Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Insegnamento di Analisi Matematica I - prof. Maurizio Verri Appunti di lezione (A) 1 Un po’di Logica 1.1 Che cos’è la Logica Ogni teoria matematica ha una struttura ipotetico-deduttiva: si assumono alcune premesse e se ne traggono, mediante ragionamento, certe conseguenze. La Logica Matematica studia le regole formali che governano tale struttura. Lo scopo di questi appunti è semplicemente quello di descrivere operativamente alcune di queste regole a¢ nché lo studente eviti banali errori di impostazione o di ragionamento nell’a¤rontare questioni matematiche (come si formula correttamente la negazione di un dato enunciato? Come si riconosce l’equivalenza di due enunciati? Ecc.) e impari ad eliminare le ambiguità del linguaggio comune (gli enunciati matematici hanno una “validità universale” e perciò devono essere espressi con precisione e proprietà di linguaggio). Come esempli…cazione, consideriamo il seguente enunciato di Geometria: Per tre punti di un piano si può condurre una circonferenza. Nel linguaggio comune la parola “un”ha varie interpretazioni: “almeno un”, “esattamente un”, “un arbitrario”. Nel nostro caso la locuzione “un piano” signi…ca evidentemente “un arbitrario (ma …ssato) piano”; invece, dicendo “una circonferenza”si esclude evidentemente il terzo signi…cato a favore del primo o, se si assumesse in più che i tre punti (non meglio speci…cati nell’enunciato) siano distinti e non allineati, del secondo. Per quanto riguarda il verbo “si può”, va detto che esso non esprime né un dilemma (condurre o non condurre?) né un’opzione (non è vietato...), bensì ha il signi…cato di “esiste 0 Aggiornamento: 19 settembre 2018 M. Verri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 2 (almeno) una circonferenza...”. In…ne “condurre una circonferenza” è un’espressione matematicamente non ben precisata: meglio usare una locuzione di tipo insiemistico come “la circonferenza contiene i tre punti” oppure “i tre punti appartengono alla circonferenza”. In conclusione, il precedente enunciato andrebbe così formalizzato: Fissato un arbitrario piano , per ogni terna di punti x; y; z di , distinti e non allineati, esiste un’unica circonferenza C tale che x; y; z appartengano a C. Ex. Formalizzare l’enunciato nel caso in cui i tre punti del piano siano qualsiasi (cioè non necessariamente distinti ed eventualmente allineati). 1.2 Calcolo delle proposizioni In matematica una proposizione è una a¤ermazione alla quale si può attribuire un valore di verità: vero o falso. p Esempio. “ 2 è un numero reale” è una proposizione (vera); “2 > 3” è una proposizione (falsa); “ è un numero simpatico” non è una proposizione. Le proposizioni vengono genericamente indicate con lettere minuscole come p; q; r; ::: e su di esse è possibile operare mediante i cosiddetti connettivi, ottenendo come risultato nuove proposizioni. p, 1. La negazione della proposizione p (denotata con p oppure con da leggersi “negazione di p”o in breve “non p”) è la proposizione il cui contenuto è il contrario di quello espresso da p, e quindi p è falsa se p è vera e viceversa. 2. La congiunzione di p e q (denotata con p ^ q oppure con p e q, da leggersi appunto “p e q”) è la proposizione che a¤erma il veri…carsi di entrambe le proposizioni p e q, e quindi risulta vera solo nel caso in cui entrambe p e q siano vere. 3. La disgiunzione di p e q (denotata con p _ q oppure con p o q, da leggersi appunto “p o q”) è la proposizione che a¤erma il veri…carsi di almeno una delle proposizioni p e q, e quindi risulta falsa solo nel caso in cui entrambe p e q siano false. Si noti che la disgiunzione va intesa sempre in senso debole (come il vel latino), cioè non si esclude il contemporaneo veri…carsi di entrambe le proposizioni disgiunte. M. Verri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 3 4. L’implicazione di p e q (denotata con p ) q, da leggersi “p implica q”) è la proposizione che esprime la deduzione (“se ..., allora ...”) e risulta falsa solo se p è vera e q è falsa. È importante notare che il dire che l’implicazione p ) q è vera non signi…ca anche dire che q sia vera: questa conclusione si ha nel caso in cui p sia vera, mentre se p è falsa non si può dedurre in generale se q sia vera o falsa. 