integrale indefinito

INTEGRALE INDEFINITO
OBIETTIVI MINIMI:
 Saper definire l’integrale indefinito di una funzione.
 Conoscere le proprietà dell’integrale indefinito.
 Saper calcolare l’integrale indefinito di una funzione utilizzando i diversi metodi
di integrazione.
DA RICORDARE

La derivata di una funzione, quando esiste è UNICA.

Una funzione F  x  si dice primitiva di una funzione f  x  definita nell’intervallo
a; b  se F  x  è derivabile in tutto a; b  e la sua derivata è f  x  .
Quindi: se F(' x )  f( x ) allora F( x ) è una primitiva di f  x  .

Se F  x  è una primitiva di f x  allora lo sono anche tutte le funzioni del tipo
F( x )  C
con C costante reale arbitraria.
Infatti, poiché la derivata di una costante è nulla, si ha:
( F( x )  C )'  F(' x )  f( x )
C  

Se due funzioni F( x ) e G( x ) sono primitive della stessa funzione f  x  , allora le
due funzioni differiscono per una costante.

Se f  x  è continua in un intervallo a; b  allora in tale intervallo ammette
primitiva.
Definizione di integrale indefinito
Si definisce integrale indefinito della funzione f  x  , e si indica con
 f( x )dx
, l’insieme
di tutte le primitive F( x )  C di f  x  con C numero reale qualunque.
Nella scrittura  f( x )dx
la funzione f  x  è detta funzione integranda e la variabile x
variabile d’integrazione.
Teoremi degli integrali indefiniti

 k  f( x )dx  k   f( x )dx

  f1( x )  f 2( x )dx   f1( x )dx   f 2( x )dx

 k1  f1( x )  k 2  f 2( x )dx k1   f1( x )dx  k 2   f 2( x )dx
I teoremi sopra elencati permettono di affermare che l’integrale indefinito, come la
derivata, è un operatore lineare e il procedimento di integrazione che utilizza tali
teoremi è detto integrazione per
decomposizione o per scomposizione.
Integrali immediati
Se è possibile determinare l’integrale indefinito di una funzione grazie alle sole regole di
derivazione allora l’integrale è detto immediato.
Tabella degli integrali immediati delle funzioni elementari e loro generalizzazioni
Integrale immediato
Generalizzazione
 dx 

xC
 kdx 
kx  C
n
 x dx 

x n 1
C
n 1
1
dx  log x  C
x
f (' x )dx  f( x )  C
k 
n  1
f (' x )dx  k  f( x )  C
'
n
  f( x )  f (

x )dx 
 f x n1  C
n 1
f (' x )
dx  log f( x )  C
f( x )
x
 a dx 
ax
C
log a
a f( x )
f( x ) '
C
a

f
(
x
)
dx


log a
x
 e dx 
e x C
e
 senxdx 
 cos x  C
 cos xdx 


1
2
cos x
1
1 x
2
senx  C
dx  tgx  C
dx  arctgx  C
f( x )
x ) f (' x )dx   cos f( x )  C
 senf(
 cos


 f (' x )dx  e f( x )  C
f( x ) f (' x )dx  senf( x )  C
1
2
cos f( x )
 f (' x )dx  tgf ( x )  C
1
1   f( x )
2
 f (' x )dx  arctgf( x )  C
n  1
ESEMPI
Integrazioni immediate con utilizzo della regola di integrazione per decomposizione.

1
x 2 1
 2 1
x
2
x
 log x  2e x  C  x 3  log x  2e x  C
  3 x   2e dx  3  x dx   dx  2  e dx  3
x
x
2 1



 2 x  senx
2

 x  senx
dx 


4



 


2
dx   cos x 2  C
1
1
2 x  senx 2 dx   cos x 2  C

2
2

x  2 x 4  1dx 
1
2
4  x dx  2  x 4 dx   dx
8
2
x x  x5  x  C
3
5
3
 1 x 2

4
1
1
2
x
1
1
2
2
x 4 1
x3
x5
 xC  4
2
 xC 
3
4 1
5
2

1
1
1
1
cos x dx 3
dx   cos xdx  3arctgx  senx  C
2
2
2
1 x 2

tgxdx  
senx
 senx
dx   
dx   log cos x  C
cos x
cos x
Integrazione di funzioni razionali fratte
Per integrare le funzioni razionali fratte si utilizza, in genere, il metodo di decomposizione
che, come già visto, si basa sulla possibilità di decomporre la funzione integranda nella
somma di funzioni.
P( x )
dx
Si debba integrare:  1
P2( x )
a) Se grado di P1( x ) 
grado di P2( x ) si esegue la divisione tra i polinomi:
P1( x )  Q( x )  P2( x )  R( x ) 
P1( x )
R( x )
 Q( x ) 
P2( x )
P2( x )
con Q( x )  quoziente , R( x )  resto
b) Se grado di P1( x ) < grado di P2( x ) e P2( x )  ax 2  bx  c si calcola il  dell’equazione
associata. Si presentano 3 casi:
1° CASO
0
L’integrale di partenza si
trasforma in
Si cercano due numeri
A e B tali che
Si fattorizza P2( x )
P2( x )  a x  x1  x  x2 

