Componenti del momento angolare in coordinate sferiche
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Università degli Studi di Perugia - Corso di Laurea Triennale in Fisica Corso di Meccanica Quantistica ~ in coordinate sferiche Componenti di L ∂~r Indichiamo con êr , êθ , êϕ i versori tangenti alle linee coordinate r, θ e ϕ. I vettori , ∂r ∂~r ∂~r , hanno le stesse direzioni e i loro versori sono quindi êr , êθ , êϕ . Dalle espressioni di ∂θ ∂ϕ x, y, z in coordinate sferiche, cioè da ~r = (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) segue quindi ∂~r = êr , ∂r ∂~r = r êθ , ∂θ ∂~r = r sin θ êϕ ∂ϕ dove êr = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) , êθ = (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, − sin θ) , êϕ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0) . êr , êθ , êϕ formano una terna ortogonale sinistrorsa di versori (cioè: êr × êθ = êϕ , êθ × êϕ = êr , êϕ × êr = êθ ). Si ha inoltre ~ = ∂~r · ∇ ~ = ∂ , êr · ∇ ∂r ∂r ~ = 1 ∂~r · ∇ ~ =1 ∂ , êθ · ∇ r ∂θ r ∂θ ~ = êϕ · ∇ 1 ∂~r ~ 1 ∂ ·∇= . r sin θ ∂ϕ r sin θ ∂ϕ Per cui il gradiente in coordinate sferiche è dato da: ∂ ~ = êr ∂ + êθ 1 ∂ + êϕ 1 ∇ . ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ ~ allora segue: Per L ∂ ~ = −i~ ~r × ∇ ~ = −i~ r êr × êr ∂ + êθ 1 ∂ + êϕ 1 L ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ ∂ 1 ∂ = i~ −êϕ + êθ , ∂θ sin θ ∂ϕ in cui ogni dipendenza da r è scomparsa, perciò possiamo metterci sulla sfera unitaria (r = 1). Dalle componenti cartesiane di êθ ed êϕ , seguono le espressioni di Lx , Ly e Lz in coordinate sferiche: ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + cot θ cos ϕ , Ly = i~ − cos ϕ + cot θ sin ϕ , Lz = −i~ . Lx = i~ sin ϕ ∂θ ∂ϕ ∂θ ∂ϕ ∂ϕ Inoltre si possono definire gli operatori ∂ ∂ L± ≡ Lx ± iLy = ~e±iϕ ± + i cot θ . ∂θ ∂ϕ Infine dalle identità: êϕ · ∂êϕ ∂êθ ∂êθ = êϕ · = êθ · =0, ∂θ ∂θ ∂ϕ -1- êθ · ∂êϕ = − cos θ , ∂ϕ Meccanica Quantistica ~2 : segue l’espressione per L ∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ 2 2 ~ ~ ~ L = L · L = −~ −êϕ + êθ · −êϕ + êθ ∂θ sin θ ∂ϕ ∂θ sin θ ∂ϕ 2 2 ∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 2 2 = −~ + cot θ = −~ . + sin θ + ∂θ2 ∂θ sin2 θ ∂ϕ2 sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ2 -2-
