PARADOSSI DELL`INFINITO

Bardonecchia Gennaio 2015
CAMPUS MATEMATICA FISICA SPORT

PARADOSSI DELL’INFINITO
Paolo Boggiatto
Il concetto di infinito è un’astrazione (intuizione?!) della
nostra mente suggerita da varie situazioni concrete.
Eccone alcune:
Eccone alcune:
Eccone alcune:
Eccone alcune:
Eccone alcune:
Eccone alcune:
Eccone alcune:
Eccone alcune:
1,
Eccone alcune:
1, 2,
Eccone alcune:
1, 2, 3,
Eccone alcune:
1, 2, 3, 4,
Eccone alcune:
1, 2, 3, 4, 5,
Eccone alcune:
{1, 2, 3, 4, 5,
I
=N
}
In matematica potremmo distinguere (almeno) due
punti di vista con cui affrontare il concetto di infinito.
Un punto di vista, per così dire, “statico” ed uno
“dinamico”.
In matematica potremmo distinguere (almeno) due
punti di vista con cui affrontare il concetto di infinito.
Un punto di vista, per così dire, “statico” ed uno
“dinamico”.
Il punto di vista “statico” è lo studio degli insiemi
costituiti da infiniti punti (infinito attuale di Aristotele)
In matematica potremmo distinguere (almeno) due
punti di vista con cui affrontare il concetto di infinito.
Un punto di vista, per così dire, “statico” ed uno
“dinamico”.
Il punto di vista “statico” è lo studio degli insiemi
costituiti da infiniti punti (infinito attuale di Aristotele)
Il punto di vista “dinamico” è lo studio di azioni ripetute
infinite volte (infinito potenziale di Aristotele)
SCHEMA DEL CORSO
SCHEMA DEL CORSO
punto di vista “statico”:
INSIEMI INFINITI: introduzione ai
numeri cardinali
C
SCHEMA DEL CORSO
punto di vista “statico”:
INSIEMI INFINITI: introduzione ai
numeri cardinali
punto di vista “dinamico”:
successioni numeriche
serie numeriche
C
SCHEMA DEL CORSO
punto di vista “statico”:
INSIEMI INFINITI: introduzione ai
numeri cardinali
punto di vista “dinamico”:
successioni numeriche
serie numeriche
serie di Fourier
C
INIZIAMO!!!
BARDONECCHIA GENNAIO 2015
CAMPUS MATEMATICA FISICA SPORT
QUANTO “INFINITO” PUÒ
ESSERE UN INSIEME?
Paolo Boggiatto
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Uno strano hotel ha stanze numerate 1,2,3, … ci sono
infinite stanze e sono tutte occupate.
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Uno strano hotel ha stanze numerate 1,2,3, … ci sono
infinite stanze e sono tutte occupate.
Una sera arriva una comitiva di N persone.
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Uno strano hotel ha stanze numerate 1,2,3, … ci sono
infinite stanze e sono tutte occupate.
Una sera arriva una comitiva di N persone.
L’albergatore dice “E’ tutto occupato ma entrate e vi sistemo
tutti” … e trova davvero una stanza per tutti!
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Uno strano hotel ha stanze numerate 1,2,3, … ci sono
infinite stanze e sono tutte occupate.
Una sera arriva una comitiva di N persone.
L’albergatore dice “E’ tutto occupato ma entrate e vi sistemo
tutti” … e trova davvero una stanza per tutti!
Ancora più tardi arriva un’altra comitiva questa volta di
infinite persone.
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Uno strano hotel ha stanze numerate 1,2,3, … ci sono
infinite stanze e sono tutte occupate.
Una sera arriva una comitiva di N persone.
L’albergatore dice “E’ tutto occupato ma entrate e vi sistemo
tutti” … e trova davvero una stanza per tutti!
Ancora più tardi arriva un’altra comitiva questa volta di
infinite persone.
Di nuovo l’albergatore dice “E’ tutto occupato ma entrate e
vi sistemo tutti” … e di nuovo trova una stanza per tutti!
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Uno strano hotel ha stanze numerate 1,2,3, … ci sono
infinite stanze e sono tutte occupate.
Una sera arriva una comitiva di N persone.
L’albergatore dice “E’ tutto occupato ma entrate e vi sistemo
tutti” … e trova davvero una stanza per tutti!
Ancora più tardi arriva un’altra comitiva questa volta di
infinite persone.
Di nuovo l’albergatore dice “E’ tutto occupato ma entrate e
vi sistemo tutti” … e di nuovo trova una stanza per tutti!
com’è possibile? … tra poco si capirà perché.
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Supponiamo di dover ordinare una collezione di insiemi dal
più “piccolo al più “grande”.
Se tutti gli insiemi della collezione sono finiti il compito è
facile: li ordiniamo in base al numero di elementi che
contengono.
A
B
C
Qui
Quo
Qua
Paperino
Qui, Quo, Qua, Paperino, Pippo, Paperone
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Numerosità di un insieme = “#” = “cardinalità”
(o “potenza”)
#(A) = #(B) = 4,
A
#(A) < #(C) = 6
B
C
Qui
Quo
Qua
Paperino
Qui, Quo, Qua, Paperino, Pippo, Paperone
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Tuttavia moltissimi insiemi contengono infiniti elementi. Per
esempio: N, Z, Q, R, rette, circonferenze, cerchi, ecc.
Come possiamo estendere ad insiemi qualsiasi i concetti:
● “l’insieme A ha stesso numero di elementi dell’insieme B”
● “l’insieme A a meno elementi dell’insieme C ” ?
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Tuttavia moltissimi insiemi contengono infiniti elementi. Per
esempio: N, Z, Q, R, rette, circonferenze, cerchi, ecc.
Come possiamo estendere ad insiemi qualsiasi i concetti:
● “l’insieme A ha stesso numero di elementi dell’insieme B”
● “l’insieme A a meno elementi dell’insieme C ” ?
L’idea di Cantor è di
reinterpretare il confronto tra
insiemi usando le funzioni
Georg Cantor
(1845 – 1918)
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
RIPASSO:
Funzione iniettiva (iniezione):
a  
b  b
c  g
d
Funzione biettiva (biiezione):
a  
b  b
c  g
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
B
A
biiezione
Qui
Quo
Qua
Paperino
#(A) = #(B)
#(A) < #(C)
iniezione
C
Qui, Quo, Qua, Paperino, Pippo, Paperone
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
DEFINIZIONE: dati due insiemi A e B, diremo che
A e B hanno stessa cardinalità
(cioè #(A) = #(B))
se esiste una biiezione: A ↔ B
A
B
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
DEFINIZIONE: dati due insiemi A e B, diremo che
A e B hanno stessa cardinalità
(cioè #(A) = #(B))
se esiste una biiezione: A ↔ B
A
B
A ha cardinalità minore o uguale a quella di B
(cioè #(A) ≤ #(B))
A
B
se esiste una iniezione: A → B
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
DEFINIZIONE: dati due insiemi A e B, diremo che
A e B hanno stessa cardinalità
(cioè #(A) = #(B))
se esiste una biiezione: A ↔ B
A
B
A ha cardinalità minore o uguale a quella di B
(cioè #(A) ≤ #(B))
A
B
se esiste una iniezione: A → B
A ha cardinalità strettamente minore di quella di B
(cioè #(A) < #(B))
A
B
se #(A) ≤ #(B) ma non #(A) = #(B)
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
OSSERVAZIONE :
Naturalmente se #(A) ≤ #(B) e #(B) ≤ #(A) vorremmo
che sia #(A) = #(B);
cioè l’esistenza di due iniezioni A → B e B → A deve
