Il calcolo proposizionale

Il calcolo proposizionale
Le formalizzazioni precedenti del sillogismo aristotelico e del ragionamento per assurdo
ci inducono a costruire un metodo di analisi sufficiente a verificare la verità o meno di
quelle argomentazioni che possono essere suddivise in proposizioni logicamente
valide, le quali possano assumere in modo assolutamente deterministico valore vero (V)
o falso (F). Ad esempio posso formalizzare “se la terra vola allora la terra è alata” in
AB, benché l’esempio reale sia piuttosto balzano! Questo fatto, che la proposizione è
un lektòn, cioè una mera espressione verbale, un espediente sintattico che non trova
corrispondenza nella realtà, è uno dei risultati a noi pervenuto dalla dottrina degli Stoici.
Gli esempi quindi vanno presi per quello che sono: esempi del “comportamento” delle
proposizioni, non della realtà.
Ma come possiamo tradurre le argomentazioni, costituite da proposizioni logicamente
valide connesse tra loro, in un metalinguaggio proprio della logica? E come traduciamo
tali connessioni, proprie del linguaggio comune? Qual è, insomma, la sintassi della
logica? E’ possibile verificare la verità o meno delle argomentazioni al variare dei
valori (V o F) assunti dalle singole proposizioni che la compongono tramite uno
specifico calcolo?…
Dobbiamo ora tradurre le connessioni sintattiche del linguaggio comune nei
corrispondenti connettivi logici, come già è in parte avvenuto negli esempi esposti:
l’intersezione () e l’implicazione (), viste nel sillogismo aristotelico e nel
ragionamento per assurdo, nonché la negazione () e l’unione ().
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L’intersezione logica
Cosa succede a due proposizioni A e B, unite da un’intersezione: AB? Costruiamo
una tabella aiutandoci con un diagramma di Venn ove la parte al centro rappresenta
l’intersezione tra A e B: AB.
A
B
La tabella, che seguirà, si commenta da sola se si guarda il grafico e
contemporaneamente si pensa all’intersezione come alla presenza simultanea o meno di
due realtà: se (e solo in questo caso) esse sono entrambe vere allora hanno una verità
che le accomuna, altrimenti basta che una delle due è falsa per essere falsa
l’intersezione, cioè la realtà comune. Facciamo un esempio: “piove e tira vento”. Se non
piove o/e se non c’è vento la frase è falsa.
Osservazione: la particella “e” nella sintassi italiana è il corrispondente del connettivo
“” (intersezione logica).
A
B
AB
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
L’unione logica
Quando nel linguaggio comune diciamo “Tatiana non esce da casa se piove o fa freddo”
il presupposto “piove o fa freddo” è sicuramente da intendersi come unione di due
realtà: se piove, o se fa freddo o addirittura se piove e fa freddo Tatiana non esce.
Quindi l’unione logica altro non è che l’unione di questi tre casi, cosa che può essere
ben rappresentata dal seguente grafico.
A
B
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Da ciò detto discende che l’unica possibilità che ha l’unione AB per essere falsa è che
sia A che B siano false. La tabella seguente è quindi interpretabile.
A
B
AB
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
La negazione logica
E’ questo forse il connettivo da trattare, sia perché si può riferire ad una sola realtà, sia
perché per il principio di non contraddizione una realtà A o è vera o è vera la sua
negazione A. In altre parole la verità è “dentro” o “fuori” di A, come il diagramma
illustra (il parallelogramma rappresenta il piano di tutte le verità possibili).
A
A
A
A
V
F
F
V
L’implicazione logica
Per rappresentare l’implicazione, cioè il rapporto di causa-effetto tra due proposizioni A
e B, verrebbe da pensare ad un diagramma del tipo seguente.
B
A
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Infatti potrei pensare che una realtà A contiene un’altra realtà B, per cui se A è vera
anche B lo è, in quanto contenuta in A (in simboli: VV). Ciò è vero se si pensa al fatto
che A rappresenta l’ipotesi e B la tesi in un rapporto di causa-effetto che Wittgenstein
definì tautologia, cioè la tesi è solo una derivazione, quindi un “aspetto” particolare,
dell’ipotesi (si ritorni alla definizione di pag.3). Eppure gli stessi Stoici convenivano che
una frase costituita da un’implicazione tra una proposizione (ipotesi) falsa e una vera
(tesi) non è logicamente non valida, quindi per il principio di non contraddizione deve
essere necessariamente valida! Ad esempio la frase “se la terra vola, la terra esiste” è
piuttosto idiota rispetto al buon senso comune, ma non rispetto alla logica formale. E
qui la spiegazione con esempi pratici non è affatto delle più semplici… Ne discende che
le implicazioni del tipo FV sono necessariamente vere. Le restanti possibilità sono:
VF e FF. La prima è sicuramente falsa: altrimenti qualsiasi idiozia potrebbe essere
l’effetto di un’ipotesi fondata. La seconda è vera poiché è normale aspettarsi una tesi
falsa da un’ipotesi altrettanto falsa.
A
B
AB
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Esercizio: verificare con le tabelle di verità una tautologia seguente, ereditata dagli
Stoici:
((AB)A)B
Ad esempio “se Pinco Pallino è stato assassinato, allora è morto (AB); ma (A) è
stato assassinato, quindi è morto (B)”.
Proviamo a verificare nel primo caso dei seguenti casi possibili.
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((A

V
A
B
frase
V
V
?
V
F
?
F
V
?
F
F
?
B)

V
V
A)

B
V
V
V
V
V
V
V
La linea tratteggiata divide il primo membro dell’implicazione (la causa, l’ipotesi) dal
secondo (l’effetto, la tesi) proprio come in un’equazione del calcolo algebrico.
Provate ora voi a dimostrare gli altri casi e vedrete che sono tutti ”V”, cioè questa
argomentazione è in effetti una tautologia!
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