=
sin(γ)
sin(β)
In modo analogo si dimostra che
sin(b)
sin(c)
sin(a)
=
=
sin(α)
sin(β)
sin(γ)
Theorem 2.4. (formule di Vieta) In un triangolo sferico valgono le
seguenti formule:
cot(a) · sin(b) = cos(b) · cos(γ) + sin(γ) · cot(α)
cot(a) sin(c) = cos(c) · cos(β) + sin(β) · cot(α)
cot(b) sin(c) = cos(c) · cos(α) + sin(α) · cot(β)
cot(b) sin(a) = cos(a) · cos(γ) + sin(γ) · cot(β)
cot(c) sin(a) = cos(a) · cos(β) + sin(β) · cot(γ)
2.1. TEOREMI SUI TRIANGOLI SFERICI
F IGURA 2.1.5. Regola di Vieta
D IMOSTRAZIONE . Dal teorema di Eulero 2.2 a pagina 15 si ha
cos(a) = cos(b) · cos(c) + sin(b) · sin(c) · cos(α)
cos(c) = cos(a) · cos(b) + sin(a) · sin(b) · cos(γ)
Dal teorema dei seni 2.3 a pagina 18 si ha
sin(a)
sin(c)
=
sin(α)
sin(γ)
21
22
2. TRIGONOMETRIA SFERICA
sostituendo si ha
cos(a) = cos(b) · [cos(a) · cos(b) + sin(a) · sin(b) · cos(γ)] + · · ·
· · · + sin(b) · sin(c) · cos(α)
sin(c) =
sin(a) · sin (γ)
sin(α)
cos(a) = cos(a) · cos2 (b) + cos(b) · sin(a) · sin(b) · cos(γ) + · · ·
· · · + sin(b) · sin(a) · sin (γ) cot(α)
cos(a) · sin2 (b) = cos(b) · sin(a) · sin(b) · cos(γ) + · · ·
· · · + sin(b) · sin(a) · sin (γ) · cot(α)
· cos(γ)
· cos(b) · sin(a)
sin(b)
cos(a) · sin2 (b)
=
+ ···
sin(b)
sin(a) · · sin(a)
sin(b)
· sin (γ) · cot(α)
sin(a)
·
sin(b)
··· + · sin(a)
sin(b)
cot(a) · sin(b) = cos(b) · cos(γ) + sin(γ) · cot(α)
La regola di cui sopra, detta regola di Vieta, ha uno schema del tipo
cot(..) sin(..) = cos(..) · cos(..) + sin(..) · cot(..)
Per riempire gli spazi vuoti si segue la seguente figura
2.1. TEOREMI SUI TRIANGOLI SFERICI
23
F IGURA 2.1.6. Schema regola di Vieta
e cioè:
primo lato —>secondo lato —> angolo tra i due lati—> angolo
opposto al primo lato
Con questi schemi si possono scrivere altre regole
cot(a) sin(c) = cos(c) · cos(β) + sin(β) · cot(α)
cot(b) sin(c) = cos(c) · cos(α) + sin(α) · cot(β)
cot(b) sin(a) = cos(a) · cos(γ) + sin(γ) · cot(β)
cot(c) sin(a) = cos(a) · cos(β) + sin(β) · cot(γ)
cot(c) sin(b) = cos(b) · cos(α) + sin(α) · cot(γ)
24
2. TRIGONOMETRIA SFERICA
2.2. Teoremi sui triangoli sferici rettangoli
Theorem 2.5. =In un triangolo rettangolo sferico, i cui lati siano tutti
π
minori di , indicando con c l’ipotenusa e con a e b i due cateti si ha
2
che:
cos(c) = cos(a) · cos(b)
F IGURA 2.2.1. Triangoli sferici rettangoli
D IMOSTRAZIONE . Ne punto C si tracci il piano α tangente alla
sfera e quindi perpendicolare al raggio CO . Si consideri la retta OB
e sia D il punto di intersezione di tale retta con il piano α , analogamente sia E il punto di intersezione della retta OA con lo stesso
piano. L’angolo DCE è retto in quanto è la sezione normale dell’angolo diedro che individua il fuso sferico di vertice C che è retto per
ipotesi.
