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18. Sistemi di equazione di grado superiore al primo
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Algebra - secondo anno
INDICE
CAPITOLO 12: CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità .......................... 3
12.2 Eventi .............................................................................. 4
12.3 Probabilità di un evento. Definizione classifica. ................ 6
12.4 Teoremi sulla probabilità .................................................. 7
12.5 Esempi ............................................................................ 8
12.6 Definizione frequentistica della probabilità ..................... 11
12.7 Definizione soggettiva della probabilità .......................... 12
12.8 Gioco equo ................................................................... 12
12.9 Possibili risposte al problema dell’aereo ........................ 13
… ESERCIZI ........................................................................ 15
CAPITOLO 13: IL PIANO CARTESIANO
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
13.8
13.9
13.10
13.11
13.12
13.13
I numeri reali ................................................................. 17
Rappresentazione dei numeri reali ............................... 18
Ascisse su una retta ..................................................... 19
Distanza fra due punti su una retta ............................... 20
Punto medio di un segmento su una retta ................... 21
Coordinate cartesiane di un punto nel piano ................ 22
Distanza fra due punti nel piano cartesiano .................. 25
Punto medio di un segmento nel piano cartesiano ...... 28
Baricentro di un triangolo ............................................. 32
Funzioni e loro rappresentazione grafica ...................... 34
Equazione di una retta parallela agli assi cartesiani ...... 37
Equazione delle bisettrici dei quadranti ........................ 41
Equazione di una generica retta passante per
l’origine degli assi ......................................................... 43
13.14 Equazione di una generica retta non passante
per l’origine degli assi ................................................... 52
13.15 Rette parallele .............................................................. 57
13.16 Rette perpendicolari ..................................................... 58
13.17 Equazioni: interpretazione grafica ................................. 61
… ESERCIZI ........................................................................ 64
CAPITOLO 14: I SISTEMI LINEARI
14.1 I sistemi ........................................................................ 89
14.2 Classificazione di un sistema lineare ............................. 91
14.3 Risoluzione di un sistema lineare: metodo grafico ........ 94
14.4 Metodo di sostituzione ................................................. 95
14.5 Metodo di confronto .................................................... 96
14.6 Metodo di riduzione ..................................................... 97
14.7 Metodo di Cramer ........................................................ 99
14.8 Sistemi frazionari ........................................................ 103
14.9 Sistemi letterali ........................................................... 105
14.10 Sistemi di tre equazioni con tre variabili ...................... 108
… ESERCIZI ...................................................................... 111
CAPITOLO 15: I RADICALI
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
2
I radicali ..................................................................... 123
I radicali aritmetici ...................................................... 124
Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici .......... 128
Potenza di un radicale aritmetico ............................... 129
Trasporto di un fattore esterno sotto il segno di
radice ......................................................................... 129
Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice in ............. 130
Radice di un radicale ................................................. 133
15.8 Radicali simili .............................................................. 133
15.9 Razionalizzazione del denominatore di una frazione ... 135
15.10 Radicali doppi ............................................................ 140
15.11 Radicali in R ............................................................... 143
15.12 Potenze ad esponente razionale................................. 144
… ESERCIZI ...................................................................... 150
CAPITOLO 16: LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
16.1
16.2
16.3
Equazioni di secondo grado e loro classificazione ..... 181
Risoluzione di un’equazione di secondo grado ........... 182
Relazione tra i coefficienti di una equazione di secondo
grado e le sue soluzioni ............................................. 190
16.4 Equazioni parametriche di secondo grado ................. 194
16.5 Equazioni e problemi .................................................. 196
16.6 Equazioni di grado superiore al secondo ................... 198
16.7 Equazioni binomie ...................................................... 199
16.8 Equazioni trinomie ...................................................... 202
16.9 Equazioni risolubili con particolari sostituzioni ............ 204
16.10 Equazioni reciproche .................................................. 206
16.11 Equazioni riconducibili ad equazioni di primo e secondo
grado mediante la scomposizione in fattori................. 211
… ESERCIZI ...................................................................... 214
CAPITOLO 17: LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
La funzione y = ax2 .................................................... 247
La funzione y = ax2 + bx + c ................................... 252
Equazioni di secondo grado in una variabile e parabola . 261
Disequazioni di secondo grado in una variabile
e parabola .................................................................. 262
17.5 Sistemi di disequazioni ............................................... 272
… ESERCIZI ...................................................................... 275
17.1
17.2
17.3
17.4
CAPITOLO 18: SISTEMI DI EQUAZIONI DI GRADO
SUPERIORE AL PRIMO
18.1
18.2
I sistemi di secondo grado.......................................... 289
Particolari sistemi di grado superiore al primo:
sistemi simmetrici ....................................................... 292
18.3 Interpretazione grafica di alcuni sistemi simmetrici .... 294
18.4 Particolari sistemi di grado superiore al secondo: sistemi
omogenei ................................................................... 296
18.5 Sistemi che si risolvono con artifici ............................. 298
… ESERCIZI ...................................................................... 301
CAPITOLO 19: EQUAZIONI IRRAZIONALI
19.1 Equazioni irrazionali..................................................... 309
19.2 Equazioni irrazionali contenenti un solo radicale.......... 310
19.3 Equazioni irrazionali contenenti solo due radicali ........ 313
19.4 Equazioni contenenti non solo due radicali ................ 314
… ESERCIZI ...................................................................... 316
CAPITOLO 20: EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CONTENENTI
VALORE ASSOLUTO
20.1 Equazioni contenenti valore assoluto .......................... 321
20.2 Disequazioni contenenti valore assoluto..................... 323
… ESERCIZI ...................................................................... 326
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12. Calcolo delle probabilità
CAPITOLO 12. CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
12.1 INTRODUZIONE AL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
UNA STORIA
D’AMORE
Luca abita a Lecco, Bianca a Brindisi. Lui è innamorato perso. Anche lei ama lui, ma, ultimamente, in modo più altalenante.
Per potersi incontrare, un fine settimana lui va a Brindisi, il successivo lei va a Lecco (dovrebbe andare perché, in realtà,
ogni volta sorge qualche difficoltà ….).
Questo fine settimana ad esempio, Bianca ha telefonato a Luca, dicendo che farà scegliere alla sorte ...
Lancerà una moneta e, se viene testa partirà, altrimenti non partirà.
Se partirà, lancerà un dado,
e, a seconda del numero che uscirà, prenderà il primo aereo, il secondo, ecc. dei 6
aerei che collegano Brindisi a Orio al Serio.
Lui da Lecco si è recato di buonora all’aeroporto di Orio al Serio e ha visto arrivare (invano!) i primi 5 aerei da Brindisi.
Lo lasciamo lì che attende, un po’ deluso e ansioso il sesto e ultimo aereo.
Ma ci chiediamo: qual è la probabilità che lei arrivi con il sesto aereo?
Sapete rispondere? Confrontatevi con i vostri tuoi compagni.
Siete arrivati tutti alla stessa risposta? Annota qui sotto le vostre conclusioni:
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Dopo aver affrontato questo capitolo, avrai gli strumenti per gestire in modo corretto il problema.
Il prossimo argomento ci tocca da vicino e forse usiamo già inconsapevolmente il calcolo della probabilità nella vita di
ogni giorno.
Se è probabile che oggi piova, prendo l’ombrello.
Se ho buone probabilità di trovare un importante reperto, continuo con gli scavi, altrimenti no.
Il calcolo delle probabilità trova applicazioni in archeologia, medicina, economia, fisica, chimica, scienze sociali.
Storicamente, si fa risalire la nascita del calcolo delle probabilità alla risoluzione del problema noto in letteratura come
“problema della divisione della posta in gioco” o “problema delle parti”.
La prima versione del problema delle parti che ci è nota è presente in un manoscritto di anonimo del 1400 circa.
La versione più famosa è quella di Luca Pacioli; tuttavia la prima soluzione completa del problema delle parti, arrivata fino
a noi, è contenuta nella lettera che Blaise Pascal scrisse a Pierre de Fermat il 29/07/1654.
L’interesse di Pascal per la materia era stato suscitato da Antoine Gombaud, cavaliere di Méré, professionista parigino del
gioco d’azzardo.
Gombaud stava giocando a ‘punti’ (gioco in cui, lanciando dadi, si vincevano punti e il giocatore che guadagnava un certo
numero di punti, vinceva dei soldi).
Un impegno urgente costrinse Gombaud e il suo compagno a interrompere la partita.
Si presentò così il problema di dividere il premio in denaro. La soluzione più semplice sarebbe stata quella di dare la posta
in gioco al giocatore in vantaggio.
Gombaud, non convinto, chiese a Pascal di trovare un modo più equo di dividere la somma, calcolando la probabilità di
3
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Algebra - secondo anno
vittoria di ciascun giocatore se il gioco fosse continuato.
Per cercare regole matematiche più precise rispetto a quelle del tempo, basate solo sull’intuizione e sull’esperienza nel
gioco d’azzardo, Pascal iniziò una fitta corrispondenza con Fermat.
Negli anni a seguire si svilupparono le conoscenze in questo campo in modo organico.
In queste pagine troverai le conoscenze di base di questa teoria relativamente moderna.
12.2 EVENTI
La signora Gertrude è una pendolare che ogni giorno utilizza il treno per recarsi al lavoro.
Spesso le accade di trovarsi nello stesso scompartimento con quattro ragazze che parlano per tutto il tempo.
Le quattro ragazze sono Anna, Carla, Sara e Maria, vicine di casa che frequentano scuole superiori diverse e che durante
il tragitto in treno si raccontano molte cose.
La signora Gertrude, con gli occhi chiusi, ascolta ed ogni volta si chiede se ciò che sente sia o non sia vero.
Ad esempio, ieri Anna diceva che presto andrà a Londra, Carla continuava a ripetere “uffa sono sul treno”, Sara diceva di
essere un fantasma e Maria raccontava di volersi comprare una sciarpa.
Nel Calcolo delle Probabilità, un qualunque avvenimento che può risultare vero o falso viene chiamato evento.
In generale, un evento viene indicato con la lettera E.
Ad esempio, sono eventi:
E1: Anna andrà a Londra
E2 : Carla è sul treno
E3 : Sara è un fantasma
E4 : Maria si comprerà una sciarpa
Ieri la signora Gertrude è scesa dal treno pensando “E2 è vero, E3 è falso, ma per quanto io mi sforzi non posso esprimere
il valore di verità di E1 e di E4”.
Gli eventi possono essere così classificati:
Completa la seguente tabella
Evento
nel lancio di un dado si ottiene un numero minore di 7
nel lancio di un dado si ottiene 4
nel lancio di un dado si ottiene un numero pari
nel lancio di un dado si ottiene 8
il treno è in orario
alla tombola viene estratto il numero 88
alla tombola viene estratto il numero 100
da un mazzo di 52 carte da gioco estraggo il Re di cuori
da un mazzo di 52 carte da gioco estraggo una carta di picche
Prima di procedere impariamo a conoscere altri termini usati in probabilità:
not E = E : evento negazione o evento contrario
Come già visto nel capitolo dedicato alla Logica delle Proposizioni, si ha:
• l’evento E è vero se E è falso
• l’evento E è falso se E è vero
4
certo
X
aleatorio
impossibile
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12. Calcolo delle probabilità
E1 and E2 = E1 E2: evento congiunzione o evento intersezione o prodotto logico
In analogia con quanto visto nel capitolo dedicato alla Logica, si ha:
• E1 and E2 è vero se entrambi gli eventi E1 ed E2 sono veri
E1 or E2 = E1 E2: evento disgiunzione o evento unione o somma logica
In analogia con quanto visto nel capitolo dedicato alla Logica, si ha:
• E1 or E2 è vero se almeno uno dei due eventi E1 ed E2 è vero
Si hanno, inoltre, le seguenti definizioni:
eventi compatibili
eventi che possono verificarsi contemporaneamente
eventi incompatibili
eventi che non possono verificarsi contemporaneamente perché il
verificarsi di uno di essi esclude il contemporaneo verificarsi dell’altro
eventi indipendenti
il verificarsi di uno degli eventi non dipende dal verificarsi dell’altro
eventi dipendenti
il verificarsi di uno degli eventi influenza il verificarsi dell’altro
OSSERVAZIONE
Gli eventi relativi ad un determinato fenomeno possono essere rappresentati mediante insiemi e le operazioni fra gli eventi
possono essere “viste” come operazioni fra insiemi.
In tale ottica, si associa ad ogni fenomeno un insieme U, detto universo o spazio dei campioni o ancora spazio degli eventi,
i cui elementi sono tutti i possibili valori assunti dal fenomeno.
I termini precedentemente introdotti possono, quindi, essere definiti in maniera “più vicina” alla terminologia insiemistica e
precisamente:
evento negazione (o contrario, o complementare) dell’evento E : l’evento E che si verifica se e solo se non si verifica E,
cioè E è il sottoinsieme complementare di E rispetto ad U;
prodotto logico (o intersezione) di due eventi E1 e E2: l’evento
che si verifica se si verificano entrambi gli
eventi E1, E2;
somma logica (o unione) di due eventi E1 e E2: l’evento
che si verifica quando si verifica almeno uno dei due
eventi E1, E2;
E1, E2 eventi compatibili:
;
E1, E2 eventi incompatibili:
.
Abbiamo a disposizione un dado ed un mazzo di 52 carte da gioco, consideriamo i seguenti eventi:
E1 : dal mazzo di carte estraggo una carta di fiori
E2 : dal mazzo di carte estraggo un Re
E3: dal mazzo di carte estraggo una carta di seme rosso
E4: lancio il dado ed ottengo 2
Osserviamo che:
• E1 , E2 :
eventi compatibili
(l’estrazione del Re di fiori verifica contemporaneamente entrambi gli eventi)
• E1 , E 3 :
eventi incompatibili
(nessuna delle carte del mazzo è una carta di fiori e di seme rosso)
eventi indipendenti
• E 1 , E4 :
(il lancio del dado e l’estrazione della carta dal mazzo non si influenzano).
Consideriamo, adesso, il seguente evento: “estrazione di una carta dal mazzo e, senza reimmissione, procedere ad un’altra
estrazione”. In questo caso:
• E1 , E2 :
eventi dipendenti
(il verificarsi di uno degli eventi influenza il verificarsi dell’altro: se alla prima estrazione ottengo una carta
di fiori alla seconda estrazione il mazzo contiene una carta in meno).
5
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Algebra - secondo anno
12.3 PROBABILITÀ DI UN EVENTO. DEFINIZIONE CLASSICA
Vogliamo poter in qualche modo misurare la possibilità che un evento si verifichi.
Consideriamo un esperimento aleatorio e sia n il numero dei suoi esiti tutti ugualmente possibili.
esperimento aleatorio
n numero dei possibili esiti
lancio di un dado
n= 6
lancio di due dadi
n = 36
estrazione di una carta da un mazzo di 52 carte da gioco
n = 52
estrazione di un numero della tombola
n = 90
Sia E un evento e sia f il numero di volte che esso si verifica, cioè il numero dei casi favorevoli:
evento E
f numero dei casi favorevoli
col lancio di un dado ottengo il numero 2
f=1
col lancio di un dado ottengo un numero pari
f=3
col lancio di un dado ottengo il numero 10
f=0
col lancio di due dadi ottengo due numeri che sommati danno 8
f=5
col lancio di due dadi ottengo due numeri che sommati danno meno di 100
f = 36
con l’estrazione di una carta da un mazzo di 52 carte da gioco ottengo un Re
f=4
con l’estrazione di un numero dalla tombola ottengo un numero dispari
f = 45
Possiamo dare, adesso, la definizione di probabilità. In realtà, esistono tre definizioni di probabilità:
a) definizione classica;
b) definizione frequentistica;
c) definizione soggettiva.
Definizione classica di probabilità.
Sia E un evento, la probabilità
ed il numero dei casi possibili.
che si verifichi l’evento E è data dal rapporto fra il numero di casi favorevoli
Indicando con f il numero di casi favorevoli e con n il numero di casi possibili, si ha:
.
Nella seguente tabella sono indicati alcuni esempi:
evento E
Con il lancio di un dado si ottiene il numero 2
Con il lancio di un dado si ottiene un numero pari
Con il lancio di un dado si ottiene il numero 10
Con il lancio di due dadi si ottengono due numeri tali che la loro somma sia 8
Con il lancio di due dadi si ottengono due numeri tali che la loro somma
sia un numero minore di 100
Con l’estrazione di una carta da un mazzo di 52 carte da gioco si ottiene un Re
Con l’estrazione di un numero della tombola si ottiene un numero dispari
6
p(E)
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12. Calcolo delle probabilità
LA SCELTA
Giovanni invita Tiziana a giocare e le presenta tre scatole uguali.
Giovanni: “Tiziana, una sola di questa scatole contiene un premio. Scegli una scatola e, se scegli quella giusta, il premio
sarà tuo.”
Tiziana: “Scelgo la scatola numero 3.”
A questo punto, Giovanni, che sa in quale scatola è contenuto il premio, apre la scatola numero 2 e la mostra a Tiziana: è
vuota!
Giovanni: “Tiziana, vuoi fare un cambio oppure vuoi aprire la scatola numero 3?”
Cosa è più conveniente per Tiziana?
Soluzione
Questo problema, in generale, è noto come problema di Monty Hall.
Per determinare la soluzione di questo gioco, ipotizziamo che le scatole 1 e 2 siano vuote e che il premio sia nella scatola 3.
Si possono presentare tre situazioni:
• il giocatore sceglie la scatola n° 1; il conduttore del gioco apre la scatola n° 2; cambiando la scatola il giocatore vince;
• il giocatore sceglie la scatola n° 2; il conduttore del gioco apre la scatola n° 1; cambiando la scatola il giocatore vince;
• il giocatore sceglie la scatola n° 3; il conduttore del gioco apre, indifferentemente, la scatola n° 1 o la scatola n° 2;
cambiando la scatola il giocatore perde.
La strategia “cambiare scatola” vince due volte su tre; quindi, cambiando scatola la probabilità di vincere il premio è
.
La situazione è descritta nel seguente diagramma:
12.4 TEOREMI SULLA PROBABILITÀ
Prima di introdurre alcuni teoremi utili per il calcolo delle probabilità, osserviamo che
Se E1 e E2 sono due eventi, la scrittura
(si legge “probabilità di E2 condizionata ad E1”) esprime la probabilità che
si verifichi l’evento E2 nel caso in cui si sia verificato l’evento E1.
• Se gli eventi E1 e E2 sono indipendenti, il verificarsi o meno dell’evento E1 non modifica la probabilità che si verifichi
l’evento E2; quindi:
•Se gli eventi E1 e E2 sono dipendenti è ovvio che il verificarsi dell’evento E1 influisce sulla probabilità che si verifichi l’evento
E2; quindi
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Algebra - secondo anno
Teorema della probabilità contraria
Dato un evento E, la probabilità dell’evento contrario E è data dalla differenza fra il numero 1 e la probabilità dell’evento E;
in simboli:
Teorema della probabilità composta
Dati due eventi E1 e E2, la probabilità del prodotto logico dei due eventi è data dal prodotto fra la probabilità di E1 e la
probabilità di E2 condizionata E1; in simboli:
Se gli eventi E1, E2 sono indipendenti, allora:
Teorema della probabilità totale
Dati due eventi E1 e E2, la probabilità della somma logica dei due eventi è data dalla differenza fra la somma delle probabilità
di E1 e E2 e la probabilità del prodotto logico dei due eventi; in simboli:
Se gli eventi E1, E2 sono incompatibili, allora
12.5 ESEMPI
Un’urna contiene 100 biglie.
Di queste: 50 sono rosse, 20 sono blu, 8 sono gialle, le rimanenti sono verdi.
Estraiamo dall’urna una biglia
a) Qual è probabilità che la biglia sia blu?
Sia
B = “estrazione della biglia blu”
f
(casi favorevoli) = 20
applicando la definizione classica della probabilità si ottiene:
b) Qual è probabilità che la biglia non sia blu?
applicando il Teorema della probabilità contraria si ottiene
Estraiamo dall’urna una biglia e, dopo averla reinserita, ne estraiamo una seconda.
c) Qual è la probabilità che la prima sia rossa e la seconda sia gialla?
Siano
R: “estrazione di una biglia rossa”;
G: “estrazione di una biglia gialla”;
fR (casi favorevoli) = 50
fG casi favorevoli)= 8
E = “la prima biglia estratta è rossa e la seconda è gialla”
Osserviamo che E è la congiunzione (o prodotto logico) degli eventi R e G; quindi E = R ∧ G
Gli eventi R e G sono eventi indipendenti, quindi, applicando il Teorema della probabilità composta, si ottiene:
d) Qual è la probabilità che, delle due biglie estratte, una sia rossa e l’altra sia gialla?
Sia
T = “estrazione di una biglia rossa ed una biglia gialla”
L’evento T è diverso dall’evento E del punto precedente, perché, in questo caso, non interessa l’ordine con il quale sono
estratte le due biglie;
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12. Calcolo delle probabilità
si possono verificare, quindi, due casi:
• la prima pallina estratta è rossa e la seconda è gialla (R ∧ G);
• la prima pallina estratta è gialla e la seconda è rossa. (G ∧ R).
