Dispensa di Logica - Matematica e Informatica

Materiale didattico aggiuntivo - Analisi Matematica I
CENNI DI LOGICA MATEMATICA
1. Proposizioni. Valori logici. Connettivi logici. Tavole di verita.
Intenderemo per PROPOSIZIONE (o ENUNCIATO) una qualunque espressione
alla quale possa attribuirsi il valore logico VERO (V) o (nel senso dell' "aut" latino)
il valore logico FALSO (F). Cio non vuol dire conoscere quale valore logico attribuire
ad essa.
Ad esempio:
"Gli asini volano" e un enunciato FALSO
"Ogni giorno che passa diventiamo piu vecchi" e un enunciato VERO
"Domani
piove" e un enunciato
p
" 2 e un numero irrazionale" e un enunciato (che, come vericheremo in seguito,
e) VERO.
p
"p2 > 32 " e un enunciato (che, come si potra vericare in seguito, e) FALSO
" 2 > 43 " e un enunciato (che, come si potra vericare in seguito, e) VERO
Da singole proposizioni, che chiameremo componenti, se ne possono ottenere altre
piu complesse, o composte, mediante l'uso dei cosiddetti CONNETTIVI LOGICI.
Sono connettivi logici:
: (che si legge "non"), detto NEGAZIONE,
^ (che si legge "e"), detto CONGIUNZIONE,
_ (che si legge "o" nel senso del "vel" della lingua latina), detto DISGIUNZIONE,
) (che si legge "implica"), detto IMPLICAZIONE,
, (che si legge "se e solo se"), detto DOPPIA IMPLICAZIONE.
Ad esempio:
"( 53 < 32 ) _ (:(2 + 2 = 5))
"Gli asini volano" ) "2 > 1"
"C e una circonferenza di raggio 3" ) "La lunghezza di C e 6"
"3 < 0" ) "Gli asini volano"
"3 < 0" , "Gli asini volano".
Avendo detto che proposizione e una espressione alla quale si possa attribuire uno
dei due valori logici VERO aut FALSO, per denire compiutamente i connettivi logici,
occorre stabilire per ciascuno di essi le regole attraverso le quali individuare il valore
logico della proposizione composta.
Queste regole si chiamano TAVOLE DI VERITA'. Per ciascuno dei connettivi logici
che abbiamo indicato, esse sono, indicando con p e q le proposizioni componenti:
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CENNI DI LOGICA MATEMATICA
Negazione:
p :p
V F
F V
cioe: :p e vera se p e falsa, mentre e falsa se p e vera.
Congiunzione:
p q p^q
V V V
V F F
F V F
F F F
cioe: p ^ q e vera se p e q sono entrambe vere altrimenti e falsa.
Disgiunzione:
p q p_q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
cioe: p _ q e vera se almeno una tra p e q e vera altrimenti e falsa.
Implicazione:
p q p)q
V V V
V F F
F V V
F F V
cioe: p ) q e vera se p e vera e q e vera, oppure se p e falsa (indipendentemente dal
fatto che q sia vera o falsa). Altrimenti e falsa.
Doppia implicazione:
p q p,q
V V V
V F F
F V F
F F V
cioe: p , q e vera se p e q hanno lo stesso valore logico altrimenti e falsa.
Le precedenti tavole di verita deniscono i connettivi logici presentati in modo non
dissimile dal signicato che solitamente si attribuisce ad essi col comune buon senso.
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E' di grande importanza, per comprendere cosa sia un sistema IPOTETICODEDUTTIVO (vedi oltre), esaminare a fondo la tavola di verita dell'implicazione
()).
Prendiamo le proposizioni:p
"Gli asini volano" ) " 2 > 43 "
"C
p e una circonferenza di raggio 3" ) "La lunghezza di C e 6 "
" 2 > 32 " ) "Gli asini volano".
p
La prima e vera perche "Gli pasini volano" e falsa (si noti che " 2 > 34 e vera).
