raccolta di esercizi per i corsi preliminari

RACCOLTA DI ESERCIZI PER I CORSI PRELIMINARI
V PARTE: TRIGONOMETRIA
MISURE DEGLI ANGOLI IN GRADI E IN RADIANTI
Nota; nel seguito, per la misura degli angoli in gradi, viene utilizzato il sistema "sessadecimale",
cioè una versione semplificata del sistema sessagesimale: il grado è la trecentosessantesima parte
dell'angolo giro, ma invece di utilizzare primi e secondi si usano i decimali di grado (perciò ad
esempio 22°,5 equivale a 22°30').
Dati i seguenti angoli espressi in gradi, convertirli in radianti
1. 60°
5. 36°
9. 432°
π
}
3
π
{R. }
5
12π
}
{R.
5
{R.
5π
}
4
3π
{R.
}
10
π
{R.
}
40
2. 225°
{R.
6. 54°
10. 4°,5
7π
}
4
7π
{R.
}
5
31π
{R.
}
30
3. 315°
{R.
7. 252°
11. 186°
11π
}
6
π
8. 10°
{R.
}
18
21π
12. 47°,25 {R.
}
80
4. 330°
{R.
Dati i seguenti angoli espressi in radianti, convertirli in gradi
3π
{R. 108°}
5
3π
17.
{R. 67°,5}
8
157π
21.
{R. 52°, 3 }
540
13.
7π
12
11π
18.
16
14.
{R. 105°}
{R. 123°,75}
22.
1123π
17820
27π
20
7π
19.
50
15.
11π
{R. 198°}
10
43π
{R. 25°,2}
20.
{R. 107°,5}
72
697π
23.
{R. 87°,125}
1440
{R. 243°}
{R. 11°, 34 }
16.
FUNZIONI GONIOMETRICHE
Per ciascuno dei seguenti angoli, di cui sono assegnati il quadrante di appartenenza e il valore del
seno, calcolare coseno, tangente e cotangente
5
5
12
, tgα = , cotgα = }
12
13
5
3 5
3 5
2 5
, tg α =
, cotg α =
{R. cos α =
}
2
7
15
20
20
21
21
{R. cos α = − , tgα = − , cotgα = −
}
26. α nel secondo quadrante, con sen α =
29
20
21
29
1
323
1
27. α nel secondo quadrante, con sen α =
{R. cos α = −
, tg α = −
, cotgα = − 323 }
18
18
323
21
2
21
2
{R. cos α = −
28. α nel terzo quadrante, con sen α = −
, tg α =
, cotg α =
}
2
5
5
21
17
47
17
47
29. α nel quarto quadrante, con sen α = −
{R. cos α =
, tg α = −
, cotg α = −
}
17
8
8
47
12
13
2
25. α nel primo quadrante, con sen α =
7
24. α nel primo quadrante, con sen α =
{R. cos α =
Per ciascuno dei seguenti angoli, di cui sono assegnati il quadrante di appartenenza e il valore del
coseno, calcolare seno, tangente e cotangente
77
85
41
31. α nel primo quadrante, con cos α =
9
2
32. α nel secondo quadrante, con cos α = −
9
40
33. α nel terzo quadrante, con cos α = −
41
9
34. α nel quarto quadrante, con cos α =
10
30. α nel primo quadrante, con cos α =
39
8
35. α nel quarto quadrante, con cos α =
36
36
77
, tg α =
, cotgα =
}
85
77
36
2 10
10
1 41
{R. sen α =
, tg α = 2
, cotg α =
}
9
41
2 10
77
77
2
{R. sen α =
, tg α = −
, cotg α = −
}
2
9
77
9
9
40
{R. sen α = − , tg α =
, cotgα =
}
41
40
9
91
91
9
, tg α = −
, cotg α = −
}
{R. sen α = −
10
9
91
5
39
5
{R. sen α = − , tg α = −
, cotg α = −
}
8
5
39
{R. sen α =
Per ciascuno dei seguenti angoli, di cui sono assegnati il quadrante di appartenenza e il valore della
tangente, calcolare seno, coseno e cotangente