essere equivalente all’esistenza di una biiezione A↔B.
Si può in effetti dimostrare (Teor. di Bernstein) che ciò è
vero, dunque c’è coerenza nelle definizioni date.
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Esempio (modello standard di cardinalità 4):
I4 = {1, 2, 3, 4}
E = {Qui, Quo, Qua,
Paperino}
def
#(E) = #(I4)= 4
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Esempio (modello standard di cardinalità finita):
In = {1, 2, 3, …, n}
E = {x1, x2, x3, …, xn}
def
#(E) = #(In)= n
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Esempio (primo esempio di cardinalità infinta):
N = {1, 2, 3, 4, 5, ………….}
Abbiamo l’iniezione: nIn → nN .
Inoltre si può dimostrare che non esiste biezione: In → N.
Dunque #(N)> #(In) . Poniamo:
def
#(N) =
(si legge “Alef con zero”. “Alef” è la prima lettera
dell’alfabeto ebraico)
E’ il primo “numero cardinale” infinito che incontriamo
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
DEFINIZIONI:
Un insieme A si dice “finito” se #(A)=n per qualche nϵN.
Si dice “infinito” altrimenti. Dunque N è infinito.
Un insieme A si dice “numerabile” se #(A)=
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
DEFINIZIONI:
Un insieme A si dice “finito” se #(A)=n per qualche nϵN.
Si dice “infinito” altrimenti. Dunque N è infinito.
Un insieme A si dice “numerabile” se #(A)=
DOMANDE:
Gli insiemi infiniti sono tutti numerabili?
E se no, quanti tipi di insiemi infiniti esistono?
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Esempio:
Sia E = insieme di tutte le “parole” (di qualsiasi lunghezza) che
si possono formare con le lettere {a ,b, c}:
N = {1, 2, 3, 4, …}
E = {a, b, c, aa, ab, ac, ba, bb,
bc, ca, cb, cc, aaa, aab,
aac, aba, abb, abc, …}
#(E) =
(Nota: se prendessi E in ordine alfabetico non riuscirei a “numerarlo” tramite N )
QUANTI
QUANTI ELEMENTI
ELEMENTI HA
HA UN
UN INSIEME?
INSIEME?
Esempio:
N = {1, 2, 3, 4, …}
P =#(P)
{2,=4, 6, 8, …}
Sorpresa! I numeri pari sono “tanti quanti” tutti i numeri
naturali, N sta in corrispondenza biunivoca con una sua parte!
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Analogamente:
N = {1, 2, 3, 4, …}
D = {1, 3, 5, 7, …}
#(D) =
Iniziamo allora ad intuire il senso dell’enigma dell’hotel !!!
Meglio ancora lo si può formalizzare definendo una ‘’somma
di numeri cardinali’’, vediamo come :
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
DEFINIZIONE:
SOMMA di CARDINALI
Siano A e B due insiemi disgiunti (cioè A  B = Ø)
poniamo:
#(A) + #(B)= # (A  B)
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
DEFINIZIONE:
SOMMA di CARDINALI
Siano A e B due insiemi disgiunti (cioè A  B = Ø)
poniamo:
#(A) + #(B)= # (A  B)
L’enigma dell’hotel non ha ora più misteri:
Abbiamo infatti
P  D = Ø,
e P  D = N,
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
DEFINIZIONE:
SOMMA di CARDINALI
Siano A e B due insiemi disgiunti (cioè A  B = Ø)
poniamo:
#(A) + #(B)= # (A  B)
L’enigma dell’hotel non ha ora più misteri:
Abbiamo infatti
P  D = Ø,
e P  D = N,
Allora
#(P) + #(D) = #(P  D) = #(N) ,
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
DEFINIZIONE:
SOMMA di CARDINALI
Siano A e B due insiemi disgiunti (cioè A  B = Ø)
poniamo:
#(A) + #(B)= # (A  B)
L’enigma dell’hotel non ha ora più misteri:
Abbiamo infatti
P  D = Ø,
Allora
#(P) + #(D) = #(P  D) = #(N) ,
ovvero (incredibilmente!):
+
e P  D = N,
=
(Nota: usando il prodotto cartesiano di insiemi si potrebbe poi estendere ai
numeri cardinali il prodotto di numeri naturali, ma noi non proseguiamo . . . )
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Il fatto che i numeri pari abbiamo stessa cardinalità di tutti i
numeri interni non è un caso:
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Il fatto che i numeri pari abbiamo stessa cardinalità di tutti i
numeri interni non è un caso:
Proprietà:
un insieme è finito se e solo se non sta in
corrispondenza con nessun suo sottoinsieme proprio.
Equivalentemente: un insieme è infinito se e solo se
sta in corrispondenza con un suo sottoinsieme.
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Ancora un esempio: l’insieme dei ‘’quadrati perfetti’’ sembra
molto più piccolo dell’insieme N, … ed invece :
N = {1, 2, 3, 4, …}
QD = {1, 4, 9, 16, …}
#(QD) =
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Un esempio leggermente diverso: N è infinito solo “verso destra”.
Z sembra “più grande” perché è infinito sia ‘’verso destra’’ che
“verso sinistra”, … ed invece:
N = {1, 2, 3, 4, 5, …}
Z = {0, 1, -1, 2, -2, …}
#(Z) =
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Un caso più difficile:
Q sembra davvero contenere molti più elementi di N,
sarà
#(Q) >
?
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
…NO!
#(Q) =
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Un caso ancora più difficile:
cosa succede con in numeri reali?
#(R) = ?
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Un caso ancora più difficile:
cosa succede con in numeri reali?
L’iniezione
#(R) = ?
n  N → n  R assicura che
#(R) 
Ma sarà
#(R) >
oppure
#(R) =
?
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Mostriamo che anche soltanto l’intervallo (0,1) ha cardinalità
strettamente maggiore di N, cioè:
#(0,1) > >
Da ciò segue ovviamente:
#(R) >
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Risposta:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
→
→
→
→
→
→
→
→
→
#(R) >
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
=
=
=
=
=
=
=
=
=
DIAGONALE DI
CANTOR
C’è qui però un difetto, ma si può correggere … qual è ???
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Poniamo :
def
#(R) = c
“cardinalità del continuo”
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Poniamo :
def
#(R) = c
“cardinalità del continuo”
Riassumendo, finora abbiamo:
Insiemi:
I0, I1,I2, I3… , In, …, N, R
cardinalità:
0, 1, 2, 3, …, n, …,
Inoltre abbiamo dimostrato che:
n<
,c
<c
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
ALCUNI ESEMPI (PIU’ O MENO INASPETTATI) DI INSIEMI CON
CARDINALITA’ DEL CONTINUO
… SAPRESTE TROVARE UNA BIEZIONE TRA ESSI E L’ASSE REALE?
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
INSIEME DELLE PARTI: Se E è un insieme che contiene ha 3
elementi, per esempio E = {a,b,c}, allora
P(E) = { Ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} }
ha 8 = 23 elementi .
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
INSIEME DELLE PARTI: Se E è un insieme che contiene ha 3
elementi, per esempio E = {a,b,c}, allora
P(E) = { Ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} }
ha 8 = 23 elementi .
In generale se E ha n elementi allora P(E) ha 2n elementi.
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
INSIEME DELLE PARTI: Se E è un insieme che contiene ha 3
