Funzioni. Dati due insiemi A e B

Funzioni.
Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una
qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo
elemento di B. Se diamo il nome f a questa funzione, si scrive f : A → B; il valore y ∈ B
corrispondente di x ∈ A tramite f viene indicato con y = f (x) . A volte si usa (impropriamente)
quest’ultima notazione per indicare la funzione, la scrittura: f : x 7−→ f (x) è quella corretta.
L’insieme A su cui la funzione f è definita è il dominio (o campo di esistenza) di f , l’insieme
B in cui f assume valori è il codominio di f , l’insieme
[
f (A) =
{f (x) : x ∈ A}
è l’immagine (di A tramite f ).
Una funzione f : A → B si dice
• iniettiva se x 6= y =⇒ f (x) 6= f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) =⇒ x = y
• suriettiva se f (A) = B
• biiettiva se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva, cioè se stabilisce una corrispondenza biunivoca tra A e B.
Se f è una funzione (definita in un certo insieme A) ed a valori in B e se g è, a sua volta,
una funzione definita in B (a valori in un certo insieme C), è possibile costruire la funzione
composta h = g ◦ f , h : A → C definita dalla regola h (x) = g (f (x)) .
Se f : A → B è una funzione biiettiva si dice che f è invertibile e si può costruire la funzione
g : B → A che associa ad ogni y ∈ B l’unico x ∈ A tale che f (x) = y. La funzione g viene
detta funzione inversa di f e viene di solito indicata con f −1 . Ovviamente se g = f −1 allora
f = g −1 . Si osservi che la funzione composta tra due funzioni inverse tra loro f e g è sempre
l’identità (la funzione che ad ogni valore fa corrispondere sé stesso), ma
g ◦ f = IA
,
f ◦ g = IB
cioè la prima è l’identità su A, la seconda è l’identità su B.
Sia f : A → B e sia A1 ⊂ A. La funzione f1 : A1 → B definita da f1 (x) = f (x) per ogni
x ∈ A1 viene detta restrizione di f ad A1 .
Il grafico di una funzione f : A → B è il sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B
Γ (f ) = {(x, f (x)) : x ∈ A} = {(x, y) : x ∈ A , y ∈ B , y = f (x)} .
Se f : A → B è invertibile allora il grafico di f −1
¡
¢
Γ f −1 = {(f (x) , x) : x ∈ A} = {(y, x) : x ∈ A , y ∈ B , y = f (x)} .
è costituito dalle stesse coppie del grafico di f con posizioni scambiate: disegnando i due
grafici nello stesso riferimento cartesiano si ottengono figure simmetriche rispetto dell’identità
(bisettrice del primo e del terzo quadrante).
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Proprietà di funzioni - funzioni elementari.
Sia f una funzione definita in un qualsiasi insieme A, a valori in R. Si dice che f è limitata
(superiormente limitata, inferiormente limitata), che f assume massimo (o minimo) se l’immagine di f ha queste caratteristiche.
Per esempio dire che f assume (o ammette) massimo significa affermare che esiste almeno un
elemento x0 di A tale che f (x) ≤ f (x0 ) per ogni x ∈ A. Se x0 è unico, cioè se x 6= x0 =⇒
f (x) < f (x0 ) si dice che x0 è un punto di massimo assoluto forte, altrimenti si parla di massimo
(sempre assoluto) debole.
Sia ora A ⊂ R, si dice che x0 è un punto di massimo relativo per f (o che f ha in x0 un
massimo relativo) se è possibile trovare un intorno U di x0 (cioè un intervallo contenuto in A
e contenente nel suo interno il punto x0 ) in modo che x ∈ U =⇒ f (x) ≤ f (x0 ) . La definizione
di minimo relativo è analoga. Si noti che ogni funzione costante ha in ogni punto del suo
dominio sia un massimo che un minimo (deboli).
