Formulario di Trigonometria Indice degli argomenti Formule fondamentali Valori noti delle funzioni trigonometriche Simmetrie delle funzioni trigonometriche Relazioni tra funzioni goniometriche elementari Formule sugli angoli complementari e supplementari Formule di addizione e sottrazione Formule di duplicazione e bisezione Formule di prostaferesi Formule parametriche (t = tan α 2 ) Formule di Werner Funzioni goniometriche inverse Funzioni iperboliche 1 www.webtutordimatematica.it Formule fondamentali sin 2 α + cos tan x = cot x = sec x = csc x = 2 α = 1 sin x cos x cos x sin x 1 cos x 1 sin x 2 www.webtutordimatematica.it Valori noti delle funzioni trigonometriche 3 www.webtutordimatematica.it Simmetrie delle funzioni trigonometriche sin(−x) = − sin x cos(−x) = cos x tan(−x) = − tan x cot(−x) = − cot x 4 www.webtutordimatematica.it Relazioni tra funzioni goniometriche elementari tan α − −−− −− −− 2 sin α = ±√1 − cos α sin α = ± −−−− −−−− √1 + tan2 α − − −− − − −− 2 cos α = ±√1 − sin α cos α = ± −−−− −−−− √1 + tan2 α − − −− − − −− √1 − sin2 α − − −− − − −− √1 − sin2 α cot α = ± sin α − −−− −− −− √1 + cot2 α cos α = ± − −−− −− −− √1 + cot2 α cot α 1 − −−− −− −− √1 − cos2 α sin α tan α = ± 1 sin α = ± tan α = ± 1 tan α = cot α cos α cos α cot α = ± − −−− −− −− √1 − cos2 α 5 1 cot α = tan α www.webtutordimatematica.it Formule sugli angoli complementari e supplementari Angolo Operatore π 2 − α π 2 + α π − α π + α 3π 2 − α 3π 2 + α 2π − α sin cos α cos α sin α − sin α − cos α − cos α − sin α cos sin α − sin α − cos α − cos α − sin α sin α cos α tan cot α − cot α − tan α tan α cot α − cot α − tan α cot tan α − tan α − cot α cot α tan α − tan α − cot α 6 www.webtutordimatematica.it Formule di addizione e sottrazione Formule di addizione sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β tan(α + β) = cot(α + β) = tan α+tan β 1−tan α tan β cot α cot β−1 cot β+cot α Formule di sottrazione sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β tan(α − β) = cot(α − β) = tan α−tan β 1+tan α tan β cot α cot β+1 cot β−cot α 7 www.webtutordimatematica.it Formule di duplicazione e bisezione Formule di duplicazione sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos tan 2α = cot 2α = 2 α − sin 2 α 2 tan α 1−tan cot 2 2 α α−1 2 cot α Formule di bisezione sin cos tan cot α 2 α 2 α 2 α 2 −−−−− 1−cos α = ±√ 2 −−−−− 1+cos α = ±√ 2 −−−−− = ±√ 1−cos α 1+cos α −−−−− = ±√ 8 1+cos α 1−cos α www.webtutordimatematica.it Formule di prostaferesi α+β sin α + sin β = 2 sin α−β cos 2 2 α−β cos 2 α−β sin 2 α+β cos α + cos β = 2 cos α+β sin α − sin β = 2 cos 2 α+β cos α − cos β = −2 sin 2 α−β sin 2 sin(α + β) 2 sin(α − β) tan α + tan β = tan α − tan β = cos α cos β cos α cos β sin(β + α) sin(β − α) cot α + cot β = cot α − cot β = sin α sin β sin α sin β 9 ( = tan ) www.webtutordimatematica.it Formule parametriche (t α = tan sin α = 2 ) 2t 2 1+t 2 cos α = tan α = 1−t 2 1+t 2t 2 1−t 2 cot α = 10 1−t 2t www.webtutordimatematica.it Formule di Werner sin α cos β = cos α cos β = sin α sin β = 1 [sin(α + β) + sin(α − β)] 2 1 2 1 2 [cos(α + β) + cos(α − β)] [cos(α − β) − cos(α + β)] 11 www.webtutordimatematica.it Funzioni goniometriche inverse Le funzioni goniometriche inverse sono: arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente. arcsin x = sin −1 arccos x = cos x −1 x −1 arctan x = tan arccotx = cot 12 −1 x x www.webtutordimatematica.it Funzioni iperboliche Le funzioni iperboliche sono: seno iperbolico, coseno iperbolico, tangente iperbolica, cotangente iperbolica. Formule fondamentali 2 cosh α − sinh tanh x = coth x = sech x = csch x = 2 α = 1 sinh x cosh x cosh x sinh x 1 cosh x 1 sinh x Forma esponenziale Per calcolare il valore delle funzioni iperboliche dobbiamo considerare la loro espressione in forma esponenziale. x sinh x = e −e −x 2 x cosh x = e +e −x 2 x tanh x = coth x = e −e x e +e −x −x x −x x −x e +e e −e Simmetrie delle funzioni iperboliche sinh(−x) = − sinh x cosh(−x) = cosh x tanh(−x) = − tanh x coth(−x) = − coth x Formule di addizione e sottrazione sinh(α + β) = sinh α cosh β + cosh α sinh β cosh(α + β) = cosh α cosh β + sinh α sinh β tanh(α + β) = tanh α+tanh β 1+tanh α tanh β sinh(α − β) = sinh α cosh β − cosh α sinh β cosh(α − β) = cosh α cosh β − sinh α sinh β tanh(α − β) = tanh α−tanh β 1−tanh α tanh β Formule di duplicazione e bisezione 13 www.webtutordimatematica.it sinh 2α = 2 sinh α cosh α 2 cosh 2α = cosh α + sinh 1+tanh α 2 cosh tanh α 2 α 2 α 2 tanh α tanh 2α = sinh 2 2 α −− −−−− = ±√ cosh α−1 2 −− −−−− cosh α+1 = √ 2 −− −−−− = √ cosh α−1 sinh α Formule di prostaferesi α+β sinh α + sinh β = 2 sinh α−β α+β cosh sinh α − sinh β = 2 cosh 2 2 α+β 2 α−β cosh α + cosh β = 2 cosh cosh Formule parametriche (t 2 = tanh 2 α+β cosh α − cosh β = −2 sinh 2 α−β sinh α−β sinh 2 α 2 2 ) sinh α = 2t 2 1−t 2 cosh α = tanh α = 1+t 2 1−t 2t 2 1+t Formule di Werner sinh α cosh β = cosh α cosh β = sinh α sinh β = 1 [sinh(α + β) + sinh(α − β)] 2 1 2 1 2 [cosh(α + β) + cosh(α − β)] [cosh(α − β) − cosh(α + β)] Funzioni iperboliche inverse Le funzioni iperboliche inverse sono: settore seno iperbolico, settore coseno iperbolico, settore tangente iperbolica e settore cotangente iperbolica. − − −−− 2 settsinh x = x log(x + √x + 1) ∀x ∈ R − −−−− 2 settcosh x = x log(x + √x − 1) con x ≥ 1 setttanh x = settcoth x = 1 2 1 2 log log 1+x con − 1 < x < 1 1−x x+1 con x < −1 e x > 1 x−1 14 www.webtutordimatematica.it