elementi, per esempio E = {a,b,c}, allora
P(E) = { Ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} }
ha 8 = 23 elementi .
In generale se E ha n elementi allora P(E) ha 2n elementi.
Proprietà: c = #( P(N) )
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
INSIEME DELLE PARTI: Se E è un insieme che contiene ha 3
elementi, per esempio E = {a,b,c}, allora
P(E) = { Ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} }
ha 8 = 23 elementi .
In generale se E ha n elementi allora P(E) ha 2n elementi.
Proprietà: c = #( P(N) )
E’ naturale estendere ai cardinali l’operazione di elevamento a
potenza ponendo
#(P(E))= 2#(E)
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
INSIEME DELLE PARTI: Se E è un insieme che contiene ha 3
elementi, per esempio E = {a,b,c}, allora
P(E) = { Ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} }
ha 8 = 23 elementi .
In generale se E ha n elementi allora P(E) ha 2n elementi.
Proprietà: c = #( P(N) )
E’ naturale estendere ai cardinali l’operazione di elevamento a
potenza ponendo
Poiché c
#(P(E))= 2#(E)
= #( P(N) ),
e
= #(N), avremo allora
c=2
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Abbiamo descritto successione di numeri cardinali:
0, 1, 2, 3, …, n, … ,
,c
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Abbiamo descritto successione di numeri cardinali:
0, 1, 2, 3, …, n, … ,
,c
DOMANDA N.1:
Esistono numeri cardinali più
grandi di c ?
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Abbiamo descritto successione di numeri cardinali:
0, 1, 2, 3, …, n, … ,
,c
DOMANDA N.1:
Esistono numeri cardinali più
grandi di c ?
DOMANDA N.2:
Esistono numeri cardinali
strettamente compresi tra
e c?
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
DOMANDA N.1:
esistono numeri cardinali più grandi di
c
?
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
DOMANDA N.1:
esistono numeri cardinali più grandi di
c
?
Teorema di Cantor
Per ogni insieme E si ha: #(E) < #( P(E) )
(P(E)= insieme delle parti di E)
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
DOMANDA N.1:
esistono numeri cardinali più grandi di
c
?
Teorema di Cantor
Per ogni insieme E si ha: #(E) < #( P(E) )
(P(E)= insieme delle parti di E)
Dunque esistono infinite cardinalità e per costruirne una “catena”
basta prendere un qualsiasi insieme infinito E e considerare:
#(E) < #(P(E)) < #(P(P(E))) < #(P(P(P(E)))) < …
Abbiamo cioè infiniti tipi di infinito !!!
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
DOMANDA N.2:
esistono numeri cardinali strettamente compresi tra
e 2
=c
?
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
DOMANDA N.2:
esistono numeri cardinali strettamente compresi tra
e 2 =c ?
Guardiamo cosa succede al finito: ci sono numeri compresi tra
n e 2n ?
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
DOMANDA N.2:
esistono numeri cardinali strettamente compresi tra
e 2 =c ?
Guardiamo cosa succede al finito: ci sono numeri compresi tra
n e 2n ?
0 < 1 = 20
1 < 2 = 21
2 < 3 < 4 = 22
3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 = 23
4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < 10 < 11 < 12 < 13 < 14 < 15 < 16 = 24
…
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
DOMANDA N.2:
esistono numeri cardinali strettamente compresi tra
e 2 =c ?
Guardiamo cosa succede al finito: ci sono numeri compresi tra
n e 2n ?
0 < 1 = 20
1 < 2 = 21
2 < 3 < 4 = 22
3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 = 23
4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < 10 < 11 < 12 < 13 < 14 < 15 < 16 = 24
...
Dunque, a parte n=0 ed n=1, eccome!
Anzi, i numeri compresi tra n e 2n diventano sempre di più al
crescere di n
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Esistono allora numeri cardinali strettamente compresi tra
e 2
=c
?
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Esistono allora numeri cardinali strettamente compresi tra
e 2
=c
?
SORPRESA: la questione è INDECIDIBILE
all’interno del sistema assiomatico ZFC .
(ZFC è il sistema di assiomi di Zermelo–Fraenkel della teoria
standard degli insiemi, unito all’assioma della scelta: su esso si
basa essenzialmente tutta la matematica moderna!)
Kurt Gödel
(Brno, 28 aprile 1906 –
Princeton, 14 gennaio 1978
Paul Joseph Cohen
(Long Branch, 2 aprile 1934 –
Palo Alto, 23 marzo 2007
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
La storia non finisce qui..
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
La storia non finisce qui..
il numero
ha infatti alcune caratteristiche molto particolari:
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
La storia non finisce qui..
il numero
ha infatti alcune caratteristiche molto particolari:
- non è “successore“ di nessun numero cardinale
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
La storia non finisce qui..
il numero
ha infatti alcune caratteristiche molto particolari:
- non è “successore“ di nessun numero cardinale
- non e’ somma (finita) di cardinali più piccoli
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
La storia non finisce qui..
il numero
ha infatti alcune caratteristiche molto particolari:
- non è “successore“ di nessun numero cardinale
- non e’ somma (finita) di cardinali più piccoli
- non lo si ottiene come cardinalità dell’insieme delle parti di
nessun suo sottoinsieme
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
La storia non finisce qui..
il numero
ha infatti alcune caratteristiche molto particolari:
- non è “successore“ di nessun numero cardinale
- non e’ somma (finita) di cardinali più piccoli
- non lo si ottiene come cardinalità dell’insieme delle parti di
nessun suo sottoinsieme
DEFINIZIONE: un cardinale con queste proprietà si dice
“inaccessibile”
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
La storia non finisce qui..
il numero
ha infatti alcune caratteristiche molto particolari:
- non è “successore“ di nessun numero cardinale
- non e’ somma (finita) di cardinali più piccoli
- non lo si ottiene come cardinalità dell’insieme delle parti di
nessun suo sottoinsieme
DEFINIZIONE: un cardinale con queste proprietà si dice
“inaccessibile”
E’ naturale chiedersi: esistono altri cardinali inaccessibili?
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
La storia non finisce qui..
il numero
ha infatti alcune caratteristiche molto particolari:
- non è “successore“ di nessun numero cardinale
- non e’ somma (finita) di cardinali più piccoli
- non lo si ottiene come cardinalità dell’insieme delle parti di
nessun suo sottoinsieme
DEFINIZIONE: un cardinale con queste proprietà si dice
“inaccessibile”
E’ naturale chiedersi: esistono altri cardinali inaccessibili?
Risposta: anche questo è
INDECIDIBILE !