36. α nel primo quadrante, con tg α =
7
24
7
, cos α =
, cotgα =
}
24
25
25
1
11
1
{R. sen α =
, cos α =
, cotgα = }
11
122
122
3
5
5
{R. sen α =
, cos α = −
, cotgα = − }
3
34
34
17 2
7 2
7
{R. sen α = −
, cos α = −
, cotgα = }
26
26
17
57
1
1
{R. sen α = −
, cos α = −
, cotgα =
}
57
5 130
5 130
3
2
3
{R. sen α = −
, cos α =
, cotgα = − }
2
13
13
24
7
{R. sen α =
37. α nel primo quadrante, con tg α = 11
38. α nel secondo quadrante, con tgα = −
39. α nel terzo quadrante, con tgα =
3
5
17
7
40. α nel terzo quadrante, con tg α = 57
41. α nel quarto quadrante, con tgα = −
2
3
Per ciascuno dei seguenti angoli, di cui sono assegnati il quadrante di appartenenza e il valore della
cotangente, calcolare seno, coseno e tangente
42. α nel primo quadrante, con cotgα =
20
99
43. α nel primo quadrante, con cotg α = 25
44. α nel secondo quadrante, con cotgα = −
3
8
11
15
4
46. α nel terzo quadrante, con cotgα =
25
45. α nel terzo quadrante, con cotgα =
47. α nel quarto quadrante, con cotg α = −
99
20
99
, cos α =
, tg α =
}
101
101
20
1
25
1
{R. sen α =
, cos α =
, tg α =
}
25
626
626
8
3
8
{R. sen α =
, cos α = −
, tgα = − }
3
73
73
15
15
11
{R. sen α = −
, cos α = −
, tgα = }
11
346
346
25
25
4
, cos α = −
, tg α =
}
{R. sen α = −
4
641
641
{R. sen α =
13
5
{R. sen α = −
5
13
5
, cos α =
, tg α =
}
38
38
13
FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE
Esprimere in ciascuno dei seguenti casi l'angolo α, tenendo conto dell'intervallo in cui esso cade.
NOTA: nelle risposte che seguono, nel caso del primo quadrante di è utilizzata la funzione arcoseno.
1
π
, 0<α<
17
2
8 π
49. sen α = , < α < π
17 2
1
}
17
15
{R. α = arccos −  }
 17 

6
{R. α = arccos −
 }
 3 
48. sen α =
50. sen α =
{R. α = arcsen
3 π
, <α<π
3 2
3
3π
51. cos α = − , π < α <
4
2
9
π
52. cos α = − , − π < α < −
41
2
π
59
, − <α<0
2
30
3 3π
54. tgα = − ,
< α < 2π
17 2
40
5π
55. cosα =
, 2π < α <
41
2
7 5π
56. cosα = − ,
< α < 3π
33 2
53. cosα =
7
}
4
40
9
{R. α = arcsen − π , oppure α = − arccos −  }
41
 41 
29
{R. α = −arcsen }
30
3
{R. α = 2π − arcsen
}
298
9
{R. α = 2π + arcsen }
41
7
{R. α = 2π + arccos −  }
 33 
{R. α = π + arcsen
EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
Risolvere le seguenti equazioni goniometriche elementari, utilizzando anche le funzioni
goniometriche inverse se necessario
57. sen x = −
3
2
5
6
12
cos x =
13
1
tg x = −
3
7
tg x =
13
19
tg x = −
17
5
cos x = −
8
58. sen x =
59.
60.
61.
62.
63.
7
11
65. sen x = 5 − 2
64. cotg x =
4π
5π
+ 2kπ ;
+ 2kπ }
3
3
5
5
{R. arcsen + 2kπ ; π − arcsen + 2kπ }
6
6
12
{R. ± arccos + 2kπ }
13
5π
{R.
+ kπ }
6
7
{R. arctg + kπ }
13
19
{R. − arctg + kπ }
17
5
{R. ± arccos −  + 2kπ }
 8
11
{R. arctg
+ kπ }
7
{R. arcsen( 5 − 2) + 2kπ ; π − arcsen ( 5 − 2) + 2kπ }
{R.