5. La coimplicazione di p e q (denotata con p , q, da leggersi “p coimplica q”) è la proposizione che esprime l’equivalenza logica di p e q e risulta vera solo se p e q sono entrambe vere o entrambe false. È comodo riassumere le regole precedenti in tabelle dette tavole di verità (V= Vero; F= Falso): p p V F F V p q V V F V V F F F p^q V F F F p_q V V V F p)q V V F V p,q V F F V p Esempio. p := \2 > 3” è falsa; q := \ 2 è un numero reale” è vera; p = \2 3”è vera; p _ q è vera; p ^ q è falsa. Esempio. Siano x ed y numeri reali. Da xy = 0 si deduce che è x = 0 oppure y = 0 (legge di annullamento del prodotto), cioè l’implicazione p := \xy = 0 ) (x = 0 _ y = 0)”è vera. Esempio. Siano p := \2 > 3” (falso) e q := \5 > 6” (falso). L’implicazione p ) q è però vera, come si vede subito sommando 3 ad ambo i membri della diseguaglianza che de…nisce p. Esempio. Sia T un dato triangolo, p := \T è equilatero” e q := \T è isoscele”. Allora p ) q è vera. Cosa si conclude? Se in un problema capitasse di dover considerare un certo triangolo T si presenterebbero due casi: tale triangolo è equilatero (p vera) e allora dalla verità di p ) q si deduce che anche q è vera, cioè che T è isoscele, oppure il triangolo considerato non è equilatero (p falsa), e allora la verità di M. Verri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 4 p ) q non permette di concludere né che T sia isoscele né che non lo sia.1 Esempio. Sia T un dato triangolo, p := \T è equilatero” e q := \T è equiangolo”. Allora p , q è vera. Ex. Veri…care che le seguenti coimplicazioni sono vere qualunque sia il valore di verità di p e q: p p^q p_q p)q p)q p,q , , , , , , p p_q p^q p_q q)p (p ) q) ^ (q ) p) (Una proposizione composta da proposizioni p; q; ::: e vera indipendentemente dal valore di verità di p; q; ::: è chiamata tautologia. Quindi p , p e tutte le altre coimplicazioni elencate sono tautologie.) 1.3 Proposizioni e circuiti Consideriamo un circuito elettrico in cui compaiono solo interruttori a due posizioni: chiuso (= passa corrente) oppure aperto (= non passa corrente). Se ad ogni interruttore associamo una proposizione con la convenzione che il passaggio di corrente equivale a “vero”, si può dare un’interpretazione circuitale ad ogni connettivo e ad ogni proposizione composta. Esempio. La congiunzione p ^ q equivale al collegamento in serie di due interruttori: p q Infatti in tale circuito passa corrente (p ^ q è vera) se e solo se i due interruttori sono entrambi chiusi (p e q sono entrambe vere). 1 Se Aldo a¤erma che “se piove (p) allora esco con l’ombrello (q)”, a rigor di logica si può concludere che: 1) quando davvero pioverà (p vero) egli prenderà l’ombrello (q vero); 2) quando non pioverà (p falso) egli potrebbe prendere l’ombrello (q vero) oppure no (q falso). Naturalmente, è probabile che uno sia portato invece a pensare che, se c’è il sole, Aldo uscirà senza ombrello, ma questa sarebbe una deduzione ... psicologica e non logica, accettabile nella “vita quotidiana” ma proibita in matematica. M. Verri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 5 Esempio. La disgiunzione p _ q equivale al collegamento in parallelo di due interruttori: p q Infatti in tale circuito non passa corrente (p _ q è falsa) se e solo se i due interruttori sono entrambi aperti (p e q sono entrambe false). Esempio. Il circuito in Figura: p p q q p_q p_q è equivalente al seguente e quindi esso equivale alla proposizione r data da r = (p _ q) ^ (p _ q) Per quali valori di verità di p e q la proposizione r è vera? Cioè: quando nel circuito passa corrente? Si vede