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Le cose tuttavia sono ancora più complicate (ma anche più
interessanti) di come sono state presentate …
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Le cose tuttavia sono ancora più complicate (ma anche più
interessanti) di come sono state presentate …
#(A) = #(B) gode di tutte le proprietà di una relazione di
equivalenza ma non può essere una relazione di equivalenza tra
insiemi, altrimenti si incorrerebbe nel paradosso di Russell.
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Le cose tuttavia sono ancora più complicate (ma anche più
interessanti) di come sono state presentate …
#(A) = #(B) gode di tutte le proprietà di una relazione di
equivalenza ma non può essere una relazione di equivalenza tra
insiemi, altrimenti si incorrerebbe nel paradosso di Russell.
La via per superare il problema sarebbe definire in modo meno
“ingenuo” la cardinalità usando “l’assegnazione di cardinalità di
Von Neumann”. .. che tuttavia fa uso dei “numeri ordinali”, altra
generalizzazione dei numeri naturali, la cui introduzione
richiederebbe un notevole lavoro!
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Le cose tuttavia sono ancora più complicate (ma anche più
interessanti) di come sono state presentate …
#(A) = #(B) gode di tutte le proprietà di una relazione di
equivalenza ma non può essere una relazione di equivalenza tra
insiemi, altrimenti si incorrerebbe nel paradosso di Russell.
La via per superare il problema sarebbe definire in modo meno
“ingenuo” la cardinalità usando “l’assegnazione di cardinalità di
Von Neumann”. .. che tuttavia fa uso dei “numeri ordinali”, altra
generalizzazione dei numeri naturali, la cui introduzione
richiederebbe un notevole lavoro!
Qui intendiamo quindi più semplicemente che l’affermazione
“#(A) = #(B)” sia una proposizione che “dice qualcosa su A e B”
senza che ciò porti necessariamente ad una suddivisione degli
insiemi in classi di equivalenza.
QUANTI ELEMENTI HA UN INSIEME?
Insomma… per oggi è ora di terminare ma
per chi volesse approfondire materiale e
problemi non mancano!
GRAZIE per l’attenzione!
COSA
POSSIAMO
FARE CON
UNA LAUREA
IN
MATEMATICA?
Grazie per l’attenzione!
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
Via Carlo Alberto 10 TORINO
http://matematica.campusnet.unito.it
BARDONECCHIA GENNAIO 2015
CAMPUS MATEMATICA FISICA SPORT
L’INFINITO COME “LIMITE DEL FINITO”
SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE
Paolo Boggiatto
SUCCESSIONI NUMERICHE
E LIMITI
QUIZ
Un lupo ruba in una notte metà pecore di un gregge
più mezza pecora.
La notte successiva torna e ruba di nuovo metà più
mezza pecora di quelle che restavano.
Infine, la terza notte ruba ancora metà più mezza
pecora e non ne restano più.
Quante pecore c’erano nel gregge?
SOLUZIONE
N0= n. pecore rimaste alle fine della terza notte
N0 = 0
SOLUZIONE
N0= n. pecore rimaste alle fine della terza notte
N1= n. pecore rimaste alla fine della seconda notte = ?
N0 = 0
SOLUZIONE
N0= n. pecore rimaste alle fine della terza notte
N1= n. pecore rimaste alla fine della seconda notte = ?
N1 – (½ N1 + ½) = N0;
N0 = 0
SOLUZIONE
N0= n. pecore rimaste alle fine della terza notte
N0 = 0
N1= n. pecore rimaste alla fine della seconda notte = ?
N1 – (½ N1 + ½) = N0;
½ N1 – ½ = N0; N1 = 2N0 +1;
N1 = 1
SOLUZIONE
N0= n. pecore rimaste alle fine della terza notte
N0 = 0
N1= n. pecore rimaste alla fine della seconda notte = ?
N1 – (½ N1 + ½) = N0;
½ N1 – ½ = N0; N1 = 2N0 +1;
N1 = 1
N2= n. pecore rimaste alla fine della prima notte = ?
N2 – (½ N2 + ½) = N1;
½ N2– ½ = N1; N2 = 2N1 +1;
N2 = 3
SOLUZIONE
N0= n. pecore rimaste alle fine della terza notte
N0 = 0
N1= n. pecore rimaste alla fine della seconda notte = ?
N1 – (½ N1 + ½) = N0;
½ N1 – ½ = N0; N1 = 2N0 +1;
N1 = 1
N2= n. pecore rimaste alla fine della prima notte = ?
N2 – (½ N2 + ½) = N1;
½ N2– ½ = N1; N2 = 2N1 +1;
N2 = 3
N3= n. pecore presenti all’inizio = ?
N3 – (½ N3 + ½) = N2;
½ N3– ½ = N2;
N3 = 7
N3 = 2N2 +1;
SOLUZIONE
N0= n. pecore rimaste alle fine della terza notte
N0 = 0
N1= n. pecore rimaste alla fine della seconda notte = ?
N1 – (½ N1 + ½) = N0;
½ N1 – ½ = N0; N1 = 2N0 +1;
N1 = 1
N2= n. pecore rimaste alla fine della prima notte = ?
N2 – (½ N2 + ½) = N1;
½ N2– ½ = N1; N2 = 2N1 +1;
N2 = 3
N3= n. pecore presenti all’inizio = ?
N3 – (½ N3 + ½) = N2;
½ N3– ½ = N2;
N3 = 7
N3 = 2N2 +1;
SOLUZIONE: nel gregge c’erano 7 pecore
MA C’E’ DI PIU’
… se il lupo avesse esaurito il gregge dopo 100 notti quante pecore
avrebbe avuto il gregge? Ormai è facile:
MA C’E’ DI PIU’
… se il lupo avesse esaurito il gregge dopo 100 notti quante pecore
avrebbe avuto il gregge? Ormai è facile:
N0= n. pecore rimaste alle fine della terza notte
N0 = 0
N1= n. pecore rimaste alla fine della seconda notte = ?
N1 – (½ N1 + ½) = N0;
½ N1 – ½ = N0; N1 = 2N0 +1;
N1 = 1
N2= n. pecore rimaste alla fine della prima notte = ?
N2 – (½ N2 + ½) = N1;
½ N2– ½ = N1; N2 = 2N1 +1;
N2 = 3
N3= n. pecore presenti all’inizio = ?
N3 – (½ N3 + ½) = N2;
½ N3– ½ = N2;
N3 = 7
Nj = 0
Nj+1 = 2Nj + 1
con
SUCCESSIONE PER RICORRENZA
N3 = 2N2 +1;
j= 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
Fantastico! La formula della successione per ricorrenza:
Nj = 0
Nj+1 = 2Nj + 1
con
j= 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
è un “modello matematico “ che ci permette di calcolare il valore Nj per
qualsiasi valore di j
Fantastico! La formula della successione per ricorrenza:
Nj = 0
Nj+1 = 2Nj + 1
con
j= 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
è un “modello matematico “ che ci permette di calcolare il valore Nj per
qualsiasi valore di j
Tuttavia anche avendo scoperto la regola che ci porta alla soluzione nel
caso di 100 notti, il calcolo non è agevole poiché si impiegherebbe un bel
po’ di tempo prima di arrivare a calcolare N100 con la formula di
ricorrenza!
…. Possiamo far di meglio?
Fantastico! La formula della successione per ricorrenza:
Nj = 0
Nj+1 = 2Nj + 1
con
j= 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
è un “modello matematico “ che ci permette di calcolare il valore Nj per
qualsiasi valore di j
Tuttavia anche avendo scoperto la regola che ci porta alla soluzione nel
caso di 100 notti, il calcolo non è agevole poiché si impiegherebbe un bel
po’ di tempo prima di arrivare a calcolare N100 con la formula di
ricorrenza!
…. Possiamo far di meglio?
Ci servirebbe una formula “esplicita” :
j  Nj
Procediamo per tentativi. Se invece di
Nj = 0
Nj+1 = 2Nj + 1
(j= 0, 1, 2, 3, 4, 5, …)
avessimo:
Nj = 0
Nj+1 = 2Nj
(j= 0, 1, 2, 3, 4, 5, …)
Allora la formula esplicita sarebbe:
Nj = 2j
Procediamo per tentativi. Se invece di
Nj = 0
Nj+1 = 2Nj + 1
(j= 0, 1, 2, 3, 4, 5, …)
avessimo:
Nj = 0
Nj+1 = 2Nj