L’evento T è la disgiunzione (o somma logica) degli eventi (R ∧ G) e (G ∧ R), tra loro incompatibili,
quindi T = (R ∧ G) ∨ (G ∧ R).
Applicando il Teorema della probabilità totale, si ottiene:
Sappiamo che
La probabilità che si verifichi l’evento T è, allora:
Estraiamo una biglia dall’urna e, senza reinserirla, ne estraiamo un’altra.
e) Qual è la probabilità che la prima biglia sia rossa e la seconda sia gialla?
L’evento E = “la prima biglia estratta è rossa e la seconda è gialla” è lo stesso dell’esempio c);
quindi, usando le stesse notazioni, E = R ∧ G.
Tuttavia, in questo caso, R e G sono eventi dipendenti, perché, dopo la prima estrazione, il numero n (numero di casi
possibili) di biglie rimaste nell’urna è cambiato (sono rimaste 99 biglie).
Sappiamo che
, mentre
; applicando il Teorema della probabilità composta,
si ottiene
f) Qual è probabilità che, delle due biglie estratte, una sia rossa e l’altra sia gialla?
Il problema è analogo a quello dell’esempio d); usando le stesse notazioni, si ha: T = (R ∧ G) ∨ (G ∧ R)
Ricordando che gli eventi (R ∧ G) e (G ∧ R), sono incompatibili, applichiamo il Teorema della probabilità totale,
Osserviamo che, in questo caso, R e G sono eventi dipendenti, quindi:
Quindi:
Estraiamo una biglia dall’urna e, subito dopo, ne estraiamo una seconda e poi ancora una terza.
g) Qual è la probabilità che la prima biglia estratta sia rossa e le altre siano gialle?
Come negli esempi precedenti, siano:
R = “estrazione di una biglia rossa”;
G = “estrazione di una biglia gialla”
S = “la prima biglia estratta è rossa e le altre sono gialle”
Osserviamo che S = (R ∧ G) ∧ G e che gli eventi R, G, R ∧ G sono dipendenti perché
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___________________________________________________________________________________________ (Completa).
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Algebra - secondo anno
Applicando il Teorema della probabilità composta, si ha:
h) Qual è la probabilità che una delle biglie estratte sia rossa e le altre siano gialle?
Il problema è analogo a quello dell’esempio f).
Sia
C = “estrazione di una biglia rossa e di due biglie gialle”
I casi che si possono presentare sono:
• la prima biglia estratta è rossa, la seconda e la terza sono gialle;
• la prima biglia estratta è gialla, la seconda è rossa, la terza è gialla;
• la prime due biglie estratte sono gialle e la terza è rossa.
Quindi:
Osservato che gli eventi
incompatibili, applichiamo il Teorema della probabilità totale:
Estraiamo una carta da un mazzo di 52 carte da gioco
i) Qual è la probabilità che la carta estratta sia una carta nera o una figura?
Siano
fN (casi favorevoli) = 26;
fF (casi favorevoli) = 12;
N = “estrazione di una carta nera”;
F = “estrazione di una figura”;
M = “la carta estratta è una carta nera o una figura”.
Osserviamo che l’evento M è la disgiunzione (o somma logica) degli eventi N e F;
in simboli: M = N ∨ F.
Inoltre, N e F sono eventi compatibili: infatti, nel mazzo di carte sono presenti 6 figure nere
.
Applicando il Teorema della probabilità totale, si ottiene:
j) Qual è la probabilità che la carta estratta sia un Re o una carta di cuori?
Siano
fR (casi favorevoli) = 4;
C = “estrazione di una carta di cuori”; fC (casi favorevoli) = 13;
R = “estrazione di un Re”;
H = “estrazione di un Re o una carta di cuori”.
L’evento H è la disgiunzione (o somma logica) degli eventi R e C, tra loro compatibili (perché ………………………………
……………………………………. e, quindi,
=……); in simboli H = R ∨ C.
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progress
12. Calcolo delle probabilità
Applicando il Teorema della probabilità totale, si ottiene:
12.6 DEFINIZIONE FREQUENTISTICA DELLA PROBABILITÀ
Sembra ci sia una nuova lampadina che duri molto di più di quelle attualmente sul mercato.
Per poter decidere di metterla in produzione occorre stimare la probabilità dell’evento E = “la nuova lampadina dura di
più delle vecchie”.
In laboratori diversi si eseguono prove per verificare la durata della nuova lampadina e ogni laboratorio riporta in una tabella
le frequenze assolute delle due modalità:
x1 = lampadina accesa (dopo un tempo t);
x2 = lampadina spenta (dopo lo stesso tempo t).
Laboratorio A esamina 50 lampadine
Laboratorio B esamina 80 lampadine
al tempo t
Frequenza
al tempo t
Frequenza
lampadina accesa
14
lampadina accesa
22
lampadina spenta
36
lampadina spenta
58
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
Laboratorio L esamina 800 lampadine
al tempo t
Frequenza
lampadina accesa
236
lampadina spenta
564
Per poter confrontare i dati ottenuti dai 10 laboratori coinvolti, inseriamo in una tabella i valori delle frequenze relative della
modalità lampadina accesa
laboratori
numero di lampadine
esaminate
numero lampadine accese al tempo t
frequenza relativa dei successi
A
50
14
0,28
B
80
22
0,275
C
100
31
0,31
D
120
36
0,3
E
150
44
0,29(3)
F
160
45
0,28125
G
200
61
0,305
H
300
90
0,3
I
500
155
0,31
L
800
236
0,295
Conviene mettere in produzione tale lampadina?
Ci si aspetta che la probabilità dell’evento E sia legata ai valori trovati nella colonna delle frequenze relative del carattere
x1= lampadina accesa; possiamo, dunque, dire che
Questo permetterà il confronto con la durata delle altre lampadine e, quindi, la decisione di mettere in produzione o meno
quel tipo di lampadine.
11
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Algebra - secondo anno
DEFINIZIONE FREQUENTISTICA DELLA PROBABILITÀ
Se è possibile avere a disposizione una serie di prove ripetute un gran numero di volte nelle stesse condizioni, si può
assumere come stima attendibile della probabilità di un evento il valore della frequenza relativa dei successi in quelle
prove; in simboli
12.7 DEFINIZIONE SOGGETTIVA DELLA PROBABILITA’
Alberto e Bruno assistono alle gare di corsa organizzate a fine anno dalla scuola. Alberto è convinto che il suo amico
Carlo vincerà la gara dei 100 metri ed è pronto a scommettere con Bruno.
Bruno accetta la scommessa e Alberto propone quanto segue:
• se Carlo vincerà la gara, Bruno dovrà offrire ad Alberto 10 gelati nel corso dell’estate,
• se Carlo non vincerà, sarà Alberto che dovrà offrire a Bruno 8 gelati.
Alberto crede molto nella possibilità di vincire da parte di Carlo; infatti, è disposto a pagare 8 per ottenere 10.
Parte la gara e a vincere è proprio Carlo; Alberto esulta per la vittoria dell’amico e per aver vinto la scommessa con
Bruno.
Bruno ha intenzione di rifarsi e così propone ad Alberto una nuova scommessa.
Bruno spera che Dario possa vincere la gara di corsa ad ostacoli e propone quanto segue:
• se Dario vincerà la gara, Alberto dovrà offrire a Bruno 8 gelati nel corso dell’estate,
• se Dario non vincerà, sarà Bruno che dovrà offrire ad Alberto 2 gelati.
Bruno spera tanto nella vittoria di Dario, ma non ne è pienamente convinto infatti è disposto a pagare solo 2 per ottenere 8.
Non abbiamo saputo chi abbia poi vinto la gara di corsa ad ostacoli.
Possiamo però riflettere sulle due scommesse.
• La scommessa di Alberto è stata formulata in seguito alle sue grandi aspettative di vittoria; infatti, essere disposto a
pagare 8 per ottenere 10 è come assegnare all’evento “Carlo vince” una probabilità pari a
• La scommessa di Bruno è stata formulata con la sola speranza di poter recuperare qualcosa rispetto alla perdita
della scommessa precedente.
In questa scommessa sono chiaramente meno evidenti le aspettative di vittoria, infatti essere disposto a pagare 2
per ottenere 8 è come assegnare all’evento “Dario vince” una probabilità pari a
DEFINIZIONE SOGGETTIVA DELLA PROBABILITÀ
In base alle proprie opinioni e alle informazioni di cui si dispone, si dichiarano:
• il valore S che si riceve nel caso in cui l’evento si verifichi;
• il valore P che si è disposti a pagare in caso contrario.
La probabilità che si verifichi l’evento E, quindi, la misura del grado di fiducia che si attribuisce al verificarsi dell’evento E,
è data dal rapporto fra P d S; in simboli:
12.8 GIOCO EQUO
Un gioco si dice equo se
Nel caso delle scommesse tra Alberto e Bruno del paragrafo 12.7 si ha:
Scommessa di Alberto
Scommessa di Bruno
I due ragazzi hanno scommesso in modo corretto.
Nel gioco della roulette è possibile scegliere di puntare una certa somma x sull’uscita di un numero rosso e, se questo
numero esce, si riceve 2x, il doppio della somma puntata.
12
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Book in
progress
12. Calcolo delle probabilità
E’ un gioco equo?
Sulla ruota che gira ci sono diciotto numeri su sfondo rosso, diciotto numeri su sfondo nero ed un numero su sfondo
verde (il numero zero).
E = “esce un numero su sfondo rosso”;
Il gioco è equo se
; eseguiamo i calcoli:
Il gioco è equo solo se x = 0 !!!
Il gioco risulterebbe equo se in caso di vincita si ricevesse
volte la somma puntata, infatti:
Nel gioco del lotto è possibile scegliere di puntare una certa somma x sull’estrazione di un numero e, se questo viene
estratto, si riceve dallo Stato 11,232 volte la somma puntata.
E’ un gioco equo?
Nel gioco del lotto vengono estratti 5 numeri naturali compresi tra 1 e 90.
Immaginiamo di voler puntare sull’estrazione del numero 8.
Sia
E = “tra i cinque numeri estratti è presente il numero 8”;
Il gioco è equo se
eseguiamo i calcoli:
il gioco è equo solo se x = 0 !!!
Il gioco risulterebbe equo se in caso di vincita si ricevesse 18 volte la somma puntata, infatti
E ora che questo breve capitolo è terminato, siamo in grado di risolvere il problema dell’aereo.
Prova prima da solo.
12.9 POSSIBILI RISPOSTE AL PROBLEMA DELL’AEREO
Soluzione 1
C’è chi, in modo molto sbrigativo, risponde:
“Non mi faccio confondere. La faccenda è chiara:
- 50% è la probabilità che sia uscita croce;
- 50% è la probabilità che sia uscita testa.
Se è uscita testa, visto che Bianca non è partita con i primi 5 aerei, sicuramente sarà sul sesto.
La probabilità che Bianca sia sul sesto aereo è
Soluzione 2
C’è chi, in modo molto convinto, subito replica:
“E i dadi non li conti? Gli eventi possibili sono:
(Testa, 1); (Testa, 2); (Testa, 3); (Testa, 4);
(Testa, 5);
(Testa, 6);
Croce.
La probabilità che Bianca raggiunga Luca è
13
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Algebra - secondo anno
Soluzione 3
C’è chi, invece, si ritiene rigoroso e preciso:
“Faccio un discorso analitico e preciso. La probabilità che Bianca sia sul sesto aereo è
(perché poteva partire con uno dei 6 aerei) del 50% (perché poteva partire o non partire ).
Ma
del 50% è come dire 1/6 di
e, quindi, 1/12.
La probabilità che Bianca sia sul sesto aereo è
Soluzione 4
C’è chi, prima di rispondere, ha preparato una tabella:
testa
1
2
3
4
5
6
testa, 1
testa, 2
testa, 3
testa, 4
testa, 5
testa, 6
croce
croce
“Anche se con croce, lei non lancia il dado, l’evento croce deve comunque risultare equiprobabile all’evento testa.
I casi possibili allora, sono esattamente 12:
T1, T2, T3, T4, T5, T6, C1, C2, C3, C4, C5, C6.
1
2
3
4
5
6
testa
testa, 1
testa, 2
testa, 3
testa, 4
testa, 5
testa, 6
croce
croce, 1
croce, 2
croce, 3
croce, 4
croce, 5
croce, 6
Ma questo vale solo fino alla sera precedente.
Se ci mettiamo nei panni di quel poveretto che aspetta, gli eventi possibili sono ora
T6, C1, C2, C3, C4, C5, C6.
e quindi l'esito T6, che corrisponde all'arrivo con il sesto aereo, ha probabilità
Ma, allora, ognuno può dire la sua?
Tu che hai studiato però, sai benissimo che l’unico ragionamento corretto è quello della soluzione n°….
14
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progress
12. Calcolo delle probabilità
ESERCIZI CAPITOLO 12
Conoscenza e comprensione
1) Cosa si intende per evento certo, evento impossibile ed evento aleatorio?
2) Due eventi sono indipendenti se ______________________________________________________________________
3) Due eventi sono compatibili se ________________________________________________________________________
4) Fornisci le definizioni classica, frequentistica e soggettiva della probabilità
5) Un gioco si dice equo se ____________________________________________________________________________
6) Enuncia e dimostra il teorema della probabilità contraria.
Esercizi
Quattro esercizi con un mazzo di 52 carte da gioco
7) Calcola la probabilità che venga estratta la carta 8 di cuori
8) Calcola la probabilità che venga estratta una carta di fiori
9) Calcola la probabilità che vengano estratte due carte di picche
10) Calcola la probabilità che vengano estratte una figura ed un 10
Sei esercizi con una scatola contenente dieci palline
contrassegnate ciascuna con un numero da 1 a 10
11) Calcola la probabilità che venga estratta la pallina numero 7
12) Calcola la probabilità che venga estratta una pallina con numero pari
13) Calcola la probabilità che venga estratta la pallina numero 7 e dopo averla reinserita venga estratta la pallina numero 10
14) Calcola la probabilità che vengano estratte prima la pallina numero 7 e poi la pallina numero 10
15) La probabilità che vengano estratte due palline ed una sia la numero 7
16) Calcola la probabilità che vengano estratte due palline i cui numeri sommati diano 10
Tre esercizi con dadi a 6 facce
17) Calcola la probabilità che, lanciando 2 dadi, si ottenga un punteggio maggiore di 9
18) Calcola la probabilità che, lanciando 2 dadi, si ottenga un divisore di 12 su almeno uno dei due dadi
19) Calcola la probabilità che, lanciando 3 dadi, si ottenga un punteggio uguale a 10
Due ulteriori esercizi
20) Luca partecipa ad un gioco, la probabilità di vincere è del 32% ed è disposto a pagare 10 euro.
Supponendo che il gioco sia equo, quanto dovrebbe ricevere nel caso vincesse?
21) 21)Nel gioco del lotto la puntata sul primo estratto dà diritto a ricevere 26 volte la somma puntata. E’ un gioco equo?
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Algebra - secondo anno
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13. Il piano cartesiano
CAPITOLO 13. IL PIANO CARTESIANO
13.1 I NUMERI REALI
Considera le seguenti proposizioni aperte:
a) Il quadrato di un numero razionale è uguale a 5.
b) Un numero razionale esprime la misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele i cui cateti hanno misura
unitaria.
È facile osservare (ed è possibile dimostrarlo) che, nell’insieme dei numeri razionali, non esistono numeri che rendono vera
la proposizione a) o la proposizione b).
Problemi di questo tipo hanno portato alla “costruzione” di un nuovo insieme numerico.
Nel capitolo 2 abbiamo chiamato numero razionale qualsiasi numero decimale limitato finito (positivo o negativo) e qualsiasi
numero decimale illimitato periodico (positivo o negativo).
Esistono numeri decimali illimitati non periodici? La risposta è affermativa.
Già nella scuola media hai incontrato numeri di questo tipo:
• il numero π (solitamente approssimato a 3.14) che esprime il rapporto fra la misura di una circonferenza ed il suo diametro;
• il numero
che esprime il rapporto fra la lunghezza della diagonale di un quadrato ed il suo lato.
I numeri come π
e quelli che rendono vere proposizioni del tipo a) e b) sono chiamati numeri
irrazionali.
Possiamo dare, allora, la seguente definizione:
si chiama numero irrazionale un qualsiasi numero decimale illimitato non periodico.
L’insieme dei numeri irrazionali si indica con I.
È ovvio che i numeri irrazionali, così come quelli razionali, possono essere preceduti dal segno “+” o dal segno “−”; si hanno,
dunque, numeri irrazionali positivi e numeri irrazionali negativi.
Si chiama insieme dei numeri reali e si indica con R l’insieme ottenuto dall’unione dell’insieme dei numeri razionali con
l’insieme dei numeri irrazionali.
In simboli:
È evidente che:
Con l’introduzione dei numeri reali viene risolto anche il problema di poter associare ad ogni segmento un numero che
esprima la sua lunghezza rispetto ad una unità di misura fissata:
se il rapporto fra due segmenti è espresso da un numero razionale, i due segmenti si dicono commensurabili;
se il rapporto fra due segmenti è espresso da un numero irrazionale, i due segmenti si dicono incommensurabili.
Poiché non è possibile indicare tutte le cifre decimali di un numero irrazionale, possiamo solo scriverne un valore
approssimato per difetto o per eccesso.
Se scriviamo un numero irrazionale (approssimato per difetto) indicando solo la prima cifra decimale si dice che esso è
approssimato “a meno di un decimo”, se lo scriviamo indicando le prime due cifre decimali si dice che esso è approssimato
“a meno di un centesimo” e così via.
Con l’introduzione dell’insieme dei numeri reali, la rappresentazione degli insiemi numerici con i diagrammi di Eulero − Venn
è la seguente:
17
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Algebra - secondo anno
Nell’insieme dei numeri reali sono definite le operazioni di somma algebrica, moltiplicazione, divisione e vale la legge di
annullamento del prodotto.
In seguito approfondiremo il concetto di numero reale e studieremo le operazioni definite in R.
PROVA TU
Quali, fra i seguenti numeri sono numeri irrazionali?
13.2 RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI REALI
Nel capitolo 2 abbiamo detto che i numeri naturali si rappresentano su una semiretta orientata e che abbiamo preferito
rappresentarli su una retta orientata perché, successivamente, avremmo “arricchito” tale retta. Infatti la “retta dei numeri”
è stata, successivamente, “arricchita” con la rappresentazione degli interi (relativi) e dei numeri razionali.
Tuttavia, se ad ogni numero razionale corrisponde un punto sulla retta, non accade il viceversa, cioè ad ogni punto della
retta non corrisponde un numero razionale. È come se, la “retta dei numeri razionali” avesse dei “buchi”.
La “retta dei numeri”, dunque, può essere ancora “arricchita”.
A ciascuno di questi “buchi” corrisponde un numero irrazionale.
Esiste, allora, una corrispondenza biunivoca fra l’insieme dei numeri reali ed i punti di una retta: ad ogni numero reale
è associato un solo punto della retta e, viceversa, ad ogni punto della retta è associato un solo numero reale.
Per questo motivo, si dice che l’insieme dei numeri reali è un insieme continuo.
Come procedere per rappresentare un numero reale su una retta?
Sappiamo già rappresentare sulla retta un numero razionale; vediamo, con un esempio, come possiamo rappresentare un
numero irrazionale.
Esempio
Rappresentiamo i numeri irrazionali
e
.
Siano r una retta orientata (per convenzione, da sinistra verso destra) ed AB un segmento la cui misura, rispetto all’unità di
misura prefissata, sia
;applichiamo al segmento AB una isometria
tale che
Al punto B’ così ottenuto corrisponde il numero irrazionale
.
Al punto C’, simmetrico di B’ rispetto al punto O (al quale è associato il numero 0), corrisponde il numero irrazionale
Tuttavia, non è sempre necessario rappresentare i numeri reali con la massima precisione; possiamo rappresentarli anche
in maniera approssimata, purchè sia rispettato l’ordinamento. Non c’è, quindi, bisogno di “riportare” sempre il segmento
avente quella data misura, ma è sufficiente, spesso, stabilire fra quali interi esso è compreso o, comunque, quale, tra due
numeri irrazionali, precede l’altro.
La retta sulla quale rappresentiamo i numeri reali è detta anche retta reale o asse reale.
Esempio
Rappresentiamo i numeri reali
a)
18
è l’opposto di
; determiniamo, allora, due interi tali che uno sia il maggiore fra i quadrati che precedono 7 e
l’altro sia il minore fra i quadrati che seguono 7.
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Book in
progress
13. Il piano cartesiano
I due numeri cercati sono 4 e 7; si ha:
“Per simmetria”, si avrà
Rappresentiamo
associandolo ad un punto compreso fra −3 e −2:
b) Per rappresentare
sono 9 e 16; si ha:
Rappresentiamo
, determiniamo due interi con le stesse caratteristiche dell’esempio a); i due numeri cercati
associandolo ad un punto compreso fra 3 e 4:
PROVA TU
1) Completa le seguenti relazioni inserendo i simboli <, > in modo che esse risultino vere:
2) Rappresenta i seguenti numeri reali:
3) Rappresenta i seguenti numeri reali:
(suggerimento: determina due interi che siano cubi perfetti tali che ………..).
