Dimostrazione della relazione
sen(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ
(formula di addizione del seno) con GeoGebra
Vi sono molte formule nell’ambito della goniometria e della trigonometria, ma le formule
veramente utili e da ricordare, secondo la mia opinione, in effetti sono la relazione fondamentale e
la formula di addizione/sottrazione, dalle quali si possono ricavare molte delle altre relazioni.
In particolare, in questo caso, vediamo come ottenere la formula di addizione del seno, a partire
dalla circonferenza goniometrica e dalle relazioni fra gli elementi del triangolo rettangolo.
Questa (e le altre formule di addizione/sottrazione) relative alle funzioni goniometriche permettono
di avere a disposizione degli strumenti potenti e molto versatili per affrontare questioni di "ogni
sorta" riguardanti angoli qualunque, e, quindi, figure geometriche che siano composte da questi
elementi. Le applicazioni pratiche spaziano naturalmente in tutti gli ambiti applicativi possibili,
dall'ingegneria all'architettura, alla topografia, alla fisica, ecc, insomma un ottimo bagaglio
professionale spendibile con profitto.
Abbiamo pensato, per lasciare agli studenti un’ulteriore “strumento”, di utilizzare GeoGebra per
realizzare la dimostrazione, in modo che in futuro essi possano verificarla in ogni momento ed
applicarla a vari angoli in modo semplice e immediato.
Inoltre riteniamo che l’uso del software di geometria dinamica aiuti a realizzare le costruzioni con
semplicità, focalizzandosi sui concetti e non sulle difficoltà “tecniche” del disegno.
Si realizzi in GeoGebra la seguente costruzione:
a) costruiamo la circonferenza goniometrica
b) inseriamo un punto a scelta sulla circonferenza nel I quadrante, che sarà la posizione che
identifica l’angolo α (nella nostra costruzione è il punto D)
c) inseriamo un punto a scelta sulla circonferenza nel I quadrante, ad una ampiezza maggiore
del punto precedente, che sarà la posizione che identifica l’angolo β (nella nostra
costruzione è il punto E)
d) colleghiamo all’origine i due punti precedenti con 2 segmenti
e) costruiamo la perpendicolare per E all’asse x: essa individua, come intersezione, il punto G
f) costruiamo la perpendicolare per E al segmento OD, che individua, come intersezione, il
punto F
g) costruiamo la parallela per F all’asse x, che individua come intersezione il punto H
h) misuriamo le distanze EH ed EG
i) misuriamo le ampiezze degli angoli α, β, e γ (angolo FEG): si vede chiaramente che α è
congruente a γ (si dimostra con le parallele tagliate da trasversale HE e GI e ragionando poi
sul triangolo FEH)
A questo punto partiamo con la dimostrazione della formula sen(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ
Si vede nella costruzione che sen(α+β) = segmento EG
Dato che EG = EH + HG, effettuando la somma delle due misure di segmento otteniamo EG
Dall’altra parte OF è cosβ, in quanto si trova con la relazione trigonometrica
ipotenusa*coseno(angolo compreso), ovvero OE*cosβ, con OE=1; quindi FI = HG = sinαcosβ,
sempre dalla relazione trigonometrica.
Per quel che riguarda EH, invece, si ha che EF = OE*sinβ, con OE=1, cioè EF=sinβ; allora EH
= cosγsinβ, con la relazione trigonometrica sul triangolo EHF; sappiamo già che γ=α, quindi EH
= cosαsinβ.
Quindi accade che sinαcosβ+cosαsinβ sia proprio uguale a HG+EH,
cioè (α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ, come volevamdo dimostrare
Si può dimostrare che le formule di addizione e sottrazione sono, riassumendo, le seguenti:
sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
sin(x-y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
Nota: le relazioni sono semplici, ma bisogna porre attenzione ai segni e non scambiarli, dato che
variano tra seno e coseno…la cosa migliore è ricordare che seno diventa senocoseno cosenoseno e
si mantengono i segni, con coseno si ha cosenocoseno senoseno ma si ivertono i segni.
Vediamo ora alcuni esempi di applicazione delle formule, che ne dimostrano l’utilità:
1)Verifichiamo che sin(90°) = 1 cercando sin(x + y) con x = 30° e y = 60°.
dalla formula di sin(x + y), si ha che sin(90°) = sin(30°)cos(60°) + cos(30°)sin(60°).
.
Quindi si ha:
Si possono usare le formule di addizione e sottrazione per cercare il valore esatto per le funzioni
trigonometriche di molti angoli (con alcune limitazioni…)
2)Vediamo un altro esempio, in cui cerchiamo il valore di un angolo diviso a metà (la metà di 30°):
cerchiamo il valore esatto di sin(15°). Possiamo decidere di usare gli angoli di 45° e 30° e sottrarli
per ottenere 15°.
Ancora due interessanti conseguenze/applicazioni:
3)La prima riguarda la possibilità di trovare, in modo del tutto generale, le formule che riguardano
gli angoli doppi (duplicazione) o divisi a metà (bisezione).
Vediamo un esempio:
sin(2x) = sin(x+x) = sinxcosx + sinxcox = 2sinxcosx
cos(2x) = cos(x+x) = cosxcosx – sinxsinx = cos2x – sin2x, e, volendo, dalla relazione fondamentale
cos2x + sin2x = 1 si ha cos2x = 1 - sin2x, quindi, sostituendo, si ottiene cos(2x) = 1- 2sin2x
4)Come ultimo esempio della “potenza” e versatilità delle formule di addizione/sottrazione
possiamo “rivedere” come, nel primo quadrante, si abbia la relazione di “scambio” tra seno e
coseno di angoli complementari:
con le formule di sottrazione del seno e del coseno si può facilmente verificare che
cos(x)= sin(90°- x) e sin(x) = cos(90°- x).