(j= 0, 1, 2, 3, 4, 5, …)
Allora la formula esplicita sarebbe:
Nj = 2j
Questa formula tuttavia dà la successione: 1, 2, 4, 8, ….
Procediamo per tentativi. Se invece di
Nj = 0
Nj+1 = 2Nj + 1
(j= 0, 1, 2, 3, 4, 5, …)
avessimo:
Nj = 0
Nj+1 = 2Nj
(j= 0, 1, 2, 3, 4, 5, …)
Allora la formula esplicita sarebbe:
Nj = 2j
Questa formula tuttavia dà la successione: 1, 2, 4, 8, ….
Ma sappiamo che la successione corretta è : 0, 1, 3, 7, …
Procediamo per tentativi. Se invece di
Nj = 0
Nj+1 = 2Nj + 1
(j= 0, 1, 2, 3, 4, 5, …)
avessimo:
Nj = 0
Nj+1 = 2Nj
(j= 0, 1, 2, 3, 4, 5, …)
Allora la formula esplicita sarebbe:
Nj = 2j
Questa formula tuttavia dà la successione: 1, 2, 4, 8, ….
Ma sappiamo che la successione corretta è : 0, 1, 3, 7, …
Dunque forse basta togliete 1.
…proviamo allora con : Nj =
ed ecco che otteniamo effettivamente la successione corretta!
2j - 1
Procediamo per tentativi. Se invece di
Nj = 0
Nj+1 = 2Nj + 1
(j= 0, 1, 2, 3, 4, 5, …)
avessimo:
Nj = 0
Nj+1 = 2Nj
(j= 0, 1, 2, 3, 4, 5, …)
Allora la formula esplicita sarebbe:
Nj = 2j
Questa formula tuttavia dà la successione: 1, 2, 4, 8, ….
Ma sappiamo che la successione corretta è : 0, 1, 3, 7, …
Dunque forse basta togliete 1.
…proviamo allora con : Nj =
ed ecco che otteniamo effettivamente la successione corretta!
SOLUZIONE: nel gregge c’erano
2100 - 1
pecore
2j - 1
RIASSUMENDO:
abbiamo capito cos’è una successione
numerica e che essa può essere data con
una formula di ricorrenza oppure con
una formula esplicita
ATTENZIONE:
Il metodo seguito per risolvere il quiz non è
affatto l’unico!!!
Il nostro scopo era di introdurre il concetto di
successione ed il metodo esposto è stato scelto
perché porta in modo naturale a questo
concetto.
Scoprire altri metodi e confrontarli sarebbe
cosa molto interessante ed utile
…ma non possiamo permetterci divagazioni !!!
ALTRO ESEMPIO
yn = 2 – 1/n
yn = 2 – 1/n
Un “successione numerica” è una
funzione da N ad R. Si dice “successione”
perché i valori reali yn si possono mettere
“in fila” ovvero “in successione”
yn = 2 – 1/n
n=1 
Un “successione numerica” è una
funzione da N ad R. Si dice “successione”
perché i valori reali yn si possono mettere
“in fila” ovvero “in successione”
y1 = 2 – 1/1 = 1
yn = 2 – 1/n
Un “successione numerica” è una
funzione da N ad R. Si dice “successione”
perché i valori reali yn si possono mettere
“in fila” ovvero “in successione”
n=1 
y1 = 2 – 1/1 = 1
n=2 
y2 = 2 – 1/2 = 1.5
yn = 2 – 1/n
Un “successione numerica” è una
funzione da N ad R. Si dice “successione”
perché i valori reali yn si possono mettere
“in fila” ovvero “in successione”
n=1 
y1 = 2 – 1/1 = 1
n=2 
y2 = 2 – 1/2 = 1.5
n=3 
y3 = 2 – 1/3 = 1,666…
yn = 2 – 1/n
Un “successione numerica” è una
funzione da N ad R. Si dice “successione”
perché i valori reali yn si possono mettere
“in fila” ovvero “in successione”
n=1 
y1 = 2 – 1/1 = 1
n=2 
y2 = 2 – 1/2 = 1.5
n=3 
y3 = 2 – 1/3 = 1,666…
n=4 
y4 = 2 – 1/4 = 1,75
yn = 2 – 1/n
Un “successione numerica” è una
funzione da N ad R. Si dice “successione”
perché i valori reali yn si possono mettere
“in fila” ovvero “in successione”
n=1 
y1 = 2 – 1/1 = 1
n=2 
y2 = 2 – 1/2 = 1.5
n=3 
y3 = 2 – 1/3 = 1,666…
n=4 
y4 = 2 – 1/4 = 1,75
ecc.
yn = 2 – 1/n
Possiamo anche rappresentare i valori
reali ynR in corrispondenza di nN dal
punto di vista grafico come segue…
yn = 2 – 1/n
2
1
1
2
3
4
5
y
1
1.5
1.666…
1.75
1.8
………
n
1
2
3
4
5
………
yn = 2 – 1/n
2
1
1
2
3
4
5
y
1
1.5
1.666…
1.75
1.8
………
n
1
2
3
4
5
………
yn = 2 – 1/n
2
1
1
2
3
4
5
y
1
1.5
1.666…
1.75
1.8
………
n
1
2
3
4
5
………
yn = 2 – 1/n
2
1
1
2
3
4
5
y
1
1.5
1.666…
1.75
1.8
………
n
1
2
3
4
5
………
yn = 2 – 1/n
2
1
1
2
3
4
5
y
1
1.5
1.666…
1.75
1.8
………
n
1
2
3
4
5
………
yn = 2 – 1/n
2
1
1
2
3
4
5
y
1
1.5
1.666…
1.75
1.8
………
n
1
2
3
4
5
………
Come specificare il fatto che:
se n tende a +,
allora yn tende a 2 ?
yn = 2 – 1/n
2
1
1
2
3
4
5
y
1
1.5
1.666…
1.75
1.8
………
n
1
2
3
4
5
………
Lo si può fare grazie ai «quantificatori»  ed 
2
1
1
2
3
4
5
Lo si può fare grazie ai «quantificatori»  ed 
2+
2
2-
1
1
>0,
2
3
4
|yn  2|< 
5
Lo si può fare grazie ai «quantificatori»  ed 
2+
2
2-
1
1
2
3
4
N
>0, N, n>N |
|yn  2|< 
esiste la possibilità
di arrivarci
5
Lo si può fare grazie ai «quantificatori»  ed 
2+
2
2-
1
1
2
3
4
5
N
>0, N, n>N |
|yn  2|< 
esiste la possibilità
di arrivarci
purchè prenda n
abbastanza grande
Lo si può fare grazie ai «quantificatori»  ed 
2+
2
2-
1
1
2
3
4
5
N
>0, N, n>N |
|yn  2|< 
esiste la possibilità
di arrivarci
purchè prenda n
abbastanza grande
Lo si può fare grazie ai «quantificatori»  ed 
2+
2
2-
1
ATTENZIONE:
Non svilupperemo qui la teoria ed il calcolo dei limiti.
Ci serviremo però del concetto di limite per definire in
1 modo
2 rigoroso
3 le «somme
4
5 infinite».
N
>0, N, n>N |
|yn  2|< 
esiste la possibilità
di arrivarci
purchè prenda n
abbastanza grande
Lo si può fare grazie ai «quantificatori»  ed 
2+
2
2-
1
ATTENZIONE:
Non svilupperemo qui la teoria ed il calcolo dei limiti.
Ci serviremo però del concetto di limite per definire in
1 modo
2 rigoroso
3 le «somme
4
5 infinite».
N
>0, N, n>N |
|yn  2|< 
esiste la possibilità
di arrivarci
purchè prenda n
abbastanza grande
SERIE NUMERICHE
ovvero
somme di infiniti numeri
LE SERIE GEOMETRICA
Lo strano parcheggio: un parcheggio ha le seguenti tariffe:
prima ora: 1 euro
seconda ora: 1/2 euro
terza ora: 1/4 euro
quarta ora: 1/8 euro
………ecc…………………...
LE SERIE GEOMETRICA
Lo strano parcheggio: un parcheggio ha le seguenti tariffe:
prima ora: 1 euro
seconda ora: 1/2 euro
terza ora: 1/4 euro
quarta ora: 1/8 euro
………ecc…………………...
Quanto dovrò pagare per lasciare parcheggiata l’auto per sempre?
LE SERIE GEOMETRICA
Lo strano parcheggio: un parcheggio ha le seguenti tariffe:
prima ora: 1 euro
seconda ora: 1/2 euro
terza ora: 1/4 euro
quarta ora: 1/8 euro
………ecc…………………...
Quanto dovrò pagare per lasciare parcheggiata l’auto per sempre?
… ecc. ...
… ecc. ...
Se le somme parziali tendono ad un qualche valore finito o infinito definiremo
S uguale a questo valore.
Ora sappiamo cosa intendere per somma infinita
…ma non abbiamo ancora un metodo per calcolarla
Più in generale consideriamo la serie:
Ci serve un’espressione esplicita elementare per le somme
parziali:
Più in generale consideriamo la serie:
Ci serve un’espressione esplicita elementare per le somme
parziali:
eccola!
Più in generale consideriamo la serie:
Ci serve un’espressione esplicita elementare per le somme
parziali:
eccola!
Sapreste
dimostrarla!?
Ok, ecco un cenno alla
dimostrazione …
mentre per x=1 la
formula è banale!
Dunque:
Passando ora al limite per n  , abbiamo:
 per x > 1
per -1 < x < 1
oscilla per x  -1
Dunque:
Passando ora al limite per n  , abbiamo:
 per x > 1
per -1 < x < 1
oscilla per x  -1
inoltre:
 