66. sen x = 5 + 2
{R. assurda}
5+2
10
−7− 5
68. cos x =
9
67. cos x =
{R. ± arccos
5+2
+ 2kπ }
10
{R. assurda}
In ciascuna delle seguenti equazioni, l'applicazione di opportune formule consente di ottenere
un'equazione contenente una sola funzione goniometrica, oppure tramite scomposizione è possibile
ottenere più equazioni goniometriche elementari. Dopo aver determinato tutte le soluzioni, scrivere
esplicitamente in ordine crescente quelle che cadono tra 0 e 2π
69. 2 cos2x − 5 sen x + 1 = 0
70. 2 sen2x + sen x = 0
5π
π
π 5π
+ 2kπ,
+ 2kπ ; soluzioni tra 0 e 2π: ,
}
6
6
6 6
7π
7π 11π
π
{R. kπ, − + 2kπ,
+ 2kπ ; soluzioni tra 0 e 2π: 0, π,
,
, 2π}
6
6
6 6
{R.
71. 10 sen2x + 7 cos x = 17
1
π
π
1
1 5π
{R. ± + 2kπ, ± arccos + 2kπ ; soluzioni tra 0 e 2π: , arccos , 2π − arccos ,
}
3
5
3
5
5 3
72. 6 sen x cos x − 4 sen x + 9 cos x − 6 = 0
2
2
2
{R. ± arccos + 2kπ ; soluzioni tra 0 e 2π: arccos , 2π − arccos }
3
3
3
73. 3 sen x cos x + 3 tg x + 10 sen x = 0
1
1
1
{R. ± arccos −  + 2kπ ; soluzioni tra 0 e 2π: arccos −  , 2π − arccos −  }
 3
 3
 3
3
2
74. 2 sen x + cos x + sen x = 3
{R. 2kπ; soluzioni tra 0 e 2π: 0, π, 2π}
2
75. 8( sen x + cos x) = 11
{R. nessuna soluzione}
76. 16 sen x cos2 x + 4 cos2 x − 4 sen x − 1 = 0
1
1
π
2π
{R. ± + 2kπ , ±
+ 2kπ , − arcsen + 2kπ ; π + arcsen + 2kπ ;
4
4
3
3
1 4π 5π
1
π 2π
soluzioni tra 0 e 2π: ,
, π + arcsen ,
,
, 2π − arcsen }
4 3 3
4
3 3
FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE, FORMULE DI DUPLICAZIONE
77. Siano α e β gli angoli del primo quadrante per i quali è sen α =
3
24
e senβ = . Calcolare seno e
5
25
coseno degli angoli α + β e α − β.
117
44
3
4
, cos(α + β) = −
sen (α − β) = , cos(α − β) = }
125
125
5
5
77
78. Detto α l'angolo del primo quadrante per i quali è sen α =
e β l'angolo del secondo quadrante
85
9
per il quale è senβ = , calcolare seno e coseno di α + β.
41
2756
2133
{R. sen (α + β) = −
, cos(α + β) = −
}
3485
3485
{R. sen (α + β) =
40
, calcolare seno e coseno di
41
π
π  − 40 − 9 3
π  31 2


α+ .
{R. sen α +  =
, cos α +  =
}
6
6
82
6
82