subito che, se p è chiuso, allora p risulta aperto e nel circuito potrà passare corrente solo se anche q è chiuso: quindi r è vera se p è vera e q è falsa. Poiché, scambiando p con q, il circuito rimane invariato, r è vera anche nel caso in cui p è vera e q è falsa. Alla stessa conclusione si perviene anche costruendo la tavola di verità di r: p V F V F q V V F F p q p_q F F V V F V F V V V V F p_q F V V V r F V V F Ex. Disegnare il circuito equivalente all’implicazione p ) q. M. Verri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 6 Ex. Il connettivo __ di disgiunzione forte (o esclusiva, corrispondente all’aut latino) è de…nito dalla tavola di verità p q V V F V V F F F p __ q F V V F cioè: p __ q (da leggersi “p aut q” o anche “o p oppure q”) è vera nel caso in cui una delle due proposizioni sia vera e l’altra falsa, e falsa se entrambe sono vere oppure entrambe sono false. Provare la tautologia p __ q , (p ^ q) _ (p ^ q) e quindi disegnare il circuito equivalente a p __ q. Ex. Determinare la condizione di passaggio della corrente attraverso il circuito p q r p e veri…carla costruendo la corrispondente tavola di verità. 1.4 Calcolo dei predicati; principio di induzione Per predicato si intende un’a¤ermazione che dipende da uno o più argomenti variabili (denotati genericamente con lettere come x; y; z; :::). Un predicato non è in generale né vero né falso; se però gli argomenti vengono tutti …ssati il predicato diventa una proposizione (vera o falsa). Esempio. Sono predicati i seguenti: p (x) :=“x è un numero reale positivo”; q (x; y) :=“x e y sono angoli complementari”. Si ha, ad esempio: p (1) vero; p ( 1) falso; q (60 ; 30 ) vero; q (60 ; y) non è né vero né falso perché è ancora un predicato. Un argomento di un predicato può essere anche …ssato applicando ad esso un quanti…catore. I principali quanti…catori sono due: 1. il quanti…catore di esistenza 9 (la scrittura 9x si legge “esiste almeno un x tale che ...”); M. Verri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 7 2. il quanti…catore universale 8 (la scrittura 8x si legge “per ogni x …ssato ...”). Un argomento “quanti…cato”non è più variabile e quindi un predicato diventa una proposizione (vera o falsa) anche applicando ad esso tanti quanti…catori quanti sono i suoi argomenti. Esempio. Riprendiamo l’esempio precedente. Allora “9x p (x)” è una proposizione vera (“c’è almeno un numero reale positivo”); “8x p (x)” è una proposizione falsa (“ogni numero reale è positivo”); “8x 9y q (x; y)” è una proposizione vera (“ogni angolo ammette un complementare”); “8x 8y q (x; y)” è una proposizione falsa (“presi comunque due angoli essi sono sempre complementari”). Ex. Interpretare “9x 9y q (x; y)”e “9x 8y q (x; y)”. Nel calcolo dei predicati sono importanti le regole di negazione: 8x p (x) 9x p (x) equivale a equivale a 9x p (x) 8x p (x) 8x 9y q (x; y) ::::: equivale a equivale a 9x 8y q (x; y) ::::: Come applicazione di tali regole, supponiamo di voler dimostrare che una proposizione del tipo q := “8x p (x)” è falsa. Si può equivalentemente provare che q := “8x p (x)” = “9x p (x)” è vera. In altri termini, per falsi…care “8x p (x)”si può ricorrere a un controesempio, cioè esibire un particolare x che veri…ca p (x). Esempio. L’enunciato “ogni poligono (8x) è regolare (p (x))” è falso. Per provarlo basta trovare un poligono (9x) non regolare (p (x)), ad esempio un rettangolo con base doppia dell’altezza. Ex. Si vuole provare che r := “8x p (x) ) q (x)” è falsa. In questo caso il controesempio è un particolare x tale che ... (completare la frase, giusti…candola). Osservazione. Spesso in matematica, come nel linguaggio comune, si incontrano locuzioni del tipo “(non esiste) nessun x (che) veri…ca la proprietà p (x)”oppure “(esiste) un unico x (che) veri…ca la proprietà p (x)”. Tali M. Verri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 8 enunciati vengono formalizzati mediante il quanti…catore