RIASSUMENDO
ha il seguente comportamento:
-1
1
x
= 
oscilla
per x  -1
per -1 < x < 1
per x  1
Nel caso del parcheggio abbiamo x= ½ , che appartiene all’intervallo di
convergenza (-1,1). Dunque la somma da pagare non è infinita e si
ottiene semplicemente sostituendo x = ½ nell’espressione:
Dobbiamo pagare 2 Euro per lasciare parcheggiata l’auto per sempre!
… neanche poi
così tanto!
Ora conosciamo la somma, ma
… sapreste capaci di “vederla”?
Ora conosciamo la somma, ma
… sapreste capaci di “vederla”?
osservate attentamente la
figura seguente e ci riuscirete!
Ora conosciamo la somma, ma
… sapreste capaci di “vederla”?
osservate attentamente la
figura seguente e ci riuscirete!
Ahh!!! Questa alternanza di
quadrati e rettangoli dà ai
nervi!!! E se volessimo
tutte figure dello stesso
tipo???
Ecco fatto…
Complimenti
ragazzi, siete in
gamba!!!
Le applicazioni della serie geometrica sono innumerevoli!
tra le tante eccone due:
Non tutti lo sanno ma …
0,9999999999... = 1
Lo sapreste dimostrare usando la serie geometrica?
Non tutti lo sanno ma …
0,9999999999... = 1
Lo sapreste dimostrare usando la serie geometrica?
Uhm, lasciatemi pensare. Mi
potrebbe servire considerare che
0,99999999… =
9x10-1+ 9x10-2 + 9x10-3 + 9x10-4 +…
Dunque…
Ah si! Ecco una dimostrazione di
0,99999….. = 1 che fa uso della serie
geometrica
Ah si! Ecco una dimostrazione di
0,99999….. = 1 che fa uso della serie
geometrica
Tuttavia ecco anche una dimostrazione che non fa uso di serie
E per finire qualcosa di più difficile …
Il fiocco di neve di Koch
è uno tra i primi esempi di
“frattali”, figure “auto-simili “
studiate da B. Mandelbrot
E per finire qualcosa di più difficile …
Il fiocco di neve di Koch
è uno tra i primi esempi di
“frattali”, figure “auto-simili “
studiate da B. Mandelbrot
Se l’area del triangolo centrale è uguale ad 1,
Qual’è l’area del fiocco di neve di Koch?
E per finire qualcosa di più difficile …
Il fiocco di neve di Koch
Questa volta solo
un suggerimento
da interpretare:
E per finire qualcosa di più difficile …
Il fiocco di neve di Koch
Questa volta solo
un suggerimento
da interpretare:
Ed infine la soluzione
… da giustificare:
Concludiamo con un’altra proprietà sorprendente di questa figura: la
“tassellatura” …un “mosaico” interamente fatto da fiocchi di neve!
Esistono tassellature fatte da mattonelle di varie forme ma ciò che qui è
sorprendente è il fatto che si usi una figura con infiniti lati!
GRAZIE PER
L’ATTENZIONE!
BARDONECCHIA GENNAIO 2015
CAMPUS MATEMATICA FISICA SPORT
DALLA TRIGONOMETRIA ALL’ANALISI
ARMONICA
ovvero
DAI MATTONI ALLE COSTRUZIONI
Paolo Boggiatto
INZIAMO CON UNO SGUARDO ALLA
TRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRIA
Un “mattoncino capostipite”:
y= cos(x)
Un secondo “mattoncino base”:
y= sen(x)
… qualche simpatico “parente”:
… qualche “divertente“ proprietà della famiglia:
… ed infinite applicazioni:
… ed infinite applicazioni:
TUTTO QUESTO E’ CERTO
FONDAMENTALE, MA
VOGLIAMO QUI PROSEGUIRE IN
UNA DIVERSA DIREZIONE …
Ci serviamo di un paragone per
illustrare la direzione che
vogliamo ora seguire …
Il gioco delle costruzioni
Tutto parte dall’idea di un
mattoncino “capostipite”
Tutto parte dall’idea di un
mattoncino “capostipite”
Si prendono poi in
considerazione
mattoncini “parenti”
Tutto parte dall’idea di un
mattoncino “capostipite”
Si prendono poi in
considerazione
mattoncini “parenti”
Usando i mattoncini ci si
può destreggiare nelle più
svariate costruzioni
Tutto parte dall’idea di un
mattoncino “capostipite”
Si prendono poi in
considerazione
mattoncini “parenti”
Usando i mattoncini ci si
può destreggiare nelle più
svariate costruzioni
…invece di mattoncini useremo funzioni
cos(x)
cos(x)
cos(x)
3 domande…via,
via più difficili
cos(x)
3 domande…via,
via più difficili
COME PASSARE DALLA
FUNZIONE
«CAPOSTIPITE» AI
«PARENTI»?
cos(x)
3 domande…via,
via più difficili
COME PASSARE DALLA
FUNZIONE
«CAPOSTIPITE» AI
«PARENTI»?
COME PASSARE DAI
«PARENTI» ALLE
«COSTRUZIONI»?
cos(x)
3 domande…via,
via più difficili
COME PASSARE DALLA
FUNZIONE
«CAPOSTIPITE» AI
«PARENTI»?
COME PASSARE DAI
«PARENTI» ALLE
«COSTRUZIONI»?
QUALI
«COSTRUZIONI» SI
POSSONO
REALIZZARE?
cos(x)
Domanda n.1
cos(x)
COME PASSARE DALLA
FUNZIONE
«CAPOSTIPITE» AI
«PARENTI»?
cos(x)
TRASLAZIONE
cos(x)
sen(x)
cos(x)
sen(x)
CONTRAZIONE
cos(2x)
sen(2x)
CONTRAZIONE
cos(x)
sen(x)
cos(2x)
sen(2x)
cos(3x)
sen(3x)
cos(x)
sen(x)
cos(2x)
sen(2x)
cos(3x)
sen(3x)
cos(4x)
sen(4x)
cos(x)
sen(x)
cos(2x)
sen(2x)
cos(3x)
sen(3x)
cos(4x)
sen(4x)
cos(5x)
sen(5x)
cos(x)
sen(x)
cos(2x)
sen(2x)
cos(3x)
sen(3x)
cos(4x)
sen(4x)
cos(5x)
sen(5x)
…………. e così via all’infinito……..
Riassumendo:
periodo
frequenza
1
1
1/2
2
1/3
3
1/4
4
1/5
5
1/6
6
1/7
7
(a parte normalizzazione con 2)
Notare:
è proprio ciò che succede con le
armoniche musicali
Domanda n.2
cos(x)
COME PASSARE DAI
«PARENTI» ALLE
«COSTRUZIONI»?
Come in ogni gioco, iniziamo dalle costruzioni più facili:
Nel nostro caso sono quelle “fatte” da un numero finito di
mattoncini:
Prendiamo un numero finito di “mattoncini”, li
moltiplichiamo per delle costanti e sommiamo
(si dice che formiamo “combinazioni lineari” di
mattoncini) :
y = a1 cos(x) + a2 cos(2x) + a3 cos(3x) + a4 cos(4x)+
b1 sen(x) + b2 sen(2x) + b3 sen(3x) + b4 sen(4x)
Che tipo di funzioni otteniamo?
Consideriamo ad esempio:
y = sen(x) + sen(3x)/3 + sen(5x)/5 + sen(7x)/7
esaminiamo l’effetto di ognuno dei termini della
somma
y = sen(x)
sen(x)
y = sen(x) + sen(3x)/3
sen(x)
sen(3x)/3
y = sen(x) + sen(3x)/3 + sen(5x)/5
sen(x)
sen(3x)/3
sen(5x)/5
y = sen(x) + sen(3x)/3 + sen(5x)/5 + sen(7x)/7
sen(x)
sen(3x)/3
sen(5x)/5
sen(7x)/7
Qualche altro esempio:
http://www.wolframalpha.com
Qualche altro esempio:
http://www.wolframalpha.com
Qualche altro esempio:
http://www.wolframalpha.com
http://www.wolframalpha.com
http://www.wolframalpha.com
Le funzioni costruite finora hanno (almeno) tre
caratteristiche fondamentali… quali?
Le funzioni costruite finora hanno (almeno) tre
caratteristiche fondamentali… quali?