13.3 ASCISSE SU UNA RETTA
Nel paragrafo precedente abbiamo visto che esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti di una retta e l’insieme dei
numeri reali.
Consideriamo, allora, una retta r sulla quale scegliamo:
• un orientamento o verso di percorrenza (per consuetudine, da sinistra verso destra);
• un punto O come origine delle due semirette nelle quali la retta resta divisa dal punto stesso;
• un punto A (che segue O); il segmento OA è l’unità di misura.
Si dice, allora, che sulla retta è stato fissato un sistema di ascisse (fig.1):
Scegliamo, sulla retta r, un punto C in modo che O preceda C.
Al punto C è possibile associare il numero reale che esprime la misura del segmento OC rispetto al segmento OA e, poiché
C segue O, esso sarà preceduto dal segno “+”: questo numero reale (positivo) è chiamato ascissa di C. Come per i numeri
razionali, anche per i numeri reali il segno “+” si può omettere.
In fig. 2, la misura del segmento OC rispetto al segmento OA è 3
C(3).
: il punto C, dunque, ha ascissa 3 e si scrive
Scegliamo, sulla retta r, un punto E in modo che O segua E.
Al punto E è possibile associare il numero reale che esprime la misura del segmento EO rispetto al segmento OA e, poiché
E precede O, esso sarà preceduto dal segno “−”: tale numero (negativo) è l’ascissa di E.
In fig. 3, la misura del segmento EO rispetto al segmento OA è 2
E(−2).
; il punto E, dunque, ha ascissa −2 e si scrive
19
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Algebra - secondo anno
La misura del segmento OA è, ovviamente, 1; quindi l’ascissa di A è 1 e si scrive A(1).
Il segmento OO ha misura nulla; quindi l’ascissa di O è 0 e si scrive O(0).
Viceversa, sia −3 l’ascissa di un punto H della retta r ; allora H è un punto di r tale che:
• H precede O, perché −3 è un numero negativo;
• H è un estremo del segmento OH la cui misura, rispetto all’unità di misura fissata, è 3.
In generale, per indicare che su una retta è fissato un sistema di ascisse, si indicano i due punti ai quali sono associati,
rispettivamente, i numeri 0 e 1, omettendo di indicare le relative lettere (fig. 4):
13.4 DISTANZA FRA DUE PUNTI SU UNA RETTA
Siano r una retta, sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse, ed F un punto di r di ascissa xF (fig. 5).
La distanza del punto F dal punto O, o misura del segmento OF, viene indicata con
ed è, ovviamente, un numero
non negativo; si ha:
Ci proponiamo, adesso, di determinare la misura di un segmento di una retta r (sulla quale è fissato un sistema di ascisse)
nel caso più generale in cui nessuno degli estremi coincida con il punto O.
Siano, a tal proposito, G(4) e H(7) due punti della retta r sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse (fig. 6):
Osservando la fig. 6, possiamo dire che:
(passando alle misure)
In generale, se S e T sono due punti di una retta r di ascissa, rispettivamente, xS e xT la distanza del punto T dal punto
S, ovvero la lunghezza del segmento ST, è espressa da:
oppure
dove è necessario il valore assoluto perchè la misura di un segmento è sempre non negativa.
ATTENZIONE
Infatti:
•
indica un segmento di estremi A e B e, quindi, è una figura del piano;
•
è la misura del segmento AB rispetto ad una prefissata unità di misura e, quindi è un numero reale (≥ 0).
Un segmento è sempre diverso da un numero!
20
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Book in
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13. Il piano cartesiano
PROVA TU
Sia t una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
a) Rappresenta sulla retta t i seguenti punti:
b) Determina la distanza fra le coppie di punti:
B e F;
F e H;
G e B.
c) Determina la lunghezza dei segmenti:
FG;
HG;
BH.
13.5 PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO SU UNA RETTA
Sia s una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse e siano C e D due punti di s di ascissa, rispettivamente, 4
e 9: C(4), D(9).
Sia M il punto medio di CD; determiniamo l’ascissa di M (fig. 7):
Indichiamo con xM l’ascissa di M.
Osserviamo che (per definizione di punto medio di un segmento)
Poiché M è interno al segmento CD, si ha
Formalizzando la relazione
, si ottiene la seguente equazione (incognita xM):
Risolviamo l’equazione ottenuta:
Abbiamo, così, determinato l’ascissa del punto M (punto medio di CD): .
Generalizziamo, adesso, il procedimento seguito nell’esempio precedente.
Siano A (xA) e B (xB) due punti di una retta r sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse; sia M il punto medio del
segmento AB (fig. 8). Determiniamo l’ascissa xM del punto M.
Osserviamo che
Poiché M è interno al segmento AB, si ha
Formalizzando la relazione
, si ottiene la seguente equazione:
Risolviamo l’equazione ottenuta, nell’incognita xM:
In sintesi, dati i punti A (xA) e B (xB) , l’ascissa xM del punto medio M di AB è
PROVA TU
Dati i punti
determina l’ascissa del punto medio di ciascuno dei seguenti segmenti:
a) KS; PF
b) KP; SP
21
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Algebra - secondo anno
13.6 COORDINATE CARTESIANE DI UN PUNTO NEL PIANO
Consideriamo due rette, nel piano, fra loro perpendicolari e fissiamo, su ciascuna retta, un sistema di ascisse in modo che
il punto origine O sia il punto intersezione delle due rette.
È consuetudine disegnare una retta orizzontale, orientata da sinistra verso destra, e una verticale, orientata dal basso verso
l’alto.
La retta orizzontale si indica con la lettera “x” ed è chiamata
asse delle ascisse o asse x; la retta verticale si indica con la
lettera “y” ed è chiamata asse delle ordinate o asse y (fig. 9):
Se l’unità di misura fissata sull’asse x e sull’asse y è
rappresentata da due segmenti congruenti, il sistema si dice
monometrico e si conviene di indicare l’unità di misura solo
sull’asse x (fig. 10):
L’asse x e l’asse y così determinati formano un sistema di
riferimento cartesiano ortogonale (dal nome del matematico
francese Renè Descartes, italianizzato Cartesio).
Si è soliti indicare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale
con la scrittura xOy.
Un piano nel quale è fissato un sistema di riferimento
cartesiano ortogonale prende il nome di piano cartesiano.
L’asse x e l’asse y dividono il piano cartesiano in quattro parti;
ciascuna di esse si chiama quadrante. In figura 11 sono indicati
i nomi dei quattro quadranti.
Sia, ora, T un punto del piano cartesiano.
Indichiamo con T1 la proiezione di T sull’asse x e con T2 la
proiezione di T sull’asse y; T1 ha ascissa 2 (fig. 12a) e T2 ha
ascissa 3 (fig. 12b).
22
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Book in
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13. Il piano cartesiano
Al punto T del piano, allora, resta associata la coppia ordinata (2,3); i numeri 2 e 3 sono le coordinate cartesiane di T
e si scrive T (2,3).
Il primo elemento della coppia (2) si chiama ascissa di T, il secondo elemento (3) si chiama ordinata di T.
Possiamo ripetere il procedimento esposto in precedenza per qualsiasi punto del piano.
In generale, dunque, ad ogni punto P del piano è possibile associare una coppia ordinata di numeri reali, indicata con
(x, y), dove x rappresenta l’ascissa e y l’ordinata di P e si scrive P (x, y).
PROVA TU
Individua le coordinate cartesiane dei punti rappresentati nella
seguente figura:
Adesso, siano 3 e 5 le ascisse di due punti A e B appartenenti,
rispettivamente, all’asse x e all’asse y (fig. 13a). Indichiamo con a la
perpendicolare all’asse x passante per A, con b la perpendicolare
all’asse y passante per B e sia C = a ∩ b (fig. 13b).
Alla coppia ordinata (3, 5), dunque, è associato il punto C.
Ovviamente, per quanto osservato in precedenza, il primo elemento della coppia (3) è l’ascissa di C ed il secondo elemento
(5) è l’ordinata di C.
È possibile applicare il procedimento appena descritto a qualunque coppia ordinata di numeri reali. In generale, quindi, ad
ogni coppia ordinata di numeri reali corrisponde un punto del piano (cartesiano).
Possiamo, allora, così sintetizzare:
• ad ogni punto del piano (cartesiano) corrisponde una coppia ordinata di numeri reali;
• ad ogni coppia ordinata di numeri reali corrisponde un punto del piano (cartesiano).
Osservazione
Coppie ordinate di numeri reali sono elementi del prodotto cartesiano R2 = R x R; quindi, la relazione che ad ogni elemento
di R2 associa un punto P del piano α è una funzione biunivoca.
è una funzione biunivoca
23
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Algebra - secondo anno
Nella fig. 14 sono rappresentati i punti
Osserviamo che:
• H è situato nel I quadrante: l’ascissa di H è positiva, l’ordinata di H è positiva;
• E è situato nel II quadrante: l’ascissa di E è negativa, l’ordinata di E è positiva;
• G è situato nel III quadrante: l’ascissa di G è negativa, l’ordinata di G è negativa;
• F è situato nel IV quadrante: l’ascissa di F è positiva, l’ordinata di F è negativa.
Una semplice riflessione ci permette di generalizzare (fig. 15):
• i punti del I quadrante hanno ascissa positiva e ordinata positiva;
• i punti del II quadrante hanno ascissa negativa e ordinata positiva;
• i punti del III quadrante hanno ascissa negativa e ordinata negativa;
• i punti del IV quadrante hanno ascissa positiva e ordinata negativa;
• i punti dell’asse delle ascisse hanno ordinata 0;
• i punti dell’asse delle ordinate hanno ascissa 0;
• il punto O (origine degli assi) ha coordinate (0,0).
PROVA TU
Rappresenta in un piano cartesiano i punti
a)
b)
24
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13. Il piano cartesiano
13.7 DISTANZA FRA DUE PUNTI NEL PIANO CARTESIANO
Considerati due punti F e G in un piano cartesiano, si possono verificare i seguenti casi:
a) F e G hanno la stessa ordinata;
b) F e G hanno la stessa ascissa;
c) F e G hanno ascissa diversa e ordinata diversa.
Determiniamo la distanza fra i due punti nei diversi casi.
a) F e G hanno la stessa ordinata.
Siano F(−3,2) e G(4,2) due punti del piano cartesiano;
indichiamo con F1 la proiezione di F sull’asse delle ascisse
e con G1 la proiezione di G sull’asse delle ascisse (fig. 16):
Osserviamo che:
• FF1 // GG1 perché perpendicolari alla stessa retta (asse
delle ascisse);
•
(perchè?)
• F1 e F hanno la stessa ascissa (−3);
• G1 e G hanno la stessa ascissa (4).
Il quadrilatero F1G1GF è un parallelogramma per avere due lati opposti paralleli e congruenti; in particolare, è un rettangolo
perché due angoli consecutivi sono angoli retti.
I lati opposti FG e F1G1 sono, pertanto, paralleli e congruenti;
quindi:
• FG è parallelo all’asse delle ascisse;
• i segmenti FG e F1G1 hanno la stessa misura.
Il segmento F1G1 è situato sull’asse delle ascisse che è una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse; siamo,
quindi, in grado di determinarne la lunghezza:
Ma
si ottiene, allora:
Proviamo, insieme, a generalizzare.
Riferendoti alla figura 17, nella quale sono rappresentati i
punti A (xA,yA) e B (xB,yB),
completa le seguenti proposizioni:
A1 e A hanno la stessa …………….…..… (…....);
B1 e B hanno la stessa …………….…….. (…....);
Il quadrilatero ………………… è un rettangolo e, quindi, i
segmenti …….. e ………. sono ………………………… e …………………………; pertanto:
• AB è ……………………… all’asse delle ascisse;
• i segmenti AB e A1B1 hanno la …………… misura.
Il segmento A1B1 è un segmento dell’asse delle ……………….; quindi la sua lunghezza è
poichè
;
si ottiene
25
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Algebra - secondo anno
Dalle considerazioni precedenti possiamo dedurre che:
Se due punti A (xA,yA) e B (xB,yB) del piano cartesiano hanno la stessa ordinata, il segmento AB è parallelo all’asse
delle ascisse e la distanza di A da B (o lunghezza del segmento AB) è data dal valore assoluto della differenza delle
ascisse dei due punti.
In simboli:
b) F e G hanno la stessa ascissa
Siano F(3,−2) e G(3,1) due punti del piano cartesiano.
Indichiamo con F1 la proiezione di F sull’asse delle ordinate
e con G1 la proiezione di G sull’asse delle ordinate (fig. 18):
Osserviamo che:
• FF1 // GG1 perché perpendicolari alla stessa retta (asse
delle ordinate);
•
(perchè?)
• F1 e F hanno la stessa ordinata (−2);
• G1 e G hanno la stessa ordinata (1).
Il quadrilatero FF1G1G è un parallelogramma per avere due lati opposti paralleli e congruenti; in particolare, è un rettangolo
perché due angoli consecutivi sono angoli retti.
I lati opposti FG e F1G1 sono paralleli e congruenti; quindi:
• FG è parallelo all’asse delle ordinate;
• i segmenti FG e F1G1 hanno la stessa misura.
Il segmento F1G1 è situato sull’asse delle ordinate che è una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse; siamo,
quindi, in grado di determinarne la lunghezza:
Ma
si ottiene, allora:
Proviamo a generalizzare.
Osserva la figura 19, nella quale sono rappresentati i punti
A (xA,yA) e B (xB,yB).
Completa le seguenti proposizioni:
Il quadrilatero ……………. è un rettangolo e, quindi, i
segmenti AB e A1B1 sono ……………………… e ………
………………………..; pertanto:
• AB è ……………….. all’asse delle ordinate;
• i segmenti AB e A1B1 hanno la ……………. misura.
Il segmento A1B1 è un segmento dell’asse delle ………………………..;
quindi la sua lunghezza è
26
; poichè
si ottiene
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13. Il piano cartesiano
Dalle considerazioni precedenti possiamo dedurre che:
Se due punti A (xA,yA) e B (xB,yB) del piano cartesiano hanno la stessa ascissa, il segmento AB è parallelo all’asse delle
ordinate e la distanza di A da B (o lunghezza del segmento AB) è data dal valore assoluto della differenza delle ordinate
dei due punti.
In simboli:
c) F e G hanno ascissa diversa e ordinata diversa
Siano F(3,2) e G(8,6) due punti di un piano cartesiano.
Indichiamo con s la parallela all’asse delle ascisse passante
per F e con t la parallela all’asse delle ordinate passante per
G; sia K = s ∩ t (fig. 20):
Determiniamo le coordinate di K.
• GK è un segmento parallelo all’asse delle ordinate; l’ascissa di K, allora, è uguale all’ascissa di G;
quindi
• FK è un segmento parallelo all’asse delle ascisse; l’ordinata di K, allora, è uguale all’ordinata di F;
quindi
Il punto K ha coordinate (8, 2).
Le rette s e t sono perpendicolari tra di loro perché parallele a rette perpendicolari tra di loro (quali?); il triangolo FGK,
dunque, è un triangolo rettangolo dove GF è l’ipotenusa, FK e GK sono i due cateti.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo FGK, si ottiene:
Osserviamo che:
FK // asse delle ascisse ==> (per quanto detto al punto a) di questo paragrafo) ==>
==>
GK // asse delle ordinate ==> (per quanto detto al punto b) di questo paragrafo) ==>
==>
Sostituiamo le misure, così ottenute, nella relazione
; si ottiene:
Come fatto in precedenza, adesso proviamo a generalizzare.
Siano A (xA,yA) e B (xB,yB) due punti del piano; indichiamo con
s la parallela, passante per A, all’asse delle ascisse e con t la
parallela, passante per B, all’asse delle ordinate; sia H = s ∩ t
(fig. 21):
Osservando la figura, completa le seguenti proposizioni:
le coordinate di H sono (……..,……..); le rette s e t sono …
…………………….. .
27
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Algebra - secondo anno
Il triangolo ABH è un triangolo ……………….. dove AB è l’ipotenusa, ….. e ….. sono i due cateti.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABH, si ottiene:
Osserviamo che:
AH // asse delle …………
==> (per quanto detto al punto a) di questo paragrafo) ==>
==>
BH // asse delle …………. ==> (per quanto detto al punto b) di questo paragrafo) ==>
==>
Sostituiamo le misure, così ottenute, nella relazione
; si ottiene:
Dalle osservazioni precedenti possiamo dedurre che:
se A (xA,yA) e B (xB,yB) sono due punti di un piano cartesiano, la distanza di A da B (o la misura del segmento AB) è
data da:
oppure
Nello schema seguente sono sintetizzati i risultati ottenuti:
se A (xA,yA) e B (xB,yB) sono due punti di un piano cartesiano, si ha:
ATTENZIONE
E’ ovvio che:
• se un segmento è parallelo all’asse delle ascisse, tutti i suoi punti hanno la stessa ordinata;
• se un segmento è parallelo all’asse delle ordinate, tutti i suoi punti hanno la stessa ascissa.
PROVA TU
Determina la lunghezza di ciascuno dei segmenti aventi per estremi le seguenti coppie di punti:
a) F(2, −3)
G(3, −3)
b) M(−1, −4)
H(−1, −7)
c) T(4, 2)
S(−2, 5)
13.8 PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO NEL PIANO CARTESIANO
Sia FG un segmento del piano cartesiano; si possono verificare i seguenti casi:
a) FG parallelo all’asse delle ascisse;
b) FG parallelo all’asse delle ordinate;
c) FG non è parallelo ad alcuno degli assi coordinati.
Determiniamo le coordinate del punto medio M del segmento FG nei diversi casi.
28
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13. Il piano cartesiano
a) FG parallelo all’asse delle ascisse
Nella figura 22 sono rappresentati i punti F(2, 4) e G(8, 4); siano
M (xM,yM) il punto medio di FG e F1, G1, M1 le proiezioni,
rispettivamente, di F, G, M sull’asse delle ascisse.
Osserviamo che:
• FG parallelo all’asse delle ascisse ==>
• MM1 parallelo all’asse delle ordinate ==>
•
M1, dunque, è il punto medio di un segmento situato sull’asse delle ascisse e, per quanto visto nel paragrafo 11.5, si ha:
In definitiva, le coordinate di M sono (5, 4).
Proviamo a generalizzare: ci proponiamo di trovare una
relazione che permetta di determinare le coordinate del
punto medio di un segmento, parallelo all’asse delle ascisse,
note le coordinate degli estremi del segmento stesso.
Nella figura 23 sono rappresentati i punti A (xA,yA) e B (xB,yB);
siano M (xM,yM) il punto medio di AB e A1, B1, M1 le
proiezioni, rispettivamente, di A, B, M sull’asse delle ascisse.
Riferendoti alla figura, completa le seguenti proposizioni:
• AB …………………… all’asse delle ascisse
==>
• MM1 …………………. all’asse delle ordinate ==>
•
M1 è il punto medio di un segmento situato sull’asse delle ………………….; si ha, allora:
Dalle osservazioni precedenti, possiamo dedurre che:
se AB è parallelo all’asse delle ascisse, le coordinate del punto medio M di AB sono
b) FG parallelo all’asse delle ordinate
Nella figura 24 sono rappresentati i punti F(4, −2) e G(4, 5);
siano M (xM,yM) il punto medio di FG e F1, G1, M1 le proiezioni,
rispettivamente, di F, G, M sull’asse delle ordinate.
29
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Algebra - secondo anno
Osserviamo che:
• FG parallelo all’asse delle ordinate ==>
• MM1 parallelo all’asse delle ascisse ==>
•
M1, dunque, è il punto medio di un segmento situato sull’asse delle ordinate e, per quanto visto nel paragrafo 11.5, si ha:
In definitiva, le coordinate di M sono
.
Come nel caso precedente, generalizziamo: ci proponiamo
di trovare una relazione che permetta di determinare le
coordinate del punto medio di un segmento, parallelo
all’asse delle ordinate, essendo note le coordinate degli
estremi del segmento stesso.
Nella figura 25 sono rappresentati i punti A (xA,yA) e B (xB,yB)
; siano M (xM,yM) il punto medio di AB e A1, B1, M1 le
proiezioni, rispettivamente, di A, B, M sull’asse delle ordinate.
Riferendoti alla figura, completa le seguenti proposizioni:
• AB ……………. all’asse delle ordinate ==>
• MM1 ………….. all’asse delle ascisse
==>
•
M1 è il punto medio di un segmento situato sull’asse delle ……………..; si ha, allora:
Dalle osservazioni precedenti, possiamo dedurre che:
se AB è parallelo all’asse delle ascisse, le coordinate del punto medio M di AB sono:
c) FG non è parallelo ad alcuno degli assi coordinati.
Nella figura 26 sono rappresentati i punti F (3,2) e G (12,8);
siano M (xM,yM) il punto medio di FG, F1, G1, M1 le proiezioni,
rispettivamente, di F, G, M sull’asse delle ascisse e F2, G2,
M2 le proiezioni, rispettivamente, di F, G, M sull’asse delle
ordinate.
Osserviamo che:
Inoltre, i segmenti FF1, MM1 e GG1 sono tra loro paralleli, l’asse delle ascisse e la retta passante per FG sono due trasversali.