Se f una funzione reale di variabile reale con dominio A (f : A ⊂ R → R). Si dice che
• f è non decrescente in A se x, y ∈ A , x < y =⇒ f (x) ≤ f (y)
• f è strettamente crescente in A se x, y ∈ A , x < y =⇒ f (x) < f (y)
• f è non crescente in A se x, y ∈ A , x < y =⇒ f (x) ≥ f (y)
• f è strettamente decrescente in A se x, y ∈ A , x < y =⇒ f (x) > f (y)
Le funzioni con queste proprietà vengono dette monotòne e a volte, generando un po’ di
confusione i termini non decrescente e non crescente vengono sostituiti con crescente e, rispettivamente, decrescente. Tutte le funzioni strettamente monotone su un insieme sono iniettive
e, quindi, invertibili.
Se A è simmetrico rispetto all’origine si dice che
• f è pari se per ogni x ∈ A risulta f (−x) = f (x)
• f è dispari se per ogni x ∈ A risulta f (−x) = −f (x) .
Elenchiamo ora alcune funzioni di uso comune nell’analisi matematica che, salvo avviso contrario, sono definite su tutto R.
• Funzioni costanti: f (x) = c. Associano ad ogni x sempre lo stesso valore. Il loro
grafico è una retta orizzontale.
• Funzioni lineari: f (x) = mx.
angolare m.
Il loro grafico è una retta per l’origine di coefficiente
• Funzioni affini: f (x) = mx + q. Il loro grafico è una retta, di coefficiente angolare m,
che incontra l’asse verticale nel punto di ordinata q.
• Potenze ad esponente intero positivo: f (x) = xn , n ∈ N. Sono funzioni pari o
dispari a seconda che n sia pari o dispari.
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• Polinomi: f (x) =
n
X
ck xk = c0 + c1 x + c2 x2 + · · · + cn xn . Sono combinazioni lineari di
k=0
potenze; oltre ai casi visti sopra per n = 0 e n = 1, se n = 2 si ha una parabola.
• Funzioni razionali: f (x) =
P (x)
Q (x)
con P e Q polinomi. Sono definite in tutti i punti
in cui Q (x) 6= 0.
√
• Radici n−esime: f (x) = n x. Se n è dispari sono definite su tutto R e sono le funzioni
inverse delle funzioni potenza; se n è pari sono definite su R+ (l’insieme dei numeri reali
non negativi) e sono le funzioni inverse della restrizione ad R+ delle funzioni potenza.
• Potenze ad esponente
razionale: sia p ∈ Z , q ∈ N ed x > 0. Si pone
√
√
p
q
p/q
q
f (x) = x = ( x) = xp . Se p/q è positivo allora la funzione viene definita anche per
x = 0 ponendo f (0) = 0.
• Potenze ad esponente reale: f (x) = xα , α ∈ R. Se α è positivo e non
n è razionale o
a
sono funzioni definite solo su R+ e, per ogni x > 1 fissato si definisce x = sup xp/q : pq < α . Se
1
1
x ∈ (0, 1) allora x = con y > 1 quindi xα = α .
y
y
1
α
Se α < 0 allora x = −α , definita solo per x > 0.
x
• Funzioni esponenziali: f (x) = ax , a > 0. Sono le funzioni definite nel punto precedente in cui la variabile si trova all’esponente. Sono definite su tutto R, assumono valori
strettamente positivi e sono strettamente crescenti se a > 1 , strettamente decrescenti se
a < 1.
• Funzioni logaritmiche: f (x) = loga x , a > 0 , a 6= 1. Sono le funzioni inverse delle
funzioni esponenziali: sono definite per x > 0 e sono (ovviamente) strettamente crescenti
se a > 1 , strettamente decrescenti se a < 1.
Le proprietà fondamentali (ben note!!!) delle potenze e dei logaritmisono:
Siano a, b, x, y > 0 , (a, b 6= 1) , u, v ∈ R. Allora:
au · av = au+v
,
au · bu = (a · b)u
loga (x · y) = loga x + loga y
,
,
(au )v = au·v
u · loga x = loga (xu )
,
loga x =
logb x
logb a
e, per definizione di logaritmo come funzione inversa dell’esponenziale è sempre
aloga x = x ,
loga ax = x.