sono:
- periodiche
- continue
- derivabili (cioè non hanno “punte”)
Le funzioni costruite finora hanno (almeno) tre
caratteristiche fondamentali… quali?
sono:
- periodiche
- continue
- derivabili (cioè non hanno “punte”)
Con i mattoncini a disposizione, che ovviamente
hanno tutti queste tre caratteristiche, possiamo
solo ottenere costruzioni di questo tipo?
Iniziamo con la periodicità:
Iniziamo con la periodicità:
a1 cos(x) + b1 sen(x)  periodo 2 
a2 cos(2x) + b2 sen(2x)  periodo 2/2
a3 cos(3x) + b3 sen(3x)  periodo 2/3
………………………………………………………..
aN cos(Nx) + bN sen(Nx)  periodo 2/N
SN (x)  periodo 2
“ridotta” N-esima
N
SN(x) = n=1 an cos(nx) + bn sen(nx)
Iniziamo con la periodicità:
a1 cos(x) + b1 sen(x)  periodo 2 
a2 cos(2x) + b2 sen(2x)  periodo 2/2
a3 cos(3x) + b3 sen(3x)  periodo 2/3
………………………………………………………..
aN cos(Nx) + bN sen(Nx)  periodo 2/N
SN (x) )  periodo 2
Anche
 a cos(nx) + b sen(nx)
y
=
a
+
n=1 n
0
n
passando a
somma infinita, si può dimostrare che (comunque
si intenda la convergenza della serie) essa sarà una
funzione periodica di periodo 2.
Ci limiteremo d’ora in poi a considerare funzioni
sull’intervallo *0,2], oppure [, ].
Un piccolo intermezzo … SORPRESA!
y= cos(x) + cos( x)
non è periodica!!! (…perché?)
Dunque le funzioni che otterremmo se
prendessimo cos(kx) e sen(kx) con k reale
qualsiasi non sono necessariamente periodiche.
Esse appartengono alla classe delle funzioni
“quasi-periodiche” argomento che tuttavia esula
dai nostri scopi.
Noi non ne parleremo!
Passiamo ora alle altre due caratteristiche:
continuità e derivabilità.
Qui dobbiamo distinguere 2 casi.
Se ci limitiamo alle combinazioni lineari finite di
mattoncini (cioè alle SN(x) ), allora si può
dimostrare che tutte le costruzioni (= funzioni)
che possiamo ottenere saranno continue e
derivabili.
TEOREMA
1) La somma di funzioni continue è ancora una funzione continua: in altre parole, se y = f(x)
ed y = g(x) sono funzioni continue, allora anche la funzione somma y = f(x) + g(x) è una
funzione continua.
2) La stessa conclusione vale se moltiplico una funzione continua per una costante:
cioè se y = f(x) è continua e k è un numero reale, allora y = k f(x) è una funzione continua.
Se invece mettiamo in gioco gli infiniti mattoncini
che abbiamo a disposizione ecco che succede
qualcosa di stupefacente …
… possiamo costruire una infinità di funzioni non
derivabili e addirittura non continue!
Dobbiamo tuttavia dare un senso preciso alle
affermazioni:
“mettere in gioco infiniti mattoncini” e
“costruire” funzioni
Con “mettere in gioco infiniti mattoncini”
intendiamo considerare serie invece che somme
finite:
y = a0 +
a1 cos(x) + b1 sen(x) +
a2 cos(2x) + b2 sen(2x) +
a3 cos(3x) + b3 sen(3x) +
….
 a cos(nx) + b sen(nx)
= a0 + n=1
n
n
Dobbiamo poi precisare cosa intendiamo per
“costruire” funzioni. Ciò significa che dobbiamo
precisare che tipo di convergenza richiediamo alla
serie:
y = a0 +
a1 cos(x) + b1 sen(x) +
a2 cos(2x) + b2 sen(2x) +
a3 cos(3x) + b3 sen(3x) +
….
 a cos(nx) + b sen(nx)
= a0 + n=1
n
n
Precisare il tipo di convergenza della serie
è certamente molto interessante, ma…
…viene una gran voglia di vedere dal punto di
vista grafico/geometrico in che modo si
possono costruire funzioni non derivabili e
perfino non continue usando le funzioni SN(x)
derivabili (e quindi anche continue)…
OK! Diamo allora per buoni i concetti di
convergenza e di approssimazione e guardiamo
cosa succede “visivamente”
Consideriamo le seguenti 2 funzioni non continue:
“Onda quadra”
“Dente di sega”
Se i coefficienti an, bn sono scelti opportunamente
ecco cosa succede con le corrispondenti funzioni
SN(x):
da https://www.youtube.com/watch?v=Lu2nnvYORec
Bene! Ciò che abbiamo visto ci fa capire
che, in senso opportuno, abbiamo
 a cos(nx) + b sen(nx)
f(x) = a0 +n=1
n
n
almeno per certe funzioni.
Questo è fantastico!
Abbiamo infatti “spezzettato una funzione f(x)
in mattoncini” esattamente come succede con il
gioco delle costruzioni!
Solo che qui possiamo usare infiniti mattoncini!
sorgono ora spontanee alcune domande:
sorgono ora spontanee alcune domande:
Come sono fatti i “miracolosi” coefficienti
an, bn che danno l’approssimazione che
abbiamo visto?
sorgono ora spontanee alcune domande:
Come sono fatti i “miracolosi” coefficienti
an, bn che danno l’approssimazione che
abbiamo visto?
Le approssimazioni hanno comunque
qualche difetto (quali?):
In che senso possiamo considerare
coincidenti la funzione e la serie?
sorgono ora spontanee alcune domande:
Come sono fatti i “miracolosi” coefficienti
an, bn che danno l’approssimazione che
abbiamo visto?
Le approssimazioni hanno comunque
qualche difetto (quali?):
In che senso possiamo considerare
coincidenti la funzione e la serie?
Altre domande…?
Il settore della matematica che studia
questi problemi è l’Analisi Armonica:
Il settore della matematica che studia
questi problemi è l’Analisi Armonica:
I “miracolosi” coefficienti si
calcolano a partire dalla funzione
f(x) tramite integrazione e si dicono
“coefficienti di Fourier” di f(x):
Il settore della matematica che studia
questi problemi è l’Analisi Armonica:
I “miracolosi” coefficienti si
calcolano a partire dalla funzione
f(x) tramite integrazione e si dicono
“coefficienti di Fourier” di f(x):
la serie:
 a cos(nx) + b sen(nx)
f(x) = a0 + n=1
n
n
si dice “serie di Fourier” di f(x)
Il settore della matematica che studia
questi problemi è l’Analisi Armonica:
I “miracolosi” coefficienti si
calcolano a partire dalla funzione
f(x) tramite integrazione e si dicono
“coefficienti di Fourier” di f(x):
la serie:
 a sen(nx) + b cos(nx)
f(x) = a0 + n=1
n
n
si dice “serie di Fourier” di f(x)
I singoli “mattoncini”: an cos(nx) + bn sen(nx)
si dicono e “armoniche fondamentali”
La coincidenza tra una funzione e la
sua serie di Fourier è un argomento
molto delicato!
Molti grandi matematici si sono
occupati di questo argomento a
partire da Fourier (inizio 1800).
Ma perché tanti risultati e tanti
teoremi?
Il motivo è il seguente.

