Funzioni. Dati due insiemi A e B

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Funzioni.
Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una
qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo
elemento di B. Se diamo il nome f a questa funzione, si scrive f : A → B; il valore y ∈ B
corrispondente di x ∈ A tramite f viene indicato con y = f (x) . A volte si usa (impropriamente)
quest’ultima notazione per indicare la funzione, la scrittura: f : x 7−→ f (x) è quella corretta.
L’insieme A su cui la funzione f è definita è il dominio (o campo di esistenza) di f , l’insieme
B in cui f assume valori è il codominio di f , l’insieme
[
f (A) =
{f (x) : x ∈ A}
è l’immagine (di A tramite f ).
Una funzione f : A → B si dice
• iniettiva se x 6= y =⇒ f (x) 6= f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) =⇒ x = y
• suriettiva se f (A) = B
• biiettiva se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva, cioè se stabilisce una corrispondenza biunivoca tra A e B.
Se f è una funzione (definita in un certo insieme A) ed a valori in B e se g è, a sua volta,
una funzione definita in B (a valori in un certo insieme C), è possibile costruire la funzione
composta h = g ◦ f , h : A → C definita dalla regola h (x) = g (f (x)) .
Se f : A → B è una funzione biiettiva si dice che f è invertibile e si può costruire la funzione
g : B → A che associa ad ogni y ∈ B l’unico x ∈ A tale che f (x) = y. La funzione g viene
detta funzione inversa di f e viene di solito indicata con f −1 . Ovviamente se g = f −1 allora
f = g −1 . Si osservi che la funzione composta tra due funzioni inverse tra loro f e g è sempre
l’identità (la funzione che ad ogni valore fa corrispondere sé stesso), ma
g ◦ f = IA
,
f ◦ g = IB
cioè la prima è l’identità su A, la seconda è l’identità su B.
Sia f : A → B e sia A1 ⊂ A. La funzione f1 : A1 → B definita da f1 (x) = f (x) per ogni
x ∈ A1 viene detta restrizione di f ad A1 .
Il grafico di una funzione f : A → B è il sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B
Γ (f ) = {(x, f (x)) : x ∈ A} = {(x, y) : x ∈ A , y ∈ B , y = f (x)} .
Se f : A → B è invertibile allora il grafico di f −1
¡
¢
Γ f −1 = {(f (x) , x) : x ∈ A} = {(y, x) : x ∈ A , y ∈ B , y = f (x)} .
è costituito dalle stesse coppie del grafico di f con posizioni scambiate: disegnando i due
grafici nello stesso riferimento cartesiano si ottengono figure simmetriche rispetto dell’identità
(bisettrice del primo e del terzo quadrante).
1
Proprietà di funzioni - funzioni elementari.
Sia f una funzione definita in un qualsiasi insieme A, a valori in R. Si dice che f è limitata
(superiormente limitata, inferiormente limitata), che f assume massimo (o minimo) se l’immagine di f ha queste caratteristiche.
Per esempio dire che f assume (o ammette) massimo significa affermare che esiste almeno un
elemento x0 di A tale che f (x) ≤ f (x0 ) per ogni x ∈ A. Se x0 è unico, cioè se x 6= x0 =⇒
f (x) < f (x0 ) si dice che x0 è un punto di massimo assoluto forte, altrimenti si parla di massimo
(sempre assoluto) debole.
Sia ora A ⊂ R, si dice che x0 è un punto di massimo relativo per f (o che f ha in x0 un
massimo relativo) se è possibile trovare un intorno U di x0 (cioè un intervallo contenuto in A
e contenente nel suo interno il punto x0 ) in modo che x ∈ U =⇒ f (x) ≤ f (x0 ) . La definizione
di minimo relativo è analoga. Si noti che ogni funzione costante ha in ogni punto del suo
dominio sia un massimo che un minimo (deboli).