La terza e pure vera perche " 2 > 32 " e falsa (si noti che "Gli asini volano" e falsa).
Inne, la seconda e vera perche se la proposizione " C e una circonferenza di raggio
3" e vera, allora (come e noto) e vero che "la lunghezza di C e 6". Naturalmente,
non siamo in grado di stabilire se la proposizione "C e una circonferenza di raggio 3"
sia vera o falsa se, prima, non deniamo C .
Quindi aermare che l'implicazione p ) q e vera signica che p e falsa oppure q e
vera.
2. Un po di nomenclatura.
Consideriamo ancora l'implicazione p ) q.
La proposizione p si chiama IPOTESI, mentre la proposizione q si chiama TESI.
Rivediamo la tavola di verita dell'implicazione:
Implicazione:
p q p)q
V V V
V F F
F V V
F F V
Essa e vera nei casi indicati nella prima, terza e quarta riga.
Di questi casi, solo uno (prima riga) corrisponde a p vera.
Cio si esprime dicendo che Condizione NECESSARIA anche p sia vera e che q
sia vera.
D'altra parte, se tra i casi in cui l'implicazione e vera prendiamo quelli in cui q e
vera, ci accorgiamo che questi sono due (prima e terza riga). Nella prima p e vera,
mentre nella terza p e falsa.
Cio si esprime dicendo che Condizione SUFFICIENTE anche q sia vera e che p
sia vera.
Sia p ) q e una implicazione.
L'implicazione (:q) ) (:p) si chiama CONTRONOMINALE.
L'implicazione q ) p si chiama INVERSA.
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Non bisogna mai confondere una implicazione con la sua inversa. Ad esempio:
"Luigi non studia l'Analisi Matematica" ) "Luigi non si laurea in Ingegneria"
(V).
e la sua inversa:
"Luigi non si laurea in Ingegneria" ) "Luigi non studia l'Analisi Matematica" (F).
Se poi consideriamo la contronominale della prima, otteniamo:
"Luigi si laurea in Ingegneria" ) "Luigi studia l'Analisi Matematica" (V),
che puo essere cosi' riletta:
Condizione necessaria anche Luigi si laurei in Ingegneria e che Luigi studi l'Analisi
Matematica.
Per esercizio rileggere in termini di condizione suciente la prima implicazione.
3. Tautologie. Regole di deduzione.
Consideriamo una proposizione, per esempio l'implicazione p ) q. Riuscire ad
attribuire a essa il valore logico vero signica DIMOSTRARE la proposizione per
fare questo occorre di solito un ragionamento.
Diremo che una proposizione P (p q), ottenuta dalle proposizioni p e q mediante
i connettivi logici, e una TAUTOLOGIA se P (p q) e vera, indipendentemente dal
valore di verita di p e q.
Attraverso le tautologie e possibile costruire le REGOLE DI DEDUZIONE, cioe
regole che precisano il corretto modo di ragionare.
Ad esempio:
1) (p ) q) , ((:q) ) (:p)) e una tautologia.
Infatti:
p q (p ) q) , ((:q) ) (:p))
V V
V
V F
V
F V
V
F F
V
Su di essa si basa la regola di deduzione, detta RAGIONAMENTO INDIRETTO
(o CONTRONOMINALE): dimostrare p ) q equivale a dimostrare (:q) ) (:p),
cioe, a parole, che la negazione della tesi implica la negazione dell'ipotesi.
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2) Sia f una proposizione falsa.
(p ) q) , ((p ^ (:q)) ) f ) e una tautologia.
Infatti:
p q (p ) q) , ((p ^ (:q)) ) f )
V V
V
V F
V
F V
V
F F
V
Su di essa si basa la regola di deduzione, detta RAGIONAMENTO PER ASSURDO: dimostrare p ) q equivale a dimostrare (p ^ (:q)) ) assurdo, cioe, a
parole, che l'ipotesi e la negazione della tesi implicano un assurdo.