2.2. TEOREMI SUI TRIANGOLI SFERICI RETTANGOLI
25
Si consideri il triangolo DCO , rettangolo in C , essendo CO = 1 si
può scrivere
DC = tan(a)
1
DO =
cos(a)
Analogamente considerando il triangolo rettangolo COE si può scrivere:
CE = tan(b)
1
OE =
cos(b)
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo DCE si ha:
DE 2 = tan2 (a) + tan2 (b)
Applicando il teorema di Carnot al triangolo DEO abbiamo
DE 2 = DO2 + OE 2 − 2 · DO · OE · cos(c)
1
1
2
tan2 (a) + tan2 (b) =
+
−
cos(c)
2
2
cos (a) cos (b) cos(a) · cos(b)
cos2 (b) · sin2 (a) + cos2 (a) · sin2 (b) = cos2 (a) + cos2 (b) − 2 cos(a) cos(b) cos(c)
2 cos(a) cos(b) cos(c) = 2 cos2 (a) · cos2 (b)
cos(c) = cos(a) · cos(b)
Questo teorema si poteva dimostrare come semplice applicazione
del teorema del coseno.
Claim 2.6. Il teorema precedente si poteva dedurre molto più facilmente dal teorema di Eulero, dalle regole di Vieta 2.4 a pagina 20 si
possono dedurre, ponendo γ = 90° , le seguenti formule valide per il
triangolo rettangolo sferico.
26
2. TRIGONOMETRIA SFERICA
F IGURA 2.2.2. Triangolo sferico rettangolo
Dalle formule di Vieta 2.4 a pagina 20 si ricava che:
cot(a) · sin(b) = cot(α)
sin(b) = tan(a) · cot(α)
In modo analogo si può dimostrare
sin(a) = tan(b) · cot(β)
Da un’altra delle formule di Vieta si ricava:
cot(c) sin(a) = cos(a) · cos(β)
cos(β) = tan(a) · cot(c)
In modo analogo si ricava:
cos(α) = tan(β) · cot(c)
CAPITOLO 3
Coordinate geografiche
3.1. Latitudine e longitudine
Definition 3.1. (Longitudine e latitudine) Come è noto in geografia
la terra viene considerata sferica con una particolare retta che passa
per il suo centro, l’asse di rotazione terrestre.
27
28
3. COORDINATE GEOGRAFICHE
F IGURA 3.1.1. Terra
Dalla figura è assolutamente evidente come viene individuato un
punto P sulla superficie terrestre, c’è solo da aggiungere che la latitudine viene suddivisa in Nord e Sud ed è un angolo compreso tra
0° e 90°, mentre la longitudine viene suddivisa tra Est e Ovest ed è
un angolo compreso tra 0° e 180°.
Se assumiamo come unità di misura per le lunghezze il raggio della
terra trasformiamo la terra in una sfera trigonometrica e quindi la
lunghezza dell’arco F M sarà pari alla longitudine di P , che verrà
abbreviata con longP ,la lunghezza in metri dell’arco F M sarà allora
longP · R , dove R è la lunghezza in metri del raggio della terra.
3.2. DISTANZA TRA DUE PUNTI
29
3.2. Distanza tra due punti
Theorem 3.2. Dimostrare che la distanza tra due punti A e B di uno
stesso quarto di sfera (ad esempio Nord_Est) è data da
_
AB = arccos [sin (latA ) · sin (latB ) + cos (latA ) · cos (latB ) · cos (∆long)]
, vedere la figura sottostante,
F IGURA 3.2.1. Distanza tra due punti
D IMOSTRAZIONE . Come è noto la distanza tra due punti, in geometria sferica, è la lunghezza dell’arco più piccolo che i due punti
individuano sulla circonferenza massima che passa per i due punti
stessi.