• Funzioni trigonometriche: consideriamo, in un piano riferito a coordinate cartesiane
ortogonali, la circonferenza unitaria, cioè il luogo dei punti le cui coordinate (x, y) verificano l’equazione x2 + y 2 = 1.
Sia P un punto sulla circonferenza e sia A il punto di coordinate (1, 0) . Detta θ l’ampiezb (o la lunghezza dell’arco di estremi A e P si
za dell’angolo (misurato in radianti) P OA
definiscono come cos θ e sin θ rispettivamente l’ascissa e l’ordinata di P. In effetti i punti
A e P non determinano un solo angolo ma infiniti e due di questi differiscono per un
numero intero di giri, le loro ampiezze differiscono quindi per un multiplo intero di 2π.
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Le le funzioni seno e coseno sono quindi funzioni periodiche di periodo 2π, cioè
sin (θ + 2kπ) = sin θ , cos (θ + 2kπ) = cos θ.
Si definisce la funzione tangente come rapporto tra seno e coseno: tan θ = sin θ/ cos θ
è una funzione periodica di periodo π e non è definita dove il coseno si annulla, cioè nei
punti di ascissa kπ + π/2 , k ∈ Z.
Proprietà delle funzioni trigonometriche. Oltre alla uguaglianza fondamentale
sin2 θ + cos2 θ = 1
si vede immediatamente che la funzione coseno è ”sfasata” di π/2 rispetto al seno, cioè
sin θ = cos (θ − π/2)
inoltre la funzione coseno è pari mentre le funzioni seno e tangente sono dispari. Riportiamo
qui alcune delle formule di maggior utilizzo
cos (x − y) = cos x cos y + sin x sin y
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sin 2x = 2 sin x cos x
³ x ´ 1 − cos x
sin2
=
2
2
tan x − tan y
tan (x − y) =
1 + tan x tan y
2 tan x
tan 2x =
1 − tan2 x
cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y
sin (x − y) = sin x cos y − cos x sin y
cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x
³ x ´ 1 + cos x
cos2
=
2
2
tan x + tan y
tan (x + y) =
1 − tan x tan y
1
sin2 x + cos2 x
=
= 1 + tan2 x
cos2 x
cos2 x
• Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche. In quanto periodiche le funzioni
trigonometriche non possono essere invertibili non essendo iniettive, è però possibile
definire la funzione inversa di una loro opportuna restrizione. Vengono chiamate arcoseno, arcocoseno, arcotangente ed indicate con
arcsin (·) , arccos (·) , arctan (·) rispettivamente le funzioni inverse delle restrizioni del
seno a [−π/2, π/2] del coseno a [0, π] e della tangente a (−π/2, π/2) . Le prime due
funzioni sono definite in [−1, 1] l’ultima su tutto R.
• Altre funzioni (non elementari) di uso comune.
½
x
Modulo o valore assoluto: |x| = max {x , −x} =
−x
se x ≥ 0
.
se x < 0
Parte intera: è la funzione che ad ogni numero reale associa il massimo tra i numeri
interi che non superano il numero assegnato: [x] = max {n ∈ Z : n ≤ x}
parte decimale o mantissa: è la funzione differenza tra l’identità e la parte intera:
mant (x) = x − [x] .
segno è la funzione che ad ogni numero reale x associa i valori:
+1 se x > 0 , −1 se x < 0 e 0 se x = 0 :
sgn x =
|x|
per x 6= 0 , sgn 0 = 0.
x
Funzione caratteristica di un insieme E è la funzione che associa il valore 1 ad ogni elemento di E ed il valore 0 ad ogni elemento del complemento di E. In particolare
½ la funzione caratteristica di [0, +∞] viene detta funzione di Heaviside: H (x) =
0 se x < 0
; la funzione caratteristica dell’intervallo [a, b] si può scrivere come H (x − a)·
1 se x ≥ 0
H (b − x) .
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Ad ogni funzione f si possono infine associare le funzioni |f | , f+ , f− definite da
|f | = max {f, −f } , f+ = max {f, 0} , f− = max {−f, 0} .
Ovviamente |f | = f+ + f−
e f = f+ − f− .
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