Le equazioni di secondo grado A047

Alla Professoressa Chiarini
e ai ragazzi della II A
per l’entusiasmo con cui
mi hanno accolta . . .
Introduzione
Il lavoro presentato in questa tesi è il frutto dell’attività di tirocinio da
me svolta, nell’ambito della Scuola di Specializzazione per l’Insegnamento
Secondario, presso l’istituto di istruzione secondaria liceo scientiﬁco “Nicolò
Copernico” di Bologna, classe II A ad indirizzo P.N.I. Tale attività consiste
in un esperienza di insegnamento della matematica riguardante le equazioni
di secondo grado.
L’esposizione di questo lavoro è articolata in quattro capitoli e una conclusione.
Nel primo capitolo si riportano delle considerazioni teoriche sui principali
argomenti legati alle equazioni di secondo grado. Ho ritenuto opportuno
attuare alcuni richiami algebrici su anelli, campi, polinomi. Si deﬁniscono i
concetti di radicali ed equazioni algebriche. Argomenti che poi, operando una
trasposizione didattica, sono stati introdotti alla classe nel corso del tirocinio.
Nel secondo capitolo ho scelto di aﬀrontare speciﬁci aspetti delle equazioni
sia di primo che di secondo grado. Mi sono soﬀermata sulla dimostrazione
della formula risolutiva cercando di evidenziare che le soluzioni non sempre
appartengono al campo di partenza. Ho anche ritenuto opportuno citare
alcuni problemi geometrici di secondo grado che possono essere risolti con
semplici costruzioni geometriche o “sintetiche”.
Nel terzo capitolo si presenta il percorso previsto nel progetto di tirocinio
i
ii
INTRODUZIONE
e si motiva la scelta dell’organizzazione dei contenuti.
Il quarto capitolo è un’analisi dell’esperienza di insegnamento nella classe
con particolare attenzione sia alle reazioni e alle diﬃcoltà incontrate dagli
alunni sia alle strategie adottate per risolverle. Vengono inoltre mostrati ed
analizzati i risultati ottenuti nelle due prove scritte svolte dagli studenti.
La conclusione ﬁnale è un insieme di riﬂessioni sui vantaggi apportati dalla
Scuola di Specializzazione al mio lavoro di insegnante.
Completano la tesi alcuni allegati.
Indice
Introduzione
i
1 Richiami di algebra
1
1.1
Richiami su anelli, campi, polinomi . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Equazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2 Equazioni di primo e secondo grado - Cenni sulle equazioni
di grado superiore al secondo
7
2.1
Equazioni di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Equazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
Problemi geometrici di secondo grado . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4
Cenni sulle equazioni algebriche di grado ≥ 3 . . . . . . . . . . 12
3 Presentazione del progetto
14
3.1
Scelta del percorso da fare in classe . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2
Presentazione del progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Attuazione del progetto di tirocinio e valutazione
21
4.1
Situazione della classe: analisi del test di ingresso . . . . . . . 21
4.2
Riﬂessioni sulla risoluzione delle equazioni di secondo grado . . 24
4.3
Analisi degli errori della prima veriﬁca sommativa . . . . . . . 27
4.4
Parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
iii
iv
INDICE
4.5
Riﬂessioni sui problemi riconducibili ad equazioni di secondo
grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.6
Analisi degli errori della seconda veriﬁca sommativa . . . . . . 36
4.7
Valutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Conclusioni
45
A Progetto di tirocinio
49
A.1 Finalità dell’insegnamento della matematica . . . . . . . . . . 49
A.2 Strategie d’insegnamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
A.3 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A.4 Organizzazione dei contenuti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.5 Valutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
B Test prerequisiti e veriﬁche sommative
67
B.1 Test prerequisiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
B.2 Prima veriﬁca sommativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
B.3 Seconda veriﬁca sommativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Bibliograﬁa
75
Capitolo 1
Richiami di algebra
1.1
Richiami su anelli, campi, polinomi
Alcuni insiemi sono le fondamenta dell’algebra, tra queste possiamo citare
gli anelli e i campi.
Un anello è un insieme munito di due operazioni, dette addizione e moltiplicazione, modellato sugli aspetti algebrici degli interi, per questo motivo
ne costituisce una generalizzazione. Un insieme non vuoto A è un anello se,
deﬁnite due operazioni: addizione (+) e moltiplicazione (·), tali operazioni
godono di alcune proprietà:
• L’insieme A è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione;
a+b∈A
a·b∈A
e
∀a, b ∈ A
• Per l’addizione vale la proprietà commutativa:
a+b=b+a
∀a, b ∈ A
• Vale la proprietà associativa dell’addizione e della moltiplicazione:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
e
∀a, b, c ∈ A
• Esiste un unico elemento 0 detto neutro rispetto all’addizione tale che:
1
2
1. Richiami di algebra
∀a ∈ A
a+0=0+a=a
• Esiste un unico opposto (rispetto a zero) di a ∈ A, notato −a:
∀a ∈ A
a + (−a) = 0
• Valgono le leggi distributive della moltiplicazione rispetto all’addizione:
a · (b + c) = a · b + a · c
∀a, b, c ∈ A
(b + c) · a = b · a + c · a
∀a, b, c ∈ A
• In un anello risulta sempre 0 · a = a · 0 = 0
Se, per la moltiplicazione, esiste l’elemento neutro 1: a · 1 = 1 · a = a
∀a ∈ A, allora l’anello è detto anello con unità o unitario. Inoltre, l’anello A
si dirà commutativo se vale la proprietà commutativa della moltiplicazione:
a·b=b·a
∀a, b ∈ A.
In base alle deﬁnizioni precedenti risulta che l’insieme Z = {..., −1, 0, 1, ...},
munito delle ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione, è un anello
commutativo con unità. Anche gli insiemi dei razionali e dei reali sono anelli
commutativi con unità, ma in essi vale qualcosa di più; sono campi, a norma
della deﬁnizione seguente.
Un campo è un anello commutativo unitario in cui, ogni elemento diverso da
zero, è invertibile rispetto a 1.
Esempi :
Gli insiemi Q ed R costituiti rispettivamente dai numeri razionali e reali
sono campi.
Anche l’insieme dei numeri complessi C = R+iR = {a+ib|a, b ∈ R, i2 = −1}
è un campo.
1.1 Richiami su anelli, campi, polinomi
3
Sebbene gli anelli costituiscano una generalizzazione dell’anello Z, alcune
proprietà di Z non sono necessariamente valide in un anello qualunque. Ad
esempio, l’anello Z/6Z (interi modulo 6) è un anello in cui si ha a · b = 0
senza che a oppure b siano nulli; in un campo ciò non accade, come si vede
moltiplicando per a−1 , b−1 (inversi rispettivi di a, b).
Se il prodotto di due elementi a, b non nulli, di un anello commutativo, è zero
allora a si chiama divisore dello zero. Un anello commutativo in cui l’unico
divisore dello zero è l’elemento nullo si dice dominio di integrità. Poichè un
elemento invertibile non è mai un divisore dello zero allora ogni campo è un
dominio di integrità.
Spesso durante gli anni di scuola, media e superiore abbiamo operato con
polinomi. Essi possono essere considerati elementi di un certo anello: anello
dei polinomi.
Si vuole, appunto, introdurre ora l’anello dei polinomi nell’indeterminata X
a coeﬃcienti in A, notato A[X].
Sia A un anello e sia X una lettera (simbolo) non appartenente ad A. Un
polinomio nell’indeterminata X a coeﬃcienti in A è un’espressione formale
del tipo
f (X) = a0 + a1 X + ... + an X n
ai ∈ A
an = 0
dove n è un intero non negativo e a0 , a1 , ..., an , denominati coeﬃcienti di
f (X), sono elementi di A. Se ai = 0, l’addendo ai X i può essere omesso nella
scrittura di f (X).
Due elementi dell’insieme dei polinomi A[X] sono considerati uguali se e solo
se i loro coeﬃcienti sono ordinatamente uguali; in altri termini, se
p(X) = a0 + a1 X + ... + am X m
e
q(X) = b0 + b1 X + ... + bn X n
sono elementi di A[X], allora p(X) = p(X) ⇔ ai = bi
∀i ≥ 0. Il
polinomio con tutti i coeﬃcienti nulli si indica con 0 e si chiama polinomio
nullo.
Il polinomio con i coeﬃcienti di grado tutti nulli si dice costante.
4
1. Richiami di algebra
Per addizionare due polinomi si addizionano i coeﬃcienti e si raccolgono i
termini ottenuti: se
p(X) = a0 + a1 X + ... + am X m
e
q(X) = b0 + b1 X + ... + bn X n
sono elementi di A[X] allora p(X) + q(X) = c0 + c1 X + ... + ct X t dove
c i = ai + b i
∀i.
La moltiplicazione è deﬁnita in questo modo: siano
p(X) = a0 + a1 X + ... + am X m
e
q(X) = b0 + b1 X + ... + bn X n
elementi di A[X] allora p(X)(X) = c0 + c1 X + ... + ck X k
dove ct = at b0 +
at−1 b1 + ... + a0 bt .
A[X] risulta un anello commutativo con unità. Rispetto alle operazioni deﬁnite sopra. Inoltre A[X] è un dominio di integrità se e solo se tale è A.
Sia f (X) = a0 + a1 X + ... + an X n
con an = 0, un polinomio non nullo.
L’intero n si chiama grado di f (X) e si denota con ∂f (X). Quindi il grado
di un polinomio è il più grande intero i per il quale l’i-esimo coeﬃciente non
è 0. Al polinomio nullo non si attribuisce un grado.
1.2
Radicali
Siano A, B anelli commutativi tali che A ⊆ B e sia b ∈ A. Sia n ∈ N. Si
dice che b è un radicale n-esimo di a ∈ A se bn = a ∈ A, in tal caso si usa la
√
√
notazione b = n a e se n = 2, si scrive semplicemente b = a.
Se il minimo intero n tale che bn ∈ A è 2 (rispettivamente 3) si dice che b è un
radicale quadratico ( rispettivamente cubico). Se b è un radicale quadratico
di a, tale è anche −b.
Se b è un radicale n-esimo di a ∈ A b è anche una soluzione in B dell’equazione algebrica X n − a = 0 dove X n − a ∈ A[X].
Esempi:
•
√
√
2 è un radicale quadratico di 2 perché ( 2)2 = 2 ∈ R.
1.3 Equazioni algebriche
• Sia a ∈ A allora
•
√
√
3
√
a è un radicale cubico su A. Infatti, ( 3 a)3 = a ∈ A
√
−1 è un radicale quadratico di −1 in C in quanto ( −1)2 = i2
Si vedrà nel capitolo 2 che ogni equazione algebrica di secondo grado è sempre
risolubile con radicali quadratici.
Se a ∈ A non ammette radicali quadratici (o n-esimi) in A, si può dimostrare
che esistono sempre sopracampi B di A contenenti i radicali siﬀatti.
1.3
Equazioni algebriche
Consideriamo, nell’anello dei polinomi A[X] a coeﬃcienti in A, un polinomio f (X) ∈ A[X]. Ricercare una soluzione di un’equazione nell’indeterminata X signiﬁca trovare un anello B che sia un ampliamento di A, in altri
termini trovare un sopranello B di A (B ⊇ A), nel quale il polinomio abbia
una soluzione.
Sia f (X) = a0 + a1 X + ... + an X n ∈ A[X] e sia b ∈ B, dove B è un sopranello
di A. Si dice che b è una radice di f (X) se a0 + a1 X + ... + an X n = 0 e, in
tal caso, si dice altresı̀ che b è una soluzione dell’equazione algebrica
f (X) = a0 + a1 X + ... + an X n = 0
Se an = 0, si dice che n è il grado dell’equazione f (X) = a0 +a1 X +...+an X n .
Se b ∈ B è radice di f (X), allora in B[X], (X − b)|f (X), e si dice che b è
una radice di molteplicità m se (X − b)m |f (X) ma (X − b)m+1 |f (X) è falsa.
In un dato campo, un polinomio di grado n ≥ 0 ha al più n soluzioni. Una
soluzione con molteplicità m verrà contata come m soluzioni coincidenti.
Esempi:
• Si può vedere che
√
√
2 e − 2 risolvono (o sono soluzioni) l’equazione
X 2 − 2 = 0.
Infatti, seguendo la deﬁnizione data in precedenza si ottiene rispettiva√
√
mente ( 2)2 − 2 = 2 − 2 = 0 e (− 2)2 − 2 = 2 − 2 = 0;
5
6
1. Richiami di algebra
• Sia X 2 + 1 = 0 un’equazione a coeﬃcienti in R. Ricercare le soluzioni
dell’equazione signiﬁca considerare l’anello C ampliamento di R in cui
l’equazione ha soluzioni.
In questo caso si ha i2 + 1 = −1 + 1 = 0 e (−i)2 + 1 = −1 + 1 = 0
quindi i e −i sono radici dell’equazione.
√
√
• Allo stesso modo si vede che ( 2)−1 e ( 3)−1 sono soluzioni dell’e√
√
√
quazione algebrica 6X 2 − ( 2 + 3)X + 1 = 0. Infatti, sostituendo i
√
√
valori ( 2)−1 e ( 3)−1 al posto della lettera X nell’equazione si ottiene
rispettivamente:
√
√ √
√ √
√ √ −1 2
6[( 2) ] − ( 2 + 3)( 2)−1 + 1 = 6( 2)−2 − (1 +
√
6
2
√
√
−1−
√
6
2
√
√3 )
2
+1 =
+1=0
√
√
√
√ √
√ √
6[( 3)−1 ]2 − ( 2 + 3)( 3)−1 + 1 = 6( 3)−2 − ( √23 + 1) + 1 =
6
3
−
√
6
3
−1+1=0
• x = −1 è una soluzione contata con molteplicità 2 dell’equazione
(x + 1)2 = 0. Infatti, x = −1 è soluzione dell’equazione poichè, sostituendo il valore −1 nell’equazione, si ottiene (−1 + 1)2 = 0. Inoltre, ha
molteplicità 2 perchè (x + 1)2 |(x + 1)2 , ma (x + 1)3 |(x + 1)2 è falsa.
Capitolo 2
Equazioni di primo e secondo
grado - Cenni sulle equazioni di
grado superiore al secondo
2.1
Equazioni di primo grado
Sia k un campo e sia: a, b ∈ k e a = 0. Allora un’ equazione di primo
grado ha la forma f (X) = aX + b = 0. Un’equazione di questo tipo ha una
unica soluzione x = − ab in k, che si ottiene subito da f (X) = 0, moltiplican-
do ambo i membri dell’equazione per a−1 .
