Esame del 18 febbraio 2010 testo del compito

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Compito di Algebra Lineare e Geometria
18 febbraio 2010
Non è consentito l'uso di libri e appunti. Durata della prova: 3 ore
1. Sia fissato nello spazio ordinario un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz u.
Sono date le rette r: x+y+z = x-2y-z = 0 ed s: x-y = 2x +z-6 = 0
a) verificare che r ed s sono sghembe e trovare la retta t perpendicolare ed incidente a
entrambe;
b) trovare la distanza fra r ed s.
2. Siano v1 = (0,3,-3), v2 = (2,1,-3), v3 = (2,1,0) vettori di R3 e sia f: R3 → R3
l'applicazione lineare tale che f(v1) = (3,0, -3), f(v2) = (-1,4,-3) e f(v3) = (h, h-2,
0), dove h è un parametro reale.
a) Studiare f al variare di h, stabilendo dimensione, base ed equazioni caratteristiche di
nucleo e immagine;
b) Sia V = L (v1, v2). Trovare equazioni caratteristiche e vettore generico di V e studiare lo
spazio V + Ker f.
3. Sia g: R3 → R3 l'endomorfismo tale che g(e1) = (2k, 2k, 0), g(e2) = (-k, -k, 0),
g(e3) = (k, k, 0), con k parametro reale. Studiare la semplicità di g al variare di k, trovando,
in caso di semplicità, una base formata da autovettori, e le matrici diagonalizzanti P e P-1.
4. Sia fissato nello spazio ordinario un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz u.
a) Trovare l'equazione dell'iperbole I del piano z = 0 avente centro nell'origine e passante
per i punti impropri degli assi cartesiani e per il punto di coordinate (1,-1). Trovare la sua
forma canonica e scrivere le equazioni della rototraslazione;
b) scrivere l'equazione del cono di direttrice I e vertice (0,0,1);
c) studiare la quadrica Q: x2 – xy + y2 + 2x +4z = 0.
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