Possiamo, allora, applicare il teorema del fascio di rette parallele:
“Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono
segmenti congruenti sull’altra trasversale”.
30
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13. Il piano cartesiano
Al segmento FM, sulla retta passante per FG, corrisponde il segmento F1M1 sull’asse delle ascisse e al segmento MG,
sulla retta passante per FG, corrisponde il segmento M1G1 sull’asse delle ascisse; poiché FM è congruente a MG, il
segmento F1M1 è congruente al segmento M1G1.
In simboli:
M1 è, dunque, il punto medio di F1G1 e, per quanto visto nel paragrafo 11.5, si ha:
I segmenti FF2, MM2, GG2 sono tra loro paralleli; l’asse delle ordinate e la retta passante per FG sono due trasversali.
Applichiamo ancora il teorema del fascio di rette parallele.
Al segmento FM, sulla retta passante per FG, corrisponde il segmento F2M2 sull’asse delle ordinate e al segmento MG,
sulla retta passante per FG, corrisponde il segmento M2G2 sull’asse delle ordinate; poiché FM è congruente a MG, il
segmento F2M2 è congruente al segmento M2G2.
In simboli:
M2, dunque, è il punto medio del segmento F2G2 e, per quanto visto nel paragrafo 11.5, si ha:
Possiamo, allora, dire che le coordinate di M, punto medio di FG, sono
.
Adesso generalizziamo: ci proponiamo di trovare una relazione che permetta di determinare le coordinate del punto medio
di un segmento, note le coordinate degli estremi del segmento stesso.
Nella figura 27 sono rappresentati i punti A (xA,yA) e B
(xB,yB) ; siano M (xM,yM) il punto medio di AB, A1, B1,
M1 le proiezioni, rispettivamente, di F, G, M sull’asse
delle ascisse e A2, B2, M2 le proiezioni, rispettivamente,
di F, G, M sull’asse delle ordinate.
Riferendoti alla
proposizioni:
figura,
completa
le
seguenti
Inoltre, i segmenti AA1, MM1 e BB1 sono tra loro ………………….., l’asse delle ascisse e la retta passante per AB sono
due …………………………….…. .
Possiamo, allora, applicare il teorema del fascio di rette parallele.
Al segmento AM, sulla retta passante per AB, corrisponde il segmento ……….. sull’asse delle ascisse e al segmento MB,
sulla retta passante per AB, corrisponde il segmento ………. sull’asse delle ascisse; poiché AM è …………………………
…. a MB, anche il segmento A1M1 è …………………..………. al segmento M1B1.
In simboli:
M1 è, dunque, il punto …………….. di A1B1 e, per quanto visto nel paragrafo 11.5, si ha:
Prova tu a determinare l’ordinata di M, ripetendo il procedimento seguito per determinare l’ascissa di M.
Dalle osservazioni precedenti, possiamo dedurre che:
le coordinate del punto medio M di un segmento AB di estremi A (xA,yA) e B (xB,yB) sono:
31
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PROVA TU
Determina le coordinate del punto medio di ciascuno dei segmenti che hanno per estremi le seguenti coppie di punti:
13.9 BARICENTRO DI UN TRIANGOLO
Ci proponiamo di determinare una relazione fra le coordinate del baricentro di un triangolo e le coordinate dei suoi vertici.
A tal proposito, siano E (2,4), F (5,14) e K (12,6) tre vertici di un triangolo, M il punto medio del segmento FK e G il baricentro
del triangolo.
Per quanto detto nel paragrafo 11.8, le coordinate di M sono:
Indichiamo con E1, G1, M1 le proiezioni, rispettivamente, di E, G, M
sull’asse delle ascisse e con E2, G2, M2 le proiezioni,
rispettivamente, di E, G, M sull’asse delle ordinate (fig. 28):
È ovvio che:
Ricordiamo, inoltre, che:
il baricentro del triangolo divide ciascuna mediana in due parti
tali che quella che contiene il vertice è doppia dell’altra.
Il segmento EG, dunque, è il doppio del segmento GM:
I segmenti EE1, GG1 e MM1 sono tra loro paralleli, l’asse delle
ascisse e la retta passante per EM sono due trasversali.
Possiamo, quindi, applicare il teorema di Talete:
Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti proporzionali su una trasversale corrispondono
segmenti proporzionali sulla seconda trasversale.
Al segmento EG, sulla retta passante per EM, corrisponde il segmento E1G1 sull’asse delle ascisse e al segmento GM,
sulla retta passante per EM, corrisponde il segmento G1M1 sull’asse delle ascisse; poiché EG è il doppio di GM, anche il
segmento E1G1 è il doppio del segmento G1M1.
In simboli:
==>
e, passando alle loro misure,
.
Indicate con (xG,yG) le coordinate di G, formalizziamo la relazione precedente:
Risolviamo l’equazione ottenuta (incognita xG):
I segmenti EE2, GG2 e MM2 sono tra loro paralleli, l’asse delle ordinate e la retta passante per EM sono due trasversali.
Applichiamo ancora il teorema di Talete.
Al segmento EG, sulla retta passante per EM, corrisponde il segmento E2G2 sull’asse delle ordinate e al segmento GM,
sulla retta passante per EM, corrisponde il segmento G2M2 sull’asse delle ordinate; poiché EG è il doppio di GM, anche il
segmento E2G2 è il doppio del segmento G2M2.
In simboli:
32
==>
e, passando alle loro misure,
.
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13. Il piano cartesiano
Formalizziamo la relazione precedente:
Risolviamo l’equazione ottenuta (incognita yG):
In definitiva, le coordinate del baricentro G del triangolo EFK sono:
Adesso, generalizziamo: vogliamo determinare una relazione che consenta di determinare le coordinate del baricentro di
un triangolo, note le coordinate dei vertici del triangolo.
Siano A (xA,yA), B (xB,yB) e C (xC,yC) tre punti di un piano cartesiano,
M (xM,yM) il punto medio del segmento BC e G il baricentro del
triangolo ABC.
Indichiamo con A1, G1, M1 le proiezioni, rispettivamente, di A, G,
M sull’asse delle ascisse e con A2, G2, M2 le proiezioni,
rispettivamente, di A, G, M sull’asse delle ordinate (fig. 29):
Per quanto detto nel paragrafo 11.8, si ha:
Riferendoti alla fig. 29, completa le seguenti relazioni:
Per la proprietà del ………, il segmento AG è il ……………. del segmento GM:
Inoltre, i segmenti AA1, GG1 e MM1 sono tra loro ……………………, l’asse delle ascisse e la retta passante per AM sono
due ………………………; possiamo, allora, applicare il Teorema di ………………………. .
Al segmento AG, sulla retta passante per AM, corrisponde il segmento ………. sull’asse delle ascisse e al segmento GM,
sulla retta passante per AM, corrisponde il segmento …………. sull’asse delle ascisse; poiché AG è il ………… di GM,
anche il segmento A1G1 è il doppio del segmento …………... .
In simboli:
==>
e, passando alle loro misure,
.
Indicate con (xG,yG) le coordinate di G, formalizziamo la relazione precedente:
Risolviamo l’equazione ottenuta (incognita xG):
Prova tu a determinare l’ordinata di G, ripetendo il procedimento seguito per determinarene l’ascissa.
Dalle osservazioni precedenti, possiamo dedurre che:
le coordinate del baricentro G di un triangolo di vertici A (xA,yA), B (xB,yB) e C (xC,yC) sono:
PROVA TU
Determina le coordinate del baricentro di un triangolo avente per vertici i seguenti punti:
33
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Algebra - secondo anno
13.10 FUNZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
Ricordiamo la definizione di funzione (par. 4.5):
dati due insiemi A e B, una relazione da A verso B è una funzione se e solo se ogni elemento di A ha una sola
immagine in B.
In simboli:
Ricordiamo, inoltre, che le funzioni, in generale, sono indicate con le lettere minuscole dell’alfabeto: f, g, h, a, ……
Se gli insiemi A e B sono insiemi numerici, la funzione è detta numerica ed il generico elemento x di A è chiamato variabile
indipendente, il generico elemento y di B è chiamato variabile dipendente. L’immagine (o corrispondente) di un
elemento di A tramite una funzione f, viene indicato, solitamente, con la scrittura f(x).
Il grafico di una funzione numerica f da A verso B è l’insieme
la coppia
può essere, allora, interpretata come coppia di coordinate cartesiane di un punto nel piano e,
dunque, il grafico di una funzione può essere rappresentato come insieme di punti nel piano cartesiano: il primo elemento
della coppia rappresenta l’ascissa, il secondo l’ordinata.
Ad esempio, dati gli insiemi
e
sia f verso B così definita:
una funzione da A
Per determinare le coppie del grafico di f possiamo costruire una tabella formata da due colonne e da un numero di righe
pari al numero degli elementi di A: nella prima colonna riportiamo gli elementi di A, nella seconda le loro immagini (fig. 31a);
oppure possiamo costruire una tabella formata da due righe e da un numero di colonne pari al numero degli elementi di A:
nella prima riga riportiamo gli elementi di A, nella seconda le loro immagini (fig. 31b).
La rappresentazione tabulare di Gf è, dunque, la seguente:
Ad ogni elemento di Gf corrisponde, allora, un punto del piano cartesiano.
I punti azzurri della fig. 32 costituiscono la rappresentazione grafica
della funzione f.
Rappresentiamo, adesso, la funzione g:
Costruiamo, dunque, una tabella con due righe: nella prima
riportiamo alcuni numeri reali scelti a piacere e nella seconda le loro
immagini tramite la funzione g.
Sia
34
; è facile intuire che
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13. Il piano cartesiano
Osserva le figure 33a e 33b:
Nella fig. 33a sono rappresentati gli elementi
Poichè il dominio della funzione g è l’insieme dei numeri reali, tutti i punti dell’asse delle ascisse hanno una immagine e,
quindi, possiamo unire i punti rappresentati in precedenza con una linea. La linea azzurra della fig. 33b costituisce la
rappresentazione grafica della funzione g.
Rappresentiamo la funzione
Costruiamo la tabella che consente di determinare alcuni elementi del grafico di
Sia
.
; è ovvio che
Nella figura 34a è rappresentato l’insieme G2.
Sappiamo che esistono punti della retta che non hanno come corrispondente un numero razionale e, di conseguenza,
esistono punti del piano cartesiano che non hanno come immagine una coppia di numeri razionali. Non è, allora, corretto
rappresentare la funzione h unendo i punti di G2 con una linea, così come abbiamo fatto con la funzione g dell’esempio
precedente.
Tuttavia, poiché fra due numeri
razionali vi sono infiniti numeri
razionali, si conviene anche in
questo caso, di rappresentare
la funzione h unendo con una
linea i punti di G2 (fig. 34b).
35
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Algebra - secondo anno
OSSERVAZIONI
a) La rappresentazione grafica di una funzione, avente per dominio un insieme infinito (le funzioni g e h degli esempi
precedenti), ottenuta unendo con una linea alcuni punti del grafico della funzione, è, generalmente, una rappresentazione
approssimata della funzione stessa dal momento che non siamo in grado di determinare le immagini di tutti gli elementi
del suo dominio.
b) Consideriamo le funzioni g (abbiamo sostituito g(x) con y) e h degli esempi precedenti:
Da un punto di vista formale, queste scritture sono delle equazioni in due variabili (x e y); applicando i principi di
equivalenza, possono essere ridotte a forma normale ottenendo:
La stessa funzione, dunque, può essere espressa in due modi diversi:
1) da un’equazione in cui al primo membro c’è soltanto la variabile y e al secondo membro una espressione il cui
valore dipende da x; in generale y = f (x);
2) da un’equazione ridotta a forma normale e, quindi, in generale P(x, y) = 0.
Nel caso 1) si dice che la funzione è espressa da una equazione in forma esplicita; nel caso 2) si dice che la funzione
è espressa da una equazione in forma implicita.
Come al solito, non mancano casi particolari: esistono funzioni espresse da equazioni nelle quali è presente una sola
delle due variabili; esse possono essere considerate sempre equazioni in due variabili avente nullo il coefficiente della
variabile non presente.
Ad esempio:
Parleremo, indifferentemente, di rappresentazione dell’equazione y = f (x) o di rappresentazione della funzione
(relazione) di equazione y = f (x) o di grafico della funzione y = f (x).
c) Alle funzioni g e h e, quindi alle loro equazioni, è stato possibile associare una curva del piano cartesiano.
Questa proprietà è più generale: ogni equazione in due variabili (che ha insieme soluzione non vuoto) può essere
rappresentata nel piano cartesiano e la sua rappresentazione grafica è una linea, curva o retta, oppure un insieme di
punti.
Viceversa, ogni linea del piano cartesiano è la rappresentazione grafica di una equazione.
Mentre è abbastanza semplice associare ad una equazione una linea del piano (è sufficiente rappresentarla), non sempre
è agevole associare ad una linea del piano una equazione.
Ma, attenzione: la stessa equazione può avere rappresentazioni grafiche diverse.
Facciamo un esempio.
Consideriamo una relazione da R verso Z espressa dall’equazione x2 + y2 – 4 = 0; il suo grafico è, allora,
G=
i punti azzurri della figura 35a costituiscono la sua rappresentazione grafica.
Consideriamo, adesso, la relazione da R verso R espressa dalla stessa
equazione x2 + y2 – 4 = 0; la sua rappresentazione grafica è data dalla linea
azzurra della figura 35b.
36
;
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13. Il piano cartesiano
d) Data una equazione, siamo in grado di determinare alcuni punti del piano appartenenti alla rappresentazione grafica
dell’equazione. Viceversa, dato un punto del piano come fare per stabilire se appartiene o no alla rappresentazione
grafica dell’equazione?
Osserviamo che i punti appartenenti alla linea che rappresenta una funzione (o relazione) sono tali che la coppia formata
dalle loro coordinate è una soluzione dell’equazione che esprime la funzione (relazione).
Allora, per stabilire se un punto del piano appartiene alla rappresentazione grafica di una funzione (relazione), è sufficiente
stabilire se le coordinate del punto del piano verificano l’equazione che esprime la funzione (relazione).
Ad esempio:
a) stabiliamo se il punto P(−2,1) appartiene alla rappresentazione grafica della funzione di equazione y = 2x2 – x – 4.
Sostituiamo le coordinate di P nell’equazione che esprime la funzione; si ottiene:
L’uguaglianza ottenuta è chiaramente FALSA, quindi la coppia (−2,1) non è una soluzione dell’equazione e, pertanto, il
punto P non appartiene alla rappresentazione della funzione data.
b) stabiliamo se il punto S(1, −3) appartiene alla rappresentazione grafica della funzione di equazione y = 2x2 – x – 4.
Sostituiamo le coordinate di S nell’equazione che esprime la funzione ; si ottiene:
L’uguaglianza ottenuta è VERA, quindi la coppia (1, −3) è una soluzione dell’equazione e, pertanto, il punto S appartiene
alla rappresentazione grafica della funzione data.
PROVA TU
1) Rappresenta, nel piano cartesiano, la funzione
essendo
e
.
2) Rappresenta, nel piano cartesiano, la funzione g di equazione y = 2x – 5 avente per dominio e codominio l’insieme
dei numeri reali.
3) Rappresenta, nel piano cartesiano, la funzione g di equazione y = 2x – 5 avente per dominio
l’insieme
e codominio l’insieme dei numeri naturali.
4) Rappresenta nel piano cartesiano la funzione k di equazione y = x2 + 1 avente per dominio e codominio l’insieme dei
numeri razionali.
5) Rappresenta nel piano cartesiano la funzione k di equazione y = x2 + 1 avente per dominio
l’insieme
e codominio l’insieme dei numeri interi.
6) Stabilisci, per ciascuna delle seguenti funzioni, se i punti a fianco indicati appartengono alla sua rappresentazione
grafica:
13.11 EQUAZIONE DI UNA RETTA PARALLELA AGLI ASSI CARTESIANI
Nel precedente paragrafo abbiamo detto che, se è abbastanza agevole associare ad una equazione la sua rappresentazione
grafica, non sempre è possibile associare ad una linea (retta o curva) del piano la sua equazione.
Ricordiamo, inoltre, che l’equazione di una funzione esprime una relazione fra le coordinate dei punti del piano che
appartengono alla rappresentazione grafica della funzione stessa.
Così, se l’equazione di una funzione è y = 2x, la sua rappresentazione grafica è una linea formata dai punti del piano
cartesiano per i quali l’ordinata è il doppio dell’ascissa.
In questo paragrafo vogliamo provare ad associare a particolari linee del piano una equazione. Esaminiamo la linea più
semplice del piano: la retta.
Due rette particolari del piano cartesiano sono i due assi cartesiani: l’asse delle ascisse e l’asse delle ordinate. E’
possibile associare a ciascuna di esse una equazione?
37
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Algebra - secondo anno
Osserva la figura 36 e completa le proposizioni successive in
modo che risultino vere:
I punti M, A, C, F, H, E hanno due caratteristiche comuni:
• sono punti dell’asse …… ;
• la loro ordinata è ……. .
L’ordinata di un punto è, in generale, indicata con la lettera …… ; possiamo, pertanto, affermare che, per i punti M, A, C,
F, H, E vale la seguente proprietà: y = ……
Se consideriamo qualsiasi altro punto appartenente all’asse x, la sua ordinata è zero?
Esistono punti appartenenti all’asse x che hanno ordinata diversa da zero?
Concludiamo, dunque, che la caratteristica di tutti i punti dell’asse x è quella di avere ordinata ……
L’equazione dell’asse delle ascisse è, dunque, y = 0.
Osserva, ancora, la fig. 36 e completa le seguenti proposizioni in modo che risultino vere:
I punti T, D, G, B, L hanno due caratteristiche comuni:
• sono punti dell’asse …… ;
• la loro ascissa è ……. .
L’ascissa di un punto è, in generale, indicata con la lettera …… ; possiamo, pertanto, affermare che, per i punti T, D, G, B,
L vale la seguente proprietà: x = ……
Se consideriamo qualsiasi altro punto appartenente all’asse y, la sua ascissa è zero?
Esistono punti appartenenti all’asse y che hanno ascissa diversa da zero?
Possiamo, allora, concludere che la caratteristica di tutti i punti dell’asse y è quella di avere ascissa …… .
L’equazione dell’asse delle ordinate è, dunque, x = 0.
Osserva la figura 37:
Completa le seguenti proposizioni in modo che esse risultino
vere:
38
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Book in
progress
13. Il piano cartesiano
I punti A, Z, T hanno due caratteristiche comuni:
• sono punti della retta …… ;
• la loro ordinata è ……. .
L’ordinata di un punto è, in generale, indicata con la lettera …… ; possiamo, pertanto, affermare che, per i punti A, Z, T
vale la seguente proprietà: y = ……
Se consideriamo qualsiasi altro punto appartenente alla retta v, la sua ordinata è −2?
Esistono punti appartenenti alla retta v che hanno ordinata diversa da −2?
Possiamo, allora, concludere che la caratteristica di tutti i punti della retta v è quella di avere ordinata uguale a …… .
L’equazione della retta v è, dunque, y = −2.
I punti S, M, B hanno due caratteristiche comuni:
• sono punti della retta …… ;
• la loro ordinata è ……. .
L’ordinata di un punto è, in generale, indicata con la lettera …… ; possiamo, pertanto, affermare che, per i punti S, M, B
vale la seguente proprietà: y = ……
Se consideriamo qualsiasi altro punto appartenente alla retta t, la sua ordinata è 3?
Esistono punti appartenenti alla retta t che hanno ordinata diversa da 3?
Possiamo, allora, concludere che la caratteristica di tutti i punti della retta t è quella di avere ordinata uguale a …… .
L’equazione della retta t è, dunque, y = 3.
I punti P, D, H hanno due caratteristiche comuni:
• sono punti della retta …… ;
• la loro ordinata è ……. .
L’ordinata di un punto è, in generale, indicata con la lettera …… ; possiamo, pertanto, affermare che, per i punti P, D, H
vale la seguente proprietà: y = ……
Se consideriamo qualsiasi altro punto appartenente alla retta s, la sua ordinata è 5?
Esistono punti appartenenti alla retta s che hanno ordinata diversa da 5?
Possiamo, allora, concludere che la caratteristica di tutti i punti della retta s è quella di avere ordinata uguale a …… .
L’equazione della retta s è, dunque, y = 5.
Le rette v, s, t sono ……………………… all’asse delle ……………. .
Le equazione delle rette v, s, t sono dello stesso tipo, cioè sono del tipo y = “numero”.
I punti appartenenti ad una qualsiasi altra retta, parallela all’asse delle ascisse, hanno tutti la stessa ordinata?
Esistono rette parallele all’asse delle ascisse i cui punti abbiano ordinate diverse tra loro?
Possiamo, allora, concludere che la caratteristica dei punti appartenenti ad una retta parallela all’asse delle ascisse è quella
di avere la ................... ordinata.
In generale, quindi, l’equazione di una retta parallela all’asse delle ascisse è
39
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Algebra - secondo anno
Osserva la figura 38:
Completa le seguenti proposizioni in modo che esse risultino
vere:
I punti R, K, C hanno due caratteristiche comuni:
• sono punti della retta …… ;
• la loro ascissa è ……. .