Esempio:
L’equazione 2X + 3 = 0, a coeﬃcienti nel campo Q ha l’unica soluzione
x = − 32 .
Si vedrà che un’equazione di secondo grado può essere risolta riconducendosi
a due equazioni di primo grado
7
8
2. Equazioni di primo e secondo grado - Cenni sulle equazioni di
grado superiore al secondo
2.2
Equazioni di secondo grado
L’equazione generale di secondo grado (ovvero espressa nella forma normale generalizzata) ha la seguente forma:
aX 2 + bX + c = 0
con
a = 0
(2.1)
dove aX 2 + bX + c è un polinomio nell’indeterminata X di grado due a coefﬁcienti nel campo k.
Per risolvere la suddetta equazione si ricorre al noto procedimento di “completamento ai quadrati”.
Si ha:
c
b
aX + bX + c = a X + X +
a
a
2
2
b2
b
b2
c
=a X + X+ 2 − 2 +
a
4a
4a
a
2
⇔
2
b2 − 4ac
b
−
a X+
2a
4a2
√
√
Si pone adesso = b2 − 4ac (∈ k) e si indicano con , − i due radicali
quadratici di (certamente esistenti in un opportuno sopracampo K di k).
Si dice che è il discriminante dell’equazione (2.1).
Si ha allora:
2
b
− 2 =
aX + bX + c = 0 ⇔ a X +
2a
4a
2
√ √ 2 √ 2 b
b
b
=a X+
−
+
−
X+
=0
a X+
2a
2a
2a
2a
2a
2a
Dove l’ultimo prodotto è nullo se e solo se si annulla uno dei fattori di primo
grado in X; si ottengono pertanto le due soluzioni X1 , X2 di aX 2 + bX + c
espresse dalla nota formula
√
b2 − 4ac
−b + b2 − 4ac
e
X2 =
(2.2)
X1 =
2a
2a
Le equazioni trattate a scuola sono a coeﬃcienti reali; si suppone cioè k = R.
−b −
√
Quindi, se < 0, il trinomio aX 2 + bX + c ha lo stesso segno di a (positivo
2.3 Problemi geometrici di secondo grado
o negativo) e l’equazione di secondo grado, non ha radici in R. Invece, nel
caso in cui il discriminante è positivo oppure nullo allora si ottengono due
soluzioni reali distinte se > 0 e coincidenti se = 0.
Nota: Nel campo complesso C = R × iR = {a + ib|a, b ∈ R, i2 = −1}
si ottengono sempre due soluzioni per ogni equazione di secondo grado a
coeﬃcienti in C.
2.3
Problemi geometrici di secondo grado
Vi sono numerosi problemi di geometria piana per la cui risoluzione viene
spontanea l’introduzione di due incognite x, y (che indicano le misure di due
segmenti da determinare) collegate da due equazioni a coeﬃcienti reali: una
di primo grado in x e y del tipo:
ax + by + c = 0
e una di secondo grado del tipo:
dx2 + exy + f y 2 + ... = 0
E’ chiaro che esprimendo x (rispettivamente y) in funzione di y (rispettivamente x) mediante la prima equazione, e sostituendo quindi nella seconda, si
perviene ad un’equazione di secondo grado in una incognita (y oppure x) che
può essere risolta utilizzando la formula espressa nel paragrafo 2.2 in modo
da ottenere altresı̀ la risoluzione del problema geometrico originario, che può
essere denominato appunto: problema geometrico di secondo grado.
Un esempio particolarmente semplice e signiﬁcativo in proposito è il seguente:
costruire un triangolo rettangolo nota l’ipotenusa a e la somma b
dei due cateti.
9
10
2. Equazioni di primo e secondo grado - Cenni sulle equazioni di
grado superiore al secondo
Indicati con x ed y i due cateti incogniti, si ottiene il seguente sistema:
x+y =b
x 2 + y 2 = a2
che, per sostituzione ottenuta utilizzando la prima equazione:
y =b−x
x2 + (b − x)2 = a2
⇒
y =b−x
x2 + b2 + x2 − 2bx = a2
⇒
y =b−x
2x2 − 2bx + b2 − a2 = 0
Conduce all’equazione di secondo grado 2x2 − 2bx + b2 − a2 = 0. Si ottengono
due soluzioni se e solo se = b2 − 2(b2 − a2 ) = 2a2 − b2 ≥ 0. Supposta
valida tale condizione si determina dapprima il cateto x e poi mediante la
prima equazione anche il cateto y. In tal modo, data la simmetria (a meno di
congruenza) di x, y si perviene ad un unico triangolo rettangolo soddisfacente
i requisiti posti.
Si può notare che nei problemi geometrici di secondo grado, i segmenti incogniti si possono sempre costruire con riga e compasso.
Infatti, dati tre segmenti di misure rispettive a, b, c, le soluzioni dell’equazione
ax2 +bx+c = 0 sono misure di segmenti costruibili con riga e compasso come
si può dedurre da facili generalizzazioni dei seguenti esempi:
b
1. Dati a, b ∈ R, il segmento x = , si ottiene da:
a
a:b=1:x
ricorrendo al teorema di Talete
2.3 Problemi geometrici di secondo grado
2. Analogamente, per il segmento x = ab si ricorre a:
1:a=b:x
3. Dato a ∈ R, il segmento di misura
√
a si ottiene da una semicircon-
ferenza di diametro AB = 1 + a che interseca in D la perpendicolare
condotta dal punto C di AB tale che AC misura 1. Si ha, dal secondo
teorema di Euclide sui triangoli rettangoli: CD2 = AC ·CB = 1·a = a,
√
onde CD = a.
Nel caso del particolare problema geometrico, relativo alla costruzione di
un triangolo rettangolo nota l’ipotenusa a e la somma b dei due cateti, si
può ricorrere anche a una costruzione geometrica “sintetica”. Sia P il punto
di intersezione dell’ipotenusa BC del triangolo rettangolo isoscele
di cateti
√
b 2
.
AB = AC = b con la circonferenza di centro A e raggio a ≥
2
11
12
2. Equazioni di primo e secondo grado - Cenni sulle equazioni di
grado superiore al secondo
Se H è il piede della perpendicolare condotta da P ad AB, posto AH = x,
BH = P H = y si ha appunto: x + y = b, x2 + y 2 = a2 .
2.4
Cenni sulle equazioni algebriche di grado
≥3
Nel corso del sedicesimo secolo S. Dal Ferro e G. Cardano hanno determinato la formula risolutiva per l’equazione algebrica generale di grado 3,
espressa mediante radicali quadratici e cubici. Successivamente, L. Ferrari
ha mostrato che anche le equazioni di quarto grado possono essere risolte
tramite successivi radicali quadratici e cubici.
Invece, se n ≥ 5, l’equazione generale di grado n non è risolubile per radicali
(Teorema di Ruﬃni-Abel).
Un risultato di carattere generale sull’equazioni algebriche a coeﬃcienti nel
campo complesso C è costituito dal teorema fondamentale dell’algebra (
D’Alembert- Gauss): Ogni equazione algebrica f (X) = 0 di grado n a coefﬁcienti complessi ha almeno una soluzione in C e quindi f (X) si spezza in
2.4 Cenni sulle equazioni algebriche di grado ≥ 3
un prodotto di fattori lineari in C[X]. In altre parole: il campo Q è algebricamente chiuso.
Si può dimostrare che se K è un campo qualsiasi, esiste sempre un campo algebricamente chiuso contenente K.
13
Capitolo 3
Presentazione del progetto
3.1
Scelta del percorso da fare in classe
Prima di aﬀrontare la costruzione di un percorso sulle equazioni di secondo grado, ho approfondito le mie conoscenze sull’argomento. E’ per questo
che ho scelto di premettere una trattazione teorica delle equazioni alla presentazione del progetto di tirocinio. Questo mi ha aiutata a comprendere
quali potevano essere i punti più “spigolosi” del percorso didattico da intraprendere.
L’insegnante deve ﬁltrare il sapere da insegnare anche dal punto di vista epistemologico. Esso inﬂuenza il rapporto tra insegnante e sapere matematico.
Lo sviluppo storico-epistemologico della disciplina può aiutare il docente a
comprendere le diﬃcoltà incontrate dagli studenti.
Risolvere equazioni di primo e di secondo grado può sembrare un compito
abbastanza semplice per una persona che conosce i rudimenti dell’algebra.
Un’analisi dello sviluppo storico dell’algebra evidenzia un lungo e diﬃcile
percorso di crescita di questa disciplina, durato diversi secoli e riguardante
dibattiti tra culture matematiche di popoli diversi. Una lettura attenta del
quadro storico mostra un decollo lento e diﬃcoltoso dell’algebra rispetto alla
geometria ed un diﬃcile “rapporto” con l’aritmetica che è tuttora oggetto
di dibattito. A tal proposito vorrei citare l’esame epistemologico - didattico
14
3.1 Scelta del percorso da fare in classe
compiuto da Chevallard; egli osserva che “l’aritmetica si oppone all’algebra
come l’orale allo scritto...L’aritmetica produce un discorso in cui sono incastonati dei ragionamenti, l’algebra riduce il ragionamento al calcolo.” [1]. In
conclusione l’algebra può superare l’aritmetica solo attraverso l’introduzione
dei parametri. Per questo motivo Newton nell’opera Aritmetica Universalis
arriva alla conclusione che “l’aritmetica è indispensabile per tutte le operazioni dell’algebra, che solo la loro unione forma la scienza completa del calcolo”
[1].
Lo sviluppo storico della disciplina e le diﬃcoltà degli studenti, confermano
la tesi di Piaget che aﬀerma che le diﬃcoltà incontrate da generazioni di
matematici possono essere molto vicine a quelle sperimentate dagli allievi.
Lo studio della storia dell’algebra e delle relazioni di questa con le altre discipline quali la geometria e l’aritmetica, ad esempio, è in continua evoluzione.
Tantissimi sono infatti gli storici che si occupano di analizzare lo sviluppo
dell’algebra cercando di delineare un quadro di riferimento generale ed individuando le varie tappe fondamentali per lo sviluppo del pensiero algebrico.
L’apprendimento dell’algebra, e in generale di tutta la matematica, permette
di possedere tecniche e metodi utili per capire dove si trovano i nodi importanti, l’essenza di un problema. Fornisce, quindi, criteri per comprendere
concetti ed inﬂuenza anche l’organizzazione del pensiero.
“Agli alunni viene spiegato che in algebra, diversamente dall’aritmetica, la
quantità sconosciuta può essere assunta come conosciuta e, attraverso la notazione simbolica, è possibile scrivere un’espressione (equazione) che descrive
le relazioni tra gli oggetti in gioco nel problema e conduce, per mezzo del calcolo, alla soluzione del problema stesso”.[1]
Tradizionalmente l’approccio alle equazioni viene eﬀettuato prima di introdurre il concetto di funzione; anche io ho scelto di eﬀettuare una trattazione
“classica” delle equazioni per rimanere in linea con le scelte compiute in
precedenza dalla tutor. Questa impostazione didattica, pur essendo eﬃcace,
può creare misconcezioni. Anna Sfard nell’articolo “Sulla doppia natura delle
concezioni matematiche: riﬂessioni su processi e oggetti come diverse facce
15
16
3. Presentazione del progetto
di una stessa medaglia”
1
evidenzia come gli alunni applicano le regole di
manipolazione simbolica, senza essere in grado di motivare o giustiﬁcare le
operazioni compiute. Esse appaiono come regole più o meno arbitrarie. In
particolare, nelle equazioni di secondo grado, la formula risolutiva, ottenuta
alla ﬁne di una serie di semplici operazioni, viene imparata a memoria. Per
evitare l’applicazione automatica e sistematica della formula, quasi magica,
ho scelto, in accordo con la tutor, di iniziare il percorso sulle equazioni di secondo grado, passando attraverso la classiﬁcazione delle equazioni di secondo
grado incomplete senza dare formule risolutive preconfezionate, ma cercando,
utilizzando esempi numerici, di arrivare caso per caso alla soluzione richiesta
e, solo alla ﬁne, fornire la soluzione generalizzata.
La presentazione di formule generalizzate sicuramente fornisce un metodo
risolutivo, ma racchiude in sè molti ostacoli, tra cui il fatto che le radici
ottenute non appartengono necessariamente al campo dei coeﬃcienti della
equazione. Nella parte teorica analizzata precedentemente ho parlato di ampliamenti di campi, che permettono di trovare sempre le due soluzioni richieste.
Come si può far capire ai propri alunni che le soluzioni sono sempre due,
ma che nel caso reale può accadere che vi siano soluzioni non accettabili o
soluzioni reali e coincidenti? A tal ﬁne ho pensato di programmare un’applet
che mi aiutasse ad analizzare i risultati ottenuti dal calcolo delle soluzioni.
Il punto nevralgico è quello di calcolare il discriminante con l’ausilio del
software e vedere che tipo di numero si ottiene sostituendolo nella formula
risolutiva; si deve evidenziare il fatto che se il discriminante è negativo le
soluzioni appartengono al campo C più ampio di R, in altre parole non vi
sono soluzioni in R, mentre se il discriminante è positivo le due soluzioni
sono reali. Inﬁne, se il discriminante è nullo, le soluzioni coincidono. In
questo caso è opportuno far capire agli allievi perché ci sono comunque due
soluzioni. Per far ciò, si può, una volta calcolate le soluzioni, scomporre il
1
A.Sfard, On the dual nature of mathematical conceptions: reﬂections on processes
and abjects as diﬀerent sides of the same coins, Educational Studies in Mathematics
3.2 Presentazione del progetto
polinomio che rappresenta l’equazione, come il prodotto di due polinomi di
primo grado, ed applicare la nota legge di annullamento del prodotto che in
realtà è valida solo perché operiamo in un campo.
Una volta aﬀrontati i punti nevralgici riguardanti la ricerca delle soluzioni
di un’equazione di secondo grado vorrei analizzare altri punti importanti del
progetto riguardanti i problemi.
Le equazioni di secondo grado sono un ottimo strumento per risolvere una
determinata famiglia di problemi. Quando risolviamo un problema, non facciamo altro che mettere in formula una situazione. Questo è un compito
delicato e diﬃcile che prevede la scelta delle variabili e la successiva scrittura
delle formule adeguate. Una persona che ha già compiuto le tappe fondamentali per lo sviluppo del pensiero algebrico è in grado di scegliere le lettere
in modo opportuno per il tipo di problema da risolvere riuscendo a vedere
prima del tempo le relazioni importanti del problema. Tale processo si chiama nominalizzazione. Uno studente riesce facilmente ad assegnare un nome
ad un ente matematico, ma la capacità di riconoscere proprietà nel nome
assegnato diventa cruciale nel processo di costruzione dell’espressione che interpreta la situazione problematica in gioco. Una volta scritta l’espressione
viene modiﬁcata attraverso manipolazioni simboliche al ﬁne di mostrare alcune proprietà che non risultano evidenti nell’espressione di partenza.