P1( x ) 1  A
B 
 


P2( x ) a  x  x1 x  x2 

1
A
1
b
dx  
dx

a x  x1
a x  x2

L’integrale è la somma
di logaritmi
A
B
log x  x1  log x  x 2  C
a
a
2° CASO
0
L’integrale di partenza si
trasforma in
Si cercano due numeri
A e B tali che

P1( x ) 1  A
B
 


P2( x ) a  x  x1  x  x1 2 
Si fattorizza P2( x )
se P1( x ) è di 1° grado
P2( x )  ax  x12
se P1( x ) è di grado 0

1
A
1
B
dx  
dx

a x  x1
a x  x1 2

L’integrale è la somma
di un logaritmo e di
una funzione fratta
A
B
ln x  x1 
C
a
a x  x1 
L’integrale è quello
immediato di una
funzione fratta

P1( x )
C
a  x  x1 
0
3° CASO
Se P1( x ) è di grado 0 si scrive il denominatore
come somma di due quadrati ottenendo come
integrale un arcotangente
P2( x ) non è
scomponibile
Se P1( x ) è di 1° grado si scrive la frazione
come somma di due frazioni , la prima delle
quali sia la primitiva di un logaritmo e la
seconda sia la primitiva di un arcotangente
ESEMPI



x
x  1 1
1 
1

dx  
dx   1 
dx  x  log x  1  C
dx   dx  
x 1
x 1
x  1
x 1

 2
x 1
x 5 x  6
dx
Si scompone
1°CASO denominatore con   0
x 2  5 x  6  x  2x  3 e, grazie al principio di identità polinomiale si
determinano le due costanti A e B tali che:
x 1
2
x 5 x  6

A
B
A( x  3 )  B( x  2 ) x( A  B ) ( 3 A  2 B )



x  2x  3
x  2x  3
x2 x3
A  B  1

( 3 A  2 B )  1

Risolvendo il sistema otteniamo
 A  3
e l’integrale diventa:

B  4
3
4
1
1
dx  
dx  3 
dx  4 
dx  3 log x  2  4 log x  3  C
x2
x3
x2
x3


3x  1
4x2  4x  1
2°CASO denominatore con   0
dx
Si scompone 4 x 2  4 x  1  2 x  12 e, grazie al principio di identità polinomiale, si
determinano le due costanti A e B tali che:
3x  1
2
4 x 4 x  1

A
B
A( 2 x  1)  B 2 Ax  A  B



2
2 x  1 2 x  1
( 2 x  1)2
( 2 x  1)2
3

 A  2
Risolvendo il sistema otteniamo 
B   5
2

2 A  3

 A  B  1
e l’integrale diventa:
3
1
5
1
3
2
5
2
3
5
dx  
dx  
dx  
dx  log 2 x  1 
C
2
2

2 2x  1
2 2 x  1
4 2x  1
4 2 x  1
4
42 x  1


2x  1
x2  4x  7
3°CASO denominatore con   0
dx
Si riscrive la frazione come somma di frazioni, in modo che una di esse abbia come
numeratore la derivata del denominatore

2x  1
x 2 4 x  7
dx  
2x  4  4  1
2x  4
3
dx  
dx  
dx
x2  4x  7
x2  4x  7
x2  4x  7
Il primo integrale è immediato, mentre nel secondo si scrive il denominatore come somma
di due quadrati per poter integrare come arcotangente:


x 2  4 x  7  x 2  4 x  4  4  7   x  2 2 

2x  4
2
x  4x  7

dx  3 

1
x  2 
 log x 2  4 x  7  3 
2
1
3

 3
arctg
2
l’integrale di partenza diventa:

dx  log x 2  4 x  7  3 
x2
3

 3 2


1
x  2 
2
 C  log x 2  4 x  7  3arctg
 
 3
x2
3
2
dx 
C
Integrazione per sostituzione
Questo metodo viene utilizzato per semplificare il calcolo di alcuni integrali e consiste nella
sostituzione della variabile d’integrazione mediante una funzione del tipo x  g( t ) :

f( x )dx   f( g( t )) g(' t )dt
ESEMPI

4
 7 x  4 dx
t  7x  4
si pone
dt  7dx  dx 
l’integrale diventa:

3e x

e
2x
1
4
4 dt
 7 x  4 dx   t 
7
7 x  4  C
1 4
1 t5
t
dt

 C 

7
7 5
35
5

si pone
dx
dt
7
t  ex
dt  e x dx  dx 
dt
t
3e x
3t dt
1
dx  
  3
dt  3arctgt  C  3arctge x  C
l’integrale diventa: 
2x
2
2
t
e 1
t 1
t 1


