formule trigonometriche

FORMULE TRIGONOMETRICHE
1
FORMULE TRIGONOMETRICHE
sen 2 x + cos 2 x = 1
x
o
x
sen x e cos x come funzioni razionali di tg :
2
x
x
2 tg
1 − tg 2
2 ;
2.
sen x =
cos x =
x
x
1 + tg 2
1 + tg 2
2
2
Formule di addizione e sottrazione:
sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β ;
cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β ;
tg α + tgβ
tg (α + β) =
;
1 − tgα tg β
sen(α − β) = sen α cos β − cos α sen β ;
cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β ;
tg α − tgβ
tg (α − β) =
.
1 + tgα tg β
Formule di Prostaferesi :
α+ β
α− β
cos
;
2
2
α+ β
α− β
cos α + cos β = 2 cos
cos
;
2
2
sen( α + β)
tgα + tg β =
;
cos α cos β
sen α + sen β = 2 sen
α+ β
α− β
sen
;
2
2
α+ β
α− β
cos α − cos β = −2 sen
sen
;
2
2
sen( α − β)
tgα − tg β =
.
?
cos α cos β
sen α − sen β = 2 cos
Formule di Werner:
1
sen α sen β = [cos(α − β) − cos(α + β) ] ;
2
1
sen α cos β = [sen(α + β) + sen( α − β)] ;
2
1
cos α cos β = [cos(α + β) + cos(α − β) ] .
2
Formule di duplicazione:
sen 2 x = 2 sen x cos x ;
Santi Strati
cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x ;
tg 2 x =
2 tg x
.
1 − tg 2 x
1
FORMULE TRIGONOMETRICHE
2
Formule di bisezione:
sen
x
1 − cos x
=±
;
2
2
cos
x
1 + cos x
=±
;
2
2
tg
x
1 − cos x
=±
.
2
1 + cos x
Formule di Eulero:
e ix = cos x + i sen x ;
sen x =
e ix − e −ix
;
2i
e −ix = cos x − i sen x ;
cos x =
e ix + e −ix
.
2
Quadrato di seno e coseno:
sen 2 x =
1 − cos 2 x
;
2
cos 2 x =
1 + cos 2 x
.
2
In un triangolo rettangolo:
A
a
b
b
a
sen α = ; sen β = ; cos α = ; cos β = ;
c
c
c
c
α
b
a
b
b
a
tgα = ; tgβ = ; cotg α = ; cotg β ;
b
a
a
b
c
γ
C
β
a
B
c
c
c
c
sec α ; sec β = ; cosecα = ; cosec β = ;
b
a
a
b
b = c sen β ; b = c cos α ; b = a tgβ ; b = a cotgα ;
a = c sen α ; a = c cos β ; a = b tgα ; c = b cotgβ ;
c=
a
a
b
b
;c=
; c=
;c=
.
sen α
cos β
sen β
cosα
Santi Strati
2
FORMULE TRIGONOMETRICHE
3
In tutti i triangoli:
A
α+ β + γ = 180°
R
Teorema dei seni:
a
b
c
=
=
= 2R
sen α sen β sen γ
B
a
C
dove R è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo
Teorema di Carnot :
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α ;
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos β ;
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ .
β −γ
b −c
2 ;
=
β
b + c tg + γ
2
γ −α
c−a
2 .
=
γ
+
α
c + a tg
2
Teorema di Nepero:
α− β
a−b
2 ;
=
α
+
β
a + b tg
2
tg
Teorema delle proiezioni:
a = b cos γ + c cos β ;
tg
b = c cos α + a cos γ ;
tg
c = a cos β + b cos α .
Area dei triangoli:
A=
1
1
1
a b sen γ = b c sen α = a c sen β (conoscendo due lati ed un angolo)
2
2
2
A = p ( p − a)( p − b )( p − c)
p è il semiperimetro
A=
Formula di Erone (conoscendo tre lati)
a 2 sen β sen γ b 2 sen γ sen α c 2 sen αsen β
=
=
(conoscendo tre angoli ed un lato)
2 sen α
2 sen β
2 sen γ
A = r ⋅ p , con r raggio della circonferenza iscritta e p semiperimetro
A=
abc
, con R raggio della circonferenza circoscritta e p semiperimetro
4R
Santi Strati
3