La nominalizzazione e l’accettabilità delle soluzioni saranno argomenti già
trattati in precedenza dalla tutor, quindi mi preoccuperò solo di scegliere in
modo opportuno i testi dei problemi.
3.2
Presentazione del progetto
Il progetto, inserito come allegato, non ha subito modiﬁche sostanziali nel
corso della sua attuazione ed è rimasto aderente alla formulazione iniziale.
Lo scopo del progetto è quello di far acquisire, attraverso l’uso dell’algebra,
capacità risolutive di problemi riconducibili ad equazioni di secondo grado,
cercando di rendere stimolante un argomento usuale del curriculum scolasti-
17
18
3. Presentazione del progetto
co.
Ho scelto di trattare alcuni problemi sull’applicazione dei teoremi di Pitagora
e di Euclide, introducendo opportunamente la mediazione del registro linguistico, graﬁco, geometrico e algebrico. Ho cercato di stimolare l’attenzione
proponendo problemi di tipo geometrico (Bombelli), algebrico (Babilonesi).
Prima di passare alla descrizione delle fasi vorrei enunciare sia gli obiettivi
che i prerequisiti:
Obiettivi
Riconoscere un’equazione di secondo grado;
Classiﬁcare le equazioni di secondo grado in spurie, pure e complete;
Veriﬁcare se un dato valore è o non è soluzione di un’equazione di secondo
grado;
Ridurre in forma normale un’equazione;
Risolvere le equazioni di secondo grado spurie, pure;
Risolvere le equazioni di secondo grado complete;
Discutere il numero delle soluzioni in base al segno del discriminante;
Conoscere le relazioni tra radici e coeﬃcienti di un’equazione di secondo grado;
Applicare il teorema di Cartesio;
Scomporre, quando è possibile, un trinomio di secondo grado;
Risolvere equazioni fratte riconducibili ad equazioni di secondo grado;
Determinare il valore del parametro in modo che le radici dell’equazione soddisﬁno particolari condizioni;
Risolvere problemi riconducibili ad equazioni di secondo grado.
Prerequisiti
L’alunno, al ﬁne di saper risolvere equazioni e problemi di secondo grado,
dovrà possedere le seguenti conoscenze:
3.2 Presentazione del progetto
- Conoscere la deﬁnizione di polinomio e di grado di un polinomio;
- Moltiplicare, addizionare, sottrarre, dividere, elevare a potenza monomi
e polinomi;
- Eseguire un raccoglimento;
- Riconoscere prodotti notevoli, in particolare il quadrato di un binomio;
- Scomporre un polinomio;
- Calcolare il m.c.m di polinomi;
- Sapere qual è il signiﬁcato d’incognita e d’equazione;
- Sapere cosa signiﬁca “trovare l’insieme delle soluzioni di un’equazione”;
- Conoscere e saper applicare i principi d’equivalenza delle equazioni;
- Conoscere e saper applicare la legge d’annullamento del prodotto;
- Riconoscere equazioni fratte;
- Riconoscere il campo d’esistenza di frazioni algebriche;
- Conoscere la diﬀerenza tra parametro ed incognita;
- Conoscere la deﬁnizione di equazione determinata, indeterminata e
impossibile;
- Conoscere la deﬁnizione di radice aritmetica n-esima di un numero
(positivo);
- Conoscere le principali proprietà dei radicali aritmetici;
- Portare fuori e dentro il segno di radice.
19
20
3. Presentazione del progetto
Le fasi sono tre e si articolano nel seguente modo: nella prima vi è la veriﬁca
dei prerequisiti attraverso un test a risposte chiuse da correggere e discutere
insieme ai ragazzi.
Nella seconda la classiﬁcazione delle equazioni di secondo grado incomplete
e complete con i procedimenti risolutivi. In particolar modo mi soﬀermerò
sulla discussione dell’accettabilità delle soluzioni ottenute.
Impareremo a scomporre un trinomio di secondo grado e analizzeremo le
relazioni tra le soluzioni ed i coeﬃcienti di una equazione di secondo grado.
Enuncerò e dimostrerò la regola di Cartesio.
Faremo alcuni esercizi sulle equazioni numeriche fratte ricorrendo alle già
acquisite conoscenze al riguardo.
La seconda fase si concluderà con una veriﬁca sommativa.
La terza fase riguarderà le equazioni parametriche e i problemi riconducibili
alle equazioni di secondo grado. Anche questa fase si concluderà con una
veriﬁca sommativa.
Capitolo 4
Attuazione del progetto di
tirocinio e valutazione
4.1
Situazione della classe: analisi del test di
ingresso
L’attività di tirocinio, osservativo e attivo, si svolge nella classe II A, indirizzo P.N.I, del Liceo Scientiﬁco Nicolò Copernico.
Nel dare attuazione alla fase operativa, si è tenuto conto delle osservazioni
eﬀettuate durante un periodo di presenza in classe durato circa tre mesi, in
cui si sono evidenziate le principali caratteristiche in ambito sociale e cognitivo che hanno successivamente determinato la scelta di alcune strategie
didattiche.
In questa fase ho potuto osservare il metodo adoperato dalla tutor.
Que-
sta ultima presenta deﬁnizioni e proprietà mediante alcuni esercizi guida o
esempi, svolti sia da lei che dagli alunni, mentre impiega lezioni frontali per
dimostrazioni ed alcuni approfondimenti.
L’intervento didattico in classe si è inserito all’inizio del secondo quadrimestre,
dopo che la tutor aveva aﬀrontato i radicali. Nel corso della prima lezione
di tirocinio “attivo”, dopo una breve presentazione alla classe del percorso
da aﬀrontare e degli obiettivi da raggiungere, ho proposto un test a risposta
21
22
4. Attuazione del progetto di tirocinio e valutazione
chiusa per valutare alcuni prerequisiti dei ragazzi, in vista dello studio delle
equazioni di secondo grado. Ho concesso un tempo di circa trenta minuti per
lo svolgimento. La reazione degli studenti è stata di protesta: tutti contestavano il fatto che non fossero stati avvisati per prepararsi adeguatamente;
li ho tranquillizzati sul fatto che la prova fosse di tipo non valutativo e si è
comunque sollecitato il loro massimo impegno nello svolgimento.
Nel seguente istogramma sono riportati i risultati del test: sull’asse delle
ascisse sono indicati i numeri degli esercizi proposti e sull’asse delle ordinate
il numero di alunni che hanno sbagliato un determinato esercizio.
Dalla lettura del graﬁco si deduce che la domanda numero 15 ha provocato
più errori, ben dieci su diciotto alunni hanno sbagliato la risposta. Il quesito
in questione chiedeva di riconoscere tra quattro quali fossero i radicali che
√
si possono calcolare in R. Tutti hanno eliminato 3 −8 poiché il radicando è
negativo, senza tener conto dell’indice dispari della radice.
Il numero 13 era un esercizio di riconoscimento di errori:
individua nella risoluzione dell’equazione
x2 − 4
2x + 1
= x−
eventuali errori:
x−1
x−1
x2 − 4
x(x − 1) − (2x + 1)
=
x−1
x−1
C.E.x = 1
4.1 Situazione della classe: analisi del test di ingresso
x2 − 4 = x2 − x − 2x − 1 ⇒ 3x = 3 l’equazione ha un’unica soluzione x = 1.
In questo caso ci sono stati diversi tipi di sbagli; alcuni hanno dichiarato
che l’esercizio era esatto, altri hanno cercato di scomporre ad ogni costo il
numeratore. Tipico esempio di contratto didattico: se ci è stato detto di
ricercare degli errori ci saranno sicuramente.
Anche dall’analisi delle risposte nell’esercizio 12 si evince la mancata rottura
del contratto didattico. Il testo era:
2 − 3x
3x + 2
=
− 1 individua, senza fare calcoli, l’in2 + 3x
3x − 2
sieme delle soluzioni.
data l’equazione
Tra le possibili risposte i ragazzi potevano scegliere:
2
• S=
;
3
2
;
• S = 0;
3
2 2
;
• S= − ;
3 3
• nessuna delle precedenti.
In questo caso ci sono state scene curiose, alcuni hanno iniziato a fare i calcoli sui propri banchi e hanno continuato anche se richiamati, altri hanno
fatto i calcoli sul foglio e poi li hanno cancellati, ma ciononostante otto persone si sono riﬁutate di dare la risposta esatta: “nessuna delle precedenti”.
Secondo quello che ho potuto osservare in classe molti, ingannati dal contratto didattico, hanno cercato a tutti i costi di trovare una risposta numerica
ad un quesito che richiedeva di trovare dei numeri che corrispondessero alle
soluzioni dell’equazione di partenza.
Nell’esercizio numero quattro gli allievi dovevano riconoscere tra cinque espressioni quale rappresentava il testo della situazione problematica presentata in
precedenza. La messa in formula è un processo lento e delicato che richiama
23
24
4. Attuazione del progetto di tirocinio e valutazione
anche il processo di nominalizzazione. Uno dei principali problemi nell’apprendimento dell’algebra è dato da questioni di interpretazioni. Il processo
di nominalizzazione consiste nell’interpretare il testo del problema in modo
da evidenziare il protagonista della storia.
4.2
Riﬂessioni sulla risoluzione delle equazioni
di secondo grado
Dopo aver eﬀettuato la correzione del questionario, poiché avevo a disposizione due ore, ho iniziato la mia prima lezione sulla classiﬁcazione e
risoluzione delle equazioni di secondo grado. Mi sono impegnata aﬃnché le
procedure e le tecniche di risoluzione introdotte venissero utilizzate in modo
consapevole, per lo meno nella risoluzione degli esercizi proposti. Inoltre, ho
sempre tentato di spronare gli studenti ad avere senso critico nei confronti di
ciò che veniva loro proposto e li ho aiutati a cogliere alcune analogie strutturali e a sviluppare capacità, seppur minime, di previsione delle soluzioni.
Per raggiungere tali obiettivi, ho introdotto alla classe alcuni argomenti in
modo problematico e ho cercato di fornire agli studenti diversi stimoli, cercando di coinvolgerli in prima persona nella costruzione dei concetti. Al ﬁne
di consolidare gli argomenti introdotti, ho proposto agli studenti esercizi non
troppo complicati dal punto di vista computazionale, in modo tale da concentrare la loro attenzione sull’analisi dei processi piuttosto che sui calcoli.
Molti degli esercizi assegnati sono stati svolti in classe. Il registro utilizzato
è stato prevalentemente quello algebrico.
Dal momento che non esistevano i necessari prerequisiti di geometria analitica
non è stata aﬀrontata, di conseguenza, la risoluzione graﬁca di un’equazione.
Pertanto, non ho potuto servirmi del registro graﬁco, come speravo. Dovendo
basare le mie lezioni su un registro quasi esclusivamente algebrico, rischiavo
di enfatizzare in maniera eccessiva l’aspetto algoritmico della risoluzione delle
equazioni di secondo grado, perciò non ho iniziato il percorso didattico, per
esempio, introducendo la formula risolutiva a partire dalla sua deﬁnizione, al
4.2 Riﬂessioni sulla risoluzione delle equazioni di secondo grado
ﬁne di evitare che l’allievo fosse portato a risolvere le equazioni senza dare
“senso” alle operazioni che stava svolgendo. In tal caso si potrebbero avere
conseguenze a volte disastrose. Per evitare ciò, la ricerca delle soluzioni di
equazioni di secondo grado, sia incomplete, sia complete, è avvenuta in prima battuta, cercando di indurre gli studenti a sfruttare le conoscenze che
avevano acquisito in precedenza.
A tal proposito vorrei riportare alcune considerazioni sulle discussioni avvenute in aula; nel pensare agli esercizi da proporre in classe avevo preventivato,
eventualmente, anche alcune diﬃcoltà. Pensavo infatti, che risolvere un’equazione del tipo x2 + 25 = 0 potesse presentare degli ostacoli ma ciò non è
accaduto. Avendo eseguito le adeguate trasformazioni algebriche ed ottenuto
la seguente espressione x2 = −25, i ragazzi hanno risposto immediatamente
che l’uguaglianza era impossibile. Per indurli a ragionare ulteriormente ho
chiesto se fosse stato possibile, cambiando qualcosa nell’equazione di partenza, ottenere un’equazione determinata e non impossibile. Con mio grande
stupore Alessandro ha risposto che “semplicemente si poteva cambiare il segno”. Ho chiesto ad Alessandro di eseguire questo procedimento alla lavagna.
In questo caso è emerso un ostacolo non previsto: x2 = 25 ⇒ x = 5. Ho
chiesto ad Alessandro quale fosse la domanda implicita dell’uguaglianza da
lui ottenuta. La risposta è stata esatta: “signiﬁca ricercare quei valori della
x tali che elevati al quadrato mi diano 25”, poi riguardando l’espressione ha
aggiunto “devo scrivere ±”. Alla ﬁne, ragionando insieme, siamo giunti al
risultato ﬁnale x1 = −5, x2 = 5.
Nel caso delle equazioni spurie ho osservato anche una certa diﬃcoltà ad
applicare la legge di annullamento del prodotto. Ad esempio, eseguivano
correttamente i passaggi dei raccoglimenti: x2 + 5x = 0 =⇒ x(x + 5) = 0,
ma dimenticavano la soluzione x = 0.
Quando abbiamo iniziato a studiare le equazioni di secondo grado complete,
sono partita da un esempio di equazione, riconducibile a (ax + b)2 = c,
cosicché l’esercizio consisteva nel ricercare valori della variabile x tali che il
binomio elevato al quadrato potesse soddisfare l’uguaglianza. In questo modo
25
26
4. Attuazione del progetto di tirocinio e valutazione
i ragazzi hanno potuto sfruttare i processi visti in precedenza e le conoscenze
di cui erano già in possesso.
Successivamente ho proposto equazioni il cui trinomio non contenesse quadrati
di binomi, ma che fosse facilmente riconducibile ad essi, cosicché ho potuto presentare la formula risolutiva come soluzione dell’equazione generale
ax2 + bx + c = 0 ottenuta con il “completamento al quadrato” del trinomio
come ho già fatto vedere nel capitolo 2 paragrafo 2.2.
