LA FUNZIONE INVERSA ARCSEN

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LA FUNZIONE INVERSA
ARCSEN
LA FUNZIONE INVERSA ARCSEN
L’equazione sen x = r (–1 ≤ r ≤ 1) ammette infinite soluzioni (infiniti valori di x)
Se però limitiamo l’insieme di variabilità della x, considerando solo gli angoli minori di 400c, il
medesimo valore della funzione seno si riscontra in due soli angoli.
Se il primo di questi è compreso nel Io quadrante, il secondo sarà il suo supplementare
compreso nel IIo quadrante. Indicando con x1 e con x2 i due angoli minori di 400c, che
forniscono lo stesso valore r per la funzione seno, si può scrivere:
x1 = 
e
x2 = 200c – 
Se ora conveniamo di assumere, per x, solo gli angoli compresi nell’intervallo
–100c ≤ x ≤ +100c,
in questo intervallo a un assegnato valore di r resta associato un solo valore di x. Dunque x è
una funzione univoca di r. Essa è nota come funzione inversa del seno e viene chiamata
arcoseno; essa convenzionalmente si scrive nel seguente modo:
x = arcsen (r)
[con –100c ≤ x ≤ +100c)]
Tuttavia non bisogna mai dimenticare che il valore x fornito dalla funzione inversa
arcoseno è solo il primo di infiniti valori, dei quali il secondo si trova nel IIo quadrante.
2
3°CASO:
NOTI 2 LATI e UN ANGOLO ADIACENTE A UN LATO INCOGNITO
immaginiamo noti , b, a:
b
A
C
g
a

b
c
B
b
b  arcsin( sin  ) dal teorema dei seni
a
g  200C  (  b )
a  sin g
dal teorema dei seni
c
sin 
ATTENZIONE a questa relazione
3
DISCUSSIONE di:
b
b  arcsin( sin  )
a
valutando l’argomento della funzione inversa arcoseno,
si possono verificare i seguenti casi:
b/a sen  > 1 Il problema è manifestamente impossibile, in quanto non esiste
l’arcoseno di un numero maggiore di 1, dunque non esiste nessun
triangolo con i dati assegnati a,b,.
b/a sen  = 1 L’angolo b è retto e quindi si tratta di un triangolo rettangolo.
b/a sen  < 1 Esistono due valori di b compatibili con l’angolo assegnato . Il primo
valore b’ (quello fornito dalla calcolatrice) è acuto, cioè si trova nel Iº
quadrante, il secondo, b”, supplementare del primo, è ottuso e si
trova nel IIº quadrante.
In quest’ultimo caso, poi:
dei due valori b’ e b”, uno è incompatibile con l’angolo assegnato , pertanto il valore
che soddisfa il problema è l’altro (per esempio: se  = 120c, e b può assumere i due valori 40c
e (200c – 40c) = 160c; il valore 160c è incompatibile con il valore di  = 120c; in questo caso il valore
che risolve il problema è b = 40c);
i due valori di b’ e b” sono entrambi compatibili con il valore di ; in questo caso si
avranno due soluzioni del problema, che danno luogo a due triangoli distinti.
4
TABELLA RIASSUNTIVA PER LA
RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALSIASI
caso
1
2
schema
geometrico
elementi
noti
Soluzione
- 1 lato
- 2 angoli
g  200C    b 
a  senb
a  seng
b
c
sen
sen
a;;b
- 2 lati
- angolo
compreso
a;b;g
3
- 2 lati
- angolo non
compreso
a;b;
4
- 3 lati
a;b;c
c  a 2  b 2  2  a  b  cos g
b2  c 2  a 2
  arccos
2bc
C
b  200    g 
b

b  arcsen sen 
a

g  200C    b 
a  seng
c
sen
(1)
b2  c2  a 2
  arccos
2bc
a 2  c2  b2
b  arccos
2ac
C
g  200    b 
5
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