L’ascissa di un punto è, in generale, indicata con la lettera …… ; possiamo, pertanto, affermare che, per i punti R, K, C
vale la seguente proprietà: x = ……
Se consideriamo qualsiasi altro punto appartenente alla retta a, la sua ascissa è −3?
Esistono punti appartenenti alla retta a che hanno ascissa diversa da −3?
Possiamo, allora, concludere che la caratteristica di tutti i punti della retta a è quella di avere ascissa uguale a …… .
L’equazione della retta a è, dunque, x = −3.
I punti L, N, W hanno due caratteristiche comuni:
• sono punti della retta …… ;
• la loro ascissa è ……. .
L’ascissa di un punto è, in generale, indicata con la lettera …… ; possiamo, pertanto, affermare che, per i punti L, N, W
vale la seguente proprietà: x = ……
Se consideriamo qualsiasi altro punto appartenente alla retta b, la sua ascissa è 3?
Esistono punti appartenenti alla retta b che hanno ascissa diversa da 3?
Possiamo, allora, concludere che la caratteristica di tutti i punti della retta b è quella di avere ascissa uguale a …… .
L’equazione della retta b è, dunque, x = 3.
I punti Q, G, E hanno due caratteristiche comuni:
• sono punti della retta …… ;
• la loro ascissa è ……. .
L’ascissa di un punto è, in generale, indicata con la lettera …… ; possiamo, pertanto, affermare che, per i punti Q, G, E
vale la seguente proprietà: x = ……
Se consideriamo qualsiasi altro punto appartenente alla retta c, la sua ascissa è 9?
Esistono punti appartenenti alla retta c che hanno ascissa diversa da 9?
Possiamo, allora, concludere che la caratteristica di tutti i punti della retta c è quella di avere ascissa uguale a …… .
L’equazione della retta c è, dunque, x = 9.
40
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13. Il piano cartesiano
Le rette a, b, c sono ……………………… all’asse delle ………………….. .
Le equazione delle rette a, b, c sono dello stesso tipo, cioè sono del tipo x = “numero”.
I punti appartenenti ad una qualsiasi altra retta, parallela all’asse delle ordinate, hanno tutti la stessa ascissa?
Esistono rette, parallele all’asse delle ordinate, i cui punti abbiano ascisse diverse tra loro?
Possiamo, allora, concludere che la caratteristica dei punti appartenenti ad una retta parallela all’asse delle ordinate è quella
di avere la ................... ascissa.
In generale, quindi, l’equazione di una retta parallela all’asse delle ordinate è
Le osservazioni appena fatte sono sintetizzate nella seguente tabella:
13.12 EQUAZIONE DELLE BISETTRICI DEI QUADRANTI
Osserva la fig. 39 nella quale la retta s è la bisettrice del I e III
quadrante:
Ricordiamo che la bisettrice di una angolo è il luogo
geometrico dei punti …………………………(completa) dai
lati dell’angolo.
Completa, allora, le seguenti proposizioni in modo che
risultino vere:
quadrante ==>
Ripetendo lo stesso ragionamento per i punti A, D, P, T si ha che
I punti A, D, H, P, T hanno due caratteristiche comuni:
• sono punti della retta ……, bisettrice del ……. e ……… quadrante;
• la loro ascissa è ……………… alla loro …………………. .
L’ascissa di un punto è, in generale, indicata con la lettera …… , l’ordinata di un punto è, in generale, indicata con la lettera
……… ; possiamo, quindi, affermare che per i punti A, D, H, P, T vale la seguente proprietà: y = …… .
Se consideriamo un qualsiasi altro punto appartenente alla retta s, la sua ascissa è
uguale alla sua ordinata?
Esiste almeno un punto appartenente alla retta s tale che la sua ascissa sia diversa
dalla sua ordinata?
Possiamo, allora, concludere che la caratteristica di tutti i punti della retta s, bisettrice del I e III quadrante, è quella di avere
l’ascissa ……………. all’ordinata.
41
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Algebra - secondo anno
L’equazione della bisettrice del I e III quadrante è, dunque, y = x.
Osserva la figura 40 nella quale la retta t è la bisettrice del II e
IV quadrante:
Ricordando, ancora una volta, che i punti della bisettrice di un
angolo sono ………………………... dai lati dell’angolo,
completa le seguenti proposizioni in modo che risultino vere:
quadrante ==>
ma
si ottiene, dunque:
Ripetendo lo stesso ragionamento per i punti H, L, V, K si ha che
I punti H, L, S, V, K hanno due caratteristiche comuni:
• sono punti della retta ……, bisettrice del ……. e ……… quadrante;
• la loro ascissa è l’……………… della loro …………………. .
L’ascissa di un punto è, in generale, indicata con la lettera …… , l’ordinata di un punto è, in generale, indicata con la lettera
……… ; possiamo, quindi, affermare che per i punti H, L, S, V, K vale la seguente proprietà: y = …… .
Se consideriamo un qualsiasi altro punto appartenente alla retta t, la sua ascissa è
uguale all’opposto della sua ordinata?
Esiste almeno un punto appartenente alla retta t tale che la sua ascissa non sia
uguale all’opposto della sua ordinata?
Possiamo, allora, concludere che la caratteristica di tutti i punti della retta t, bisettrice del II e IV quadrante, è quella di avere
l’ascissa uguale all’……………….. della sua ordinata.
L’equazione della bisettrice del II e IV quadrante è, dunque, y = − x.
Le osservazioni appena fatte sono sintetizzate nella seguente tabella:
42
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13. Il piano cartesiano
13.13 EQUAZIONE DI UNA GENERICA RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE DEGLI ASSI
Siano A, D, H punti della retta r (figg. 41a e 41b).
Completa:
•
esiste una relazione fra le coordinate di A?
Se hai risposto SI, qual è la relazione?
........ = ……..
esiste una relazione fra le coordinate di D?
Se hai risposto SI, qual è la relazione?
........ = ……..
esiste una relazione fra le coordinate di H?
Se hai risposto SI, qual è la relazione?
........ = ……..
•
•
Le coordinate dei punti A, D, H hanno, dunque, una stessa caratteristica: l’ordinata è ....……….. dell’ascissa.
In simboli, ….. = …… .
Possiamo, allora, congetturare che fra le coordinate dei punti della retta r esista la stessa relazione.
Indichiamo con (x, y) le coordinate di un generico punto C della retta r (fig. 41b).
Completa:
è …………………… a
, quindi il triangolo
è simile al triangolo
I due triangoli, allora, hanno i lati omologhi in proporzione:
.
Ma,
Sostituendo nella () le misure determinate, si ottiene:
La relazione che esiste fra le coordinate del punto C è, dunque, …………… alla relazione che esiste fra le coordinate dei
punti A, D, H.
Poiché C è un punto qualsiasi di r, possiamo dire che la caratteristica di tutti i punti di r è quella di avere l’ordinata ………
…. dell’ascissa; l’equazione della retta r è : y = ………. .
Le coordinate del punto O(0,0), origine degli assi, sono soluzione dell’equazione y = 2x?
Possiamo, allora, dire che O(0, 0) …………………… alla retta r .
43
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Algebra - secondo anno
In sintesi:
• l’equazione della retta r è: y = 2x;
• la retta r passa per l’origine degli assi.
Nelle figure 42a e 42b è rappresentata una retta t ; i punti B, F, K sono punti di t .
Completa:
•
esiste una relazione fra le coordinate di B?
Se hai risposto SI, qual è la relazione?
........ = ……..
esiste una relazione fra le coordinate di F?
Se hai risposto SI, qual è la relazione?
........ = ……..
esiste una relazione fra le coordinate di K?
Se hai risposto SI, qual è la relazione?
........ = ……..
•
•
Le coordinate dei punti B, F, K hanno, dunque, una stessa caratteristica: l’ordinata è ....…………….. dell’ascissa.
In simboli, ….. = …… .
Possiamo, allora, congetturare che fra le coordinate dei punti della retta t esista la stessa relazione.
Indichiamo con (x, y) le coordinate di un generico punto P della retta t (fig. 42b). Completa:
è …………………… a
, quindi il triangolo
è simile al triangolo
I due triangoli, allora, hanno i lati omologhi in proporzione:
.
Ma,
Sostituendo nella () le misure determinate, si ottiene:
La relazione che esiste fra le coordinate del punto P è, dunque, …………… alla relazione che esiste fra le coordinate dei
punti B, F, K.
Poiché P è un punto qualsiasi di t, possiamo dire che la caratteristica di tutti i punti di t è quella di avere l’ordinata ………
………….. dell’ascissa; l’equazione della retta t è : y = ………. .
Le coordinate del punto O(0,0), origine degli assi, sono soluzione dell’equazione
Possiamo, allora, dire che O(0, 0) …………………… alla retta t.
44
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13. Il piano cartesiano
In sintesi:
• l’equazione della retta t è:
;
• la retta t passa per l’origine degli assi.
PROVA TU
1) Osserva le figg. 43a e 43b; ripetendo il procedimento degli esempi precedenti deduci l’equazione della retta s in esse
rappresentata e stabilisci se essa passa per l’origine degli assi.
2) Osserva le figg. 44a e 44b; ripetendo il procedimento degli esempi precedenti deduci l’equazione della retta v in esse
rappresentata e stabilisci se la retta passa per l’origine degli assi.
Sulla base delle considerazioni fatte, completa le seguenti proposizioni:
• l’equazione della retta s è y = …….. ;
• la retta s passa per l’………… degli ……… ;
• l’equazione della retta v è: y = …….. ;
• la retta v passa per l’………… degli ……… .
Nella seguente tabella sono sintetizzate le considerazioni svolte in precedenza:
45
AIE604_C2_algebra_primo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.04 Pagina 46
Algebra - secondo anno
Analizzando la tabella, completa le seguenti affermazioni:
• tutte le rette considerate passano per l’……………………… degli …….….. ;
• l’equazione di ciascuna retta è del tipo
, dove
è un ………………….….. di ………….. grado;
• Le equazioni della seconda colonna, dunque, sono del tipo
.
Possiamo, allora, generalizzare e affermare che tutte le rette passanti per l’origine degli assi hanno equazione simile a quella
delle rette della tabella?
Prima di rispondere è necessario riflettere; non dimentichiamo che, spesso, esistono casi particolari.
Infatti, …… anche gli assi cartesiani passano per l’origine degli assi!
• L’equazione dell’asse x è: y = ……. Per quale valore di m essa si ottiene dall’equazione y = mx ?
nessun valore di m
L’equazione dell’asse x, dunque, è un’equazione del tipo y = mx.
• L’equazione dell’asse y è: x = …….. Per quale valore di m si ottiene dall’equazione y = mx ?
nessun valore di m
L’equazione dell’asse y, dunque, non è un’equazione del tipo y = mx.
Adesso, possiamo generalizzare:
l’equazione di una retta passante per l’origine degli assi, diversa dall’asse delle ordinate, è:
Viceversa, ogni equazione del tipo
l’origine degli assi.
ha, come rappresentazione grafica, una retta passante per
PROVA TU
Quali, fra le seguenti, è l’equazione di una retta passante per l’origine degli assi cartesiani?
Le considerazioni appena svolte, permettono di affermare che la rappresentazione grafica di una funzione del tipo y = mx,
al variare di m nell’insieme dei numeri reali, è una retta passante per l’origine degli assi del sistema cartesiano fissato nel
piano.
Quali indicazioni sulla retta possiamo dedurre dal valore di m?
Nella fig. 45 sono rappresentate le rette r, t, v della precedente tabella:
Osservando la fig. 45, completa le risposte alle seguenti domande.
a) Considera la retta t :
• Per quale valore di m, dall’equazione generica y = mx, si ottiene l’equazione
di t? m = …….. .
• Il valore di m trovato è positivo o negativo? m ….. 0.
• In quali quadranti sono situati i punti della retta t (distinti dall’origine degli assi)?
I punti della retta t sono situati nel ………….. quadrante e nel ……………….
quadrante.
b) Considera la retta r :
• Per quale valore di m, dall’equazione generica y = mx, si ottiene l’equazione di r? m = …….. .
• Il valore di m trovato è positivo o negativo? m ….. 0.
• In quali quadranti sono situati i punti della retta r (distinti dall’origine degli assi)?
I punti della retta r sono situati nel ………….. quadrante e nel ………………. quadrante.
c) Considera la retta v :
• Per quale valore di m, dall’equazione generica y = mx, si ottiene l’equazione di v? m = …….. .
• Il valore di m trovato è positivo o negativo? m ….. 0.
• In quali quadranti sono situati i punti della retta v (distinti dall’origine degli assi)?
I punti della retta v sono situati nel ………….. quadrante e nel ………………. quadrante.
46
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Book in
progress
13. Il piano cartesiano
Rappresenta, nel piano cartesiano della fig. 46, la retta a di equazione
Dalla geometria euclidea, sai che la retta passante per due punti distinti del
piano è ………..….. .
In generale, per rappresentare una retta nel piano cartesiano, dunque, è
necessario determinare le coordinate di due suoi punti.
Sicuramente un punto della retta a è l’…………………….. degli assi, perché
la sua equazione è del tipo y = …….. .
Per determinare il secondo punto della retta a è sufficiente assegnare alla
variabile indipendente x un valore a piacere e determinare la sua immagine:
Il secondo punto della retta a è, quindi, R(3, …….).
Per rappresentare la retta a basta tracciare la retta passante per i punti O(…., ….) e R(…., …..).
Osserva, adesso, la retta a e, come hai fatto in precedenza, completa le risposte alle seguenti domande:
• Per quale valore di m, dall’equazione generica y = mx, si ottiene l’equazione di a ? m = …….. .
• Il valore di m trovato è positivo o negativo? m ….. 0.
• In quali quadranti sono situati i punti della retta a (distinti dall’origine degli assi)?
I punti della retta a sono situati nel ………….. quadrante e nel ………………. quadrante.
Osservando le figg. 45 e 46 e riflettendo sulle risposte date alle precedenti domande nei diversi casi, avrai, sicuramente,
notato che:
• se m > ….. , i punti delle rette sono situati nel ………….. e …………….. quadrante;
• se m < ….. , i punti delle rette sono situati nel ………….. e …………….. quadrante.
Viceversa,
• se i punti delle rette sono situati nel primo e terzo quadrante,
m >….. ;
• se i punti delle rette sono situati nel secondo e quarto quadrante, m < ….. .
Siamo portati, allora, a pensare che questa sia una proprietà più generale.
Vediamo, allora, se è possibile generalizzare.
Siano d una retta passante per l’origine degli assi situata nel primo e terzo quadrante e P(a, b) un generico punto di d (fig.
47a e fig. 47b) [operiamo come se le coordinate fossero “diverse” nelle due figure]:
L’equazione della retta d è del tipo y = mx e, poiché P è un punto di d, le sue coordinate sono soluzione dell’equazione
stessa. Sostituendo le coordinate di P nell’equazione della retta d, si ottiene:
47
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Algebra - secondo anno
Completa:
Adesso, siano g una retta passante per l’origine degli assi situata nel secondo e quarto quadrante e P(a, b) un generico
punto di g (fig. 48a e fig.48b) [operiamo come se le coordinate fossero “diverse” nelle due figure]:
L’equazione della retta g è del tipo y = mx e, poiché P è un punto di g, le sue coordinate sono soluzione dell’equazione
stessa. Sostituendo le coordinate di P nell’equazione della retta g, si ottiene:
Completa:
Dalle precedenti osservazioni emerge un’altra considerazione molto importante:
, cioè il valore di m è uguale al
rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un generico punto della retta stessa.
Allora, qualunque punto si consideri appartenente ad una retta passante per l’origine degli assi (diversa dall’asse delle
ordinate), il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa è costante.
La funzione y = mx è tale che il rapporto
si mantiene costante al variare di x nell’insieme dei numeri reali.
Ricorderai che, grandezze con queste caratteristiche, sono direttamente proporzionali.
Possiamo dire, allora, che la proporzionalità diretta è espressa dalla funzione y = mx e la sua rappresentazione grafica
è una retta passante per l’origine degli assi.
Sia y = 3x l’equazione della retta a passante per l’origine degli assi; completa la seguente tabella:
Consideriamo le seguenti coppie di punti della retta a:
Completa la seguente tabella dove nella seconda colonna è indicata la differenza delle ascisse (Δx), nella terza colonna la
differenza delle ordinate (Δy), nell’ultima colonna è indicato il rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle
ascisse
:
48
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Book in
progress
13. Il piano cartesiano
Che cosa osservi nell’ultima colonna?
…………………………………………………………………………………………………………
Deduciamo, allora, che il rapporto
Al rapporto
è costante ed è uguale al valore di m.
si dà il nome di rapporto incrementale.
PROVA TU
Verifica che se, nell’equazione y = mx, m > 0, allora i punti della retta sono punti del primo e del terzo quadrante; se,
nell’equazione y = mx, m < 0, allora i punti della retta sono punti del secondo e quarto quadrante.
(Suggerimento: se (a, b) sono le coordinate di un punto P della retta, si ha
e poiché
, anche
;
quindi b > ….. ∧ a > ….., oppure b < ….. ∧ a < …... . Il punto P appartiene ………………. ; se m < 0, anche ………
……….. ).
In sintesi:
Sia y = mx l’equazione di una retta passante per l’origine degli assi:
m > 0 la retta è situata nel primo e terzo quadrante;
m < 0 la retta è situata nel secondo e quarto quadrante;
è costante e
Quali altre indicazioni può dare il valore di m?
Indichiamo con α l’angolo che una retta passante per l’origine degli assi forma con la direzione positiva dell’asse delle
ascisse (fig.49a e fig. 49b):
Osserva la fig. 49a e rispondi ai seguenti quesiti:
In quale quadrante sono situati i punti della retta d di ordinata positiva?
Il lato OP dell’angolo α, rispetto all’angolo formato dalle direzioni positive degli assi cartesiani:
è interno
coincide con l’asse x
è esterno
Possiamo, allora, dire che l’angolo α è ………….. dell’angolo
L’equazione della retta d è y = ………. , con m ….. 0.
coincide con l’asse y
e, quindi, α è un angolo ……………
Osserva la fig. 49b e rispondi ai seguenti quesiti:
In quale quadrante sono situati i punti della retta s di ordinata positiva?
Il lato OP dell’angolo α, rispetto all’angolo formato dalle direzioni positive degli assi cartesiani:
è interno
coincide con l’asse x
è esterno
Possiamo, allora, dire che l’angolo α è ………….. dell’angolo
coincide con l’asse y
e, quindi, α è un angolo ……………
49
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Algebra - secondo anno
L’equazione della retta s è y = ………. , con m ….. 0.
Possiamo, così, sintetizzare:
m>0 α angolo acuto;
m<0 α angolo ottuso.
Dall’ultima osservazione e dagli esempi precedenti, possiamo dedurre che dal valore di m dipende l’angolo α che la retta
forma con la direzione positiva dell’asse delle ascisse, ossia l’inclinazione della retta sull’asse delle ascisse.
Per questo motivo m prende il nome di coefficiente angolare della retta o pendenza della retta.
Conveniamo di indicare sempre con la lettera α l’angolo che una retta forma con la direzione positiva dell’asse x .
Nella fig. 50 sono rappresentate le rette:
Osserva il primo quadrante della fig. 50 e completa:
La semiretta Oc è la ……………………….. del ……….. quadrante,
quindi α = …..° .
Le semirette Oa, Od, Ob sono …………… all’angolo
quindi, per ciascuna di esse, α < …..° .
Riflettiamo sulle equazioni delle rette a, b, c, d:
Scrivi in ordine crescente i valori di m :
quindi, per ciascuna delle rette a, b, d si ha:
Possiamo, allora, dire che:
;
….. , ….. , ….. , ….. ;
0…. m …. 1.
Nella fig. 51 sono rappresentate le rette:
Osserva il primo quadrante della fig. 51 e completa:
La semiretta Oc è la ……………………….. del ……….. quadrante,
quindi α = …..° .
Le semirette Od, Oe, Of sono …………… all’angolo
.
Per ciascuna di esse, allora, …..° < α < …..° .
Riflettiamo sulle equazioni delle rette c, d, e, f :
Scrivi in ordine crescente i valori di m : ….. , ….. , ….. , ….. ;
quindi, per ciascuna delle rette d, e, f si ha:
m …. 1.
Possiamo, allora, dire che:
Inoltre, osservando le figure 50 e 51, notiamo che, se il coefficiente
angolare è positivo, a coefficiente angolare maggiore corrisponde un
angolo α maggiore.
50
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13. Il piano cartesiano
Nella figura 52 sono rappresentate le rette;
Osserva il secondo quadrante della fig. 52 e completa:
La semiretta Og è la ……………………….. del …………….. quadrante,
quindi α = …..° .
Le semirette Oh, Ok, Om sono …………… all’angolo
.
Per ciascuna di esse, allora, …..° < α < …..° .
Riflettiamo sulle equazioni delle rette g, h, k, m :
Scrivi in ordine crescente i valori di m : ….. , ….. , ….. , ….. ;
quindi, per ciascuna delle rette h, k, m si ha:
m …. −1.