Dopo questa fase in cui mi sono occupata della classiﬁcazione e risoluzione
delle equazioni di secondo grado, incomplete e complete, ho notato che i
ragazzi mi guardavano stralunati e cosı̀ ho chiesto se fosse tutto chiaro. Federico ha avuto il coraggio di chiedere se ogni volta dovevano fare i completamenti per risolvere le equazioni. Li ho tranquillizzati dicendo che potevano
applicare direttamente la formula risolutiva ﬁnale. Nelle lezioni successive abbiamo fatto molti esercizi di consolidamento alla lavagna ed ho notato che,
cosa che avevo osservato anche nella fase osservativa del mio tirocinio, gli studenti stessi richiedono una schematizzazione precisa di tutti i passaggi che
devono aﬀrontare: riduzione a forma normale, classiﬁcazione dell’equazione,
applicazione della formula relativa ai vari casi.
Si è evidenziata una netta diﬃcoltà nell’applicare la formula risolutiva ridotta. Le obiezioni mosse sono state sull’inutilità di imparare un’ulteriore
formula: “Tanto il risultato è lo stesso”. Per convincerli dell’utilità della
formula ridotta ho proposto esercizi che, svolti con la formula risolutiva standard, portavano a calcoli laboriosi, anche se penso di non averli convinti del
tutto.
Nel corso della lezione svolta in laboratorio con l’ausilio dell’applet si è accesa un’altra discussione. Infatti, l’applet forniva la possibilità di inserire a
caso i coeﬃcienti per calcolare il discriminante dell’equazione cosı̀ ottenuta. Tra questi anche i coeﬃcienti che riconducevano ad equazioni pure e
spurie. Quando ho aﬀrontato la risoluzione di questo tipo di equazioni, non
ho parlato di discriminante quindi i ragazzi mi hanno chiesto se fosse possibile
applicare la formula risolutiva di un’ equazione completa ad una incompleta.
4.3 Analisi degli errori della prima veriﬁca sommativa
Da queste domande si evidenzia ancora una volta l’inﬂuenza del contratto
didattico: una volta fornito un metodo risolutivo si può applicare solo quello.
Una parte molto importante, e forse la più delicata, della trasposizione didattica è stata la discussione del numero e tipo di soluzioni. In accordo con
la tutor ho menzionato il teorema fondamentale dell’algebra, sottolineando il
fatto che le soluzioni sono due se siamo nel campo complesso, ma che nel campo reale ci sono dei casi in cui non possiamo accettare le soluzioni. Quindi ho
detto ai ragazzi che, in generale, in una equazione di grado n ci sono “al più”
n radici. Nonostante i discorsi teorici preliminari, un ostacolo evidente si è
presentato, quando, nella discussione sul numero delle radici, si è presentato
il caso in cui le soluzioni sono reali e coincidenti. Questi ostacoli si sarebbero potuti superare meglio, se avessi potuto sfruttare il registro graﬁco. In
tal modo avrei potuto far vedere agli studenti perché diciamo “due soluzioni
coincidenti” invece di “una sola soluzione”. Senza questi “strumenti”, gli
studenti hanno legato il numero delle soluzioni unicamente al fatto che l’equazione è di secondo grado, senza ottenere una giustiﬁcazione adeguata.
Ho cercato comunque di dare anche una motivazione algebrica a tutto ciò.
Ad esempio, (x + 3)2 = 0 si può scomporre come il prodotto di fattori lineari: (x + 3)(x + 3) = 0, quindi per la legge di annullamento del prodotto si
ottengono due soluzioni reali e coincidenti. I risultati non sono stati molto
eﬃcaci. Il caso x2 = 0 ha destato non poche perplessità; anche dopo aver
scritto x2 = x · x = 0 e applicato la legge di annullamento del prodotto
continuavano a dire che “la” soluzione era zero.
4.3
Analisi degli errori della prima veriﬁca
sommativa
A circa metà percorso è stata proposta alla classe una veriﬁca sommativa
della durata di un’ora per saggiare la comprensione dei principali argomenti
trattati.
27
28
4. Attuazione del progetto di tirocinio e valutazione
Il primo esercizio, diviso in tre punti, chiedeva di classiﬁcare e risolvere le
equazioni proposte. Gli errori più ricorrenti sono legati a lacune precedenti;
ad esempio, molti hanno sbagliato il calcolo di un quadrato di un binomio
oppure hanno dimenticato il doppio prodotto oppure hanno compiuto errori
legati all’applicazione del primo principio di equivalenza sbagliando i segni.
In particolare volevo segnalare il seguente errore:
4.3 Analisi degli errori della prima veriﬁca sommativa
Il ragazzo ha trovato le condizioni di esistenza ma non ha fatto il minimo
comune multiplo; ha sommato semplicemente i termini +9−3, sempliﬁcando,
non si capisce bene perché, il denominatore.
Vorrei anche segnalare i seguenti protocolli:
Nel primo e nel secondo gli
alunni hanno classiﬁcato ed operato manipolazioni corrette ma entrambi non
hanno gestito bene il segno. Il secondo caso è molto interessante poiché
l’alunno in questione ha dimostrato di aver studiato la parte teorica ed ha riconosciuto la presenza di due soluzioni, ma non si è reso conto che le soluzioni
da lui trovate non erano due e soprattutto non erano opposte.
Ci sono stati solo due errori nell’applicazione delle formule risolutive; nel
primo si evidenzia una certa confusione tra la formula risolutiva generale e
quella ridotta. A tal proposito vorrei dire che, anche durante le esercitazioni
in classe, si è evidenziata una netta diﬃcoltà nell’applicare la formula risolutiva ridotta e soprattutto alcuni la ritenevano inutile, solo un elemento in
più da studiare.
Vorrei sottolineare il protocollo di Lorenzo:
29
30
4. Attuazione del progetto di tirocinio e valutazione
L’alunno ha applicato erroneamente la formula risolutiva ad una equazione
incompleta. Se avesse applicato la formula correttamente avrebbe trovato le
soluzioni corrette, ma avrebbe impiegato un dispendio maggiore di calcoli
dovendo operare dei raccoglimenti per non ritrovarsi con dei radicali doppi
nella formula ﬁnale.
L’esercizio due richiedeva di discutere le soluzioni che si possono ottenere da
un’equazione pura.
Il protocollo in questione evidenzia un errore di interpretazione dei simboli. In eﬀetti quando in un’espressione si trova un segno negativo, automaticamente si pensa ad un numero che sarà negativo; in questo caso però il
segno meno doveva essere interpretato come un segno che indica di cambiare
il segno del numero ottenuto dal rapporto tra c e a.
Il problema numero tre richiedeva di sempliﬁcare un’espressione utilizzando
la scomposizione di un trinomio. Solo tre persone hanno avuto delle diﬃcoltà nel risolverlo. Mi ha incuriosito il particolare raccoglimento compiuto
da Riccardo:
In eﬀetti poteva fare un raccoglimento, ma doveva raccogliere la radice di tre
4.4 Parametri
√
√
ed ottenere (3 − 1) 3 da cui 2 3.
L’esercizio cinque richiedeva di risolvere le equazioni fratte proposte. Nel
punto b le soluzioni non erano accettabili mentre nel punto a si potevano
accettare. Gli errori riscontrati in questi esercizi sono di tipo algebrico che
ho già evidenziato con protocolli in altri esercizi.
4.4
Parametri
Lo studio delle equazioni serve a determinare quei particolari valori che,
attribuiti alle lettere, trasformano le uguaglianze in identità numeriche. In
tal caso le lettere assumono il nome di incognite ed i valori sono le soluzioni
delle equazioni.
Quando si scrive un’equazione si è abituati ad utilizzare come incognite la
lettera x o al massimo la y ma vi sono anche altre lettere che possono essere
inserite in una equazione. Se le lettere in questione rappresentano numeri
ﬁssi si chiamano costanti e si indicano con le lettere a,b,c...
Se si richiede di determinare una di queste costanti in modo tale che sia soddisfatta una certa condizione, allora questa lettera prende il nome di parametro. In generale un parametro si indica con la lettera k. Spesso quando
si utilizza un’altra lettera, ad esempio la lettera m oppure n, le equazioni
parametriche vengono confuse con quelle letterali.
Provando a chiedere il signiﬁcato di incognita ai ragazzi, ho riscontrato che
questo concetto era chiaro ma lo era meno quello di parametro, anche se era
stato trattato durante lo studio delle equazioni di primo grado. In realtà vi
era una certa confusione tra equazioni parametriche e equazioni letterali.
31
32
4. Attuazione del progetto di tirocinio e valutazione
In accordo con la tutor, non abbiamo trattato le equazioni letterali di secondo
grado, ma comunque prima di iniziare le lezioni sulle equazioni parametriche
ho ribadito la diﬀerenza tra parametro e lettera soﬀermandomi sul fatto che
un’equazione letterale in realtà rappresenta inﬁnite equazioni ottenute facendo variare il valore delle lettere. Anche un’equazione parametrica rappresenta
inﬁnite equazioni; si tratta di determinare particolari valori del parametro in
modo che le soluzioni soddisﬁno determinate condizioni.
Durante il percorso formativo sono stati aﬀrontati solo pochi casi riconducibili
alle equazioni parametriche, in quanto il programma non prevede lo svolgimento delle disequazioni che verranno introdotte solo al terzo anno.
Su suggerimento della tutor ho presentato una sequenza di passi successivi
da seguire per risolvere le equazioni parametriche. Il primo passo era quello
di calcolare, anche se non richiesto, il discriminante e poi la somma ed il
prodotto delle soluzioni. Poiché i ragazzi non erano in grado di stabilire il
segno del discriminante, una volta trovati i valori del parametro ho detto loro
di andare a sostituire tali valori nel discriminante per veriﬁcare l’accettabilità
delle soluzioni.
E’ stato proposto di trovare i valori del parametro in modo da soddisfare
alcune condizioni:
• che una soluzione sia nulla;
• che le soluzioni siano opposte, reciproche, antireciproche;
• che una soluzione sia uguale ad un determinato valore;
• che le soluzioni siano coincidenti;
• che la somma degli inversi delle soluzioni sia un determinato valore;
• che la somma dei quadrati e dei cubi delle soluzioni sia uguale ad un
determinato valore;
• che la somma dei reciproci dei quadrati e dei cubi delle soluzioni sia
uguale ad un determinato valore.
4.5 Riﬂessioni sui problemi riconducibili ad equazioni di secondo
grado
Nella risoluzione delle equazioni non ci sono stati problemi; l’unica cosa
da segnalare è che gli allievi non sempre veriﬁcavano l’accettabilità delle
soluzioni.
4.5
Riﬂessioni sui problemi riconducibili ad
equazioni di secondo grado
Aﬀrontare problemi non è, generalmente, una cosa semplice. Non ci sono
di solito procedure atte a dare una risposta immediata. Si può procedere in
modo euristico fornendo argomentazioni né deﬁnitive né rigorose, ma plausibili per il problema proposto. L’insegnante, però, deve tenere ben presente
il fatto che un ragionamento euristico non può sostituire, neppure parzialmente, la procedura corretta. Quando lo studente si trova a risolvere un
problema, lo fa in ambito scolastico, ciò innesca una serie di clausole del
contratto didattico, in particolare, la delega formale; l’allievo legge il testo
del problema e cerca l’operazione che lo risolve. Il suo compito è quello di
trasformare in linguaggio aritmetico o algebrico il testo; in altre parole si
delega la risoluzione del problema all’algoritmo che permette di trovare la
soluzione.
Spesso è utile, nel percorso didattico, utilizzare problemi tratti dalla realtà
(interesse, problemi geometrici...). Essi permettono di coinvolgere direttamente gli studenti. Lo scopo è quello di operare in contesti che interessano,
perché derivanti da fenomeni in parte conosciuti, per passare dalla realtà
alla sua astrazione simbolica, introducendo gradualmente il linguaggio della
matematica, in modo che gli studenti arrivino a percepire le formule non
più come ricette, ma come parte fondamentale di un linguaggio che ha il
vantaggio della concisione e della non equivocità. L’utilizzo del linguaggio
algebrico amplia il modo di concepire l’attività risolutiva, in quanto fornisce
gli strumenti necessari per aﬀrontare la soluzione dei problemi genericamente
e non più nei casi particolari.
Risolvere un problema assume il signiﬁcato di ricerca di un modello risolu-
33
34
4. Attuazione del progetto di tirocinio e valutazione
tivo. La parola chiave è creare un modello matematico, in altre parole, il
modo di passare da una situazione concreta, conosciuta solo intuitivamente
o sperimentalmente, ad un insieme di schemi formalizzati (equazioni algebriche, equazioni diﬀerenziali, ecc...) che la descrivono quantitativamente e
che consentono, anche con l’aiuto odierno del computer, di simularne il comportamento e di formulare previsioni, da veriﬁcare poi sul campo. Possiamo
concludere che se si opera con problemi tratti dalla realtà vi è la necessità di
schematizzare, modellizzare e di interpretare i risultati ottenuti.
Nel progettare il mio intervento sulle equazioni di secondo grado ho cercato
di tenere ben presente che l’obiettivo ﬁnale era quello di utilizzare gli schemi formalizzati per risolvere problemi. Naturalmente, nel fare ciò, ho anche
dovuto trovare una mediazione tra le mie personali convinzioni e le caratteristiche dell’insegnamento cui i ragazzi erano abituati. Nella fase riguardante
i problemi, ho modiﬁcato parzialmente il percorso da me scelto, in quanto
la tutor mi ha fatto presente l’esigenza di aﬀrontare soprattutto problemi
di tipo geometrico sull’applicazione dei teoremi di Euclide, di similitudine e
sul teorema di Pitagora. Questa particolare scelta è stata dettata dal fatto
che alla ﬁne di Maggio gli alunni sarebbero stati sottoposti ad un esame di
ﬁne anno sugli argomenti citati in precedenza. In questa ottica ho cercato di
proporre attività di classe in preparazione a questo “pseudo” esame, focalizzando la mia attenzione sulla scelta dei testi e sulle procedure risolutive dei
problemi da presentare.
I primi problemi proposti sono stati di tipo algebrico; ad esempio, si richiedeva di trovare la somma ed il prodotto delle soluzioni data un’equazione e
viceversa. In questa fase non ci sono stati particolari diﬃcoltà poiché, nella presentazione delle equazioni parametriche, avevo aﬀrontato già in parte
l’argomento.
Come ho detto in precedenza, il resto dell’attività si è basata sulla risoluzione
di problemi geometrici. In questo caso ho cercato di rendere stimolante l’attività risolutiva proponendo, con poco successo, un lavoro di gruppo. Il mio
scopo era quello di confrontare i metodi risolutivi di un medesimo proble-
4.5 Riﬂessioni sui problemi riconducibili ad equazioni di secondo
grado
ma, ma questo tipo di approccio ha portato pochi frutti. Dopo aver dato
loro il tempo necessario per risolvere i problemi proposti, abbiamo iniziato
la correzione alla lavagna, ma i ragazzi hanno collaborato poco e quando ho
chiesto loro se eﬀettivamente avessero utilizzato gli stessi processi risolutivi,
mi hanno risposto evasivamente di sı̀.