di non esistenza @ e il quanti…catore di esistenza e unicità 9! . Tuttavia tali quanti…catori sono esprimibili in termini di 8 ed 9: infatti @x p (x) 9!x p (x) signi…ca signi…ca 8x p (x) 9x 8y (p (y) , y = x) Ad esempio, la proposizione (vera) “non ci sono cani (@x) che hanno 5 zampe (p (x))”signi…ca “tutti i cani (8x) non hanno 5 zampe (p (x))”. Ex. Negare 9!x p (x) signi…ca che ... Concludiamo enunciando il principio di induzione, usato in matematica per dimostrare che la proposizione “8n p (n)”, dove n è un intero naturale qualsiasi2 , è vera: Se p (0) è vera e l’implicazione “8n p (n) ) p (n + 1)” è vera, allora la proposizione “8n p (n)”è vera. Infatti, essendo p (0) e p (0) ) p (1) entrambe vere, si deduce che p (1) è vera; a sua volta, essendo p (1) e p (1) ) p (2) entrambe vere, si deduce che p (2) è vera, e così via. Esempio. Veri…chiamo che per ogni intero positivo n vale la formula n X 1 k = 1 + 2 + ::: + n = n (n + 1) 2 k=1 P Qui si ha n 1 e p (n) := \ nk=1 k = n (n + 1) =2”. Si controlla subito che p (1) è vera; per mostrareP che l’implicazione p (n) ) pP (n + 1) è n vera occorre veri…care che da k=1 k = n (n + 1) =2 segue n+1 k=1 k = (n + 1) (n + 2) =2. Infatti n+1 X k = k=1 = n X n ip 1 k + (n + 1) = n (n + 1) + (n + 1) = (n + 1) +1 2 2 k=1 1 (n + 1) (n + 2) 2 ip ove nel passaggio denotato con = si è usata l’ipotesi di induzione, cioè p (n). Per il principio di induzione si conclude che la formula p (n) è vera per tutti gli interi positivi. 2 Più in generale n può essere un intero maggiore o uguale a un determinato intero n0 . M. Verri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 9 Ex. Dimostrare per induzione che il numero di sottoinsiemi di un insieme non vuoto di n elementi (n 1) è 2n . Ex. Dimostrare per induzione la formula della progressione geometrica: n X 1 xn+1 xk = 1 + x + x2 + ::: + xn = 1 x k=0 dove n è un intero naturale e x è un numero (reale o complesso), diverso da 1, detto la ragione della progressione. Ex. Dimostrare per induzione la formula del binomio3 (o formula di Newton): n X n k n k (a + b)n = a b k k=0 dove n è un intero naturale e a, b sono due numeri (reali o complessi) qualsiasi. 1.5 Teoremi; dimostrazioni Nelle sue versioni più semplici un teorema di matematica è schematizzabile con l’implicazione p ) q, essendo p l’ipotesi e q la tesi. Nel linguaggio corrente tale implicazione viene espressa in uno dei seguenti modi: “p è condizione su¢ ciente per q”oppure “q è condizione necessaria per p” oppure “vale q se vale p”oppure “vale p solo se vale q”. La coppia di teoremi p ) q e q ) p viene schematizzata dalla coimplicazione p , q che si legge “p è condizione necessaria e su¢ ciente per q”oppure “vale p se e solo se vale q”. La dimostrazione del teorema p ) q è il ragionamento con cui si mostra che tale implicazione è vera. In particolare si parla di dimostrazione diretta di p ) q se il ragionamento parte da p e arriva dopo passaggi logici a q, e di Il simbolo nk (da leggersi “n su k ”) è detto coe¢ ciente binomiale. Esso è de…nito dalla formula (valida per n = 0; 1; 2; ::: e k = 0; 1; 2; :::; n) 3 n k := n! k! (n k)! A sua volta, il simbolo n! (da leggersi “fattoriale di n”) rappresenta il prodotto di tutti gli interi positivi …no ad n compreso, cioè n! := 1 2 ::: n con la convenzione 0! = 1. Ad esempio, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, ecc. M. Verri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 10 dimostrazione per assurdo di p ) q se si procede invece secondo uno dei seguenti schemi: 1. si fa la dimostrazione diretta di q ) p (si ricordi l’equivalenza delle due implicazioni p ) q e q ) p); 2. si fa la dimostrazione diretta di p^q ) s dove s è un’altra proposizione che si constata essere falsa. In tal caso, infatti, dalla tavola di verità dell’implicazione segue che p ^ q deve essere per forza falsa, quindi che p ^ q è vera. Ma p ^ q equivale a p _ q, che a sua volta equivale