30
3. COORDINATE GEOGRAFICHE
Si consideri il triangolo sferico N AB , esso ha:
ˆ B = A0 OB
ˆ 0 = longB − longA = ∆long
. l’angolo sferico AN
_
π
. il lato sferico N A = − latA
2
_
π
. il lato sferico N B = − latB
2
Applicando il teorema del coseno a detto triangolo , vedere il teorema 2.2 a pagina 15, si ottiene :
_
_
_
_
_
ˆ B)
cos(AB) = cos(N A) · cos(N B) + sin(N A) · sin(N B) · cos(AN
_
π
π
π
π
cos(AB) = cos
− latA · cos
− latB + sin
− latA · sin
− latB · cos (∆long)
2
2
2
2
_
cos(AB) = sin (latA ) · sin
(3.2.1)
(latB ) + cos (latA ) · cos (latB ) · cos (∆long)
_
AB = arccos [sin (latA ) · sin (latB ) + cos (latA ) · cos (latB ) · cos (∆long)]
Theorem 3.3. Dimostrare che in un triangolo sferico esiste la seguente
relazione
sin2 (α) =
sin2 (∆long) · cos2 (latB )
1 − sin2 (latA ) · sin2 (latB ) − cos2 (latA ) · cos2 (latB ) · cos2 (∆long) + · · ·
· · · − 2 · sin (latA ) · sin (latB ) · cos (latA ) · cos (latB ) · cos (∆long)
3.2. DISTANZA TRA DUE PUNTI
31
F IGURA 3.2.2. Calcolo della direzione
D IMOSTRAZIONE . Si applichi il teorema dei seni al triangolo sferico N AB
sin
π
− latB
2
sin(α)
_ sin AB
=
cos2 (latB )
=
sin2 (α)
sin (∆long)
_ 2
1 − cos AB
sin2 (∆long)
32
3. COORDINATE GEOGRAFICHE
Usando la 3.2.1 a pagina 30 si ha
2
cos
_
AB = [sin (latA ) · sin (latB ) + cos (latA ) · cos (latB ) · cos (∆long)]2 = .0
= sin2 (latA ) · sin2 (latB ) + cos2 (latA ) · cos2 (latB ) · cos2 (∆long) + · · ·
· · · + 2 · sin (latA ) · sin (latB ) · cos (latA ) · cos (latB ) · cos (∆long)
Ritornando all’equazione precedente
sin2 (α) =
sin2 (α) =
sin2 (∆long) · cos2 (latB )
_ 1 − cos2 AB
sin2 (∆long) · cos2 (latB )
1 − sin2 (latA ) · sin2 (latB ) − cos2 (latA ) · cos2 (latB ) · cos2 (∆long) + · · ·
· · · − 2 · sin (latA ) · sin (latB ) · cos (latA ) · cos (latB ) · cos (∆long)
L’espressione ottenuta è piuttosto complessa, non esiste su nessun
manuale, provo a trovare qualche cosa di più utilizzabile.
Theorem 3.4. Con riferimento alla figura seguente dimostrare che
l’angolo α , detto anche rotta iniziale, soddisfa alla seguente uguaglianza:
tan (α) =
sin (∆long)
tan (latB ) · cos (latA ) − sin (latA ) · cos (∆long)
3.2. DISTANZA TRA DUE PUNTI
33
F IGURA 3.2.3. Rotta iniziale
D IMOSTRAZIONE . Si consideri la formula di Vieta 2.4 a pagina 20
_ _ _ cot N B · sin N A = cos N A · cos (∆long) + sin (∆long) · cot (α)
π
π
π
cot
− latB · sin
− latA
= cos
− latA · cos (∆long) + sin (∆long) · cot (α)
2
2
2
tan (latB ) · cos (latA ) = sin (latA ) · cos (∆long) + sin (∆long) · cot (α)
tan (latB ) · cos (latA ) − sin (latA ) · cos (∆long)
cot (α) =
sin (∆long)
sin (∆long)
tan (α) =
tan (latB ) · cos (latA ) − sin (latA ) · cos (∆long)
34
3. COORDINATE GEOGRAFICHE
3.3. Coordinate cartesiane
La sfera trigono- Theorem 3.5. Data la sfera trigonometrica , con riferimento alla figumetrica è la sfera ra sottostante, dimostrare le relazioni 3.3.1.
di raggio unitario
F IGURA 3.3.1. Coordinate cartesiane
D IMOSTRAZIONE . Dalla figura si deduce che
−→
(3.3.1)
OQ = cos (lat)
−→
OZ = sin (lat)
−−→
OX = cos (lat) |cos (long)|
−−→
OY = cos (lat) |sin (long)|
3.3. COORDINATE CARTESIANE
35
La terra può essere considerata approssimativamente una sfera, se
come unità di misura delle lunghezze si assume il raggio della terra
questa sfera diventa la sfera trigonometrica. L’equatore e il meridiano
di Greenwich dividono la superficie terrestre in quattro parti uguali:
la zona di nord-est, la zona di nord-ovest, la zona di sud-est, la zona
di sudovest, ricordando come vengono definite la latitudine e la longitudine di un punto sulla superficie terrestre si può dire che le coordinate cartesiane di un punto della superficie terrestre, nel sistema
di riferimento indicato nella figura di cui sopra, saranno:
Nord-est:
x = cos (lat) · cos (long)
y = cos (lat) · sin (long)
z = sin (lat)
Nord-ovest:
x = cos (lat) · cos (long)
y = − cos (lat) · sin (long)
z = sin (lat)
Sud-est:
x = cos (lat) · cos (long)
y = cos (lat) · sin (long)
z = − sin (lat)
Sud-ovest:
x = cos (lat) · cos (long)
y = − cos (lat) · sin (long)
z = − sin (lat)
Theorem 3.6. Con riferimento alla figura seguente dimostrare che
vale la seguente uguaglianza:
s
tan (ϕ) =
[cos (latP ) · sin (latQ ) − sin (latP ) · cos (latQ ) · cos (∆long)]2 + · · ·
· · · + [cos (latQ ) · sin (∆long)]2
cos (latP ) · cos (latQ ) · cos (∆long) + sin (latP ) · sin (latQ )
36
3. COORDINATE GEOGRAFICHE
F IGURA 3.3.2. Distanza tra due punti
D IMOSTRAZIONE . Essendo la sfera una sfera trigonometrica avente
_
raggio unitario la distanza P Q coincide con l’angolo ϕ formato dai
−→ −→
due vettori OP e OQ . Il punto T è il punto di intersezione tra il piano
tangente alla sfera in P e la retta OQ , di conseguenza il segmento
P T rappresenta la tangente dell’angolo ϕ . Le coordinate di P sono
note dal teorema precedente, bisogna calcolare quelle di T .
