distribuzione binomiale e di poisson

DISTRIBUZIONE BINOMIALE E DI POISSON
Se p è la probabilità che si presenti un certo evento in una prova e q = 1 – p è la probabilità che
l’evento non si presenti, allora la probabilità che l’evento si presenti esattamente X volte in N prove
(X successi e N – X insuccessi) è
p( X ) N C X p X q N  X 
N!
p X q NX
X !( N  X )!
dove X = 0,1,2,…,N
N ! = N(N-1)(N-2)…1
Alcune proprietà della distribuzione binomiale:
Media  = NP
Varianza 2 = Npq
Scarto quadratico medio  = Npq .
Nella distribuzione binomiale, se N è grande e p vicina a zero, cioè è un evento raro (quindi q vicina
da 1) la distribuzione è ben approssimata dalla distribuzione di Poisson con  = Np .
Si suole considerare un evento come raro quando N>=50 e Np<5 .
La distribuzione di Poisson ha la forma
p( X ) 
X e 
X!
(X=0,1,2,…)
Alcune proprietà della distribuzione di Poisson:
Media  = 
Varianza 2 = 
Scarto quadratico medio  = 


DALLA DISTRIBUZIONE BINOMIALE ALLA DISTRIBUZIONE NORMALE
Problema.
Trovate la probabilità che, in 10 lanci di una moneta buona, testa si presenti da 3 a 6 volte
comprese. Si usi (a) la distribuzione binomiale, (b) l’approssimazione normale alla distribuzione
binomiale.
Soluzione:
(a)
p=q=1/2
P(3 teste) = N C X p X q N  X 
10!
15
p 3 q103 
3!(10  3)!
128
P(4 teste) =
10!
105
p 4 q104 
4!(10  4)!
512
P(5 teste)=
10!
63
p 5 q105 
5!(10  5)!
256
P(6 teste) =
10!
105
p 6 q106 
6!(10  6)!
512
Quindi P(fra 3 e 6 teste comprese) = 15/128 + 105/512 + 63/256 + 105/512 = 99/128 = 0.7734
(b)
Se consideriamo i dati come continui, l’intervallo da 3 a 6 teste può essere considerato in realtà
come l’intervallo da 2.5 a 6.5 teste.
Media e varianza della distribuzione binomiale sono
 = Np = 10(1/2) = 5
= Npq = 10 ½ ½ =1.58.
Standardizzando,
2.5 in unità standard vale
(2.5 –5)/1.58 = -1.58
6.5 in unità standard vale
(6.5 – 5)/1.58 = 0.95 .
La probabilità richiesta sarà quindi
P (area fra z=-1.58 e z=0.95)
=(area fra z=-1.58 e 0) + (area fra z=0 e z=0.95)
che guardando le tavole vale
= 0.4429 + 0.3289 = 0.7718
molto simile al valore già trovato 0.7734. Quindi in questo caso la normale è una buona
approssimazione della binomiale. L’approssimazione migliorerebbe al crescere di N.
Problema.
Il 10% degli utensili prodotti in un certo processo produttivo sono difettosi.
Trovate la probabilità che in un campione di 10 utensili due siano difettosi, ricorrendo (a) alla
distribuzione binomiale, (b) alla distribuzione di Poisson
Soluzione:
Probabilità che un utensile sia difettoso = p = 0.1
(a)
P(2 utensili difettosi su 10) =
10!
0.12 0.9 8  0.19
2! (10  2)!
(b)
 = Np = 10 (0.1) = 1 .
X e 
P(2 utensili difettosi su 10) =
1e 1

 0.18
X!
2!
Vediamo quindi che l’approssimazione di Poisson alla distribuzione binomiale è buona. Infatti
questo vale quando p<=0.1 e =Np<=5 , come in questo caso.