12
80. Detto α l'angolo del primo quadrante per il quale è cos α = , calcolare seno e coseno di 4α.
13
28560
239
{R. sen 4α =
, cos 4α = −
}
28561
28561
81. Se sen 2α > 0 e cos 2α < 0, in quale quadrante giace α? e in quale quadrante giace 4 α?
{R. α giace nel primo quadrante, mentre 4α può far parte del terzo o del quarto}
79. Detto α l'angolo del secondo quadrante per il quale è sen α =
Esprimere in forma più compatta i seguenti angoli
3
12
82. arcsen + arccos
5
13
1
5
83. arccos + arccos
6
6
40


 56 
84. arccos −  + arccos − 
 41 
 65 
1
85. 2arcsen
11
15
86. 2 arccos
17
3
4
87. arctg + arctg
5
11
6
11
88. arctg + arctg
5
4
1
12
89. 2arctg + arcsen
9
13
20
90. 2arctg3 + arcsen
29
56
}
65
5 − 385
{R. arccos
}
36
1943
{R. 2π − arcsen
}
2665
{R. arcsen
2 10
}
11
240
{R. arcsen
}
289
53
{R. arctg }
43
79
{R. π − arctg }
46
525
{R. arcsen
}
533
17
{R. π + arcsen
}
145
3
{R. arctg }
29
515 
{R. arccos −
}
 132613 
{R. arcsen
91. arctg7 − arctg 4
92. 2arctg
51
20
− arccos
5
101
FORMULE DI BISEZIONE
Per ciascuno dei seguenti angoli, di cui sono assegnati il quadrante di appartenenza e una funzione
goniometrica, calcolare seno, coseno e tangente dell'angolo dimezzato
9
41
11
94. α nel primo quadrante, con sen α =
61
93. α nel primo quadrante, con cos α =
α
4
α
5
α 4
=
, cos =
, tg = }
2
2
2 5
41
41
α
1
α
10
α 1
{R. sen =
, cos =
, tg = }
2
2
2 10
121
121
{R. sen
95. α nel secondo quadrante, con sen α =
96. α nel primo quadrante, con tg α =
24
25
{R. sen
α 4
α 4
α 3
= , cos = , tg = }
2 3
2 5
2 5
7
3
α 1 58 − 3 58
α 1 58 + 3 58
α
58 − 3
=
, cos =
, tg =
}
2 2
29
2 2
29
2
7
97. α nel secondo quadrante, con tg α = −4
{R. sen
{R. sen
98. α nel terzo quadrante, con sen α = −
15
17
α
17 + 1
α
17 + 17
α
17 − 17
}
=
, cos =
, tg =
2
4
2
34
2
34
α
α
α
5
3
5
{R. sen =
, cos = −
, tg = − }
2
2
2
3
34
34
99. α nel terzo quadrante, con tg α = 7
{R. sen
5 2 +1
α
α
10 + 2
α
10 − 2
=
, cos = −
, tg = −
}
2
7
2
20
2
20
ALTRE EQUAZIONI GONIOMETRICHE
I seguenti esercizi comprendono vari casi di equazioni risolubili con uno dei metodi noti
(applicazione di formule di addizione, sottrazione e moltiplicazione, equazioni omogenee in seno e
coseno ed equazioni riconducibili ad omogenee, equazioni lineari in seno e coseno, ecc.)
NOTA: per brevità, si è omesso il calcolo esplicito delle soluzioni comprese tra 0 e 2π.
3
x
=
3
2
x

101. tg 3x −  = 3
7

100. cos
102. sen x = cos 3x
103. sen2 x + sen x − cos2 x
104. tg 3 x − 1 + tg 2 x − cotg x = 0
105. 12 cos3 x + 11 cos 2x + 6 cos x + 12 = 0
106. 3 sen2 x − 4 sen x cos x + cos2 x = 0
107. 13 sen2 x + 3 sen 2x = 8
108. 2 sen x sen 2x = 3 cos 3x + 9cos x
109. sen x + 3 cos x − 1 = 0
110. 2 cos x − 9 sen x + 7 = 0
111. 2 sen x + 3 cos x + 3 = 0
π
+ 6kπ }
2
π
10
{R.
π+k }
63
3
π
π
π
{R. + k ; − + kπ }
8
2
4
3π
π
5π
{R.
+ 2kπ ; + 2kπ ;
+ 2kπ }
2
6
6
3π
π
5π
{R.
+ 2kπ ; + 2kπ ;
+ 2kπ }
2
6
6
2π
1
{R. (2k + 1)π ; ±
+ 2kπ ; ± arccos −  + 2kπ }
3
 3
1
π
{R. arctg + kπ ; + kπ }
3
4
4
{R. −arctg 2 + kπ; arctg + kπ }
5
π
π
{R. (2k + 1) ; ± + kπ }
2
3
π
4
{R. + 2kπ ; − arcsen + 2kπ }
2
5
15
4
{R. arcsen + 2kπ ; arccos −  + 2kπ }
17
5


12
{R. (2k + 1)π ; π + arcsen + 2kπ }
13
{R. ±
DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
Di seguito sono riportati alcuni casi semplici di disequazioni goniometriche, risolubili anche con
l'ausilio di un grafico.
NOTA: per brevità, è stato riportato solo un sottoinsieme di soluzioni, di solito limitato ad un
opportuno intervallo di ampiezza 2π; è ovviamente possibile, grazie alla periodicità, scrivere tutto
l'insieme delle soluzioni..