Le risposte che si danno ad un problema (anche non di matematica) devono
essere ragionevoli, rispettose del buon senso. Per questo motivo, oltre ai soliti
problemi in cui si scarta una soluzione perché negativa, ho proposto problemi
con vari tipi di soluzioni. Il caso che ha suscitato più scalpore è stato quando
ho suggerito di risolvere un problema le cui soluzioni erano entrambe accettabili. Gli allievi, abituati a risolvere in un certo modo i problemi, sembravano
smarriti. Mi ha particolarmente colpito il commento di Simone “adesso!?
Come si fa? Andiamo avanti con un solo valore?”.
Questo problema è stato scelto per evidenziare che non è importante solo
porsi in modo critico di fronte ai problemi, ma anche comprendere che, contrariamente a quanto si crede comunemente, in matematica non c’è un solo
modo per risolvere i problemi.
In un altro caso, arrivati alla soluzione apparentemente accettabile, bisognava eﬀettuare una discussione sostituendo i risultati raggiunti e ottenendo, in
un caso, un assurdo. Questo tipo di problema ha suscitato negli allievi molte
diﬃcoltà poiché, per ricercare l’assurdo, dovevano attingere alle conoscenze
precostituite. In questi casi sono dovuta intervenire per condurre il ragionamento nella direzione voluta.
Tra i vari problemi proposti vorrei citare il seguente:
Nel triangolo rettangolo ABC, il punto M dell’ipotenusa AC dista 6cm da
A. La perpendicolare in M ad AC interseca il cateto BC nel punto N che
dista 3cm da B e 5cm da C. Determinare il perimetro del triangolo ABC.
35
36
4. Attuazione del progetto di tirocinio e valutazione
Nell’aﬀrontare questo problema, Federico non ha avuto diﬃcoltà con la
nominalizzazione ma nello scrivere le proporzioni. Egli ha applicato il primo
criterio di similitudine riconoscendo e segnando sulla ﬁgura gli angoli uguali,
ma abituato ad attuare un procedimento meccanico ha scritto:
AC : M C = AB : M N = BC : N C.
Federico ha riconosciuto gli angoli uguali ma non ha messo nel modo corretto
i lati omologhi in proporzione. Secondo la mia osservazione, l’errore è da
attribuire alla scorretta interpretazione dei dati e alla errata lettura della
ﬁgura.
4.6
Analisi degli errori della seconda veriﬁca
sommativa
Alla ﬁne del percorso è stata proposta alla classe una veriﬁca sommativa
della durata di due ore per saggiare la comprensione delle equazioni parametriche e della risoluzione dei problemi. La veriﬁca si articola in cinque quesiti,
di cui uno facoltativo. Come si evince dal seguente istogramma l’esercizio
facoltativo, in quanto tale, è stato aﬀrontato solo da tre persone e comunque
non in modo esatto.
4.6 Analisi degli errori della seconda veriﬁca sommativa
Il primo esercizio, diviso in sei punti, chiedeva di determinare i valori del
parametro k in modo da soddisfare alcune condizioni richieste. Gli altri erano problemi; il primo sull’applicazione del teorema di Pitagora, gli altri sia
sul teorema di Pitagora che sui teoremi di similitudine e Euclide.
Nel primo esercizio, come si vede dall’istogramma hanno svolto la parte computazionale in modo corretto ma poi hanno dimenticato la veriﬁca dell’accettabilità delle soluzioni perciò l’esercizio risulta parzialmente corretto.
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38
4. Attuazione del progetto di tirocinio e valutazione
Vorrei segnalare anche alcuni errori che si sono già presentati nella veriﬁca
precedente. In particolare sul calcolo del quadrato di un binomio:
Come detto già in precedenza la formula ridotta è stata poco accettata e non
sempre utilizzata. A tal proposito vorrei segnalare i seguenti protocolli anche
se privi di errori:
4.6 Analisi degli errori della seconda veriﬁca sommativa
Il secondo quesito è stato impostato correttamente da tutti ma risulta
ugualmente per la maggior parte incompleto e parzialmente corretto per la
presenza di errori di calcolo che hanno impedito il corretto svolgimento oppure hanno causato l’interruzione del procedimento di risoluzione. A questo
proposito vorrei segnalare il protocollo di Angelica:
La ragazza ha sempliﬁcato l’indice della radice con l’esponente di a.
Il terzo problema non ha provocato particolari errori ed è stato svolto correttamente da nove allievi. Questo problema era molto simile a quello già segnalato nel paragrafo precedente, ciononostante cinque persone non lo hanno
portato a termine. Le diﬃcoltà incontrate dai due ragazzi che hanno eseguito
in modo errato il problema sono da attribuire alla scorretta interpretazione
del testo che ha avuto come conseguenza una traduzione nel registro graﬁco
totalmente sbagliata.
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40
4. Attuazione del progetto di tirocinio e valutazione
L’asse del segmento AB del triangolo ABC rettangolo in C è diventato uno
strano asse del segmento AC. Dico strano perché dalla ﬁgura si evince che
non solo il segmento, che dovrebbe rappresentare l’asse non è perpendicolare,
ma non passa neanche per il punto medio del segmento.
Nel secondo caso H è il punto medio del segmento ma non risulta il piede
della perpendicolare.
In entrambi i casi la rappresentazione graﬁca ha provocato lo scorretto svolgimento del problema.
Vorrei segnalare il protocollo di Thomas per il problema quattro:
I dati sono inesatti e la risoluzione incompleta.
4.7 Valutazione
Il quinto problema era facoltativo poiché richiedeva l’impostazione di un sistema di secondo grado in due incognite e quindi, in accordo con la tutor, ho
deciso di valutarlo solo se positivo.
4.7
Valutazione
“Il termine valutazione ha due accezioni una generica, riconducibile a previsione, stima, apprezzamento,...ed una pedagogica che recita: <<Acquisizione
di dati e informazioni che permettono di veriﬁcare l’eﬃcacia di un intervento
educativo e il proﬁtto di un allievo>>” [4]. Dunque la veriﬁca dell’attività
di insegnamento apprendimento è di fondamentale importanza, perché permette al docente di individuare le eventuali cause dell’insuccesso scolastico
41
42
4. Attuazione del progetto di tirocinio e valutazione
e all’allievo di rendersi conto se eﬀettivamente ha raggiunto gli obiettivi richiesti e di colmare eventuali lacune.
Attraverso l’analisi sia dei dati raccolti dalle osservazioni fatte in classe sia
dai risultati dei compiti (orali o scritti) si riesce ad avere un quadro chiaro e
dettagliato dei punti deboli o forti di ogni singolo alunno. Conoscere tutto
ciò può aiutare l’insegnante a fare scelte adeguate alla classe sia in relazione
alla trasposizione didattica che alla ingegneria didattica.
L’importanza della valutazione non è quella di dare un voto, ma di comunicare agli allievi ciò che è importante, anche se nella maggior parte dei casi
alla parola valutazione si associa un voto.
E’ importante far capire agli allievi che non si valutano solo i risultati (prodotti) ma i processi; per questo bisogna utilizzare un sistema di valutazione atto
a valutare entrambi.
La valutazione non è quindi solo un voto dato alla ﬁne di una veriﬁca, ma
ha il compito di fornire agli studenti la consapevolezza del proprio apprendimento e di valutare l’eﬃcacia dell’azione didattica.
Ci sono vari metodi e criteri di valutazione; ad esempio, quando si osserva
un allievo mentre svolge attività in ambito matematico si possono ricavare,
chiedendo spiegazioni sui procedimenti eﬀettuati, anche informazioni relative
ai processi mentali in atto. Questo metodo è eﬃcace sia per ragazzi in diﬃcoltà che per quelli che non lo sono.
Si possono utilizzare anche dati ricavati da elaborati scritti. Mi sto riferendo non solo alle classiche veriﬁche ma anche ad elaborati scritti meno convenzionali; i più famosi sono i TEPs, testi scritti su questioni matematiche
elaborate in modo autonomo.
Come detto in precedenza la valutazione ha il compito di comunicare agli
studenti ciò che si ritiene importante. Si può fare ciò, privilegiando i processi
e non i risultati, assegnando un voto (o punteggio) ai veri passi dei processi
di risoluzione dei problemi. Non ultime sono le prove tradizionali: interrogazioni, compiti in classe, test di vario tipo. Esse sono una buona fonte
per ricavare informazioni; bisogna però, attuarle con intelligenza secondo un
4.7 Valutazione
preciso obiettivo.
Sulla base di queste premesse, durante il tirocinio, la valutazione è stata effettuata in due modi: in primis interpellando continuamente gli studenti e
chiamandoli spesso alla lavagna a svolgere esercizi. Successivamente con due
veriﬁche sommative.
Tali veriﬁche mi hanno permesso di fornire agli studenti gli ‘strumenti” per
una reale presa di coscienza su quanto e come avessero appreso l’argomento
trattato, su come fosse opportuno procedere per colmare eventuali lacune e
di fornire a me stessa un riscontro sull’eﬃcacia della mia azione didattica in
modo da perfezionarne la strategia.
L’analisi dei protocolli scritti e delle aﬀermazioni degli alunni mi ha consentito di comprendere in modo puntuale tentativi, errori, misconcetti, stereotipi,
diﬃcoltà nel controllo del signiﬁcato. Una volta corrette, le veriﬁche sono
state riconsegnate agli studenti munite di un commento scritto, in cui sono
stati proposti suggerimenti e consigli per superare quegli ostacoli che avevano
condotto gli studenti a commettere certi errori.
Alla consegna e correzione di tali veriﬁche, l’attenzione degli allievi si è catalizzata sui voti, lasciando un ruolo del tutto marginale alla riﬂessione sui
propri errori. Il voto appare agli studenti come qualcosa di deﬁnitivo. In
realtà non lo è, rappresenta il grado di preparazione di uno studente, ovvero
indica quanto lo studente sa. Nel momento in cui l’insegnante assegna un
voto, mette al corrente le Istituzioni (scolastiche, familiari, ecc.) sullo stato
di formazione dell’allievo.
L’insegnante dovrebbe porre l’attenzione su ciò che lo studente non sa e
preoccuparsi di valutare il suo processo formativo, individuando le cause di
eventuali diﬃcoltà, discutendo con gli allievi sugli errori commessi, riﬂettendo egli stesso sulla propria strategia didattica, chiarendo inﬁne all’allievo il
livello di qualità raggiunto nella sua evoluzione conoscitiva.
L’attività di interpretazione dei protocolli degli studenti è dunque un passaggio molto delicato del percorso didattico. In essi, infatti, si trovano diﬀerenti
modi di scritture matematiche, elaborate spesso con un linguaggio personaliz-
43
44
4. Attuazione del progetto di tirocinio e valutazione
zato. È qui che diventa importante la capacità dell’insegnante di individuare
(e far individuare) le interpretazioni corrette, selezionando le traduzioni errate, ambigue, ridondanti, fuorvianti, fantasiose, e cosı̀ via.
In entrambe le veriﬁche ho valutato sia l’utilizzo delle strategie messe in atto
dall’allievo per risolvere l’esercizio, sia il criterio di risoluzione.
I criteri di valutazione sono stati chiariti agli studenti aﬃnché risultassero
oggettivi e coerenti.
L’assegnazione dei punteggi, è stata concordata assieme alla tutor.
Negli istogrammi che seguono sono stati riportati i punteggi, corrispondenti
ai voti assegnati, ottenuti dagli studenti nelle due veriﬁche.
Conclusioni
Essere un insegnante è un compito molto diﬃcile e non sempre avere le
conoscenze sulla materia da insegnare implica di saperle insegnare. Partendo
dal presupposto che non ci sono, neanche in questo caso, ricette preconfezionate per diventare un insegnante si deve comunque riconoscere l’importanza
della formazione degli insegnanti.
Aver frequentato questa Scuola di Specializzazione (SSIS) mi ha permesso
di acquisire non solo le necessarie competenze disciplinari sui fondamenti
storico-epistemologici della materia, ma anche conoscenze psico-pedagogiche
necessarie al futuro insegnante.
Avendo conseguito la laurea in matematica con indirizzo didattico avevo già
alcune competenze sulla didattica della matematica, ma questa scuola mi ha
consentito di approfondirne alcuni aspetti. In particolare, mi ha permesso di
acquisire la giusta consapevolezza dell’importanza che il ruolo di insegnante
riveste, sia per la crescita degli studenti, sia per lo sviluppo della società di
cui faccio parte.
Questi due anni sono stati un’occasione che mi ha consentito di capire cosa
vuol dire insegnare ed apprendere, di mettermi alla prova, di sperimentare
ed accrescere la mia capacità di progettazione di attività didattiche, di valutazione e di collaborazione all’interno di un gruppo di colleghi.
In questi anni ho frequentato la scuola di specializzazione e contemporaneamente ho intrapreso la mia avventura da insegnante. Sono entrata per la
prima volta all’istituto di istruzione secondaria di primo grado S. Giuseppe il
19 novembre del 2005 per poi iniziare il mio lavoro da insegnante due giorni
45
46
CONCLUSIONI
dopo. Trovarmi per la prima volta in aula è stato bruttissimo; oltre a sentirmi spaesata, mi sentivo forse ancora un po’ troppo alunna. Ho comunque
cercato di mettere in pratica ciò che già avevo imparato durante gli anni di
università.
Sicuramente sarebbe stato utile essere già al secondo anno della SSIS in quanto progettare le lezioni non è stato per niente facile. Conoscevo già i concetti
di trasposizione ed ingegneria didattica, di prerequisiti, avevo assistito a simulazioni di vita d’aula ma non avevo mai pensato criticamente a tutto ciò.
La stesura del progetto di tirocinio mi ha fatto rendere conto che non è possibile preparare le lezioni da aﬀrontare in classe come se fossero un indice
degli argomenti da trattare in quel determinato giorno. Condurre gli alunni
al raggiungimento di determinati obiettivi richiede, da parte dell’insegnante,
la capacità di riconoscere la natura degli ostacoli che incontrano gli studenti
e il possesso delle metodologie che occorrono per attuare strategie mirate al
superamento di tali ostacoli.