Possiamo, allora, dire che:
Nella fig. 53 sono rappresentate le rette:
Osserva il secondo quadrante della fig. 53 e completa:
La semiretta Og è la ……………………….. del …………….. quadrante,
quindi α = …..° .
Le semirette Or, Os, Ot sono …………… all’angolo
.
Per ciascuna di esse, allora, …..° < α < …..° .
Riflettiamo sulle equazioni delle rette g, r, s, t :
Scrivi in ordine crescente i valori di m: ….. , ….. , ….. , ….. ;
quindi, per ciascuna delle rette r, s, t si ha:
−1 …. m …. 0.
Possiamo, allora, dire che:
Inoltre, osservando le figure 52 e 53, notiamo che, se il coefficiente angolare è negativo, a coefficiente angolare minore
corrisponde un angolo α maggiore.
Sintetizziamo, adesso, i risultati raggiunti in questo paragrafo:
l’equazione di una retta passante per l’origine degli assi, tranne l’asse delle ordinate, è una equazione del tipo
la rappresentazione grafica di un’equazione del tipo
cartesiani e distinta dall’asse delle ordinate;
la funzione y = mx esprime la legge della proporzionalità diretta;
è una retta passante per l’origine degli assi
è costante ;
il coefficiente m prende il nome di coefficiente angolare o pendenza;
angolo acuto;
angolo ottuso;
51
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Algebra - secondo anno
in particolare:
PROVA TU
1) Quale delle seguenti rette è situata nel primo e terzo quadrante?
2) Per ciascuna delle seguenti rette, stabilisci se l’angolo α è acuto o ottuso:
3) Quale delle seguenti rette forma con la direzione dell’asse x l’angolo maggiore?
13.14 EQUAZIONE DI UNA GENERICA RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE DEGLI ASSI
Siano r la retta di equazione
tale che
.
Applichiamo alla retta r la traslazione
un vettore avente la stessa direzione e lo stesso verso dell’asse delle ordinate e
di vettore
.
Per le proprietà della traslazione:
• l’immagine della retta r è ancora una retta che indichiamo con s ;
• i punti della retta s sono i corrispondenti dei punti della retta r tramite la traslazione
• la retta s è parallela alla retta r ;
• la retta s non passa per l’origine degli assi.
Ci proponiamo di determinare l’equazione della retta s.
Osserviamo la fig. 54:
• O ha coordinate (0, 0); T ha coordinate (1, 3); R ha coordinate (2, 6)
• A ha coordinate (0, 2); B ha coordinate (1, 5); C ha coordinate (2, 8)
•
confrontiamo le coordinate di O e del suo corrispondente: ;
confrontiamo le coordinate di T e del suo corrispondente: ;
confrontiamo le coordinate di R e del suo corrispondente: ;
Dal confronto fra le coordinate di tali punti di r e dei loro corrispondenti
(punti di s), possiamo notare che le ascisse sono rimaste invariate, mentre
le ordinate sono “aumentate” di 2.
Ricordiamo che, per ciascun punto di r, l’ordinata è il triplo dell’ascissa; quindi:
Possiamo, allora, scrivere:
D’altra parte, abbiamo già osservato che:
quindi, si ottiene:
52
;
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13. Il piano cartesiano
Siamo portati, allora, a congetturare che le coordinate dei punti di s siano legate dalla seguente relazione: l’ordinata è data
dalla somma del triplo dell’ascissa con il numero 2.
Vediamo, allora, se questa relazione vale per qualsiasi punto della retta s .
Sia P(a, b) un generico punto della retta r (fig. 55):
Osserviamo che:
•
• P ha coordinate (a, b); Q ha coordinate (a, b + 2) (perché?);
•
Poiché P è un punto di r , b = 3a ;
quindi, le coordinate di Q sono (a, 3a + 2).
Allora, la relazione che esiste fra le coordinate del punto Q è quella che
avevamo congetturato: l’ordinata è uguale alla somma del triplo
dell’ascissa con il numero 2;
in simboli: y = 3x + 2.
L’equazione della retta s è, allora: y = 3x + 2.
Facciamo subito qualche osservazione:
• la retta s non passa per l’origine degli assi;
• s è parallela a r e, quindi, le due rette formano con la direzione positiva
dell’asse delle ascisse angoli congruenti;
• nell’equazione di r e nell’equazione di s il coefficiente di x è uguale:
• la sua equazione è del tipo y = f (x) dove f (x) è un polinomio di primo grado.
Un altro esempio.
Siano t la bisettrice del secondo e quarto quadrante (qual è la sua equazione? ………..) e la retta a la sua immagine nella
traslazione
di vettore
, essendo
un vettore avente la stessa direzione dell’asse delle ordinate, verso opposto a
quello dell’asse delle ordinate e modulo
(fig. 56):
Dall’analisi della figura si ha che:
• O ha coordinate (0, 0); D ha coordinate (−1, 1); E ha coordinate (−2, 2)
• G ha coordinate (0, −1); H ha coordinate (−1, 0); K ha coordinate (−2, 1)
•
confrontiamo le coordinate di O e del suo corrispondente G:
confrontiamo le coordinate di D e del suo corrispondente H:
confrontiamo le coordinate di E e del suo corrispondente K:
Dal confronto fra le coordinate di tali punti di t e dei loro corrispondenti (punti di a), possiamo notare che le ascisse sono
rimaste invariate, mentre le ordinate sono “diminuite” di 1.
Ricordiamo che, per ciascun punto di t, l’ordinata è l’opposto dell’ascissa; quindi:
Possiamo, allora, scrivere:
D’altra parte, abbiamo già osservato che:
quindi, si ottiene:
53
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Algebra - secondo anno
Siamo portati, allora, a congetturare che le coordinate dei punti di a siano legate dalla seguente relazione: l’ordinata è
uguale alla differenza fra l’opposto dell’ascissa e il numero 1.
Procedendo come nell’esempio precedente, verifica che questa relazione vale per qualsiasi punto della retta a .
Possiamo, allora, dire che l’equazione della retta a è
Ancora qualche osservazione:
.
• la retta a non passa per l’origine degli assi;
• a è parallela a t e, quindi, le due rette formano con la direzione positiva dell’asse delle ascisse angoli congruenti;
• nell’equazione di t e nell’equazione di a il coefficiente di x è uguale;
• l’equazione della retta a è del tipo y = f (x) dove f (x) è un polinomio di primo grado.
PROVA TU
Rappresenta, in un piano cartesiano, la retta d di equazione y = −2x e la sua immagine h nella traslazione τ di vettore
essendo
un vettore avente stessa direzione e stesso verso dell’asse delle ordinate e
.
,
Anche per le rette d e h possiamo fare considerazioni analoghe alle precedenti:
• la retta h non passa per l’origine degli assi;
• h è parallela a d e, quindi, le due rette formano con la direzione positiva dell’asse delle ascisse angoli congruenti;
• nell’equazione di d e nell’equazione di h il coefficiente di x è uguale;
• l’equazione della retta h è del tipo y = f (x) dove f (x) è un polinomio di primo grado.
Alla luce delle considerazioni fatte per ciascuno degli esempi precedenti, siamo portati a fare la seguente congettura:
• una retta non passante per l’origine è ottenuta per traslazione da una retta passante per l’origine degli assi;
• l’equazione di una retta non passante per l’origine degli assi è del tipo y = f (x) dove f (x) è un polinomio di primo grado.
E, allora, generalizziamo.
Siano r una retta di equazione y = mx ed s la sua immagine in una traslazione di vettore
delle ordinate, verso uguale o opposto a quello dell’asse delle ordinate e modulo
avente stessa direzione dell’asse
Osserva le fig. 57a e 57b:
•
• P ha coordinate (a, b);
•
Distinguiamo due casi:
1)
ha lo stesso verso dell’asse delle ordinate (fig. 57a): le coordinate di Q sono (a, b + q).
Dal momento che P è un punto di r , b = ma ; quindi, le coordinate di Q sono (a, ma + q).
Poiché P è un qualsiasi punto di r, queste osservazioni valgono in generale; possiamo, perciò, affermare che qualsiasi
punto della retta s ha coordinate del tipo (x, mx + q).
54
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13. Il piano cartesiano
L’equazione della retta s è, quindi:
2)
ha verso opposto a quello dell’asse delle ordinate (fig. 57b): le coordinate di Q sono (a, b − q).
Dal momento che P è un punto di r , b = ma ; quindi, le coordinate di Q sono (a, ma − q).
Poiché P è un qualsiasi punto di r, queste osservazioni valgono in generale; possiamo, perciò, affermare che qualsiasi
punto della retta s ha coordinate del tipo (x, mx − q).
L’equazione della retta s è, quindi:
Osserviamo che:
In ogni caso, dunque, l’equazione della retta s può essere scritta nella forma y = mx + q, dove q è preceduto dal segno
“+” se
ha lo stesso verso dell’asse delle ordinate, q è preceduto dal segno “−” se ha verso opposto a quello dell’asse
delle ordinate.
Possiamo, allora, così sintetizzare:
l’equazione di una retta non passante per l’origine degli assi, e non parallela agli assi cartesiani, è del tipo y = mx + q;
viceversa, la rappresentazione grafica di una equazione del tipo y = mx + q è una retta non passante per l’origine degli
assi.
Ma, l’equazione y = mx + q può essere associata a tutte le rette non passanti per l’origine degli assi?
Come al solito, esistono casi particolari:
a) rette parallele all’asse delle ascisse;
b) rette parallele all’asse delle ordinate.
a) l’equazione di una retta parallela all’asse delle ascisse è del tipo y = k (par. 11.11).
Esiste almeno un valore di m per il quale questa equazione può essere ottenuta dall’equazione y = mx + q?
La risposta è affermativa; infatti se m = 0, dall’equazione y = mx + q si ottiene y = q che esprime una retta parallela
all’asse delle ascisse.
b) l’equazione di una retta parallela all’asse delle ordinate è del tipo x = h (par. 11.11).
Esiste almeno un valore di m per il quale questa equazione può essere ottenuta dall’equazione y = mx + q? Questa
volta la risposta è negativa: non esiste alcun valore di m per il quale dall’equazione y = mx + q si possa ottenere una
equazione del tipo x = h.
Possiamo, allora, concludere che:
è l’equazione di una retta non passante per l’origine degli assi e non parallela all’asse
delle ordinate.
OSSERVAZIONI
Quali indicazioni possono dare i valori di m e q nell’equazione y = mx + q?
Sappiamo che una retta non passante per l’origine degli assi si ottiene per traslazione da una retta passante per l’origine
degli assi ed inoltre rette che si corrispondono in una traslazione sono parallele; dunque, gli angoli che tali rette formano
con la direzione positiva dell’asse delle ascisse sono congruenti.
Il significato di m, pertanto, è lo stesso:
• il valore di m dà indicazioni sull’inclinazione della retta sull’asse delle ascisse e, ovviamente anche in questa equazione,
prende il nome di coefficiente angolare o pendenza della retta.
Inoltre, nell’equazione y = mx , si ha
E’ facile dimostrare che anche nell’equazione y = mx + q, il valore di m è uguale al rapporto fra la differenza delle ordinate
e la differenza dell’ascisse di due qualsiasi punti della retta.
Siano P e T due punti distinti di una retta di equazione y = mx + q; allora:
e, quindi:
(possiamo semplificare, perchè?) = m.
55
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Algebra - secondo anno
Osserva le figure 54 e 56 e la retta che è stata rappresentata nell’esercizio proposto a pag. 54; successivamente completa
la seguente tabella:
Confronta la seconda e la terza colonna: il termine q dell’equazione è ……………. all’ordinata del punto intersezione della
retta con l’asse delle ordinate.
Verifica, con altri esempi, questa proprietà.
Il termine q dell’equazione indica, allora, l’ordinata del punto intersezione della retta con l’asse delle ordinate; per questo
motivo esso prende il nome di ordinata all’origine.
Infatti, tale valore si ottiene assegnando ad x il valore zero.
Sintetizziamo, adesso, i risultati raggiunti in questo paragrafo:
Una retta non passante per l’origine degli assi è immagine di una retta passante per l’origine degli assi nella
traslazione di un opportuno vettore avente la stessa direzione dell’asse delle ordinate;
l’equazione di una retta non passante per l’origine degli assi e non parallela all’asse delle ordinate, è una equazione
del tipo
la rappresentazione grafica di un’equazione del tipo
è una retta non passante per l’origine degli assi cartesiani e non parallela all’asse delle ordinate;
il termine q indica l’ordinata del punto intersezione della retta con l’asse delle ordinate;
il termine q si chiama ordinata all’origine;
è costante
e
il coefficiente m si chiama coefficiente angolare o pendenza;
in particolare:
PROVA TU
1) Una sola delle seguenti equazioni ha come rappresentazione grafica una retta non passante per l’origine degli assi;
quale?
2) Scrivi l’equazione di una retta che incontri l’asse delle ordinate nel punto F(0, −1) e tale che α < 45°.
3) La retta a di equazione y = 3x – 5 è ottenuta della retta y = 3x applicando una traslazione di vettore:
56
a)
avente la stessa direzione, stesso verso dell’asse delle ordinate e
;
b)
avente la stessa direzione, verso opposto a quello dell’asse delle ordinate e
;
c)
avente la stessa direzione, verso opposto a quello dell’asse delle ordinate e
.
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13. Il piano cartesiano
13.15 RETTE PARALLELE
Consideriamo le rette a: y = 2x – 3 e b: y = 2x + 4 (fig. 58):
Completa:
Osservando l’equazione delle due rette, notiamo che esse hanno lo ………… coefficiente angolare.
Per le considerazioni fatte nel paragrafo 11.14, la retta a è ottenuta dalla retta r : y = ….. applicando una traslazione di
vettore
dove
è un vettore avente ………… direzione ma verso …………… a quello dell’asse delle ordinate e
=
…….. ; la retta a, quindi, è parallela alla retta r.
La retta b è ottenuta dalla retta r : y = 2x applicando una traslazione di vettore
direzione, ……….. verso dell’asse delle ordinate e
dove
è un vettore avente ……….
= ………; la retta b e la retta r sono, quindi parallele.
Poiché le rette a e b sono entrambe parallele alla retta r, esse sono parallele fra di loro.
In generale, siano s: y = mx + h e t: y = mx + k due rette del piano; per quanto osservato nel paragrafo 11.14, la retta s è
ottenuta applicando alla retta r: y = mx una traslazione di vettore
, dove
è un opportuno vettore avente la stessa
direzione dell’asse delle ordinate; la retta t è ottenuta applicando alla retta r: y = mx una traslazione di vettore
, dove
è
un opportuno vettore avente la stessa direzione dell’asse delle ordinate.
Le rette s e t, dunque, sono parallele fra di loro perché entrambe parallele alla retta r.
Possiamo, allora, dire che due rette aventi lo stesso coefficiente angolare sono parallele.
Viceversa, se due rette sono parallele, allora hanno lo stesso coefficiente angolare.
Infatti, se due rette sono parallele, hanno la stessa inclinazione sull’asse delle ascisse e, quindi, lo stesso coefficiente
angolare.
Sintetizziamo, adesso, i risultati raggiunti in questo paragrafo:
PROVA TU
1) Quali, fra le seguenti rette sono parallele?
2) Scrivi l’equazione della retta a parallela alla retta t: y = 4x e passante per il punto B(0, 2).
57
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Algebra - secondo anno
13.16 RETTE PERPENDICOLARI
Nella figura 59 sono rappresentate le rette r : y = 2x ed s: y =
siano P il punto di r e Q il punto di s entrambi di ascissa 1.
;
Osservando la figura potremmo affermare che le rette r ed s sono perpendicolari.
Cerchiamo, allora, di stabilire se la nostra idea è corretta.
A tal proposito, consideriamo il triangolo POQ e stabiliamo se, per esso, vale il
teorema di Pitagora e, quindi, se vale la relazione
Le coordinate di P sono (1, 2); le coordinate di Q sono
le coordinate di O sono (0,0).
;
Allora:
Inoltre:
Dal momento che
, abbiamo ottenuto che
Per il triangolo POQ, allora, vale il teorema di Pitagora e, quindi, esso è un triangolo rettangolo; l’angolo retto è l’angolo di
vertice O; le rette r ed s sono perpendicolari.
Poniamo, adesso, la nostra attenzione sui coefficienti angolari delle rette r ed s:
• il coefficiente angolare di r è mr = ………… ;
• il coefficiente angolare di s è ms = ………… ;
• il loro prodotto mr • ms = ………… ;
E’ solo un caso?
Rappresenta nel piano cartesiano le rette
entrambi di ascissa 1.
e
e siano H e K i punti, rispettivamente, di v e u
Seguendo l’esempio precedente, verifica che per il triangolo HOK vale il teorema di Pitagora; il triangolo HOK è, dunque,
un triangolo ……………… , l’angolo retto è l’angolo di vertice …..…. .
Le rette v ed u sono, quindi, …………………………. .
Osserva i coefficienti angolari delle rette v e u:
• il coefficiente angolare di v è mv = ………… ;
• il coefficiente angolare di u è mu = ………… ;
• il loro prodotto mv • mu = ………… ;
Forse, allora, non è un caso; proviamo a generalizzare (fig. 60):
Siano
due rette e T ed R i punti,
rispettivamente, di a e b entrambi di ascissa 1.
Le coordinate di T sono (1, m); le coordinate di R sono
le coordinate di O sono (0,0).
Consideriamo il triangolo ORT; si ha
Quindi:
58
;
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13. Il piano cartesiano
Dal momento che
, abbiamo ottenuto che
Per il triangolo TOR, allora, vale il teorema di Pitagora e, quindi, esso è un triangolo rettangolo; l’angolo retto è l’angolo di
vertice O; le rette a ed b sono perpendicolari.
Poniamo, adesso, la nostra attenzione sui coefficienti angolari delle rette a ed b:
• il coefficiente angolare di a è ma = ………… ;
• il coefficiente angolare di b è mb = ………… ;
• il loro prodotto ma • mb = ………… ;
Possiamo, allora, concludere che:
date le rette a: y = mx e b: y = m’x , se il prodotto dei loro coefficienti angolari è −1, le rette a e b sono perpendicolari;
in simboli:
Dall’analisi degli esempi precedenti possiamo dire che condizione sufficiente affinchè due rette siano perpendicolari è
che il prodotto dei loro coefficienti angolari sia −1.
Cerchiamo di stabilire se tale condizione è anche necessaria.
Consideriamo, a tal proposito, due rette s: y = hx e t: y = kx tra loro perpendicolari;
siano P e Q due punti, rispettivamente, di s e t entrambi di ascissa1 (fig. 61):
Osserviamo che:
Il triangolo POQ è un triangolo rettangolo e, quindi, per esso vale il teorema di
Pitagora:
Ma
Sostituendo nella relazione precedente, si ottiene:
Ricordando che ms = h e mt = k, possiamo concludere che se le rette sono
perpendicolari, il prodotto dei coefficienti angolari è −1.
In simboli:
E, quindi: condizione necessaria affinchè due rette siano perpendicolari è che il prodotto dei loro coefficienti angolari
sia −1.
Possiamo, allora, così sintetizzare i risultati ottenuti:
le rette a: y = mx e b: y = m’x sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è −1.
In simboli:
E’ opportuno osservare che la condizione di perpendicolarità appena determinata vale solo se le rette a e b sono distinte
dagli assi cartesiani (perché?).
Nel determinare la relazione che deve esistere fra i coefficienti angolari di due rette affinchè esse siano perpendicolari,
abbiamo considerato soltanto rette espresse da equazioni del tipo y = mx, cioè rette passanti per l’origine degli assi
cartesiani.
E se le rette non passano per l’origine degli assi cartesiani?
Ricorderai che una retta non passante per l’origine degli assi è ottenuta per ………………………… da una retta passante
per l’origine degli assi e, quindi, è ad essa ……………………… .
Allora, se due rette passanti per l’origine degli assi sono perpendicolari, lo sono anche le rette ad esse parallele.
Possiamo allora generalizzare:
Due rette a e b, non parallele agli assi cartesiani, sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari
è −1.
In simboli:
59
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Algebra - secondo anno
Osserviamo che
Il numero
si chiama antireciproco di
.
La condizione di perpendicolarità fra due rette può essere, allora, formulata anche nel modo seguente:
Due rette, non parallele agli assi cartesiani, sono perpendicolari se e solo se i loro coefficienti angolari sono uno
l’antireciproco dell’altro.
In simboli:
PROVA TU
1) Quali, fra le seguenti rette, sono fra loro perpendicolari?
2) Scrivi l’equazione delle retta s perpendicolare alla retta
e passante per A(0,1).
OSSERVAZIONE
Nel paragrafo 11.10 abbiamo detto che l’equazione di una funzione può essere espressa in due modo: in forma esplicita
e in forma implicita.
Anche l’equazione di una retta, quindi, può essere espressa in forma implicita.
Per passare dalla forma esplicita a quella implicita basta applicare i principi di equivalenza delle equazioni.
Completa:
Osserviamo la tabella:
• i polinomi della seconda colonna sono di ………….. grado;
• non tutti i polinomi della seconda colonna sono ……….………… .