Se f una funzione reale di variabile reale con dominio A (f : A ⊂ R → R). Si dice che
• f è non decrescente in A se x, y ∈ A , x < y =⇒ f (x) ≤ f (y)
• f è strettamente crescente in A se x, y ∈ A , x < y =⇒ f (x) < f (y)
• f è non crescente in A se x, y ∈ A , x < y =⇒ f (x) ≥ f (y)
• f è strettamente decrescente in A se x, y ∈ A , x < y =⇒ f (x) > f (y)
Le funzioni con queste proprietà vengono dette monotòne e a volte, generando un po’ di
confusione i termini non decrescente e non crescente vengono sostituiti con crescente e, rispettivamente, decrescente. Tutte le funzioni strettamente monotone su un insieme sono iniettive
e, quindi, invertibili.
Se A è simmetrico rispetto all’origine si dice che
• f è pari se per ogni x ∈ A risulta f (−x) = f (x)
• f è dispari se per ogni x ∈ A risulta f (−x) = −f (x) .
Elenchiamo ora alcune funzioni di uso comune nell’analisi matematica che, salvo avviso contrario, sono definite su tutto R.
• Funzioni costanti: f (x) = c. Associano ad ogni x sempre lo stesso valore. Il loro
grafico è una retta orizzontale.
• Funzioni lineari: f (x) = mx.
angolare m.
Il loro grafico è una retta per l’origine di coefficiente
• Funzioni affini: f (x) = mx + q. Il loro grafico è una retta, di coefficiente angolare m,
che incontra l’asse verticale nel punto di ordinata q.
• Potenze ad esponente intero positivo: f (x) = xn , n ∈ N. Sono funzioni pari o
dispari a seconda che n sia pari o dispari.
2
• Polinomi: f (x) =
n
X
ck xk = c0 + c1 x + c2 x2 + · · · + cn xn . Sono combinazioni lineari di
k=0
potenze; oltre ai casi visti sopra per n = 0 e n = 1, se n = 2 si ha una parabola.
• Funzioni razionali: f (x) =
P (x)
Q (x)
con P e Q polinomi. Sono definite in tutti i punti
in cui Q (x) 6= 0.
√
• Radici n−esime: f (x) = n x. Se n è dispari sono definite su tutto R e sono le funzioni
inverse delle funzioni potenza; se n è pari sono definite su R+ (l’insieme dei numeri reali
non negativi) e sono le funzioni inverse della restrizione ad R+ delle funzioni potenza.
• Potenze ad esponente
razionale: sia p ∈ Z , q ∈ N ed x > 0. Si pone
√
√
p
q
p/q
q
f (x) = x = ( x) = xp . Se p/q è positivo allora la funzione viene definita anche per
x = 0 ponendo f (0) = 0.
• Potenze ad esponente reale: f (x) = xα , α ∈ R. Se α è positivo e non
n è razionale o
a
sono funzioni definite solo su R+ e, per ogni x > 1 fissato si definisce x = sup xp/q : pq < α . Se
1
1
x ∈ (0, 1) allora x = con y > 1 quindi xα = α .
y
y
1
α
Se α < 0 allora x = −α , definita solo per x > 0.
x
• Funzioni esponenziali: f (x) = ax , a > 0. Sono le funzioni definite nel punto precedente in cui la variabile si trova all’esponente. Sono definite su tutto R, assumono valori
strettamente positivi e sono strettamente crescenti se a > 1 , strettamente decrescenti se
a < 1.
• Funzioni logaritmiche: f (x) = loga x , a > 0 , a 6= 1. Sono le funzioni inverse delle
funzioni esponenziali: sono definite per x > 0 e sono (ovviamente) strettamente crescenti
se a > 1 , strettamente decrescenti se a < 1.
Le proprietà fondamentali (ben note!!!) delle potenze e dei logaritmisono:
Siano a, b, x, y > 0 , (a, b 6= 1) , u, v ∈ R. Allora:
au · av = au+v
,
au · bu = (a · b)u
loga (x · y) = loga x + loga y
,
,
(au )v = au·v
u · loga x = loga (xu )
,
loga x =
logb x
logb a
e, per definizione di logaritmo come funzione inversa dell’esponenziale è sempre
aloga x = x ,
loga ax = x.