a p _ q ovvero a p ) q, e dunque si conclude che l’implicazione p ) q è vera. 3. si fa la dimostrazione diretta di p ^ q ) p. Infatti, se p ^ q fosse vera (il che si veri…ca per p vera e q falsa), allora dalla tavola di verità dell’implicazione seguirebbe che p sarebbe vera, assurdo (p non può essere contemporaneamente vera e falsa). Pertanto p ^ q è necessariamente falsa e si conclude che l’implicazione p ) q è vera ragionando come nel punto 2. Osservazione. Considerazioni analoghe alle precedenti valgono per i teoremi che si presentano nella forma 8x p (x) ) q (x) o varianti. Allora p (x) è l’ipotesi, ecc. Esempio. Il teorema “Il quadrato di un numero pari è ancora un numero pari” si può così formalizzare: 8x p (x) ) q (x), avendo indicato con x un intero e posto p (x) := \x è pari”, q (x) := \x2 è pari”. Ex. Dare una dimostrazione diretta del teorema precedente. p Esempio. Ricordiamo che il simbolo 2 indica quel “numero”positivo x il cui quadrato è 2 e che tale x è razionale se esistono due numeri interi p m positivi m ed n primi fra loro e tali che x = . Allora il teorema “ 2 è n un numero irrazionale” si può così formalizzare: 8m 8n p (m; n) ) q (m; n), avendo indicato con m ed n due interi positivi e avendo posto m2 p (m; n) := “m ed n sono primi tra loro”, q (m; n) := \ 2 6= 2”. n Questo teorema si dimostra per assurdo seguendo lo schema 3, cioè si fa una dimostrazione diretta di 8m 8n p (m; n)^q (m; n) ) p (m; n) m2 (a parole: se 2 = 2, allora gli interi positivi m ed n non sono primi n M. Verri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 11 fra loro): q (m; n) m2 =2 n2 m2 = 2n2 m2 è pari m è pari , cioè m = 2h per qualche intero positivo h (2h)2 = 2n2 2h2 = n2 n2 è pari n è pari ) p (m; n) Infatti m ed n entrambi pari implica p (m; n) perché due numeri pari non possono essere primi fra loro. 2 2.1 Richiami di insiemistica Che cos’è un insieme; appartenenza; uguaglianza In matematica un insieme è una collezione di elementi di un dato “Universo” di oggetti per i quali esiste un criterio atto a stabilire se un elemento dell’Universo appartenga oppure non appartenga a tale collezione. Esempio. La “collezione dei numeri reali positivi” è un insieme (nell’Universo dei numeri reali), mentre la “collezione dei numeri reali grandi” non lo è. Gli insiemi vengono genericamente indicati con lettere maiuscole (come A; B; :::) e gli elementi che li compongono con lettere minuscole (come a; b; x; :::). Tuttavia certi insiemi (soprattutto di numeri o di funzioni) sono indicati con simboli speciali. Ad esempio gli insiemi numerici sono sempre indicati con le seguenti lettere: N Z Q R C := := := := := numeri numeri numeri numeri numeri interi naturali interi relativi razionali reali complessi M. Verri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 12 Inoltre è comodo de…nire l’insieme privo di elementi o insieme vuoto, rappresentato dal simbolo ?. Per signi…care che l’elemento x appartiene oppure non appartiene all’insieme A si usano il simbolo di appartenza 2 o, rispettivamente, il simbolo di non appartenza 2, = e si scrive x2A (leggasi: “x appartiene ad A”oppure “x è un elemento di A”) x2 =A (leggasi: “x non appartiene ad A”oppure “x non è un elemento di A”) p Così, ad es., 2 2 N mentre 2 2 = N. Per quanto detto, si considera che due insiemi A e B siano uguali se e solo se ogni elemento dell’uno è anche elemento dell’altro, cioè A=B signi…ca 8x x 2 A , x 2 B Ex. Dire cosa signi…ca A 6= B. Un insieme A che contenga almeno un elemento (cioè A 6= ?) si dice non vuoto. Un insieme può essere concretamente descritto elencando in parentesi gra¤e tutti i suoi elementi A := fa; b; c; :::g (“A è costituito dagli elementi a; b; c; :::”) oppure caratterizzando tramite una proprietà i suoi elementi A := fx : p (x)g (“A è l’insieme degli elementi x che veri…cano la proprietà p (x)”). Nel caso dell’elencazione va osservato che, poiché un elemento appartiene oppure