Università degli Studi di Perugia - Corso di Laurea Triennale in Fisica
Corso di
Meccanica Quantistica
~ in coordinate sferiche
Componenti di L
∂~r
Indichiamo con êr , êθ , êϕ i versori tangenti alle linee coordinate r, θ e ϕ. I vettori
,
∂r
∂~r ∂~r
,
hanno le stesse direzioni e i loro versori sono quindi êr , êθ , êϕ . Dalle espressioni di
∂θ ∂ϕ
x, y, z in coordinate sferiche, cioè da
~r = (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)
segue quindi
∂~r
= êr ,
∂r
∂~r
= r êθ ,
∂θ
∂~r
= r sin θ êϕ
∂ϕ
dove
êr = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) ,
êθ = (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, − sin θ) ,
êϕ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0) .
êr , êθ , êϕ formano una terna ortogonale sinistrorsa di versori (cioè: êr × êθ = êϕ , êθ × êϕ = êr ,
êϕ × êr = êθ ). Si ha inoltre
~ = ∂~r · ∇
~ = ∂ ,
êr · ∇
∂r
∂r
~ = 1 ∂~r · ∇
~ =1 ∂ ,
êθ · ∇
r ∂θ
r ∂θ
~ =
êϕ · ∇
1 ∂~r ~
1
∂
·∇=
.
r sin θ ∂ϕ
r sin θ ∂ϕ
Per cui il gradiente in coordinate sferiche è dato da:
∂
~ = êr ∂ + êθ 1 ∂ + êϕ 1
∇
.
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
~ allora segue:
Per L
∂
~ = −i~ ~r × ∇
~ = −i~ r êr × êr ∂ + êθ 1 ∂ + êϕ 1
L
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
∂
1 ∂
= i~ −êϕ
+ êθ
,
∂θ
sin θ ∂ϕ
in cui ogni dipendenza da r è scomparsa, perciò possiamo metterci sulla sfera unitaria (r = 1).
Dalle componenti cartesiane di êθ ed êϕ , seguono le espressioni di Lx , Ly e Lz in coordinate
sferiche:
∂
∂
∂
∂
∂
+ cot θ cos ϕ
, Ly = i~ − cos ϕ
+ cot θ sin ϕ
, Lz = −i~
.
Lx = i~ sin ϕ
∂θ
∂ϕ
∂θ
∂ϕ
∂ϕ
Inoltre si possono definire gli operatori
∂
∂
L± ≡ Lx ± iLy = ~e±iϕ ±
+ i cot θ
.
∂θ
∂ϕ
Infine dalle identità:
êϕ ·
∂êϕ
∂êθ
∂êθ
= êϕ ·
= êθ ·
=0,
∂θ
∂θ
∂ϕ
-1-
êθ ·
∂êϕ
= − cos θ ,
∂ϕ
Meccanica Quantistica
~2 :
segue l’espressione per L
∂
∂
1 ∂
1 ∂
2
2
~
~
~
L = L · L = −~ −êϕ
+ êθ
· −êϕ
+ êθ
∂θ
sin θ ∂ϕ
∂θ
sin θ ∂ϕ
2
2
∂
∂
1 ∂
1 ∂
∂
1 ∂2
2
2
= −~
+ cot θ
= −~
.
+
sin θ
+
∂θ2
∂θ sin2 θ ∂ϕ2
sin θ ∂θ
∂θ sin2 θ ∂ϕ2
-2-
