Facoltá di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Studenti immatricolati nell’ AA 2010-11
Matematica (Corso di Laurea in Scienze Geologiche - 12 CFU)
Prova parziale del 19 Maggio 2011
1. Calcolare il seguente integrale definito
Z
0
1
√
x+ x
√
dx
x+3 x+2
(punti 6)
2. Trovare la famiglia delle primitive della seguente funzione
f (x) = sin x cos(2x)
(punti 4)
Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate.
I punteggi tra parentesi indicano la valutazione massima, di ciascun esercizio.
Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cognome
e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non piú di due).
Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti.
Non riconsegnare la traccia del compito.
E’ ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE!
Svolgimento della prova del 2010 compito da 8 CFU
1
1
1
Esercizio 1 L’integranda é una funzione del tipo f (x, x p , x q , . . . , x r ) con
Si procede con la sostituzione x = t2 , ottenendo
1
p
=
1
q
= ··· =
1
r
= 12 .
dx = 2t dt
x = 0 implica t = 0
x = 1 implica t = 1
Osseviamo che t ≥ 0 dunque l’integrale si trasforma in
Z 1
Z 1
t2 + t
t3 + t2
2
t
dt
=
2
dt.
2
2
0 t + 3t + 2
0 t + 3t + 2
Ci siamo ricondotti al calcolo di un integrale di una funzione razionale fratta. Il numeratore
ha grado superiore rispetto al denominatore qundi dobbiamo dividere il numeratore per il
denominatore.
Dopo la divisione otteniamo
t3 + t2 = (t − 2)(t2 + 3t + 2) + 4t + 4.
Dunque
1
Z
2
0
t3 + t2
dt = 2
t2 + 3t + 2
Z
1
Z
(t − 2) dt + 8
0
0
1
t2
t+1
dt.
+ 3t + 2
Concentriamoci sull’ultimo integrale, il discriminante di Q(t) = t2 + 3t + 2 é uguale a
∆ = 9 − 8 = 1 > 0. Dunque Q(t) ammette due radici reali e distinte t1 = −1 e t2 = −2.
Quindi possiamo scomporre l’integranda nel modo seguente
t2
t+1
A
B
t(A + B) + 2A + B
=
+
=
.
+ 3t + 2
t+1 t+2
t2 + 3t + 2
Risolvendo il sistema
A+B =1
2A + B = 1
otteniamo A = 0 e B = 1.
Dunque
t2
t+1
1
=
+ 3t + 2
t+2
quindi
Z
8
0
1
t+1
dt = 8
2
t + 3t + 2
Z
0
1
1
dt.
t+2
In conclusione
Z 1
1
dt =
(t − 2) dt + 8
t
+
2
0
0
2
1
t
2
− 2t + 8 [ln(t + 2)]10 = −3 + 8(ln 3 − ln 2) = −3 + 8 ln
2
0
Z
1
2
3
2
.
Esercizio 2 Dobbiamo calcolare l’integrale indefinito
Z
sin(x) cos(2x) dx.
Possiamo applicare la formula di duplicazione , oppure il metodo di integrazione per parti.
Con la formula di duplicazione si ha
cos(2x) = 2 cos2 (x) − 1
Dunque
Z
Z
sin(x) cos(2x) dx = sin(x) (2 cos2 (x) − 1) dx =
Z
Z
2 sin(x) cos2 (x) dx − sin(x) dx.
Osservando che − sin(x) é la derivata di cos(x) e facendo la sostituzione cos(x) = t, − sin(x) dx =
dt, si ottiene subito
Z
Z
1
1
2
sin(x) cos (x) dx = − t2 dt = − t3 = − cos3 (x) + c.
3
3
Inoltre
Z
sin(x) dx = − cos(x) + c.
Il risultato finale é:
Z
2
sin(x) cos(2x) dx = − cos3 (x) + cos(x) + c
3
Applichiamo il metodo di integrazione per parti considerando sin(x) come fattore differenziale otteniamo
Z
Z
sin(x) cos(2x) dx = − cos(x) cos(2x) −
cos(x)2 sin(2x) dx.
Applichiamo il metodo di integrazione per parti una seconda volta considerando cos(x) come
fattore differenziale
Z
Z
sin(x) cos(2x) dx = − cos(x) cos(2x) − cos(x)2 sin(2x) dx =
Z
− cos(x) cos(2x) − 2 sin(x) sin(2x) + 2 sin(x)2 cos(2x) dx.
Z
Notiamo che indicando con I =
sin(x) cos(2x) dx abbiamo ottenuto
I = − cos(x) cos(2x) − 2 sin(x) sin(2x) + 4I.
Dunque
I − 4I = − cos(x) cos(2x) − 2 sin(x) sin(2x) + c,
quindi
1
(cos(x) cos(2x) + 2 sin(x) sin(2x)) + c.
3
Applicando le formule di duplicazione si ottiene
I=
2
I = − cos3 (x) + cos(x) + c.
3