cn = k
Per una serie numerica dire n=1
(cioè la serie converge al valore reale k) significa:

n=1cn = limN+SN = k
N
dove SN =n=1 cn

cn = k
Per una serie numerica dire n=1
(cioè la serie converge al valore reale k) significa:

n=1cn = limN+SN = k
N
dove SN =n=1 cn
Tuttavia qui dobbiamo considerare la serie:

n=1 an cos(nx) + bn sen(nx)
che è una serie di costanti dipendenti da x,
ovvero una serie di funzioni

cn = k
Per una serie numerica dire n=1
(cioè la serie converge al valore reale k) significa:

n=1cn = limN+SN = k
N
dove SN =n=1 cn
Tuttavia qui dobbiamo considerare la serie:

n=1 an cos(nx) + bn sen(nx)
che è una serie di costanti dipendenti da x,
ovvero una serie di funzioni. Allora
N
SN(x) = n=1 an cos(nx) + bn sen(nx)
sarà una successione di funzioni e

n=1
an cos(nx) + bn sen(nx) = limN SN(x)
sarà un limite di funzioni
… e per limiti di funzioni si apre ai nostri occhi un
panorama del tutto nuovo: l’affermazione
“le funzioni SN(x) si avvicinano alla funzione f(x)“
si può infatti intendere in infiniti modi diversi non
equivalenti tra loro!
Ognuno di questi “modi” corrisponde ad
un diverso concetto di “convergenza”
ovvero di “approssimazione”
Vogliamo qui esaminare 3 tra questi infiniti
tipi di convergenza:
1) Convergenza puntuale
2) Convergenza uniforme
3) Convergenza quadratica (o in noma L2)
Potremmo quindi dire che esamineremo 3 diversi
modi di passare “dai mattoncini alle costruzioni”.
Vogliamo qui esaminare 3 tra questi infiniti
tipi di convergenza:
1) Convergenza puntuale
2) Convergenza uniforme
3) Convergenza quadratica (o in noma L2)
Potremmo quindi dire che esamineremo 3 diversi
modi di passare “dai mattoncini alle costruzioni”.
Lo faremo da un punto di vista solamente
geometrico, lasciando la formalizzazione
matematica …a chi vorrà studiare matematica.
Ma sarà sufficiente a farsi un’idea!
1) Convergenza puntuale:
è il tipo di convergenza più semplice:
per ogni x fissata si richiede che SN(x) tenda ad f(x)
Cosa significa graficamente?
Vediamolo:
1) Convergenza puntuale:
S1(x)
f(x)
x
Per ogni x
1) Convergenza puntuale:
S2(x)
f(x)
x
Per ogni x
1) Convergenza puntuale:
S3(x)
f(x)
x
Per ogni x
1) Convergenza puntuale:
S4(x)
f(x)
x
Per ogni x
1) Convergenza puntuale:
S5(x)
f(x)
x
Per ogni x
1) Convergenza puntuale:
S6(x)
f(x)
x
Per ogni x
1) Convergenza puntuale:
S7(x)
f(x)
x
Per ogni x
2) Convergenza uniforme su un intervallo
questo tipo di convergenza significa che:
fissata a piacere una “striscia” attorno alla funzione
limite f(x), si richiede che da un certo indice N in poi
le SN(x) siano contenute interamente in questa
striscia.
Vediamolo meglio dal punto di vista geometrico:
2) Convergenza uniforme su un intervallo:
f(x) + 
f(x)
f(x)  
2) Convergenza uniforme su un intervallo:
f(x) + 
f(x)
f(x)  
ᵋ
ᵋ
2) Convergenza uniforme su un intervallo:
f(x) + 
f(x)
f(x)  
S150(x)
2) Convergenza uniforme su un intervallo:
f(x) + 
f(x)
f(x)  
S151(x)
2) Convergenza uniforme su un intervallo:
f(x) + 
f(x)
f(x)  
S152(x)
2) Convergenza uniforme su un intervallo:
f(x) + 
f(x)
f(x)  
S153(x)
2) Convergenza uniforme su un intervallo:
f(x) + 
f(x)
f(x)  
S154(x)
2) Convergenza uniforme su un intervallo:
f(x) + 
f(x)
f(x)  
S155(x)
2) Convergenza uniforme su un intervallo:
f(x) + 
f(x)
f(x)  
S156(x)
2) Convergenza uniforme su un intervallo:
f(x) + 
f(x)
f(x)  
S157(x)
2) Convergenza uniforme su un intervallo:
f(x) + 
f(x)
f(x)  
S158(x)
3) Convergenza quadratica (o in norma L2)
è forse il tipo di convergenza più importante in fisica
poichè corrisponde ad un «norma» che rappresenta
l’energia del segnale associato alla funzione f(x).
Sostanzialmente significa richiedere che:
l’area compresa tra la funzione limite f(x) e le sue
approssimazioni SN(x) tenda a zero per N  +.
3) Convergenza quadratica (o in norma L2)
è forse il tipo di convergenza più importante in fisica
poichè corrisponde ad un «norma» che rappresenta
l’energia del segnale associato alla funzione f(x).
Sostanzialmente significa richiedere che:
l’area compresa tra la funzione limite f(x) e le sue
approssimazioni SN(x) tenda a zero per N  +.
Il “sostanzialmente” è dovuto al fatto che, per motivi su cui
non ci soffermiamo, si considera
invece di
che sarebbe l’esatta area.
Vediamo:
3) Convergenza quadratica (o in noma L2)
3) Convergenza quadratica (o in noma L2)
3) Convergenza quadratica (o in noma L2)
3) Convergenza quadratica (o in noma L2)
3) Convergenza quadratica (o in noma L2)
I tipi di convergenza ora visti
non sono affatto equivalenti.
Valgono tuttavia le seguenti implicazioni:
convergenza puntuale
convergenza uniforme
convergenza L2
Dunque la sola uguaglianza :
 a cos(nx) + b sen(nx)
f(x) = a0 + n=1
n
n
di per se non significa niente, se non specifichiamo
in che senso la serie, ovvero la successione delle
SN(x) , converge ad f(x).
Naturalmente in matematica ogni implicazione ha una
rigorosa dimostrazione, ed ogni caso in cui non c’e’
implicazione esiste almeno un contro-esempio che
prova la non validità dell’implicazione.
Non vogliamo però qui presentare ciò. Vogliamo invece
osservare cose succede nel caso della funzione onda
quadra rispetto allo schema riportato:
che tipi di convergenza avremo in questo caso?
convergenza puntuale
convergenza uniforme
convergenza L2
Ma prima … proviamo un gioco di allenamento!
I. PARTE DEL GIOCO
Tenuto conto dello schema di implicazioni:
convergenza puntuale
convergenza uniforme
convergenza L2
Quali casi convergenza SN(X)  f(x) su un intervallo [a,b] sono
possibili?
EHI! MA QUESTO E’ UN
GIOCO DI LOGICA , NON DI
ANALISI ARMONICA!
II. PARTE DEL GIOCO
Inventare il grafico di successioni SN(X) che convergano ad una
funzione f(x) su un intervallo [a,b] nei seguenti modi:
a) uniformemente
b) puntualmente, in L2 , ma non uniformemente
c) puntualmente, non in L2 , non uniformemente
d) non puntualmente, in L2 , non uniformemente
II. PARTE DEL GIOCO
Inventare il grafico di successioni SN(X) che convergano ad una
funzione f(x) su un intervallo [a,b] nei seguenti modi:
a) uniformemente
b) puntualmente, in L2 , ma non uniformemente
c) puntualmente, non in L2 , non uniformemente
d) non puntualmente, in L2 , non uniformemente
OK! Ora torniamo
all’onda quadra…
Rivediamo alcune fasi della sequenza:
Da http://www.gaussianwaves.com/2013/05/a-tutorial-on-fourier-analysis-fourier-series/
Rivediamo alcune fasi della sequenza:
Da http://www.gaussianwaves.com/2013/05/a-tutorial-on-fourier-analysis-fourier-series/
Rivediamo alcune fasi della sequenza:
Da http://www.gaussianwaves.com/2013/05/a-tutorial-on-fourier-analysis-fourier-series/
Rivediamo alcune fasi della sequenza:
Da http://www.gaussianwaves.com/2013/05/a-tutorial-on-fourier-analysis-fourier-series/
Notato qualcosa?
Ancora una volta…
Rivediamo alcune fasi della sequenza:
Da http://www.gaussianwaves.com/2013/05/a-tutorial-on-fourier-analysis-fourier-series/
Rivediamo alcune fasi della sequenza:
Da http://www.gaussianwaves.com/2013/05/a-tutorial-on-fourier-analysis-fourier-series/
Rivediamo alcune fasi della sequenza:
Da http://www.gaussianwaves.com/2013/05/a-tutorial-on-fourier-analysis-fourier-series/
Rivediamo alcune fasi della sequenza:
Da http://www.gaussianwaves.com/2013/05/a-tutorial-on-fourier-analysis-fourier-series/
ed ora il QUIZ: quali tipi di convergenza
abbiamo nel caso dell’onda quadra?
SI
NO
convergenza puntuale
convergenza uniforme
SI
NO
convergenza L2
SI
NO
SOLUZIONE

convergenza puntuale
SI
NO
convergenza uniforme
SI

NO
convergenza L2

SI
PERCHE’ ?
NO
Qualche spiegazione in più …
Iniziamo con

Convergenza L
SI
NO
2
Qualche spiegazione in più …
Iniziamo con

Convergenza L
SI
NO
2
Teorema
Sia f(x) una funzione con “energia finita”, ovvero tale che
[-,] |f(x)|2 dx < + 
Allora la serie di Fourier di f(x) converge ad f(x) in norma L2.
… è il punto di partenza della teoria dei segnali.
Passiamo a:

convergenza puntuale
SI
NO
Ogni x  0 viene “oltrepassata dalle gobbette” e dunque SN(x) si
avvicina sempre più ad f(x)
Per x = 0 si ha SN(0)= f(0) per ogni N.
Ogni x  0 viene “oltrepassata dalle gobbette” e dunque SN(x) si
avvicina sempre più ad f(x)
Per x = 0 si ha SN(0)= f(0) per ogni N.
Ogni x  0 viene “oltrepassata dalle gobbette” e dunque SN(x) si
avvicina sempre più ad f(x)
Per x = 0 si ha SN(0)= f(0) per ogni N.
Ogni x  0 viene “oltrepassata dalle gobbette” e dunque SN(x) si
avvicina sempre più ad f(x)
Per x = 0 si ha SN(0)= f(0) per ogni N.
Ed infine consideriamo

convergenza uniforme
SI
NO
Teorema ( continuità e convergenza uniforme)
Se una successione di funzioni continue in intervallo I converge
uniformemente verso una funzione f(x) in I, allora f è continua in I.
Una successione di funzioni continue non può tendere
uniformemente ad una funzione non continua!
Vediamolo:
… a riguardo c’è qualcosa in più da dire :
La mancanza di convergenza uniforme della
serie di Fourier in presenza di un “salto” nella
funzione f(x) si può quantificare in modo curioso
ed inaspettato …
FENOMENO DI GIBBS
Il “salto” (o meglio “la scivolata” essendo
funzioni continue) delle SN(x) tende a superare
del 18 circa il salto della f(x).
Più in precisamente:
Fenomeno di Gibbs
Da Wikipedia
……
 ampiezza salto x 0.18
cioè circa 18 % del salto
cos(x)
Ed infine la:
Domanda n.3
QUALI
«COSTRUZIONI» SI
POSSONO
REALIZZARE?
In parte abbiamo già risposto a questa domanda
con gli esempi precedenti… ma c’è qualcosa di
incredibile ancora da scoprire!
In parte abbiamo già risposto a questa domanda
con gli esempi precedenti… ma c’è qualcosa di
incredibile ancora da scoprire!
Può una funzione continua avere
“una punta in ogni punto (x,f(x))“, ovvero
in ogni x essere continua ma non derivabile?
… è praticamente impossibile da immaginare!
Eppure si! esistono funzioni del genere,
la “funzione di Weierstrass” è un
esempio.
Eccone la definizione:
è una serie di
Fourier!!!
Ed ecco il grafico:
… è un esempio di “frattale”, figura con particolari
proprietà di “auto-similitudine” introdotte da B. Mandelbrot.
Ecco un caso particolare:
Vediamo come si comporta avvicinandoci:
Da http://www.math.washington.edu/~conroy/general/weierstrass/weier.htm
PER CONCLUDERE:
“Non leggere soltanto; combatti!
Poni le tue proprie domande, cerca i
tuoi esempi, scopri le tue dimostrazioni.
Paul R. Halmos
(1916 - 2006)
E’ necessaria l’ipotesi? E’ vero il
viceversa? Cosa capita nei casi
classici? Cosa succede nel caso
degenere ? Dove si usano le ipotesi?”
Uno tra i testi più accessibili sull’argomento:
A First Course in Fourier Analysis
David W. Kammler
January 2008
GRAZIE PER L’ATTENZIONE!