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LE FUNZIONI GONIOMETRICHE:
SENO, COSENO E TANGENTE
Prof Giovanni Ianne
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LE FUNZIONI SENO E COSENO
DEFINIZIONE
Seno e coseno
Consideriamo
la circonferenza goniometrica
e un angolo orientato a,
e sia B il punto della circonferenza
associato ad a.
Definiamo coseno e seno di a, e
indichiamo con cos a e sen a :
cos a = xB ,
sen a = yB .
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LE FUNZIONI SENO E COSENO
Circonferenza di raggio
unitario
Circonferenza di centro
O e raggio qualsiasi
Indichiamo con (x; y) le
coordinate di B.
Indichiamo con (x'; y') le
coordinate di B'.
x = cos a
y = sen a
Scopriamo che:
e
e quindi sen a e cos a
non dipendono dalla
particolare circonferenza
considerata,
ma solo dall’angolo a.
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LE FUNZIONI SENO E COSENO
Il triangolo OA'B' è un
triangolo rettangolo.
Le proprietà del seno e
del coseno si applicano a
tutti i triangoli rettangoli.
Triangoli rettangoli
sen a = rapporto tra il
cateto opposto
all’angolo e
l’ipotenusa.
cos a = rapporto tra il
cateto adiacente
all’angolo e
l’ipotenusa.
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LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLE FUNZIONI
SENO E COSENO
PROPRIETÀ
In particolare si verifica
che:
–1 ≤ sen x ≤ 1 ;
–1 ≤ cos x ≤ 1 ;
cos x = cos (–x) ;
sen x = –sen (–x) .
Costruiamo il grafico delle funzioni
y = sen x e y = cos x in [0; 2p]
riportando sull’asse x i valori degli
angoli e sull’asse y le coordinate
dei punti della circonferenza
goniometrica.
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SINUSOIDE E COSINUSIDE
sen (x + 2p) = sen x = sen (x + 4p) = ... ,
cos (x + 2p) = cos x = cos (x + 4p) = … ,
cioè
sen (x + 2kp) = sen x ,
cos (x + 2kp) = cos x .
Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2p .
Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide, quello della funzione
coseno cosinusoide.
I due grafici differiscono per una traslazione di p/2.
p
2
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LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE
Prima relazione fondamentale
della goniometria
cos2 a + sen2 a = 1
Da cui, se è noto cos a ,
mentre, se è noto sen a ,
,
.
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LA FUNZIONE TANGENTE
DEFINIZIONE
Tangente
Consideriamo un angolo orientato a,
e sia B il punto della circonferenza
associato ad a.
Definiamo tangente di a il rapporto,
quando esiste, tra l’ordinata e
l’ascissa di B:
.
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LA FUNZIONE TANGENTE
Circonferenza di centro
O e raggio qualsiasi
Triangolo rettangolo
Indichiamo con (x'; y') le
coordinate di B'.
tg a = rapporto tra il
cateto opposto
all’angolo e il
cateto adiacente.
Un altro significato
geometrico
Consideriamo il cerchio
goniometrico e la sua
tangente t.
tg a = ordinata di T.
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LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLA FUNZIONE
TANGENTE
PROPRIETÀ
In particolare si verifica
che:
tg x tende a + o –
quando x si avvicina a p/2,
tg x = – tg (–x).
Costruiamo il grafico della funzione y = tg x in [0;p]
riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y
l’ordinata del punto T.
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LA TANGENTOIDE
tg (a + p) = tg a = tg (a + 2p) = ...
cioè
tg (a + kp) = tg a .
La funzione tangente è periodica di periodo p .
Il grafico completo della
funzione tangente si
chiama tangentoide.
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LA SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE
Seconda relazione fondamentale della
goniometria
,
yB = sen a , xB = cos a ,
.
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ESERCIZI: SENO E COSENO
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ESERCIZI: LA TANGENTE
