Laboratorio I, Laurea triennale in Fisica
Lezione del 25-10-2012
Distribuzioni discrete di probabilità:
Binomiale e Poisson
variabili aleatorie-funzione di distribuzione di
probabilità
= variabile aleatoria discreta
=
=
∩
= ∅ per ogni ≠
∪
=
=
,
…
,…,
,
,…,
=
=
=1
= funzione di distribuzione di probabilità della variabile aleatoria
valore di aspettazione e varianza
valore di aspettazione di x
=
∑
=
∑
=
varianza
−
=
−
=E
=
−
̅=
lim ̅ =
→%
=
∑
−
−
media campionaria (campione di N misure)
1
=
∑
varianza campionaria
=
1
−1
− ̅
≅
distribuzione binomiale di Bernoulli 1/3
Sistema di n elementi indipendenti su ciascuno dei quali viene eseguita una prova
o un elemento su cui vengono eseguite n prove indipendenti in serie
=
∪
(
= successo (s) nella prova
) = )
(
= insuccesso (i) nella prova
)=1−) =*
Probabilità che le prime k prove abbiano successo e che le rimanenti n-k non
abbiano successo:
)+ *
,+
(probabilità composta per eventi indipendenti)
Numero di possibili disposizioni di k successi in n prove:
- ., / =
.!
/! . − / !
n prove
Probabilità di k successi in n prove:
., / = -(., /))+ *
issiisisissisii
,+
distribuzione binomiale di Bernoulli 2/3
1
,2
/ = -(., /))+ *
,+
condizione di normalizzazione (assioma della certezza)
+ 3
1
,2 (/)
=
+ 3
-(., /) )+ *
,+
= () + *) = 1
valore di aspettazione di k
/ =
=
+ 3
/1
,2
/ =
+
/
.!
)+ *
/! . − / !
,+
varianza
=
/
−
= ⋯ = .)*
= .)
= .)*
= ⋯ = .)
distribuzione binomiale di Bernoulli 3/3
simmetrizzazione e massimo della funzione di distribuzione binomiale
funzione di distribuzione della probabilità
di k uscite «testa» () = 0.5) su n lanci di una
moneta o sul lancio di n monete
per n grandi:
ln .! ≈ . ∙ <.(.) − .
=ln(1 ,2 (/))
= 0 ⇒ /?@A = .) =
=/
(formula di Stirling)
la funzione di distribuzione tende ad una
funzione simmetrica
distribuzione di Poisson 1/2
limite della distribuzione binomiale per D → ∞ e F → G
lim
1
→%
2→3
C
,2
/ = lim
→%
B+
/ =
/!
2→3
+!
!
)+ * ,+
,+ !
con
,C
condizione di normalizzazione
%
+ 3
C
/ =
,C
%
+ 3
B+
=
/!
,C C
valore di aspettazione di k e varianza
lim
.) = B
→%
2→3
lim
.)* = B
→%
2→3
=B
=B
=1
.) = B
distribuzione di Poisson 2/2
C (/)
simmetrizzazione e massimo della funzione di distribuzione di Poisson
per k grandi:
ln /! : / ∙ <.'/(
=ln' C '/((
=/
/
(formula di Stirling)
0 ⇒ /HIJ
B