1  x 2 dx
si pone
sent  x  t  arcsenx
cos tdt  dx
l’integrale diventa:  1  x 2 dx   1  sen 2 t  cos tdt   cos 2 tdt 
e grazie alle formule di bisezione:
1  cos 2t
1
1
1
1 1
1
1
2
dt  dt   cos 2tdt  t    2 cos 2tdt  t  sen2t  C 
 cos tdt  
2
2
2
2
2 2
1
1
1
1
 t   2sent cos t  C  arcsenx  x 1  x 2  C
2
4
2
2
2
4
Integrazione per parti
Questo metodo viene utilizzato quando la funzione integranda è il prodotto di un fattore
finito f( x ) e di un fattore differenziale g(' x ), in tal caso si applica la formula:

f( x ) g(' x )dx  f( x ) g( x )   f (' x ) g( x )dx
N.B.1 La scelta del fattore finito e del fattore differenziale è quasi sempre determinante
per la riuscita del calcolo e, pur non essendoci una regola generale, in alcuni casi è utile
sapere che:
conviene porre x n  fattore finito nelle integrazioni:  x n  senxdx ,  x n  cos dx ,  x n  a x dx
conviene porre x n  fattore differenziale nelle integrazioni:  x n  log xdx ,  x n  arctgdx .
N.B.2 Il metodo può essere utilizzato più di una volta per la risoluzione di un integrale.
ESEMPI


 log xdx
si pone

f (' x ) 
g(' x )  1 fattore differenziale

g( x )  x
1
x  logx   x  dx x log x   dx  x log x  x  C
x
l’integrale diventa
 log xdx 
2
 x  cos xdx
f( x )  x 2 fattore finito
si pone
l’integrale diventa:
x
2
1
x
f( x )  log x fattore finito

f (' x )  2 x
g(' x )  cos x fattore differenziale 
g( x )  senx
 cos xdx  x 2  senx   2 xsenxdx  x 2 senx  2  x  senxd x
applichiamo nuovamente il metodo nell’ultimo integrale:
si pone
f( x )  x fattore finito

g(' x )  senx fattore differenziale 
e si ottiene :
f (' x )  1
g( x )   cos x
x 2 senx  2 x  senxd x  x 2 senx  2 x   cos x   2 1   cos x dx 
x 2 senx  2 x cos x  2senx  C
ESERCIZI
1. Quesiti a risposta multipla:
1
- 
dx 
x4
- e

x
3 dx

a 4 log x  C

1 3
a
e
C
3

a
b

1
3x
x

-  xsenx2 dx 
1
cos x 2  C
2
b
 3e
b

3

C
x
3
1
c

c
1 
 e 3 C
3
c
2 cos x 2  C
x3
x
C
1
cos x 2  C
2
2. Calcola i seguenti integrali immediati:
2x  1
a) 
dx
x2  x

3
e)  6 x 3 x 2  1 dx
b)  2e 2 x dx
c)  3 3 x 1dx
f)  2dx
g)  x 2  2 x dx


d)   senx  cos 3 xdx
h)  cot gxdx
3. Calcola i seguenti integrali di funzioni razionali fratte:
4x2  5x  2
dx
2x  3
2x  5
a) 
dx
x2  2
2
b) 
dx
2
x  2x  1
c) 
3x  1
e) 
dx
x2  x
2x  3
f) 
dx
2
x  6x  9
x3
g) 
dx
x2  9
4. Calcola i seguenti integrali applicando il metodo di sostituzione:
a)  e x  2 dx
b)  cos
2x  5
dx
3
c) 
1 x
dx
1 x
d)
1
 2 x 1  xdx
5. Calcola i seguenti integrali applicando il metodo di integrazione per parti:
a)   x  1  senxdx
b)

x  1  cosx  1dx
c)  sen 2 xdx
d)  x 2 e x dx
6. Vero o Falso ?


x  t si trasforma in  t 2  1dt
V
F
t
log x
dt
dx con la sostituzione log x  t si trasforma in 
t 3
xlog  3 
V
F
1
dt
t 1
V
F
2x
x
- 
dx  arctg  C
2
x2  4
V
F
-  e x  cos xdx  e x cos x   e x  senxdx
V
F
V
F
V
F
V
F
- L’integrale   x  1 x dx con la sostituzione
- L’integrale 
ex
- L’integrale 
dx con la sostituzione e x  t
x
e 1
- Per calcolare 
x3  2x2  1
dx
x2  1
si trasforma
in 
si deve prima eseguire la divisione
tra numeratore e denominatore .
-  x 1dx  0
-
dx
 2  xdx   log 2  x  C
7. Calcola i seguenti integrali
1
dx
xlog x  1
b) 
1


 1dx
e)   3 x 2 
x


f) 
i)  x  e x dx
l)  cos 2 xdx
a) 
2
2
12 x  3
1 x 2
1 x
2
dx
dx
c)  tg 2 xdx
d)  x 2 senxdx
dx
g) 
dx
x
e 3
h)  e x  1dx
m)  1  2 x dx
n) 
3
1 x
2
dx