L’iter proposto dalla SSIS è un iter professionalizzante, che contribuisce ad
arricchire la formazione dei nuovi insegnanti. In questa ottica il tirocinio è
concepito come momento di attuazione delle competenze acquisite, dell’organizzazione del lavoro, dove il protagonista è l’intero gruppo classe. Non
solo perché le attività sono rivolte agli studenti ma anche perché ogni classe
è diversa dalle altre, quindi si deve tenere presente anche il contesto in cui si
opera. Bisogna considerare la classe come una minisocietà, dove ogni allievo
ha un ruolo ben preciso anche se non sempre è facile gestire le dinamiche che
si instaurano in questa gerarchia.
Quando ho svolto la mia attività di tirocinio, attivo e passivo, sulla base delle
osservazioni precedenti, ho cercato di carpire, analizzando i comportamenti
della tutor, i segreti o gli approcci che si possono avere operando in classi diverse. Ho notato che classi, apparentemente più “rumorose” stimolano
l’attività del docente. Un docente che ottiene collaborazione, anche se poco
ordinata, riesce ad instaurare un dialogo continuo e riesce anche ad analizzare gli ostacoli che si sono formati seduta stante.
CONCLUSIONI
Sicuramente lavorare in una scuola media non è la stessa cosa e non sempre
si possono gestire in modo costruttivo delle discussioni soprattutto a causa
delle implicazioni psicologiche.
Infatti, a quella età, le reazioni sono diﬃcili da controllare e a volte capita
che gli studenti entrino in conﬂitto con l’insegnante; inoltre hanno bisogno
di essere guidati maggiormente anche nelle cose pratiche.
La Scuola di Specializzazione mi ha oﬀerto la possibilità di disporre di un ampio patrimonio di risultati, di esperienze che hanno arricchito ulteriormente
la mia formazione e mi hanno consentito di operare nelle classi in cui insegno
con maggiore consapevolezza. Infatti, durante il tirocinio passivo, specialmente durante le ore di osservazione in I I, ho potuto osservare e toccare con
mano le misconcezioni che si possono formare durante gli anni precedenti di
studio. Ho cosı̀ potuto modiﬁcare le scelte adoperate nel proporre ai miei
allievi di scuola media alcuni argomenti. Infatti, avere un quadro più ampio
delle diﬃcoltà che i miei allievi potranno incontrare in un futuro non tanto
lontano mi ha reso più consapevole dell’importanza di alcuni argomenti e mi
ha permesso anche di scegliere quali argomenti trattare e quali no; oppure
su quali insistere maggiormente.
Concludo aﬀermando che questa esperienza mi è sicuramente tornata utile
nel campo lavorativo ma che comunque insegnare non è per niente facile.
47
Appendice A
Progetto di tirocinio
A.1
Finalità dell’insegnamento della matematica
Idiosincrasia
1
questo termine, anche se un po’ forte, è sicuramente ap-
propriato per descrivere il rapporto tra le persone e la matematica. È un
fatto accertato, a livello capillare, in ogni parte del mondo e nella stragrande
maggioranza delle culture umane, che la matematica suscita sentimenti molto
diﬀerenti tra loro: si può amare, ignorare o odiare la matematica. Purtroppo,
o per fortuna, molti la odiano o sono indiﬀerenti nei confronti di questa disciplina. A tutti coloro che invece hanno instaurato un rapporto d’amore con
la matematica o sono attratti da essa (studenti del corso di laurea, professori
di liceo o docenti universitari) è capitato di sentirsi dire con costernazione
dopo aver dichiarato di studiare od insegnare matematica: << oh mio Dio...io
sono negato per la matematica >> - << Allora sai fare bene i conti? >> o cose
1
s.f. 1. Manifestazione di ipersensibilità allergica nei confronti di varie sostanze, fre-
quentemente farmaci, che insorge al primo contatto con esse. 2. estens. (lett.). Incompatibilità o ripugnanza esasperata, [dal gr. idiosyncrası̀a comp. di ı̀dios ’proprio’ e sýnkrasis
’mescolanza (di umori)’: cioè ’di temperamento particolare’].
Fonte: Dizionario della lingua italiana, G. Devoto, G.C. Oli - Ed. Dizionari Le Monnier Aprile 1979
49
50
A Progetto di tirocinio
simili. Ai più fortunati capitano commenti di esorcismo del tipo << Matematica?! Una disciplina aﬀascinante >> oppure di ascoltare storie più o meno
fantasiose su analogie tra matematica e le arti, o simili.
Nel bene o nel male la matematica è una disciplina la cui percezione popolare
è fortemente mistiﬁcata, deformata dal timore che suscita e dai dolorosi ricordi del periodo scolastico. Analizzando il mio curricolo scolastico del liceo
posso dire di aver sempre prediletto le materie scientiﬁche, ma nel corso di
questi anni ho semplicemente imparato una serie di processi algoritmici ed
una serie di metodi per giungere al risultato corretto. Quando ho deciso di
frequentare la facoltà di matematica, ho scoperto una disciplina diversa che
nel corso degli anni ha modiﬁcato il mio modo di vedere il mondo circostante,
insomma mi sono accorta che questa materia di studio è diﬀerente da come
la conoscevo e che studiandola ho acquisito una mentalità cosiddetta “matematica”. Studiare matematica permette di possedere tecniche e metodi utili
per capire dove si trovano i nodi importanti, l’essenza di un problema.
Spesso nelle scuole si mira a fornire ai ragazzi solo una competenza in matematica e non una competenza matematica.
Nel primo caso l’allievo si appropria di quella parte di saperi che gli permetteranno di fare un dignitoso ingresso in società. Questo tipo di competenza è
legata all’ambito scolare e in generale porta l’allievo a rinunciare a farsi carico del proprio apprendimento, egli si limita ad ascoltare ciò che l’insegnante
propone.
Nel secondo entra in gioco l’individuo, non solo lo studente, che vede, interpreta e si comporta in senso matematico. Una persona che ha raggiunto
competenze matematiche ha un atteggiamento analitico o sintetico nei confronti di una situazione problematica.
A mio avviso la scuola deve optare al raggiungimento di entrambe le competenze, privilegiando la competenza matematica. Questa ultima non si apprende in modo spontaneo né implicito pertanto il processo di insegnamento/apprendimento deve comprendere questa visione matematica del mondo.
È l’insegnante stesso che deve possedere, oltre alla conoscenza della disciplina
A.2 Strategie d’insegnamento
e delle teorie didattiche speciﬁche, le competenze matematiche necessaria al
conseguimento della mentalità matematica.
Ma quanti insegnanti la posseggono? E quanti ritengono più importanti le
competenze matematiche piuttosto che quelle in matematica?
A.2
Strategie d’insegnamento
Se lo scopo è quello di raggiungere competenze in matematica e matematiche, privilegiando queste ultime, bisogna attuare una trasposizione didattica
adeguata.
Le competenze inﬂuenzano l’aspetto cognitivo (conoscenza della disciplina),
aﬀettivo (disposizione, volontà, desiderio di rispondere ad una sollecitazione
esterna o interna) e la tendenza di azione (persistenza, continuità, sollecitudine); quindi quando si parla di competenze ci si riferisce alla persona. Di
conseguenza non si può solo trasmettere “sapere”, ma si devono valorizzare
le necessità, le curiosità e la voglia di sapere dell’allievo. Spesso la curiosità
e l’entusiasmo presenti negli allievi “ancora giovani” (ﬁno ai 12 anni) viene
spenta dall’insegnamento. A mio avviso per impedire ciò si deve contestualizzare la matematica. Molti pensano che questa disciplina sia sempre esistita
senza mai evolversi. La matematica in fondo non è tutto ciò che si trova nel
libro di testo? I nostri nonni, i nostri genitori non hanno, forse, le nostre
stesse capacità in matematica?
Solo questo non basta: per non spegnere l’interesse degli allievi bisogna anche porre attenzione ai loro processi di apprendimento; se si conoscono le
dinamiche cognitive si possono condurre gli studenti nella direzione giusta,
“organizzare lo sviluppo curricolare sulla base dei processi e non solo dei
prodotti.” [2]. Può essere utile privilegiare situazioni a-didattiche che rispondano a problemi sentiti dall’allievo. Ogni alunno ha, infatti, una sua realtà,
che ci può aiutare a rendere la scuola un luogo meno avulso da interessi. Inoltre il lavoro di aula deve proseguire fuori dai tempi e dagli spazi scolastici.
Abbiamo già detto che lo scopo ﬁnale dell’insegnamento della matematica
51
52
A Progetto di tirocinio
è raggiungere una competenza matematica. Questo è un obiettivo a lungo
termine, che consente agli allievi di essere autonomi nel selezionare dalle loro
conoscenze quelle adatte alla risoluzione di situazioni problematiche.
Sul piano pratico, per avere successo bisogna costruire situazioni in cui l’allievo sia stimolato e messo in condizione di voler conoscere. In altre parole
situazioni centrate su nuclei fondanti, cioè su contenuti che costituiscono il
cardine, il cuore attorno al quale raccogliere possibili altri saperi.
Strategie d’insegnamento ﬁnalizzate alla classe in cui sarà svolto
il tirocinio
A seguito di quanto detto in precedenza cercherò di deﬁnire strategie d’insegnamento adatte agli studenti con cui andrò a lavorare, considerando anche
i vincoli che esporrò di seguito.
L’argomento che tratterò, le equazioni di secondo grado, verrà aﬀrontato
privilegiando il registro algebrico, poiché la programmazione non contiene
argomenti di geometria analitica. Il rischio maggiore nell’utilizzare il registro
algebrico è quello di far passare il messaggio che risolvere equazioni sia solo
applicare la formula risolutiva, annullando completamente il loro rapporto
con la realtà. È per questo che nella fase riguardante i problemi proporrò
non solo problemi di tipo algebrico (trova due numeri la cui somma e il cui
prodotto è...) e geometrico, ma anche problemi riconducibili alla vita quotidiana (ad esempio sul calcolo dell’interesse).
Aﬀrontare problemi non è, generalmente, una cosa semplice. Non ci sono di
solito procedure atte a dare una risposta immediata. “Ma deve esserci però
un terreno preparato per aﬀrontare i problemi con proﬁtto: le conoscenze
disciplinari necessarie e, soprattutto, lo spirito giusto di chi vuol aﬀrontare
lo scontro (culturale) in campo aperto e senza una ricetta precostituita. Si
può iniziare con argomentazioni che non pretendono di essere né deﬁnitive
né rigorose ma soltanto provvisorie e “plausibili” per il problema considerato
A.2 Strategie d’insegnamento
(procedimento euristico) tenendo ben presente il fatto, da parte dell’insegnante, che un ragionamento euristico non può sostituire, neppure parzialmente, la procedura corretta.”[3] Un modo per aﬀrontare un problema è
quello di formulare una congettura. Essa si può paragonare ad un “mattoncino” necessario per costruire la soluzione. Per valicare una congettura si
può seguire uno schema di George Polya:
a) La congettura tiene in considerazione tutti i dati e tutte le informazioni
del problema. È la stessa situazione quando, dovendo dimostrare un
teorema, ci si rende conto di aver eﬀettivamente utilizzato tutte le
ipotesi.
b) La congettura è in grado di fornire un legame fra i dati del problema e
l’incognita. Dal tunnel iniziale si inizia a vedere un primo barlume di
luce.
c) La congettura mostra caratteristiche che sono state spesso utili per
ottenere la soluzione di problemi dello stesso tipo. Buon segno!
d) La congettura è simile a quella utilizzata per aﬀrontare con successo problemi analoghi. Ancora buon segno, purché le analogie siano
veramente tali.
e) La congettura ha funzionato per risolvere un problema-caso particolare
del problema dato. Ancora una volta non si può che essere incoraggiati
e pensare di essere sulla buona strada.
f) La congettura è in grado di dare una risposta ad alcuni punti del problema in questione, visto come una sequenza di “passi” successivi. Siamo
sul crinale positivo della ricerca della soluzione: ne abbiamo trovata una
particolare o abbiamo trovato un “pezzo”. Si tratta di continuare[3]
I problemi tratti dalla realtà (interesse, problemi geometrici...) permettono
di coinvolgere direttamente gli studenti. “Operare in contesti che interessano, perché derivanti da fenomeni in parte conosciuti, può essere un attivo
53
54
A Progetto di tirocinio
strumento di lavoro e di stimolo per passare dalla realtà alla sua astrazione
simbolica, introducendo gradualmente il linguaggio della matematica, in modo che gli studenti arrivino a percepire che le formule non appaiono più come
ricette, ma sono parte fondamentale di un linguaggio che ha il vantaggio della
concisione e della non equivocità. [...] La parola chiave è modello matematico, cioè la nozione che descrive in termini corretti il modo di passare da una
situazione concreta, conosciuta solo intuitivamente o sperimentalmente, ad
un insieme di schemi formalizzati (equazioni algebriche, equazioni diﬀerenziali, ecc...) che la descrivono quantitativamente e che consentono, anche con
l’aiuto odierno del computer, di simularne il comportamento e di formulare previsioni, da veriﬁcare poi sul campo, sulla sua evoluzione.”[3] Quando
si opera con problemi tratti dalla realtà vi è la necessità di schematizzare,
modellizzare e di interpretare i risultati ottenuti.
Le risposte che si danno ad un problema (anche non di matematica) devono
essere ragionevoli, rispettose del buon senso. Per questo motivo proporrò
problemi dove una soluzione si scarta perché negativa oppure problemi in cui
le soluzioni sono entrambe positive, ma una non è accettabile.
Cercherò di creare situazioni d’aula a-didattiche con l’ausilio di strumenti
informatici (gli applet java) molto semplici, ma che mi permetteranno di
creare un “laboratorio di matematica”. In altre parole gli alunni dovranno
fare esperimenti e ricavare, attraverso la lettura di dati, informazioni utili
per poter congetturare.
L’applet permetterà agli studenti di inserire i valori dei coeﬃcienti dell’equazione di secondo grado per ricavare immediatamente il valore del discriminante e successivamente di calcolare il valore delle soluzioni. Sfrutterò
i risultati ottenuti dal calcolo del discriminante per focalizzare l’attenzione
degli studenti sui seguenti casi: delta minore di zero e delta uguale a zero; e il
calcolo delle soluzioni per capire in quale insieme numerico stiamo operando
(soluzioni reali) e come sono le soluzioni (distinte, coincidenti oppure immaginarie).
Ricorrerò anche a lezioni frontali che saranno comunque dialogate e interat-
A.3 Vincoli
tive.
Per quel che riguarda l’organizzazione dei contenuti, seguirò il libro di testo.
Gli esercizi e i problemi proposti saranno presi dal libro di testo, ma anche
da altre fonti e presentate su schede preparate in precedenza.