Il piano tangente α ha una equazione del tipo
ax + by + cz + d = 0
3.3. COORDINATE CARTESIANE
37
dove a, b, c sono le componenti di un vettore perpendicolare al piano
−→
stesso (si veda [2, a pag. 158 ]) , il vettore OP è perpendicolare al
piano α , dal teorema precedente
−→
−
−
−
OP = [cos (latP ) · cos (longP )] →
ux + [cos (latP ) · sin (longP )] →
uy + [sin (latp )] →
uz
L’equazione del piano α sarà del tipo
[cos (latP ) · cos (longP )] x + [cos (latP ) · sin (longP )] y + [sin (latp )] z + d = 0
Il piano α deve passare per il punto P che ha come coordinate
xP = cos (latP ) · cos (longP )
yP = cos (latP ) · sin (longP )
zP = sin (latP )
di conseguenza
[cos (latP ) · cos (longP )]2 + [cos (latP ) · sin (longP )]2 + [sin (latp )]2 + d = 0
cos2 (latP ) cos2 (longP ) + sin2 (longP ) + sin2 (latP ) + d = 0
d = −1
L’equazione del piano α sarà la seguente:
[cos (latP ) · cos (longP )] x + [cos (latP ) · sin (longP )] y + [sin (latP )] z = 1
La retta OQ ha le seguenti equazioni parametriche
x = [cos (latQ ) · cos (longQ )] · t
y = [cos (latQ ) · sin (longQ )] · t
z = [sin (latQ )] · t
sostituendo nell’equazione del piano α si ha
[cos (latP ) · cos (longP )] · [cos (latQ ) · cos (longQ )] · t + · · · · · ·
· · · · · ·+[cos (latQ ) · sin (longQ )]·[cos (latP ) · sin (longP )]·t+[sin (latP )] [sin (latQ )]·t = 1
t=
1
cos (latP ) · cos (longP ) · cos (latQ ) · cos (longQ ) + · · ·
· · · + cos (latQ ) · sin (longQ ) · cos (latP ) · sin (longP ) + sin (latP ) · sin (latQ )
38
3. COORDINATE GEOGRAFICHE
t=
t=
1
cos (latP ) · cos (latQ ) [cos (longP ) · cos (longQ ) + sin (longP ) · sin (longQ )] + · · ·
· · · + sin (latP ) · sin (latQ )
1
cos (latP ) · cos (latQ ) · cos (longQ − longP ) + sin (latP ) · sin (latQ )
Le coordinate del punto T , intersezione tra la retta OQ e il piano α ,
saranno
xT =
cos (latQ ) · cos (longQ )
cos (latP ) · cos (latQ ) · cos (longQ − longP ) + sin (latP ) · sin (latQ )
yT =
cos (latQ ) · sin (longQ )
cos (latP ) · cos (latQ ) · cos (longQ − longP ) + sin (latP ) · sin (latQ )
zT =
sin (latQ )
cos (latP ) · cos (latQ ) · cos (longQ − longP ) + sin (latP ) · sin (latQ )
∆x = xT − xP =
=
=
cos (latQ ) · cos (longQ )
+ ···
cos (latP ) · cos (latQ ) · cos (longQ − longP ) + sin (latP ) · sin (latQ )
· · · − cos (latP ) · cos (longP ) =
cos (latQ ) · cos (longQ ) − sin (latP ) · sin (latQ ) · cos (latP ) · cos (longP ) + · · ·
· · · − cos2 (latP ) · cos (latQ ) · cos (longQ − longP ) · cos (longP )
cos (latP ) · cos (latQ ) · cos (longQ − longP ) + sin (latP ) · sin (latQ )
I calcoli si stanno complicando oltremodo, bisognerebbe
calcolare
p
ancora ∆y e ∆z per poi usare la formula tan (ϕ) = ∆x2 + ∆y 2 + ∆z 2
, un tentativo fatto con Maxima ha condotto a un risultato lungo
mezza pagina e quindi assolutamente inutilizzabile, l’idea migliore
è quella di abbandonare tutto e cercare un’altra strada.
