Distribuzioni probabilità_francesca.pptx

Distribuzioni di
probabilità di uso
frequente
Prof.ssa Fabbri Francesca
Classe 5C 1415
Variabili casuali
Definizione:
Una Variabile Casuale X è una funzione definita sullo
spazio campionario (insieme di tutti i possibili
risultati di un esperimento) che associa ad ogni evento
un numero reale.
Se i possibili valori assunti da X sono in numero finito
o in una infinità numerabile (come N), X si dice V. C.
DISCRETA mentre si dice V. C. CONTINUA se assume
valori in un intervallo di R.
Distribuzioni di Probabilità
Definizione:
A ciascun valore assunto dalla V. C. X si fa
corrispondere la probabilità dell’evento a cui il
valore è associato.
L’insieme di tali probabilità costituisce la
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’ della V. C. X
Funzioni di ripartizione
—  Definizione:
—  E’ una funzione F definita nell’insieme dei numeri
reali che assume valori compresi tra 0 e 1;
assegnato un valore reale a, la funzione di
ripartizione si definisce come la probabilità che la
V.C. assuma un valore non maggiore (minore o =) di a:
F (a) = P ( X ≤ a)
Esempio
—  Urna con 10 palline: 6 Verdi e 4 Bianche. Si
estraggono senza reimmissione 3 palline. Sia X=“n.
palline verdi uscite”
X
0
1
2
3
P(X)
1/30
3/10
1/2
1/6
F(x)
1/30
10/30
5/6
1
⎧0
⎪1 / 30
⎪
⎪
F(x) = ⎨1 / 3
⎪5 / 6
⎪
⎪
⎩1
se x < 0
se 0 <= x < 1
se 1 <= x < 2
se 2 <= x < 3
se x >= 3
Distribuzione uniforme
discreta
—  Definizione:
—  Si dice che una V. C. discreta ha DISTRIBUZIONE
UNIFORME se tutti i suoi valori hanno la stessa
probabilità.
—  Se i valori di X sono 1, 2, 3, …, n e tutti hanno
probabilità p = 1
n
medio di X è:
, si può dimostrare che il valor
—  M(X)=(n+1)/2 e la varianza è Var(X)=(n2-1)/12
Es. Distribuzione Uniforme
—  Si lancia un dado regolare. Sia X=“valore della
faccia uscita sul dado”
X
1
2
3
4
5
6
P(X)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
F(x)
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
1
⎧0 se x < 1
⎪1 / 6 se 1 <= x < 2
⎪
⎪2 / 6 se 2 <= x < 3
⎪
F(x) = ⎨ 3 / 6 se 3 <= x < 4
⎪ 4 / 6 se 4 <= x < 5
⎪
⎪5 / 6 se 5 <= x < 6
⎪6 / 6 = 1 se x >= 6
⎩
Distribuzione binomiale
discreta
—  Definizione:
—  Si dice che una V. C. discreta X ha DISTRIBUZIONE
BINOMIALE (O DI BERNOULLI) se X descrive il numero di
volte che si può verificare un evento aleatorio di probabilità
p su n prove.
—  Se i valori di X sono 0, 1, 2, 3, …, n e vogliamo
determinare P(X=k) cioè la probabilità di avere
esattamente k successi su n prove, vale:
⎛ n ⎞ k
n−k
P ( X = k ) = ⎜ ⎟ p (1− p )
⎝ k ⎠
—  Si può dimostrare che il valor medio di X è:
—  M(X)=np e la varianza è Var(X)=np(1-p)
Es. Distribuzione Binomiale
—  Urna con 32 palline; 8 Nere e 24 Bianche. Si
estraggono consecutivamente 5 palline con
reimmissione. Sia X =“uscita pallina nera”.
X
0
P(X)
0,237 0,395 0,264 0,088 0,015 0,001
F(x)
0,237 0,632 0,896 0,984 0,999 1
⎧0
⎪0, 237
⎪
⎪0, 632
⎪
F(x) = ⎨0, 896
⎪0, 984
⎪
⎪0, 999
⎪1
⎩
1
se x < 0
se 0 <= x < 1
se 1 <= x < 2
se 2 <= x < 3
se 3 <= x < 4
se 4 <= x < 5
se x >= 5
2
3
4
5
L'evento in esame rientra nello Schema
di Bernouilli o delle prove ripetute:
pn,k
⎛ n ⎞ k
n−k
=⎜
p
(1
−
p)
⎝ k ⎟⎠
con p=8/32=1/4, n=5 e k variabile da 0
(nessuna pallina nera) a 5 (tutte e cinque nere).
Distribuzione di Poisson
—  Premessa: Quando si cerca il valore relativo alla probabilità ad un evento raro (con
piccola probabilità) rispetto ad un numero molto elevato di prove (tutte effettuate
nelle stesse condizioni), lo schema delle prove ripetute di Bernoulli risulta di
difficile applicazione (per i calcoli coinvolti).
—  In tale situazione torna utile una distribuzione come quella di Poisson che è un
modello teorico per risolvere situazioni di questo tipo e che risulta una buona
approssimazione di Bernoulli, specie se il numero n è grande.
—  Definizione: Si dice che una V. C. discreta X ha DISTRIBUZIONE di POISSON se X
descrive il numero di volte in cui si verifica un determinato fenomeno in un intervallo
temporale o spaziale.
—  I valori di X sono 0, 1, 2, 3, …, n e vale:
e− λ λ k
P( X = k) =
k!
—  dove λ corrisponde al Valor Medio ed anche alla Varianza della distribuzione,
cioè λ=np, quando n è grande e p è piccolo.
—  All’aumento del valore λ, la distribuzione della probabilità tende a diventare
simmetrica attorno al valor medio.
Es.1 Distribuzione di Poisson
—  Macchina produce pezzi difettosi con p=0,006. Su 500 pezzi,
calcolare:
1.  Nessun pezzo sia difettoso;
2.  Risultino difettosi 3 pezzi
3.  Risultino difettosi più di 5 pezzi
Vale λ=np=500*0,006=3
e−3 30
P ( X = 0) =
! 0,050
0!
e−3 33
P ( X = 3) =
! 0,224
3!
Per l’ultima domanda serve sommare
P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3) + P ( X = 4 ) + P ( X = 5 )
e sottrarre la somma a 1. Si trova (circa) 0,084
Es.2 Distribuzione di Poisson
—  A uno sportello bancario arrivano in media 30 persone
all’ora. Calcolare la probabilità che in 5 minuti arrivino:
1.  4 persone;
2.  Meno di 3 persone.
Vale 30:60=λ:5, cioè λ=2,5:
e−2,5 2,5 4
P( X = 4) =
! 0,1336
4!
Per la seconda domanda serve sommare
P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 )
Si trova (circa) 0,5438
—  Link su collezioni.scuola.zanichelli.it