3
2
1
113. cos x ≥
2
112. sen x >
114. cos x < −
115. sen x >
2
2
5
11
3
4
4
117. cos x > −
13
116. sen x ≤ −
118. sen x ≥ cos x
119. 2 sen x − cos x < 0
120. 11 sen x − 3 cos x ≥ 9
121. 31 cos x − 33 sen x > 23
π
2π
<x<
}
3
3
π
π
{R. − ≤ x ≤ }
3
3
3π
5π
{R.
≤x≤
}
4
4
5
5
{R. arcsen < x < π − arcsen }
11
11
3
3
{R. π + arcsen
≤ x ≤ 2π − arcsen
}
4
4
4
4
{R. − arccos −  < x < arccos −  }
 13 
 13 
π
5π
{R. ≤ x ≤
}
4
4
{R. arctg 2 − π < x < arctg 2}
12
4
{R. arcsen ≤ x ≤ arccos −  }
13
 5
24
9
{R. arcsen − π < x < arcsen }
25
41
{R.
APPLICAZIONI GEOMETRICHE
Negli esercizi che seguono è necessario applicare alcuni semplici teoremi di trigonometria (teoremi
sui triangoli rettangoli, teorema dei seni).
36
cm e il cateto AB misura 18 cm,
3
π
qual è l'ampiezza dell'angolo CBˆ A ?
{R. }
6
123. Se in un triangolo ABC, rettangolo in A, l'ipotenusa misura 50 cm e il cateto AB misura 25 2
π
cm, qual è l'ampiezza dell'angolo BCˆ A ?
{R. }
4
124. Se in un triangolo rettangolo ABC i due cateti BC e AB misurano rispettivamente 21 cm e 20
20
cm, qual è l'ampiezza dell'angolo BCˆ A ?
{R. arctg }
21
5
125. Se in un triangolo ABC, rettangolo in A, l'angolo di vertice B ha ampiezza arctg
e il cateto
12
AB misura 60 cm, qual è la lunghezza dell'ipotenusa?
{R. 65 cm}
122. Se in un triangolo ABC, rettangolo in A, l'ipotenusa misura
5
e il cateto
106
{R. 7,5 cm}
126. Se in un triangolo ABC, rettangolo in A, l'angolo di vertice C ha seno uguale a
AC misura 13,5 cm, qual è la lunghezza del cateto AB?
127. Nel triangolo ABC l'angolo α, di vertice A, è uguale ad arcsen
9
, mentre l'angolo β, di vertice
41
3
. Se il lato c, opposto al vertice C, misura 187 cm, quali sono le misure dei
5
lati a e b, rispettivamente opposti ai vertici A e B?
{R. a = 45 cm, b = 164 cm}
128. (Qui e negli esercizi successivi utilizzare le stesse convenzioni del n. 118 per denominare
vertici, lati e angoli: detti A, B, C i vertici, i tre angoli aventi tali vertici sono rispettivamente α, β e
γ, e i lati opposti ai vertici sono rispettivamente a, b, c). Nel triangolo ABC l'angolo α ha ampiezza
π
π
, l'angolo γ . Se il lato c misura 2 , quali sono le misure degli altri due lati? {Suggerimento:
4
3
5
applicando le formule di addizione, calcolare seno e coseno dell'angolo
π }.
12
6+ 2
{R. a = 3 , b =
}
2
π
2π
5
129. Nel triangolo ABC l'angolo α ha ampiezza
, l'angolo γ . Se il lato c misura
, quali
4
3
6
sono le misure degli altri due lati? {Suggerimento: applicando le formule di sottrazione o di
53 2 − 6
π
5
bisezione, calcolare seno e coseno dell'angolo
}.
{R. a = , b =
}
12
2
12
B, ha coseno uguale a
(
)
2
9
130. Nel triangolo ABC l'angolo α ha ampiezza arcsen , l'angolo γ arcsen . Se il lato c ha misura
5
10
10, quali sono le misure degli altri due lati? {Suggerimento: il seno di π − α − β è uguale al seno di
8 9 21 − 2 19
18 9 21 − 2 19
α + β}.
{R. a =
, b=
}
65
65
(
)
(
)