3.3. COORDINATE CARTESIANE
39
L’angolo ϕ lo si può calcolare sfruttando le proprietà del prodotto
scalare tra due vettori:
−→ −→
OP × OQ = cos (ϕ)
cos (latP ) · cos (longP ) · cos (latQ ) · cos (longQ ) + · · ·
· · · + cos (latP ) · sin (longP ) · cos (latQ ) · sin (longQ ) + sin (latP ) · sin (latQ ) = cos (ϕ)
cos (latP ) · cos (latQ ) · cos (∆long) + sin (latP ) · sin (latQ ) = cos(ϕ)
Il risultato ottenuto è identico alla 3.2.1 a pagina 30, per ottenere
qualche cosa di diverso si può usare la famosa formula :
p
1 − cos2 (ϕ)
tan (ϕ) =
cos (ϕ)
s
1 − cos2 (latP ) · cos2 (latQ ) · cos2 (∆long) − sin2 (latP ) · sin2 (latQ ) + · · ·
· · · − 2 cos (latP ) · cos (latQ ) · cos (∆long) · sin (latP ) · sin (latQ )
tan (ϕ) =
cos (latP ) · cos (latQ ) · cos (∆long) + sin (latP ) · sin (latQ )
v
u
u
u
t
tan (ϕ) =
1 − 1 − sin2 (latP ) · cos2 (latQ ) · cos2 (∆long) + · · ·
· · · − [1 − cos2 (latP )] · sin2 (latQ )
· · · − 2 cos (latP ) · cos (latQ ) · cos (∆long) · sin (latP ) · sin (latQ )
cos (latP ) · cos (latQ ) · cos (∆long) + sin (latP ) · sin (latQ )
v
u
u 1 + sin2 (latP ) · cos2 (latQ ) · cos2 (∆long) − sin2 (latQ ) + · ··
u
t · · · + cos2 (latP ) · sin2 (latQ ) − cos2 (latQ ) · 1 − sin2 (∆long) +
· · · − 2 cos (latP ) · cos (latQ ) · cos (∆long) · sin (latP ) · sin (latQ )
tan (ϕ) =
cos (latP ) · cos (latQ ) · cos (∆long) + sin (latP ) · sin (latQ )
v
u
2 u 1 − sin2
cos
(latQ ) + sin2 (latP ) · cos2 (latQ ) · cos2 (∆long) + · · ·
(lat
Q) − u
· · · + cos2 (latP ) · sin2 (latQ ) + cos2 (latQ ) · sin2 (∆long) +
t
· · · − 2 cos (latP ) · cos (latQ ) · cos (∆long) · sin (latP ) · sin (latQ )
tan (ϕ) =
cos (latP ) · cos (latQ ) · cos (∆long) + sin (latP ) · sin (latQ )
40
3. COORDINATE GEOGRAFICHE
s
tan (ϕ) =
[cos (latP ) · sin (latQ ) − sin (latP ) · cos (latQ ) · cos (∆long)]2 + · · ·
· · · + [cos (latQ ) · sin (∆long)]2
cos (latP ) · cos (latQ ) · cos (∆long) + sin (latP ) · sin (latQ )
Indice analitico
Angolo tra due semicirconferenze
massime, 10
asse relativo alla circonferenza
massima, 6
Circonferenza massima, 5
Circonferenze massime
perpendicolari, 10
Distanza sferica o segmento sferico,
7
Doppio fuso sferico, 10
formule di Vieta, 20
Fuso sferico, 8
Longitudine e latitudine, 27
Poli di una circonferenza massima, 6
rotta iniziale, 32
Teorema dei seni, 18
Teorema del coseno o di Eulero, 15
Triangolo sferico, 11
41
Bibliografia
[1] L. Cateni R. Fortini. La Geometria per il liceo Classico e Artistico 2, volume
secondo. Le Monnier, Firenze, 1986.
[2] C. Longo. LEZIONI DI GEOMETRIA, volume unico. Libreria eredi Virgilio
Veschi, Roma Viale dell’Università, 7, 1970.
43