A.3
Vincoli
La scuola in cui svolgerò il tirocinio è il liceo scientiﬁco N. Copernico di
Bologna. Oﬀre tre indirizzi di studio, ciascuno dei quali consente di esaurire
l’obbligo scolastico previsto dalla legge vigente. I corsi di studio si suddividono in un biennio propedeutico e nel successivo triennio. Gli obiettivi
del biennio sono centrati sul consolidamento delle abilità di studio (capacità
d’ascolto, lettura e comprensione di un testo, comunicazione sia scritta che
orale delle conoscenze acquisite) e sull’acquisizione di conoscenze propedeutiche alla prosecuzione degli studi.
Indirizzo Scientiﬁco e P.N.I. il Piano Nazionale per l’Informatica che,
potenziando l’area scientiﬁca con l’introduzione di elementi di Informatica e
anticipando lo studio della Fisica ﬁn dal biennio con un’attività soprattutto
sperimentale, rende più attuale il corso di studi tradizionale. L’obiettivo principale è quello di fornire ai ragazzi una formazione equilibrata sia nell’ambito
scientiﬁco che in quello umanistico.
Indirizzo Matematico Informatico: Nel biennio, alle abilità di base si
aﬃanca l’obiettivo di fornire agli studenti, oltre ai contenuti disciplinari speciﬁci, metodi e strumenti della scienza attraverso le attività di laboratorio. Nel
triennio le materie dell’area comune (italiano, inglese, storia, ﬁlosoﬁa e storia dell’arte) hanno l’obiettivo di fornire un’ampia preparazione culturale di
tipo liceale e sviluppare un uso appropriato della lingua. Tra le materie affrontate, la ﬁlosoﬁa assume un ruolo rilevante in quanto materia cerniera tra
l’area linguistico/umanistica e l’area scientiﬁca. Per questo motivo, all’in-
55
56
A Progetto di tirocinio
terno dello studio della ﬁlosoﬁa, è sviluppata una riﬂessione sui fondamenti
della conoscenza e sul ruolo che le materie scientiﬁche hanno storicamente
avuto nella cultura e nel mondo attuale.
Indirizzo Linguistico L’indirizzo linguistico trae la sua peculiarità dalla
presenza di tre lingue straniere e dalla metodologia che ne caratterizza l’insegnamento. L’uso delle tre lingue è ﬁnalizzato sia all’acquisizione di competenze linguistiche e comunicative sia alla conoscenza della storia, letteratura
e civiltà. La presenza del latino permette, in particolare, tanto una migliore
analisi delle lingue moderne nelle loro strutture quanto una più viva sensibilizzazione alla storicità delle lingue. Per le lezioni di lingua straniera ci si
avvale anche di un lettore di madrelingua. L’attività integrativa degli scambi
educativi con classi corrispondenti di paesi stranieri ha in questo indirizzo
lo scopo di fornire ai ragazzi una conoscenza diretta della lingua viva, della
cultura e della civiltà degli altri paesi.
L’istituto dispone di due laboratori linguistici, un laboratorio di chimica,
uno di biologia, due di ﬁsica, due di informatica, un’aula per le esperienze di scienze della terra e di ottica; una sala proiezioni, un’aula video; una
palestra attrezzata per l’attività contemporanea di tre squadre e una sala per
il potenziamento muscolare; una biblioteca che dispone di volumi e svariate
riviste utili per l’approfondimento di studenti e insegnanti in relazione alle
varie aree disciplinari; Un’aula attrezzata per allievi non vedenti con attrezzature e materiale softwaretiﬂologici.
Inoltre, a seconda delle necessità individuate, possono conﬁgurarsi attività di
recupero come corsi pomeridiani rivolti a gruppi di studenti delle singole classi
o di classi parallele o di livello di apprendimento, attività (sempre pomeridiane) di sportello formativo inteso come opportunità di colloquio individuale
o di piccoli gruppi di studenti con gli insegnanti, o attività individualizzate
durante le ore di lezione.
Il mio intervento didattico si svolgerà in una classe seconda di indirizzo P.N.I.
A.3 Vincoli
La classe è composta da diciassette alunni, è omogenea e solo pochi studenti
raggiungono valutazioni eccellenti. Gli allievi sono interessati alla disciplina,
ma intervengono poco durante lo svolgimento delle lezioni, per questo motivo
devono essere continuamente stimolati e interrogati.
Vorrei far notare che la Tutor non tratta né le equazioni letterali di secondo
grado né le disequazioni, inoltre la programmazione non prevede argomenti
di geometria analitica.
Per lo svolgimento delle lezioni nelle classi seconde dell’indirizzo P.N.I, la Tutor ha a disposizione cinque ore settimanali di cui una di informatica. Svolge
anche attività di sportello su richiesta degli alunni, per colmare eventuali
lacune.
La Tutor svolge lezioni frontali coinvolgendo spesso gli studenti e dedica
molto tempo alla correzione degli esercizi che fa svolgere alla lavagna. Il
libro di testo adottato è Matematica per il biennio delle superiori M.R. Persano Riboldi, Zanoli Juvemilia.
Prerequisiti
L’alunno, al ﬁne di saper risolvere equazioni e problemi di secondo grado,
dovrà possedere le seguenti conoscenze:
- Conoscere la deﬁnizione di polinomio e di grado di un polinomio;
- Moltiplicare, addizionare, sottrarre, dividere, elevare a potenza monomi
e polinomi;
- Eseguire un raccoglimento;
- Riconoscere prodotti notevoli, in particolare il quadrato di un binomio;
- Scomporre un polinomio;
- Calcolare il m.c.m di polinomi;
- Sapere qual è il signiﬁcato d’incognita e d’equazione;
57
58
A Progetto di tirocinio
- Sapere cosa signiﬁca “trovare l’insieme delle soluzioni di un’equazione”;
- Conoscere e saper applicare i principi d’equivalenza delle equazioni;
- Conoscere e saper applicare la legge d’annullamento del prodotto;
- Riconoscere equazioni fratte;
- Riconoscere il campo d’esistenza di frazioni algebriche;
- Conoscere la diﬀerenza tra parametro ed incognita;
- Conoscere la deﬁnizione di equazione determinata, indeterminata e
impossibile;
- Conoscere la deﬁnizione di radice aritmetica n-esima di un numero
(positivo);
- Conoscere le principali proprietà dei radicali aritmetici;
- Portare fuori e dentro il segno di radice.
Finalità: Acquisire, attraverso l’uso dell’algebra, capacità risolutive di
problemi riconducibili ad equazioni di secondo grado.
Obiettivi
Riconoscere un’equazione di secondo grado;
Classiﬁcare le equazioni di secondo grado in spurie, pure e complete;
Veriﬁcare se un dato valore è o non è soluzione di un’equazione di secondo
grado;
Ridurre in forma normale un’equazione;
Risolvere le equazioni di secondo grado spurie, pure;
Risolvere le equazioni di secondo grado complete;
Discutere il numero delle soluzioni in base al segno del discriminante;
Conoscere le relazioni tra radici e coeﬃcienti di un’equazione di secondo grado;
A.4 Organizzazione dei contenuti
59
Applicare il teorema di Cartesio; Scomporre, quando è possibile, un trinomio
di secondo grado;
Risolvere equazioni fratte riconducibili ad equazioni di secondo grado;
Determinare il valore del parametro in modo che le radici dell’equazione soddisﬁno particolari condizioni;
Risolvere problemi riconducibili ad equazioni di secondo grado.
A.4
Organizzazione dei contenuti
FASE 1: VERIFICA DEI PREREQUISITI: La veriﬁca consisterà in un questionario con domande chiuse sul signiﬁcato di incognita, parametro,
soluzione di un equazione, sulla deﬁnizione e sulle proprietà delle radici, riconoscere equazioni fratte e i corrispondenti campi di esistenza,
riconoscere tra più scelte quale sia l’m.c.m giusto, stabilire se i principi
di equivalenza sono stati applicati in modo corretto.
DISCUSSIONE DEI QUESTIONARI: In questa fase si chiariranno gli
eventuali dubbi.
FASE 2: CLASSIFICAZIONE: Saranno forniti agli studenti esempi di equazioni
di secondo grado spurie e pure. Lo scopo è quello di guidare gli allievi nella risoluzione delle equazioni senza fornire prima una formula
risolutiva generale. Gli esempi in questione saranno del tipo:
47x2 = 0;
x2 − x = 0;
x2 + 5 = 0
Una volta scritte le equazioni alla lavagna inviterò gli alunni a riﬂettere
sul signiﬁcato di “soluzione” e sul grado delle equazioni. Vorrei rilevare,
presentando il teorema fondamentale dell’algebra, che le radici possono
essere due distinte oppure due coincidenti oppure possono non esistere.
A questo punto presenterei la forma normale di un’equazione algebrica
60
A Progetto di tirocinio
completa di secondo grado nell’incognita x:
ax2 + bx + c = 0
per confrontarla con gli esempi forniti, attraverso i quali deﬁnire le
equazioni spurie (a = 0;
0;
b = 0;
c = 0) e pure (a = 0;
b =
c = 0) soﬀermandomi, poi sul caso particolare a = 0; b = 0;
c = 0. Dopodichè farei notare che il coeﬃciente deve essere in ogni
caso diverso da zero, altrimenti l’equazione si abbassa di grado. Completate queste riﬂessioni, si fornirà uno schema riassuntivo scrivendo
le equazioni monomie, pure e spurie in forma generale con le relative
condizioni.
EQUAZIONI PURE E SPURIE: Finita la classiﬁcazione si procederà
ad una analisi delle soluzioni. Per le equazioni spurie chiederò agli
studenti di applicare la legge di annullamento del prodotto e farò osservare che esistono sempre due soluzioni, una delle quali è zero. Per
le equazioni pure ricorrerò ai principi di equivalenza e ai radicali. Gli
alunni a questo punto del loro percorso scolastico sapranno che non si
può estrarre la radice quadrata di un numero negativo e quindi si tratterà di sottolineare che non sempre ci sono soluzioni nel campo reale.
In altre parole l’equazione pura può essere impossibile in R.
EQUAZIONE COMPLETA: FORMULA RISOLUTIVA E DISCRIMINANTE: In questo caso la lezione sarà frontale. Lo scopo sarà quello
di trovare una strategia risolutiva per le equazioni complete. Darò la
dimostrazione della formula risolutiva e deﬁnirò il discriminante, sottolineando che, quando è negativo, l’equazione non ha soluzioni reali.
Prima di presentare la forma risolutiva ridotta farei delle esercitazioni
in classe per consolidare il metodo di risoluzione.
ESISTENZA DELLE SOLUZIONI E SEGNO DEL DISCRIMINANTE: In questa fase mi avvarrò di strumenti informatici poiché vorrei che
A.4 Organizzazione dei contenuti
61
gli alunni risolvessero un numero molto cospicuo di equazioni. Adopererò applet java poiché la classe è di indirizzo P.N.I e dovrà programmare nel suddetto linguaggio nel corso del triennio e perché queste
applicazioni possono essere usate senza alcun prerequisito. L’applet è
un’applicazione attiva che permette allo studente di interagire con il
computer. In particolare, realizzerò un applet che darà la possibilità
agli studenti di inserire i coeﬃcienti e di ottenere il calcolo del discriminante e delle soluzioni in tempi diversi, in modo da poter discutere
prima sul discriminante e poi sulle soluzioni. I risultati verranno visualizzati in forma tabulare. La scelta del registro tabulare permetterà
agli studenti di leggere i dati e veriﬁcare che al variare del discriminante
avremo casi in cui le soluzioni saranno reali e distinte, reali ed uguali
oppure non ci saranno soluzioni reali.
SCOMPOSIZIONE DI UN TRINOMIO DI SECONDO GRADO, RELAZIONI TRA LE SOLUZIONI ED I COEFFICIENTI DI UNA EQUAZIONE DI SECONDO GRADO E LA REGOLA DI CARTESIO: Gli
studenti, in realtà hanno già scomposto alcuni trinomi di secondo grado ed in particolare sanno scomporre il trinomio speciale x2 + sx + p a
coeﬃcienti interi, con s = x1 + x2
p = x1 · x2 . Alcune volte però non
è facile determinare, anche se esistono. É necessario cercare le radici
dell’equazione ad esso associata. Attraverso lezioni guidate, nell’ipotesi
in cui il discriminante non sia negativo,
si arriverà alla relazione trale
b
c
.
soluzioni x1 , x2 ed i coeﬃcienti a, b, c x1 + x2 = − ; x1 · x2 =
a
a
Note queste relazioni si dimostrerà che ax2 +bx+c = a(x−x1 )·(x−x2 ).
Inoltre, sempre sfruttando le relazioni suddette e conoscendo i segni dei
coeﬃcienti, arriveremo a stabilire, enunciando il teorema dei segni di
Cartesio, i segni delle radici senza risolvere le equazioni.
EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE: Dopo che la classe avrà preso
dimestichezza nella risoluzione delle equazioni di secondo grado, pos-
62
A Progetto di tirocinio
siamo passare alle equazioni fratte. Poiché, in questo tipo di equazioni,
non introdurremo alcun elemento teorico nuovo faremo delle esercitazioni in classe e chiamerò alla lavagna uno degli alunni per la risoluzione. Ribadiremo i concetto di condizione di esistenza delle singole
frazioni e la discussione per escludere gli eventuali valori che annullano
anche un solo denominatore.
CONTROLLO: si proporrà una veriﬁca sommativa, che verrà successivamente corretta in classe;
FASE 3: EQUAZIONI PARAMETRICHE: Si svolgerà un ripasso della deﬁnizione di equazione parametrica. In una equazione di secondo grado parametrica ridotta in forma normale non si devono ricercare le soluzioni
bensı̀ quei valori del parametro che veriﬁcano alcune condizioni. In
particolare ci occuperemo di stabilire per quali valori del parametro la
somma delle soluzioni è s, oppure il prodotto delle soluzioni è p, dove
p e s sono valori noti, oppure ci occuperemo di stabilire quando una
soluzione è nulla, quando sono una l’inversa dell’altra oppure una l’opposta dell’altra.
RISOLUZIONE DI PROBLEMI: Si proveranno a risolvere problemi
riconducibili ad equazioni di secondo grado sia di tipo algebrico che di
tipo geometrico.
UN ACCENNO STORICO: In questa fase vorrei sottolineare che ﬁn
dai tempi dei Babilonesi vi sono tracce di algebra, anche se priva di
un’eﬃcace espressione simbolica delle tecniche algebriche. Infatti nell’algebra babilonese non esisteva alcun strumento simbolico completo,
solo in qualche caso l’incognita veniva indicata mediante simboli speciali. Ad esempio, per indicare incognite di primo, secondo e terzo
A.4 Organizzazione dei contenuti
63
grado utilizzavano rispettivamente i termini lunghezza, area, volume.
Ma i matematici babilonesi sembravano consapevoli del valore esclusivamente indicativo di tali termini.