In generale, l’equazione di una retta, in forma implicita, è un’equazione, ridotta a forma normale, nella quale il primo membro
è un polinomio in due variabili di primo grado, quindi è del tipo
Al variare dei coefficienti a, b, c nell’insieme dei numeri reali, otteniamo:
se a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0
l’equazione diventa ……. + ……. = 0 ==> y = ……. : è l’equazione di una retta ……………
…………………………………………………………….. ;
se a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0
l’equazione diventa ….…. + ….…. = 0 ==> x = ……. : è l’equazione di una retta …………
……………………………………………………………….. ;
se a = 0, b ≠ 0, c ≠ 0
l’equazione diventa ….…. + ….…. = 0 ==> y = ……. : è l’equazione di una retta …………
……………………………………………………………….. ;
se a ≠ 0, b = 0, c = 0
l’equazione diventa ………. = 0: è l’equazione di una retta ……………………………………
………………………………….. ;
Se a = 0, b ≠ 0, c = 0
l’equazione diventa ………. = 0; è l’equazione di una retta ……………………………………
60
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13. Il piano cartesiano
…………………………………….. .
Come puoi osservare, tutte le rette del piano cartesiano si possono ottenere dall’equazione ax + by + c = 0, al variare di
a, b, c nell’insieme dei numeri reali.
Come determinare il coefficiente angolare m e l’ordinata all’origine q della retta se la sua equazione è in forma implicita?
E’ sufficiente scriverla in forma ……………… .
Ad esempio: qual è il coefficiente angolare della retta
? E qual è l’ordinata all’origine?
; il suo coefficiente angolare è
l’ordinata all’origine è q = ……….. .
Generalizziamo e riscriviamo in forma esplicita l’equazione
:
(quale condizione dobbiamo imporre?)
Allora,
• il coefficiente angolare è
• l’ordinata all’origine è
PROVA TU
La rappresentazione grafica delle seguenti equazioni è una retta; determinane il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine:
13.17 EQUAZIONI: INTERPRETAZIONE GRAFICA
Consideriamo l’equazione
, poniamo la nostra attenzione sul primo e secondo membro dell’equazione
stessa.
• Primo membro: 4x – 2.
Il valore dell’espressione 4x – 2 dipende dal valore attribuito alla variabile x; tale espressione è, dunque, una funzione.
Sia, allora, f (x) = 4x – 2.
• Secondo membro: −x + 3.
Il valore dell’espressione −x + 3 dipende dal valore attribuito alla variabile x; tale espressione è, dunque, una funzione.
Sia, allora, g (x) = −x + 3.
Completa:
le funzioni f (x) e g (x) sono espresse da un polinomio di ….…… grado; la loro rappresentazione grafica, dunque, è una …
……………………… .
Indichiamo con a e b, rispettivamente, la rappresentazione
grafica di f (x) e g (x) (fig. 62):
Dal momento che
, le rette a e b sono incidenti;
sia
Indichiamo con
l’ascissa del punto P.
Osserviamo che:
• poichè P ∈ a, la sua ordinata si ottiene sostituendo,
nell’espressione di f (x), alla variabile x l’ascissa di P,
quindi
;
• poiché P ∈ b, la sua ordinata si ottiene sostituendo,
nell’espressione di g (x), alla variabile x l’ascissa di P,
quindi
.
Si ottiene, allora, per la proprietà transitiva
;
in simboli:
61
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Algebra - secondo anno
L’ascissa del punto P rende vera l’uguaglianza
dell’equazione
Dalla fig. 62 deduciamo che
; quindi,
è una soluzione
; eseguiamo, allora, la verifica:
Possiamo, allora, affermare che:
la soluzione dell’equazione
è rappresentata dall’ascissa del punto intersezione delle rette a e b.
Consideriamo, adesso, l’equazione 3x – 6 = 0 (equazione ridotta a forma normale).
Ripetendo il ragionamento fatto precedentemente, indichiamo con f (x) e g (x), rispettivamente, il primo ed il secondo
membro dell’equazione; quindi f (x) = 3x – 6 e g (x) = 0.
Entrambe le funzioni hanno, come rappresentazione grafica, una
retta; in particolare la funzione g(x) ha, come rappresentazione
grafica, l’asse delle ascisse (fig. 63).
Indichiamo con s la rappresentazione grafica di f(x).
La retta s e l’asse delle ascisse sono incidenti (perché?),
sia T = s ∩ asse ascisse.
Osserviamo che:
• poiché T ∈ asse delle ascisse,
;
• poiché T ∈ s, la sua ordinata si ottiene sostituendo,
nell’espressione di f(x), alla variabile x l’ascissa di T,
quindi
.
Si ottiene, allora, per la proprietà transitiva
in simboli:
;
L’ascissa del punto T rende vera l’uguaglianza 3x – 6 = 0; quindi,
Dalla fig. 63 deduciamo che
Possiamo, allora, affermare che:
la soluzione dell’equazione
ascisse.
è una soluzione dell’equazione 3x – 6 = 0.
; eseguiamo, allora, la verifica:
è rappresentata dall’ascissa del punto intersezione della retta s con l’asse delle
Nei due esempi precedenti sono state prese in considerazione equazioni di primo grado, ma l’interpretazione data ad esse
può essere, ovviamente, estesa ad equazioni di qualsiasi tipo.
Possiamo, allora, generalizzare.
Indicati con f(x) e g(x), rispettivamente, il primo ed il secondo membro, un’equazione è una uguaglianza del tipo f(x) = g(x).
Dal punto di vista grafico, le soluzioni di un’equazione sono rappresentate dalle ascisse dei punti intersezione delle due
funzioni f(x) e g(x);
in particolare, se l’equazione è ridotta a forma normale, quindi è del tipo f(x) = 0, le sue soluzioni sono rappresentate
dalle ascisse dei punti intersezione della funzione f(x) con l’asse delle ascisse.
Osserva, attentamente, i seguenti esempi:
Esempi
Risolviamo le seguenti equazioni:
a)
b)
a) Sia
Entrambe le funzioni f(x) e g(x) hanno come rappresentazione grafica una retta.
62
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13. Il piano cartesiano
Osserviamo che le due rette hanno
• coefficiente angolare uguale;
• ordinata all’origine diversa.
Le due rette sono parallele e distinte e, quindi, non hanno punti in comune.
L’equazione non ha soluzioni. L’insieme soluzione è S = ∅.
b) Sia
Entrambe le funzioni h(x) e k(x) hanno come rappresentazione grafica una retta.
Osserviamo che le due rette hanno
• coefficiente angolare diverso;
• ordinata all’origine uguale.
Le due rette sono incidenti ed entrambe intersecano l’asse delle ordinate nel punto P(0,3).
Il punto P è, dunque, il punto intersezione delle rette h(x) e k(x); la soluzione dell’equazione è rappresentata dall’ascissa
del punto P e, dunque, la sua soluzione è x = 0.
L’insieme soluzione è
.
PROVA TU
Risolvi graficamente le seguenti equazioni:
a)
b)
c)
63
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Algebra - secondo anno
ESERCIZI CAPITOLO 13
IL PIANO CARTESIANO
Conoscenza e comprensione
1) Cosa si intende per numero irrazionale? E per numero reale?
2) Una sola delle seguenti affermazioni è corretta; quale?
a) Un numero razionale non è un numero reale.
b) Un numero reale può essere un numero razionale.
c) Un numero intero non è un numero reale.
d) Un numero reale è un numero razionale.
e) Un numero razionale è sempre minore di un numero reale.
3) Con quale insieme numerico sono in corrispondenza biunivoca i punti di una retta?
4) Come procedi per rappresentare un numero irrazionale?
5) Rappresenta i seguenti numeri reali:
6) Completa inserendo i simboli >, < in modo che le seguenti relazioni siano vere:
7) Che cosa si intende per sistema di ascisse su una retta?
8) Siano
e
due punti di una retta orientata. Una sola delle seguenti affermazioni è corretta; quale?
9) Siano
e
due punti di una retta orientata e M il punto medio del segmento AB.
Una sola delle seguenti affermazioni è corretta; quale?
10) Che cosa si intende per sistema di riferimento cartesiano ortogonale?
11) Che cosa si intende per ascissa di un punto nel piano cartesiano? E per ordinata?
12) In quali quadranti le coordinate di un punto sono concordi?
13) In quali quadranti le coordinate di un punto sono discordi?
14) L’ascissa di un punto P di un piano cartesiano non è negativa. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente falsa?
1) Il punto P è un punto dell’asse delle ascisse;
2) il punto P è un punto del IV quadrante;
3) il punto P è un punto dell’asse delle ordinate;
4) il punto P è un punto del I quadrante;
5) il punto P è un punto del II quadrante.
15) L’ordinata di un punto P di un piano cartesiano non è positiva. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente falsa?
a) Il punto P è un punto dell’asse delle ascisse;
b) il punto P è un punto del IV quadrante;
c) il punto P è un punto dell’asse delle ordinate;
d) il punto P è un punto del I quadrante;
e) il punto P è un punto del III quadrante.
64
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13. Il piano cartesiano
16) Vero o Falso?
a) Il punto P(2, −h) non è un punto del I quadrante.
b) Se k < 0, il punto T(−k, −3) è un punto del IV quadrante.
c) Sia G(−b, c), se c ≤ 0 allora G è un punto del III quadrante.
d) Il punto H(2a, 3) non è un punto dell’asse y.
e) Se p ≥ 0 e s ≤ 0, allora il punto Q(p, s) può coincidere con l’origine degli assi.
f) Se b ≥ 2, S(b – 2, −1) è un punto dell’asse y o è del I quadrante.
g) B(m, −2m) è sicuramente un punto del II o del IV quadrante.
17) Vero o Falso?
Siano
a)
b)
c)
e
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
due punti di un piano cartesiano
==> AB ∩ asse y = ∅
==> AB ∩ asse x = ∅
discordi ==> AB ∩ asse x ≠ ∅
d)
==> AB parallelo all’asse delle ordinate
e) AB parallelo asse delle ascisse ==>
f) AB non parallelo all’asse delle ascisse ==>
18) Siano F(h, h – 1) e G(h + 1, 2h) due punti di un piano cartesiano; le seguenti affermazioni sono vere o false?
a) Il segmento FG non può essere parallelo ad alcuno dei due assi cartesiani.
V
F
b) Il triangolo OFG, dove O è l’origine degli assi, può essere rettangolo.
V
F
c) Se h < 0, i punti del segmento FG non appartengono al I quadrante.
V
F
d) Se h ≥ 1, tutti i punti del segmento FG sono situati nel I quadrante.
V
F
19) Siano
e
due punti di un piano cartesiano; una sola delle seguenti affermazioni è corretta:
a)
b)
c)
d)
e)
20) Come si calcola la lunghezza di un segmento non parallelo ad alcuno degli assi cartesiani?
21) Siano F(–6,8) e P(m –5,4); per quale valore di m la lunghezza di FP è 4?
a) −2;
b) 2;
c) −3;;
d) −1;
e) 3
22) Le seguenti proposizioni si riferiscono al triangolo di vertici A(2,2), B(8,2) e C(2,–6); una sola di esse è falsa. Quale?
a) Il suo perimetro misura 24;
b) la sua area misura 24;
c) è un triangolo rettangolo;
d) il triplo dell’ipotenusa è cinque volte il cateto minore;
e) almeno una delle precedenti proposizioni è falsa.
23) Come determini le coordinate del punto medio di un segmento nel piano cartesiano?
24) Del segmento di estremi
a) è parallelo all’asse x;
b) è perpendicolare all’asse x;
c) la sua lunghezza è
;
e
si può dire che:
d) il suo punto medio è un punto del II quadrante;
e) il suo punto medio ha coordinate
65
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Algebra - secondo anno
25) Come determini le coordinate del baricentro di un triangolo?
26) Il baricentro del triangolo di vertici D(1,–2), M(–3,0), T(2,5):
a) è un punto del I quadrante;
b) è un punto dell’asse delle ascisse;
c) ha coordinate (1,0);
d) ha coordinate (–1,0);
e) è un punto dell’asse delle ordinate.
27) Le seguenti affermazioni si riferiscono al triangolo di vertici
Quale?
a) è un triangolo isoscele;
b) è un triangolo rettangolo;
c) il suo baricentro ha coordinate
d) uno dei punti medi dei suoi lati ha coordinate
e
una sola di esse è vera.
;
e) tutte le precedenti affermazioni sono false.
28) Qual è l’equazione di una retta, non parallela agli assi cartesiani, in forma esplicita? E quale quella in forma implicita?
29) Una sola delle seguenti affermazioni è falsa; quale?
a) ∀ m, q ∈ R, la rappresentazione grafica della funzione y = mx + q è una retta.
b) Tutte le rette del piano hanno equazione del tipo y = mx + q (m, q ∈ R).
c) Una retta parallela all’asse delle ordinate ha equazione del tipo x = q.
d) ∀ m∈ R, la rappresentazione grafica della funzione y = mx è una retta passante per l’origine degli assi.
e) L’asse delle ascisse ha equazione y = 0 .
30) Qual è il significato del coefficiente di x e del termine noto nell’equazione di una retta in forma esplicita?
31) Se l’equazione di una retta, non parallela all’asse delle ordinate, è espressa in forma implicita, qual è il suo coefficiente
angolare?
32) Siano
per A e per B è:
e
due punti di un piano cartesiano; allora il coefficiente angolare m della retta passante
33) Quale relazione esiste fra i coefficienti angolari di due rette fra loro perpendicolari? E fra i coefficienti angolari di due
rette parallele?
34) Vero o Falso?
a) Una retta passante per l’origine degli assi ha equazione y = mx.
b) Se una retta ha equazione y = x, la retta è la bisettrice del I e III quadrante.
c) Se una retta ha equazione x + y = 0, la retta è la bisettrice del II e IV quadrante.
d) Tutte le rette passanti per l’origine degli assi hanno equazione del tipo ax + by = 0
e) Se l’equazione di una retta è del tipo y = mx + q, il punto intersezione della
retta con l’asse delle ordinate ha coordinate (0, q).
f) Se l’equazione di una retta è del tipo ax + by + c = 0, il punto intersezione
della retta con l’asse delle ordinate ha coordinate (0, c).
g) Se l’equazione di una retta è del tipo ax + by + c = 0, il punto intersezione
della retta con l’asse delle ascisse ha coordinate (c, 0).
h) Una retta parallela all’asse delle ordinate ha coefficiente angolare zero.
i) Una retta parallela all’asse delle ascisse ha coefficiente angolare zero.
j) Se il coefficiente angolare di una retta è −1, la retta è parallela alla bisettrice
del II e IV quadrante.
k) Se il coefficiente angolare di una retta è 1, la retta è perpendicolare alla
bisettrice del I e III quadrante.
66
V
V
V
V
F
F
F
F.
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
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Book in
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13. Il piano cartesiano
l) Se una retta forma con la direzione positiva dell’asse delle ascisse un angolo
ottuso, il suo coefficiente angolare è negativo.
m) Due rette sono perpendicolari se il rapporto fra i loro coefficienti angolari è −1.
n) Le rette di equazioni ax + by + c = 0 e bx − ay + 2c = 0 sono perpendicolari.
V
V
V
F
F
F
35) Indicati con α l’angolo che una retta forma con la direzione positiva dell’asse delle ascisse e con m il suo coefficiente
angolare, quale delle seguenti proposizioni è vera?
a)
b)
c)
d)
e)
36) Una sola, fra le seguenti rette, non è perpendicolare alla retta
a)
. Quale?
b)
c)
d)
e)
37) Della retta
a) passa per P(0,1);
possiamo dire che:
b) è perpendicolare alla retta di equazione
;
c) forma, con la direzione positiva dell’asse delle ascisse, un angolo maggiore di 45°;
d) è parallela alla retta di equazione
;
e) è perpendicolare alla bisettrice del I e III quadrante.
38) Siano α, β e γ gli angoli che le rette
rispettivamente, formano con la direzione positiva dell’asse delle ascisse.
Quale delle seguenti relazioni è vera?
39) Una retta passa per A(–1,0) e H(–1,3); qual è la sua equazione?
a)
b)
c)
d)
e)
40) Una retta passa per C(–3,0) ed è perpendicolare alla retta passante per H(–1,–1) e T(2,2); allora possiamo dire che:
a) è parallela alla bisettrice del I e III quadrante;
b) l’ordinata all’origine è −3;
c) ha coefficiente angolare 3;
d) è perpendicolare alla retta s : 2x − 6y + 3 = 0;
e) è parallela alla bisettrice del II e IV quadrante.
67
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Algebra - secondo anno
ESERCIZI
1) Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri reali:
2) Completa inserendo al posto dei puntini i simboli >, < in modo che le seguenti relazioni siano vere:
3) Fissato un sistema di ascisse su una retta r, rappresenta su di essa i seguenti punti:
4) Associa a ciascun punto delle seguenti figure la sua ascissa:
5) Siano C (k + 1) e D (2k − 3) due punti di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
Per quali valori di k il punto C precede il punto D?
6) Siano
e
due punti di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
Per quali valori di b il punto M segue il punto Q?
7) Siano
,
e
tre punti di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
Per quali valori di h, P precede Q? Per quali valori di h, S precede P? Per quali valori di h, S segue Q?
8) Calcola la distanza fra i punti, distinti dall’origine, delle seguenti figure:
9) Sia a una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse; determina la distanza fra le seguenti coppie di punti:
68
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13. Il piano cartesiano
10) Sia s una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse; dopo aver rappresentato su di essa i punti
determina la lunghezza dei segmenti AB, BC, AD, CD.
11) Siano T(−4) e B due punti di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse tali che B segue T e
Qual è l’ascissa di B?
12) Siano
e K due punti di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
Determina l’ascissa di K sapendo che esso precede F e che
13) Siano
e H due punti di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
Determina l’ascissa di H sapendo che
.
(Distingui i due casi: H precede G; H segue G)
14) L’ascissa di un punto P di una retta s sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse è
Qual è l’ascissa dei punti G e H che hanno distanza 4 dal punto P?
.
Esempio
Siano
e
due punti di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
Determina l’ascissa del punto P, interno al segmento AB, tale che il triplo del segmento AP sia congruente alla metà del
segmento AB.
Risolviamo il problema schematizzando i passaggi da eseguire:
15) Sia s una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
Determina l’ascissa di un punto K equidistante dall’origine e dal punto
16) Sia r una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
Determina l’ascissa del punto C di r sapendo che C precede O e che OC è il triplo di OF, dove F ha ascissa
69
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Algebra - secondo anno
17) Sia r una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
Determina l’ascissa del punto P della retta r equidistante dai punti
18) Siano D(+3) e
e
.
due punti di una retta t; determina l’ascissa del punto S della retta t
equidistante dai punti D e H.
19) Siano
e
due punti della retta a sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
Determina l’ascissa del punto Q, interno al segmento AB, tale che il triplo del segmento AQ sia
congruente al doppio del segmento AB.
20) Siano
e
due punti di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse;
sia B un punto che precede F. Determina l’ascissa di B in modo tale che il triplo del segmento BF
sia congruente al doppio del segmento FL.
21) Siano
e
due punti di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
Determina l’ascissa di un punto Q, interno a MP, in modo che il segmento differenza fra MQ e QP misuri
22) Siano
e
due punti di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
Determina l’ascissa di un punto C sapendo che C segue A e BC 23) Siano
e
AB.
due punti della retta b sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
Determina l’ascissa di un punto L della retta b sapendo che
(Distingui i due casi: L esterno a ; L interno a ).
24) Dati i punti
e
.
di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse,
determina l’ascissa del punto V, interno al segmento ST, in modo che il rapporto fra VS e TV valga 3.
25) Siano
,
e P tre punti di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
Qual è l’ascissa di P se F divide MP in parti proporzionali ai numeri 4 e 7?
26) Siano
e
due punti di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse;
sia D un punto che divide il segmento AB in parti proporzionali ai numeri 3 e 4.
Qual è l’ascissa di D?
27) Siano
e
due punti di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse;
per quale valore di k la distanza fra G ed F vale
?
(Osserva che non è indicata la posizione di F rispetto a G).
28) Siano
e
due punti di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
Determina il valore di a in modo che
29) Siano
e
due punti di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
Per quale valore di h il punto
30) Siano
e
.
è equidistante da D e da G?
due punti di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse
tali che D preceda G. Determina per quale valore di m il punto
in due parti tali che 5DK 2KG.
31) Siano
e
due punti di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
Per quale valore di a il punto
70
divide il segmento DG
divide il segmento PQ in parti proporzionali ai numeri 1 e 2?
.
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Book in
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13. Il piano cartesiano
32)
sono punti di una retta sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse.
a) Se A precede B, per quale valore di k il segmento AB è doppio del segmento CD?
b) Se A precede B, per quale valore di k il segmento differenza fra AB e CD misura 3?
c) Se A segue B, per quale valore di k i segmenti AB e CD sono proporzionali ai numeri 3 e 4?
d) Se A segue B, per quale valore di k il segmento somma fra AB e CD misura 5?
Per ciascuna delle seguenti coppie di punti di una retta, sulla quale è stato fissato un sistema di ascisse, determina
l’ascissa del punto medio:
33)
34)
35)
36)
Esempio
Sia
il punto medio del segmento AB, essendo
; determiniamo l’ascissa del punto B.
