Introduzione
Operazioni con le proposizioni
La congiunzione
La disgiunzione
Negazione di una proposizione
L’implicazione
La coimplicazione
Proprietà delle operazioni logiche
Tautologie
La logica opera con le proposizioni o enunciati, cioè tutte le frasi
che possono essere definite vere o false. Sono proposizioni le
seguenti frasi:
“7 è multiplo di 4” e “La Terra è un pianeta”
in quanto si può dire che la prima è falsa, mentre la seconda è
vera. Non sono invece proposizioni queste frasi:
“Domani pioverà” e “Luca verrà promosso”
perché non si può stabilire il loro valore di verità.
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Le proporzioni si possono unire tra di loro attraverso delle
operazioni che hanno come simboli i connettivi logici che, a
seconda del simbolo, si leggono
“e, o, se… allora, se e solo se,…”.
Per negare un enunciato si usa la locuzione “non” che viene
chiamata operatore di negazione e si indica con una linea sopra
alla proposizione da negare.
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La congiunzione di due proposizioni p e q è
uguale alla proposizione p Λ q che è vera
solo quando p e q sono
contemporaneamente vere e falsa in tutti gli
altri casi.
p q pΛq
V V
V
V F
F
F V
F
F F
F
Esempio:
p, q
p = “oggi è sabato” F
q = “2+2=4” V
pΛq = “oggi è sabato e 2+2=4” F
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La proposizione nata dalla disgiunzione di p
e q è quella proposizione che sarà falsa solo
quando sia p che q saranno false. In tutti gli
altri casi la proposizione sarà vera.
p q pVq
V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
Esempio:
p, q
p = “Lecce è una provincia” V
q = “la porta è aperta” F
pVq = “Lecce è una provincia o la porta è aperta” V
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Quando una proposizione vera viene negata,
esse diventa falsa, mentre se la
proposizione è falsa, diventerà vera.
p ¯p
V F
F V
Esempio:
p
p = “Il quadrato ho 4 lati” V
¯
p = “Il quadrato non ha 4 lati” F
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Connettendo due o più proposizioni tramite
la locuzione “se… allora”, cioè con
l’implicazione, otterremo una proposizione
che risulterà falsa solo nel caso che la prima
sia vera e la seconda falsa.
p q p→q
V V
V
V F
F
F V
V
F F
V
Esempio:
p, q
p = “Marco studia” V
q = “Marco è promosso” V
p → q = “Se Marco studia allora Marco è promosso” V
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Si definisce coimplicazione di p e q la
proposizione che è vera quando p e q hanno
lo stesso valore di verità e falsa negli altri
casi.
p q p↔q
V V
V
V F
F
F V
F
F F
V
Esempio:
p, q
p = “Il Po è una montagna” V
q = “7 è un numero primo” V
pVq = “Il Po è una montagna se e solo se 7 è un numero primo” V
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1) Proprietà commutativa della congiunzione e della disgiunzione:
pΛq=qΛp
pVq=qVp
2) Proprietà associativa della congiunzione e della disgiunzione:
(p Λ q) Λ r = p Λ (q Λ r)
(p V q) V r = p V (q V r)
3) Proprietà distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione:
(p Λ q) V r = (p Λ q) V (p Λ r)
4) Proprietà distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione:
(p V q) Λ r = (p V q) Λ (p V r)
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Se una formula enunciativa risulta vera in tutti i casi possibili viene
detta tautologia. Per indicare che una formula A è una tautologia si
scrive ╞ A. Quando una formula enunciativa è sempre falsa allora si
chiama contraddizione.
Esempio:
a
b
aΛb (aΛb) → a
a
a
¯
aΛa
¯
V V
V
V
V F
F
V F
F
V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
TAUTOLOGIA
V
CONTRADDZIONE
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Nei ragionamenti di matematica ci sono sempre delle affermazioni,
le premesse di cui si conosce già il valore di verità. Da queste
affermazioni se ne deduce una nuova, detta conclusione.
MODUS PONENS
MODUS TOLLENS
1ª premessa
a→b
2ª premessa
a
conclusione
b
1ª premessa
a→b
2ª premessa
¯
b
conclusione
¯
a
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