ESEMPIO DI RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE DI SECONDO
GRADO: I babilonesi erano in grado di risolvere equazioni di secondo
grado, anche se non avevano uno studio sistematico e generale delle
equazioni; per questo motivo esaminavano i singoli casi. Sono frequenti
gli esempi in cui venivano impiegate equazioni di secondo grado per la
risoluzione di problemi di vario tipo. In particolare venivano considerate questioni come quelle di determinare due numeri conoscendone la
somma ed il prodotto . Riportiamo un esempio di risoluzione di un’equazione di secondo grado, naturalmente la notazione impiegata sarà
moderna.
Trovare i due numeri a,b sapendo che la loro somma è 8 ed il
loro prodotto è 12 Le posizioni sono:
a = 4 + δ; eb = 4 − δ
infattia + b = 8
Sapendo che a · b = 12 si ottiene sostituendo
a · b = (4 + δ) · (4 − δ) = 12 ⇒ 16 − δ 2 = 12
. Ed otteniamo, considerando solo le radici positive, poiché i babilonesi
non avevano i numeri negativi
δ2 = 4 ⇒ δ = 2
da cui
a = 4 + δ = 6; b = 4 − δ = 2
64
A Progetto di tirocinio
ALTRI ESEMPI:
- L’esempio in questione (Bombelli in l’algebra, 1572) chiede di utilizzare l’area dello gnomone, che è la parte della ﬁgura evidenziata
in grigio, per risolvere l’equazione x2 + bx = c.
Lo gnomone ha area x2 + bx uguale
alladiﬀerenza dell’area del
b
e quella del quadrato
quadrato costruito sull’ipotenusa x +
2
b
. Se x2 + bx = c2 , costruito il triangolo
costruito sul cateto
2
b
b
e cateto
l’altro cateto vale
rettangolo di ipotenusa x +
2
2
c (per il teorema
diPitagora) e quindi noti b e c si può costruire
b
da cui si ricava x.
l’ipotenusa x +
2
- PROBLEMI RELATIVI AL CALCOLO DI UN INTERESSE: Lo
scopo è quello di trovare la somma in danaro, da restituire o da
ricevere dopo un determinato periodo di tempo. Per facilitare la
A.5 Valutazione
comprensione del problema utilizzeremo l’interesse annuo e per
ricorrere alle equazioni di secondo grado faremo riferimento alla
capitalizzazione composta. Ad esempio, dopo aver spiegato che,
se il tasso di interesse annuale è i, l’interesse maturato dopo un
anno è I = C · i possiamo, dato un capitale iniziale, calcolare
l’interesse su quel capitale dopo due anni: dopo il primo anno il
capitale ﬁnale sarà C1 = C + I1 = C + C · i.
Alla ﬁne del secondo anno si avrà:
C2 = C1 + I2 = C + C · i + (C + C · i) · i = C + 2C · i + C · i2
o anche C(1 + i)2 . Se si conoscono il capitale ﬁnale C2 e il capitale
iniziale C, si potrà ricavare il tasso i impostando l’equazione di
secondo grado C2 = C(1 + i)
CONTROLLO: Veriﬁca sommativa ﬁnale relativa alle equazioni parametriche e alla risoluzione di problemi di secondo grado. In particolare
ci occuperemo, per le equazioni parametriche, di stabilire per quali valori del parametro la somma delle soluzioni è s, oppure il prodotto delle
soluzioni è p, dove p e s sono valori noti, oppure ci occuperemo di stabilire quando una soluzione è nulla, quando sono una l’inversa dell’altra
oppure una l’opposta dell’altra oppure quando la somma dei quadrati
o dei cubi delle soluzioni è un certo valore; per i problemi, si tratterà
di applicare i teoremi di Euclide, Pitagora e i criteri di similitudine.
A.5
Valutazione
“Il termine valutazione ha due accezioni una generica, riconducibile a previsione, stima, apprezzamento,...ed una pedagogica che recita: <<Acquisizione
di dati e informazioni che permettono di veriﬁcare l’eﬃcacia di un intervento
educativo e il proﬁtto di un allievo>>”[4]. Dunque la veriﬁca dell’attività di
insegnamento apprendimento è di fondamentale importanza perché permette
65
66
A Allegato B
al docente di individuare le eventuali cause dell’insuccesso scolastico e all’allievo di rendersi conto se eﬀettivamente ha raggiunto gli obiettivi richiesti e
eventualmente colmare le lacune.
La valutazione sommativa serve per cosı̀ dire a “tirare le somme” di un determinato lavoro. È un tipo di valutazione che vuole sintetizzare i diversi
apprendimenti speciﬁci e veriﬁcare se sono stati raggiunti gli obiettivi. Spesso è legata ad un voto oppure ad un aggettivo, e serve anche per comunicare
con la famiglia.
Le veriﬁche sommative saranno due: una sulle tecniche di risoluzione delle
equazioni di secondo grado e l’altra sulla risoluzione di problemi riconducibili
ad equazioni di secondo grado. In previsione della prova verranno eﬀettuate
esercitazioni in classe per recuperare le eventuali lacune.
Per la valutazione si terrà conto anche degli interventi e dell’impegno personale dell’allievo a questo scopo utilizzerò la tecnica dell’osservazione dell’allievo durante l’attività di apprendimento. “Questa tecnica si presta per
valutare come l’allievo si muove di fronte ad una situazione nuova, nella necessità di dover analizzare, tentare, prendere decisioni, intuire, dedurre”. I
criteri di valutazione saranno esplicitati agli alunni in modo chiaro.
Vorrei concludere con le parole della Prof.ssa M.I. Fandiño Pinilla
“La valutazione non è ristretta ad un punto o a una certa azione, ma è attuata lungo tutto l’arco del processo di insegnamento-apprendimento, dato che è
essa stessa come parte integrante di tale processo. La valutazione è dunque
continua e globale”.[4]
Appendice B
Test prerequisiti e veriﬁche
sommative
B.1
Test prerequisiti
NOME.............COGNOME....................CLASSE...............DATA........
1. Nell’equazione 6x=3 il termine noto è
A) 6
B) 3
C) la x
D) lo 0
6
E)
3
67
68
B Allegato B
2. L’equazione ax=b con a=0 b>0 oppure b<0
A) è determinata
B) è indeterminata
C) è impossibile
D) non è un’equazione
E) è un’identità
3. Le equazioni: 3x=6;
2x-1=x+3;
A) sono equivalenti
B) non sono equivalenti
4. Quanti sono i ragazzi di un club sportivo se la metà di questi
pratica il tennis, 1/4 il nuoto, 1/9 la ginnastica ritmica e 5 il
basket se ognuno pratica un solo sport?
A) x + 2 + 4x − 9x = 5
B) x − 2x − 4x − 9x = 5
C) x −
D)
x
2
x
2
− 14 x − 19 x = 5
− 14 x − 19 x = 5 + x
E) x −
x
2
− 14 x − 19 x = 5 − x
5. L’uguaglianza 3x-1=4 rappresenta:
A) un’identità
B) una uguaglianza letterale
C) un’equazione
D) una proporzione
B.1 Test prerequisiti
69
6. Che cosa si intende per identità
A) una uguaglianza che risulta veriﬁcata solo per determinati valori
delle lettere che vi compaiono
B) una uguaglianza letterale qualsiasi
C) una uguaglianza che risulta veriﬁcata per qualsiasi valore delle
lettere che vi compaiono
D) una uguaglianza che risulta veriﬁcata per qualsiasi valore delle lettere che vi compaiono purché tali valori appartengano all’insieme
dei numeri naturali
E) una uguaglianza che risulta veriﬁcata solo per determinati valori delle lettere che vi compaiono purché tali valori appartengano
all’insieme dei numeri naturali
7. L’equazione 4=2x-x-x
A) è indeterminata
B) è impossibile e indeterminata
C) è impossibile
D) è determinata
E) non è una equazione ma è un’identità
8. L’equazione ax=b
con
A) è determinata
B) è indeterminata
C) è impossibile
D) non è un’equazione
E) è un’identità
a,b=0
70
B Allegato B
9. L’uguaglianza 11x-3x=8x rappresenta
A) un’identità
B) una uguaglianza letterale
C) un’equazione
D) una proporzione
10. Il primo principio di equivalenza ci consente di:
A) spostare un termine da un membro all’altro pur di cambiargli il
segno
B) di aggiungere solo al primo membro un termine positivo
C) di annullare i termini uguali in uno stesso membro
11. Il secondo principio di equivalenza ci consente di:
A) moltiplicare primo e secondo membro per una stessa quantità
diversa da zero
B) di moltiplicare primo e secondo membro per una quantità uguale
a zero
C) di dividere primo e secondo membro per una stessa quantità uguale
a zero
D) di moltiplicare primo e secondo membro per numeri arbitrari e
diversi tra loro
3x + 2
2 − 3x
=
− 1 individua, senza fare
2 + 3x
3x − 2
calcoli l’insieme delle soluzioni
2
;
A) S =
3
12. Data l’equazione
B.1 Test prerequisiti
71
2
;
B) S = 0;
3
2 2
C) S = − ;
;
3 3
D) nessuna delle precedenti.
13. individua nella risoluzione dell’equazione
eventuali errori:
x2 − 4
x(x − 1) − (2x + 1)
=
x−1
x−1
2x + 1
x2 − 4
= x−
x−1
x−1
C.E.x = 1
x2 −4 = x2 −x−2x−1 ⇒ 3x = 3 l’equazione ha un’unica soluzione x = 1.
14. Indica quali tra queste sono equazioni fratte
2
a+b+5
−
=0
abx
ab − b2
2
a+b+5
−
B)
ab
ab − b2
25
[5x(m − 1) − 5]
2
C) 25 x − x − x =
5
3
3
A)
15. Quali radicali puoi calcolare in R
A)
√
3
8
B)
√
4
16
C)
√
4
D)
√
3
−1
−8
16. Riconosci quale è il m.c.m giusto tra:
[(a + b)2 ];
a + b + x;
a + b − x;
72
B Allegato B
A) (a + b)2 + x2
B) (a + b + x)2
C) a2 + 2ab + b2 − x2
17. Trovare il campo di esistenza di una equazione fratta signiﬁca
A) eliminare i denominatori
B) moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per il m.c.m tra i
denominatori
C) escludere tutti quei valori dell’incognita che annullano i denominatori
B.2 Prima veriﬁca sommativa
B.2
73
Prima veriﬁca sommativa
1. Risolvi e classiﬁca le seguenti equazioni di secondo grado
√
√
√
a)( 2x + 5)2 = (2 3 − 2x)2 − 7
√
(x 2 − 3)2 + 5
√
=5
b)
5 − 2x 2
c)x(x −
√
2) = x(1 −
√
2) + 2 +
√
2
2. Spiega perché l’equazione pura ax2 + c = 0 non è sempre possibile nei
reali ed indica le soluzioni
3. Sempliﬁca utilizzando la scomposizione di un trinomio di secondo grado
√
x2 − 3 3x + 6
x2 − 12
4. Quando un’equazione di secondo grado completa ha soluzioni reali e
coincidenti? Quando reali e distinte?
5. Risolvi le seguenti equazioni fratte:
√
√
√
√
√
x+3 3 x−3 3
3(x + 27 3) + 2( 3 − x)
√ +
√ −1=
a)
x2 − 27
x−3 3 x+3 3
b)
3 + x x2 − 3
+
= −2
x−3
3−x
74
B Allegato B
B.3
Seconda veriﬁca sommativa
1. Nell’equazione: x2 + (5k + 1)x + 9k = 0 determina k in modo che
a) le soluzioni siano reali e coincidenti b
b) la somma dei reciproci delle soluzioni sia 1/2
c) le soluzioni siano reciproche
d) una soluzione sia nulla
e) le soluzioni siano opposte
f) 2x2 = x1 + 1
2. In un rombo la diagonale maggiore supera di 4a quella minore. Sapendo che l’area del rombo è 6a2 calcola l’altezza del rombo.
√
3. Nel triangolo rettangolo ABC rettangolo in C, l’ipotenusa misura 4 5cm.
Determinare il perimetro del triangolo sapendo che l’asse del segmento AB interseca il cateto maggiore AC nel punto D che dista 3cm da C.
4. Nel triangolo isoscele ABC di base AB, il lato BC supera di 5a la
misura della metà di AB. Sul prolungamento della base AB, dalla
parte di B, si consideri un punto P in modo che sia BP = 10a. Sapendo che il triangolo AP C è rettangolo in C, calcolare il perimetro e l’area
del triangolo ABC.
5. Nel trapezio ABCD rettangolo in A e D, la base minore CD è 8cm
ed il punto E di AD dista 16cm da D. La parallela ad AB condotta
da E, interseca BC nel punto F distante 20cm da C. Determinare
il perimetro del trapezio assegnato sapendo che la sua area è 310cm2 .
(Facoltativo)
Bibliograﬁa
[1] B. D’Amore, Elementi di didattica della matematica. Pitagora Editrice
Bologna, 1999.
[2] B. D’Amore, J.D. Godino, G.Arrigo, M.I. Fandiño Pinilla, Competenze
in matematica. Pitagora Editrice Bologna, 2003.
[3] UMI 2003, nucleo “Risolvere e Porsi problemi”.
[4] M.I. Fandiño Pinilla, Curricolo e valutazione. Pitagora Editrice Bologna,
2002.
[5] A. Barella, L. Brogonzoli, Insegnare oggi: guida operativa. Tramontana,
1990
[6] G.T. Bagni, Problemi di secondo grado nella matematica antica. Articolo tratto da: Journal for the Intercultural and Interdisciplinary
Archaeology, 2003
[7] R.Ricci,
Algebra
e
Cabri-géomètre,
tratto
◦
CABRIRRSAE, n 5
[8] A.Vistoli, Note di Algebra
[9] I.N Herstein, Algebra. Editori Riuniti Roma, 1995
75
da
quaderni
di
Ringraziamenti
Vorrei ringraziare tutte le persone che mi hanno auitata a concludere
questo lungo e diﬃcile percorso formativo.
Vorrei ringraziare la Professoressa Zucchini per la pazienza e la costanza
con cui mi ha seguito, per tutte le volte che mi ha spronato per portare
a termine nei tempi giusti e nel modo giusto tutti gli impegni di questo
anno di tirocinio. Vorrei ringraziare il Professor Salmon fonte inesauribile
di sapere, per la sua gentilezza e disponibilità. Vorrei ringraziare di nuovo
la Professoressa Chiarini, che è stata per me un ottimo modello da seguire.
Grazie a tutti i ragazzi della II A che hanno ascoltato e assimilato le mie
spiegazioni.
Grazie a tutti!