• Funzioni trigonometriche: consideriamo, in un piano riferito a coordinate cartesiane
ortogonali, la circonferenza unitaria, cioè il luogo dei punti le cui coordinate (x, y) verificano l’equazione x2 + y 2 = 1.
Sia P un punto sulla circonferenza e sia A il punto di coordinate (1, 0) . Detta θ l’ampiezb (o la lunghezza dell’arco di estremi A e P si
za dell’angolo (misurato in radianti) P OA
definiscono come cos θ e sin θ rispettivamente l’ascissa e l’ordinata di P. In effetti i punti
A e P non determinano un solo angolo ma infiniti e due di questi differiscono per un
numero intero di giri, le loro ampiezze differiscono quindi per un multiplo intero di 2π.
3
Le le funzioni seno e coseno sono quindi funzioni periodiche di periodo 2π, cioè
sin (θ + 2kπ) = sin θ , cos (θ + 2kπ) = cos θ.
Si definisce la funzione tangente come rapporto tra seno e coseno: tan θ = sin θ/ cos θ
è una funzione periodica di periodo π e non è definita dove il coseno si annulla, cioè nei
punti di ascissa kπ + π/2 , k ∈ Z.
Proprietà delle funzioni trigonometriche. Oltre alla uguaglianza fondamentale
sin2 θ + cos2 θ = 1
si vede immediatamente che la funzione coseno è ”sfasata” di π/2 rispetto al seno, cioè
sin θ = cos (θ − π/2)
inoltre la funzione coseno è pari mentre le funzioni seno e tangente sono dispari. Riportiamo
qui alcune delle formule di maggior utilizzo
cos (x − y) = cos x cos y + sin x sin y
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sin 2x = 2 sin x cos x
³ x ´ 1 − cos x
sin2
=
2
2
tan x − tan y
tan (x − y) =
1 + tan x tan y
2 tan x
tan 2x =
1 − tan2 x
cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y
sin (x − y) = sin x cos y − cos x sin y
cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x
³ x ´ 1 + cos x
cos2
=
2
2
tan x + tan y
tan (x + y) =
1 − tan x tan y
1
sin2 x + cos2 x
=
= 1 + tan2 x
cos2 x
cos2 x
• Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche. In quanto periodiche le funzioni
trigonometriche non possono essere invertibili non essendo iniettive, è però possibile
definire la funzione inversa di una loro opportuna restrizione. Vengono chiamate arcoseno, arcocoseno, arcotangente ed indicate con
arcsin (·) , arccos (·) , arctan (·) rispettivamente le funzioni inverse delle restrizioni del
seno a [−π/2, π/2] del coseno a [0, π] e della tangente a (−π/2, π/2) . Le prime due
funzioni sono definite in [−1, 1] l’ultima su tutto R.
• Altre funzioni (non elementari) di uso comune.
½
x
Modulo o valore assoluto: |x| = max {x , −x} =
−x
se x ≥ 0
.
se x < 0
Parte intera: è la funzione che ad ogni numero reale associa il massimo tra i numeri
interi che non superano il numero assegnato: [x] = max {n ∈ Z : n ≤ x}
parte decimale o mantissa: è la funzione differenza tra l’identità e la parte intera:
mant (x) = x − [x] .
segno è la funzione che ad ogni numero reale x associa i valori:
+1 se x > 0 , −1 se x < 0 e 0 se x = 0 :
sgn x =
|x|
per x 6= 0 , sgn 0 = 0.
x
Funzione caratteristica di un insieme E è la funzione che associa il valore 1 ad ogni elemento di E ed il valore 0 ad ogni elemento del complemento di E. In particolare
½ la funzione caratteristica di [0, +∞] viene detta funzione di Heaviside: H (x) =
0 se x < 0
; la funzione caratteristica dell’intervallo [a, b] si può scrivere come H (x − a)·
1 se x ≥ 0
H (b − x) .
4
Ad ogni funzione f si possono infine associare le funzioni |f | , f+ , f− definite da
|f | = max {f, −f } , f+ = max {f, 0} , f− = max {−f, 0} .
Ovviamente |f | = f+ + f−
e f = f+ − f− .
5
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