N.B. A volte anche il ragionamento indiretto viene chiamato ragionamento per
assurdo.
Per esercizio, si dimostri che le seguenti proposizioni sono tautologie:
(p ^ (p ) q)) ) q (Modus ponens)
p _ (:p) (Principio del terzo escluso)
((p ) q) ^ (q ) r)) ) (p ) r) (Sillogismo ipotetico)
:(p ^ (:p)) (Principio di non contraddizione)
(:(p ^ q)) , ((:p) _ (:q)) (Regola di De Morgan)
(:(p _ q)) , ((:p) ^ (:q)) (Regola di De Morgan)
(:(p ) q)) , (p ^ (:q))
(p ) q) , ((:p) _ q).
4. Predicati. Quantificatore universale. Quantificatore
Esistenziale.
Le proposizioni non sono, da sole, sucienti ai nostri scopi.
Occorre considerare i cosiddetti PREDICATI, cioe proposizioni in cui intervengono
una o piu variabili.
Per esempio sono predicati:
"x e una circonferenza di raggio 3"
"x + y = 0".
Quando in un predicato si ssano tutte le variabili, si ottiene una proposizione.
Ad esempio dal predicato "x + y = 0", si ottiene la proposizione "2 + (;2) = 0".
Le variabili di un predicato si possono ssare utilizzando i seguenti simboli, detti
QUANTIFICATORI:
8 (che si legge "per ogni") si chiama QUANTIFICATORE UNIVERSALE
9 (che si legge "esiste (almeno un)") si chiama QUANTIFICATORE ESISTENZIALE.
Qualora si voglia indicare "esiste uno ed un solo" si usa il simbolo 9!.
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I predicati possono essere tra loro composti, mediante l'uso dei connettivi logici,
dei quanticatori, del simbolo :, che si legge "tale che".
Nel costruire predicati composti, occorre prestare grande attenzione all'ordine con
cui i quanticatori e i connettivi vengono utilizzati, perche da detto ordine dipende
il signicato del predicato che ne risulta.
Ad esempio, supponiamo di indicare con la variabile x un veicolo a motore, con la
variabile y un carburante e con p(x y) il predicato "il veicolo x utilizza il carburante
y". Consideriamo i predicati che seguono:
8 x 9 y : p(x y ) signica "per ogni veicolo x esiste un carburante y tale che x
utilizza y.
9 x : 8 y p(x y ) signica "esiste un veicolo x tale che per ogni carburante y x
utilizza y.
9 y : 8 x p(x y ) signica "esiste un carburante y tale che per ogni veicolo x x
utilizza y.
I precedenti predicati hanno signicato diverso l'uno dall'altro.
5. Sistemi assiomatici o ipotetici-deduttivi
Un SISTEMA ASSIOMATICO (o SISTEMA IPOTETICO-DEDUTTIVO) e un insieme di CONCETTI PRIMITIVI (cioe di enti dei quali non si da alcuna denizione)
e di POSTULATI (cioe di predicati, le cui variabili sono i concetti primitivi, a ciascuno dei quali si attribuisce ARBITRARIAMENTE il valore logico vero). Studiare
una disciplina sotto forma di sistema assiomatico, signica individuare le proposizioni
deducibili dal sistema assiomatico stesso, attraverso le regole di deduzione.
Per esporre correttamente, sotto forma di sistema assiomatico, una disciplina il
sistema assiomatico deve risultare in particolare COERENTE, cioe non deve esistere
tra le sue conseguenze una proposizione e, contemporaneamente, la sua negazione. Lo
studio della coerenza di un sistema assiomatico puo presentare notevoli dicolta ed
e, in ultima analisi, legato alla costruzione di uno o piu modelli concreti del sistema
assiomatico stesso, la cui reale esistenza assicuri coerenza esso esula dai nostri scopi.