non appartiene all’insieme, non conta l’ordine con cui si elencano gli elementi né un elemento può appartenere all’insieme più di una volta. Ad esempio si ha fa; b; cg = fa; c; bg = fa; b; c; ag Esempio. N := f0; 1; 2::::g N+ := f1; 2::::g Z := n f0; +1; 1; +2; 2; ::::g o m : m 2 Z; n 2 N+ Q := n M. Verri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 13 Esempio. Sono indicati con simboli speciali anche i seguenti insiemi di numeri reali: gli intervalli limitati (dove a 2 R; b 2 R e a < b) [a; b] := fx : x 2 R (a; b) := fx : x 2 R [a; b) := fx : x 2 R (a; b] := fx : x 2 R ^ ^ ^ ^ a x bg a < x < bg a x < bg a < x bg e gli intervalli non limitati (dove a 2 R e b 2 R) [a; +1) := fx : x 2 R (a; +1) := fx : x 2 R ( 1; b] := fx : x 2 R ( 1; b) := fx : x 2 R ^ ^ ^ ^ a xg a < xg x bg x < bg In particolare si pone R+ := (0; +1) R := ( 1; 0) 2.2 Inclusione Un sottoinsieme B di un dato insieme A è un insieme i cui elementi appartengono tutti ad A, e si scrive B (“B è sottoinsieme di A”oppure “B è incluso in A”) A oppure A (“A è soprainsieme di B”oppure “A include B”) B Quindi B signi…ca A 8x x 2 B ) x 2 A Se B A e B 6= A si dice che B è un sottoinsieme proprio di A e, per enfatizzarlo, si può scrivere B A oppure A A oppure A B o anche B 6= 6= B Le relazioni di appartenenza e di inclusione non vanno confuse: ad esempio si ha 2 2 N e f2g N, mentre le scritture f2g 2 N e 2 N non hanno senso. Esempio. Qualunque sia l’insieme A 6= ? si ha ? A. M. Verri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 14 Esempio (importante). Vale la catena di inclusioni (proprie) N Z Q R C Ex. Stabilire le relazioni di inclusione tra4 : A := fx 2 R : x2 > 0g ; B := fx 2 R : ln x > 0g ; C := fx 2 R : 1=x > 0g e D := fx 2 R : jxj = xg : Ex. Si può a¤ermare che, dati due insiemi A e B, vale sempre una delle tre relazioni A B oppure A = B oppure A B ? 2.3 Operazioni Sugli insiemi è possibile operare ottenendo come risultato nuovi insiemi. L’insieme unione di A e B (denotato con A [ B, da leggersi “A unione B”) è l’insieme i cui elementi appartengono ad almeno uno dei due insiemi; l’insieme intersezione di A e B (denotato con A \ B, “A intersezione B”) è l’insieme i cui elementi appartengono ad entrambi gli insiemi; l’insieme di¤erenza di A e B (denotato con A n B, “A meno B”) è l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B. In simboli A [ B := fx : x 2 A _ x 2 Bg A \ B := fx : x 2 A ^ x 2 Bg A n B := fx : x 2 A ^ x 2 = Bg Due insiemi A e B si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune (cioè se A \ B = ?). La di¤erenza di A e B viene anche detta l’insieme complementare di B rispetto ad A e indicata con il simbolo CA B: A n B =: CA B Il complementare di un insieme B rispetto all’Universo viene indicato semplicemente con CB o con B C ed è chiamato il complementare di B. Le operazioni di unione, intersezione e complementazione godono di importanti proprietà formali. Si vedano le tabelle in Pagani-Salsa, § 2.1 del Cap. 1. Ex. Sia A B. Calcolare A [ B; A \ B e A n B. Ex. Calcolare A [ ?; A \ ? e A n ? e ? n A. 4 Una scrittura del tipo x 2 R : x2 > 0 è una forma abbreviata della scrittura formalmente più corretta x : x 2 R ^ x2 > 0 . M. Verri - Analisi Matematica I - Appunti di lezione 15 L’insieme prodotto cartesiano di A e B (denotato con A B, da leggersi “A cartesiano B”) è l’insieme delle coppie ordinate di elementi di A e di B, cioè A B := f(x; y) : x 2 A ^ y 2 Bg Il fatto che gli elementi di A B siano coppie ordinate comporta che, in generale, gli insiemi A B e B A siano diversi. Esempio (importante). In Geometria Analitica l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali (detti rispettivamente ascissa e ordinata) R2 R R := f(x; y) : x 2 R ^ y 2 Rg è chiamato (o, più precisamente, identi…cato con il) piano cartesiano. Ex. Interpretare geometricamente nel piano cartesiano gli insiemi A = [1; 3] [2; 5], B = (0; +1) (0; +1), C = R [0; 1], D = [0; 1] R.