Risolviamo il problema schematizzando i passaggi da eseguire:
Indicato con M il punto medio di un segmento AB, determina l’ascissa dell’estremo mancante:
37)
38)
39)
Rappresenta i seguenti punti in un piano nel quale è fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali:
40)
41)
71
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Algebra - secondo anno
42)
43)
44) Scrivi le coordinate dei punti rappresentati nelle seguenti figure:
Calcola la distanza fra le seguenti coppie di punti di un piano cartesiano:
45)
46)
47)
48)
49)
50)
51) Determina la lunghezza della spezzata rappresentata nelle seguenti figure:
72
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13. Il piano cartesiano
Esempio
Siano
e
due punti di un piano cartesiano.
Determina il valore di h affinchè la lunghezza del segmento AB sia 5.
Risolviamo il problema schematizzando i passaggi da eseguire:
52) Siano
e
due punti di un piano cartesiano.
Determina il valore di a affinchè la lunghezza del segmento AB sia 10.
53) Siano
e
due punti di un piano cartesiano.
Determina il valore di m affinchè la lunghezza del segmento CD sia 13.
54) Siano
e
due punti di un piano cartesiano.
Per quale valore di k il punto B dista
da A?
55) Per quale valore di b la lunghezza del segmento di estremi
56) Siano
doppio del segmento CD?
e
57) Siano
CD sono proporzionali ai numeri 3 e 5?
e
e
e
?
punti di un piano cartesiano. Per quale valore di a i segmenti AB e
e
?
i vertici di un triangolo. Qual è il suo perimetro?
60) Qual è il perimetro del triangolo di vertici
61) Siano
è
punti di un piano cartesiano; per quale valore di b il segmento AB è
58) Qual è il perimetro del triangolo di vertici
59) Siano
e
e
? E la sua area?
i vertici di un triangolo.
Per quale valore di h l’area del triangolo misura 9?
62) Il triangolo di vertici
e
è isoscele? Perché?
63) Il punto K è un punto dell’asse y ed è equidistante dai punti
e
; quali sono le sue coordinate?
73
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Algebra - secondo anno
64) Determina il perimetro del quadrilatero di vertici
65) Per quale valore di a il punto
e
è equidistante dai punti
e
.
?
66) Verifica che il triangolo di vertici
e
è un triangolo rettangolo.
(Suggerimento: se un triangolo è rettangolo, i suoi lati devono verificare il teorema di Pitagora.)
67) Il punto C è equidistante dai punti
e
.
Determina le coordinate di C sapendo che l’ordinata è la metà dell’ascissa.
Determina le coordinate del punto medio dei segmenti che hanno per estremi le seguenti coppie di punti:
68)
69)
70)
71)
Indicato con M il punto medio di un segmento, determina le coordinate dell’estremo mancante:
72)
73)
74)
75) Siano
e
due punti di un piano nel quale è stato fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali.
Per quale valore di k, l’ascissa del punto medio G del segmento FH è
Determina le coordinate di G per il valore di k determinato.
76) Per quale valore di h, il punto medio del segmento di estremi
la sua ascissa è il triplo dell’ordinata?
77) Sia
e
il punto medio del segmento AB, dove A ha coordinate
Determina le coordinate del punto B sapendo che la sua ascissa è i
78) Siano
?
è tale che
.
dell’ordinata.
punti di un piano cartesiano; sia B un punto la cui ascissa è uguale alla sua ordinata.
Determina il valore di k per il quale F è il punto medio del segmento DB.
79) Siano
e
i vertici di un triangolo. Determina la misura della mediana relativa al lato QR.
80) Siano
tre vertici consecutivi del parallelogramma FGHK;
quali sono le coordinate del vertice K?
81) Sia M il punto medio dell’ipotenusa del triangolo rettangolo di vertici
Verifica che i triangoli DMG e DME sono isosceli.
82) Verifica che il triangolo di vertici
e
successivamente calcola il suo perimetro e la sua area.
è isoscele;
83) I punti
e
sono i vertici di un triangolo. Verifica che esso è isoscele.
Indicati con P e T i punti medi, rispettivamente, della base e di uno dei lati obliqui, verifica che il lato obliquo
è il doppio del segmento PT.
Determina le coordinate del baricentro dei triangoli aventi per vertici le seguenti terne di punti:
84)
74
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Book in
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13. Il piano cartesiano
85)
86)
87)
88)
Nelle seguenti terne di punti, G indica il baricentro di un triangolo e gli altri punti sono due dei tre vertici del triangolo;
determina le coordinate del terzo vertice del triangolo:
89)
90)
91)
92)
93)
94) Dato l’insieme
.
Rappresenta, nel piano cartesiano, la funzione da A verso N espressa dall’equazione
95) Sia
.
Rappresenta, nel piano cartesiano, la funzione da B verso Z espressa dall’equazione
96) Sia
.
rappresenta, nel piano cartesiano la funzione, da H verso Z, espressa dall’equazione
97) Rappresenta, nel piano cartesiano, la funzione da
verso R espressa dall’equazione
98) Rappresenta, nel piano cartesiano, la funzione, da R verso R, espressa dall’equazione
99) Rappresenta, nel piano cartesiano, la funzione, da R verso R, espressa dall’equazione
100) Rappresenta, nel piano cartesiano, la funzione, da R verso R,
101) Rappresenta, nel piano cartesiano, la funzione, da R verso R,
Stabilisci, per ciascuna delle seguenti funzioni, se i punti a fianco indicati appartengono alla loro rappresentazione
grafica:
102)
103)
104)
105)
106)
107)
108)
109)
75
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Algebra - secondo anno
Il grafico di quali, fra le seguenti equazioni, è una retta?
110)
111)
112)
113)
Le rette passanti per le seguenti coppie di punti sono parallele all’asse delle ascisse?
114)
115)
116)
117)
118)
119)
Le rette passanti per le seguenti coppie di punti sono parallele all’asse delle ordinate?
120)
121)
122)
123)
124)
125)
Rappresenta, in un piano cartesiano, le rette aventi le seguenti equazioni:
126)
127)
128)
129) Scrivi l’equazione delle rette rappresentate nelle seguenti figure:
76
AIE604_C2_algebra_primo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.06 Pagina 77
Book in
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13. Il piano cartesiano
Scrivi l’equazione della retta passante per le seguenti coppie di punti:
130)
131)
132)
133)
Esempio
Rappresentiamo, in un piano cartesiano, le rette aventi le seguenti equazioni:
a) Per rappresentare una retta in un piano è sufficiente individuare due punti che le appartengono.
L’equazione della retta è espressa in forma esplicita ed è del tipo
; quindi il suo grafico è una retta passante
per l’origine degli assi cartesiani.
Per individuarne un altro, assegniamo, in modo arbitrario, un valore alla variabile x e determiniamo il corrispondente
valore della variabile y:
Il punto A di coordinate (2,3) è il secondo punto della retta.
Rappresentiamo, nel piano cartesiano, il punto A e tracciamo la retta che
passa per l’origine degli assi e per il punto A; si ottiene la seguente figura:
La retta rappresentata nella figura è il grafico della funzione
b) L’equazione della retta è espressa in forma implicita e, mancando il termine
di grado 0, il suo grafico è una retta passante per l’origine degli assi.
Per determinare un altro punto della retta, è opportuno scrivere l’equazione
in forma esplicita:
Adesso, procediamo come nel caso a): assegniamo, in modo arbitrario, un
valore alla variabile x e determiniamo il corrispondente valore della variabile y:
Il punto C di coordinate (1,−3) è il secondo punto della retta.
La rappresentazione grafica dell’equazione
si ottiene tracciando
la retta che passa per l’origine degli assi cartesiani e per il punto C, come
nella seguente figura:
77
AIE604_C2_algebra_primo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.06 Pagina 78
Algebra - secondo anno
Rappresenta, in un piano cartesiano, le rette aventi le seguenti equazioni:
134)
135)
136)
137)
138)
139)
140)
141)
Esempio
Determiniamo l’equazione della retta rappresentata nella seguente
figura:
Dalla figura deduciamo che:
a) la retta non è parallela agli assi cartesiani;
b) la retta passa per l’origine degli assi;
c) S ha coordinate (5,3).
L’equazione della retta, pertanto, è del tipo
Calcoliamo il valore di m (coefficiente angolare):
Sostituiamo il valore così ottenuto nell’equazione
; si ottiene:
Questa è l’equazione della retta rappresentata della figura precedente.
142) Determina l’equazione della retta rappresentata in ciascuna delle seguenti figure:
78
AIE604_C2_algebra_primo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.06 Pagina 79
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13. Il piano cartesiano
143) La retta b passa per l’origine degli assi ed ha coefficiente angolare −2; qual è la sua equazione?
144) La retta t ha coefficiente angolare
e passa per l’origine degli assi; qual è la sua equazione?
145) Determina l’equazione della retta passante per l’origine degli assi e per Q (2,6).
146) Scrivi l’equazione della retta passante per l’origine degli assi e per M (−5,0).
147) Una retta passa per l’origine degli assi e per A
; qual è la sua equazione?
148) Una retta passa per F (0,4) e per l’origine degli assi; scrivi la sua equazione.
149) La retta a passa per S
e per l’origine degli assi; scrivi l’equazione di a.
150) Determina l’equazione della retta passante per l’origine degli assi e per D (−2,3).
151) La retta s passa per l’origine degli assi ed ha lo stesso coefficiente angolare della retta passante per L (−1,2) e H (3,4);
qual è la sua equazione?
152) La retta d, passante per l’origine degli assi, ha coefficiente angolare uguale a quello della retta passante per G
P
e
; qual è l’equazione della retta d?
153) La retta b passa per l’origine degli assi ed ha lo stesso coefficiente angolare della retta passante per C (7,2) e T (−3,2).
Qual è la sua equazione?
154) Il coefficiente angolare della retta v, passante per l’origine degli assi, è il triplo di quello della retta di equazione
Qual è l’equazione della retta v?
.
155) La retta k passa per l’origine degli assi e il suo coefficiente angolare è la metà di quello della retta passante per D(−1,0)
e T(5,0) . Qual è l’equazione della retta k?
79
AIE604_C2_algebra_primo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.06 Pagina 80
Algebra - secondo anno
Rappresenta, in un piano cartesiano, le seguenti equazioni:
156)
157)
158)
Esempio
Scriviamo l’equazione delle rette rappresentate nelle figg. 23 e 24:
Dall’analisi della fig. 23 deduciamo che:
• la retta non è parallela agli assi coordinati;
• passa per i punti A (0,3) e Q (−3,−1);
• A è il punto intersezione con l’asse delle ordinate.
L’equazione della retta, dunque, è del tipo
dal rapporto
ed il valore di q è 3; il valore di m (coefficiente angolare) è dato
Calcoliamo il valore di m:
Sostituendo i valori così determinati per m e q nell’equazione
si ottiene l’equazione della retta:
Dall’analisi della fig. 24 deduciamo che:
• la retta non è parallela agli assi coordinati;
• passa per i punti L (−3,5) e K (3,−1).
L’equazione della retta, quindi, è del tipo
Calcoliamo il valore di m:
Sostituendo il valore di m così determinato nell’equazione
, si ottiene:
Per determinare il valore di q posssiamo procedere in due modi.
I modo
Ricordiamo che:
una retta r non passante per l’origine degli assi si ottiene per traslazione da una retta s passante per l’origine degli
assi e le rette r ed s sono fra loro parallele.
80
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13. Il piano cartesiano
Osserva la seguente figura:
Per determinare il valore di q, è necessario determinare il vettore ,
avente la stessa direzione dell’asse delle ordinate, della traslazione
che alla retta s, passante per l’origine degli assi, fa corrispondere la
retta t.
Dobbiamo, allora, determinare modulo e verso di .
Determiniamo l’equazione di s.
L’equazione di s è del tipo
, quindi la sua equazione è
Sia B il punto della retta s avente la stessa ascissa di L; le coordinate
di B sono (−3,3).
Confrontando le ordinate di B e di L, si deduce che
Il modulo del vettore della traslazione, quindi, è 2 ed il suo verso è quello della direzione positiva dell’asse delle
ordinate. Si ha, quindi,
L’equazione della retta t, passante per L e K è
II modo
Ricordiamo che:
se un punto appartiene al grafico di una funzione, le sue coordinate sono soluzione dell’equazione ad essa associata.
Poiché Q è un punto di s, le sue coordinate sono soluzione dell’equazione
.
Sostituendo le coordinate di Q nell’equazione () si ottiene:
che è una equazione nella variabile q.
Risolvendo l’equazione così ottenuta determiniamo il valore di q:
Sostituendo il valore di q nell’equazione (); otteniamo l’equazione della retta:
159) Determina le equazioni delle rette di seguito rappresentate, applicando entrambi i metodi:
81
AIE604_C2_algebra_primo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.06 Pagina 82
Algebra - secondo anno
Il grafico di ciascuna delle seguenti equazioni è una retta; dopo averla rappresentata in un piano cartesiano,
determina:
a) il suo coefficiente angolare;
b) le coordinate del punto intersezione della retta con l’asse delle ordinate;
c) l’intervallo a cui appartiene l’angolo α che la retta forma con la direzione positiva dell’asse delle ascisse e, se
possibile, l’ampiezza dell’angolo α.
160)
161)
162)
163)
164)
165)
166)
82
AIE604_C2_algebra_primo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.06 Pagina 83
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13. Il piano cartesiano
167) La prima colonna della seguente tabella contiene alcune coppie di punti; completala inserendo nella seconda colonna
il coefficiente angolare della retta passante per i due punti, nella terza colonna indicando l’intervallo di appartenenza
dell’angolo α, essendo α l’angolo che la retta forma con la direzione positiva dell’asse delle ascisse:
168) Dati i punti:
completa la seguente tabella inserendo nella prima colonna i punti appartenenti alla bisettrice del I e III quadrante,
nella seconda colonna i punti appartenenti alla bisettrice del II e IV quadrante, nella terza colonna i punti che non
appartengono ad alcuna bisettrice.
Esempio
Determiniamo l’equazione delle rette passanti per:
a) Osserviamo le coordinate dei punti H e P:
La retta passante per H e P è parallela all’asse delle ordinate; la sua equazione è
b) Osserviamo le coordinate dei punti D e S:
La retta passante per D e S è parallela all’asse delle ascisse; la sua equazione è
c) Osserviamo le coordinate di R e G:
La retta passante per R e G non è parallela ad alcuno degli assi cartesiani; la sua equazione è del tipo
Per determinare m e q si procede come nell’esempio di pag. 104.
.
83
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Algebra - secondo anno
Scrivi le equazioni delle rette passanti per le seguenti coppie di punti:
169)
170)
171)
172)
173)
174)
175)
176)
177)
178)
179)
180)
181)
Stabilisci quali, fra le rette di ciascun gruppo, sono tra loro parallele:
182)
183)
184)
185)
186)
187)
Stabilisci quali, fra le rette di ciascun gruppo, sono tra loro perpendicolari:
188)
189)
190)
191)
192)
Esempio
Determiniamo l’equazione della retta s in modo che:
84
a) passi per A
e sia parallela all’asse delle ordinate;
b) passi per T
e sia parallela all’asse delle ascisse;
c) passi per Q
e sia perpendicolare all’asse delle ordinate;
AIE604_C2_algebra_primo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.07 Pagina 85
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13. Il piano cartesiano
d) passi per D
e sia perpendicolare all’asse delle ascisse;
e) passi per F
e sia parallela alla retta a:
f) passi per M
;
e sia perpendicolare alla retta b passante per H (2,−5) e I (0,−2).
a) I punti che appartengono ad una retta parallela all’asse delle ordinate hanno la stessa ascissa.
Poiché
, l’equazione della retta s è
b) I punti che appartengono ad una retta parallela all’asse delle ascisse hanno la stessa ordinata.
Poiché
, l’equazione della retta s è
c) Una retta perpendicolare all’asse delle ordinate è parallela all’asse delle ascisse.
Dobbiamo, allora, determinare l’equazione della retta s che passa per Q ed è parallela all’asse delle ascisse. Per quanto
detto al punto a), l’equazione della retta s è
d) Una retta perpendicolare all’asse delle ascisse è parallela all’asse delle ordinate.
Dobbiamo, allora, determinare l’equazione della retta s che passa per D ed è parallela all’asse delle ordinate. Per quanto
detto al punto b), l’equazione della retta s è
e) La retta a, e quindi anche la retta s, non è parallela ad alcuno degli assi cartesiani.
L’equazione di s è, allora, del tipo
Indicati con
e
i coefficienti angolari, rispettivamente delle rette a e s, si ha:
Il coefficiente angolare di a è
e, quindi,
; l’equazione di s diventa
Per determinare il valore di q, si sostituiscono ad x e ad y, rispettivamente, l’ascissa e l’ordinata di F;
si ottiene:
L’equazione della retta s è
f) Osservando le coordinate di H e I possiamo dire che la retta b non è parallela ad alcuno degli assi cartesiani; anche
la retta S, allora, non è parallela ad alcuno degli assi cartesiani. La sua equazione, dunque, è del tipo
.
Indicati con
e
i coefficienti angolari, rispettivamente delle rette b e s, si ha:
Determiniamo
e
:
Sostiuendo il valore di
così ottenuto nell’equazione
, si ottiene:
Per determinare q, procediamo come nel caso e); si ha:
Pertanto, l’equazione della retta b è
Determina l’equazione della retta t in modo che:
193) passi per C
e sia parallela all’asse delle ordinate;
194) passi per N
e sia parallela all’asse delle ascisse;
195) passi per B
e sia parallela alla retta
196) passi per G
e sia perpendicolare all’asse delle ascisse;
197) passi per E
e sia parallela alla retta
198) passi per T
e sia perpendicolare alla retta
199) passi per K
e sia perpendicolare all’asse delle ordinate;
85
AIE604_C2_algebra_primo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.07 Pagina 86
Algebra - secondo anno
200) passi per L
e sia parallela alla retta s passante per P
201) passi per B
e sia perpendicolare alla retta
202) passi per H
e sia parallela alla retta
203) passi per I
e sia perpendicolare alla retta r passante per E
204) passi per A
e sia parallela alla retta d passante per N
205) passi per F
e sia perpendicolare alla retta n passante per G
eK
eT
eL
Risolvi graficamente le seguenti equazioni:
206)
207)
208)
209)
210)
211)
212)
213)
Esercizi di riepilogo
214) Sia
;
determina l’equazione della retta b immagine di r nella traslazione di vettore ,
dove
è un vettore avente la stessa direzione dell’asse dell’ordinate, verso uguale a quello positivo dell’asse delle
ordinate e modulo 3.
215) Siano
e un vettore avente la stessa direzione dell’asse delle ordinate,
verso opposto a quello psitivo dell’asse delle ordinate e modulo 5.
Qual è l’equazione della retta corrispondente di h nella traslazione di vettore
?
216) Sia s la retta passante per A (1,−3) e B (−2,2).
Determina modulo e verso del vettore
della traslazione che alla retta m
passante per l’origine degli assi fa corrispondere la retta s.
217) Determina modulo e verso del vettore
della traslazione che alla retta
, avente la stessa direzione dell’asse delle ordinate,
fa corrispondere la retta t passante per M
218) Il punto H (2,−1) appartiene alla retta g, immagine della retta
nella traslazione di vettore
avente direzione uguale a quella dell’asse delle ordinate. Qual è il modulo ed il verso del vettore ?
219) Un vettore
ha la stessa direzione dell’asse delle ordinate;
quali sono modulo e verso di
se il punto D (−3,−1) appartiene alla retta s immagine di
nella traslazione di vettore ?
220) Siano r e t due rette di equazioni, rispettivamente,
Per quale valore di h r è parallela a t?
e
221) Siano
e
due rette di un piano cartesiano.
Per quale valore di m le rette a e b sono, fra loro, perpendicolari?
86
.
,
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13. Il piano cartesiano
222) Per quale valore di k il punto intersezione delle rette
e
è un punto dell’asse delle ordinate?
223) Per quale valore di a il punto F (−3,6) è un punto della retta
.
Verifica che i triangoli, aventi per vertici le seguenti terne di punti, sono rettangoli:
224)
225)
226)
227) Verifica che il quadrilatero di vertici D
e
è un parallelogramma.
228) Dopo aver verificato che il quadrilatero di vertici A
e
detemina la misura del suo perimetro e l’equazione di ciascuno dei suoi lati.
è un parallelogramma,
229) Siano A
eB
due vertici consecutivi del rettangolo ABCD.
Detemina le coordinate dei vertici C e D sapendo che D è un punto dell’asse delle ascisse.
230) Siano H
,N
eP
a) l’equazione dei suoi lati;
i vertici di un triangolo. Determina:
b) la misura dell’area;
c) la misura del perimetro.
231) Siano C
,Q
eS
i vertici di un triangolo.
Dopo aver verificato che il triangolo è isoscele, determina:
a) la misura dell’area:
b) la misura del perimetro;
c) l’equazione dei suoi lati.
TEST DI AUTOVALUTAZIONE
1) Quale tra le rette seguenti è parallela alla retta di equazione
a)
b)
c)
d)
2) I punti A
,B
,C
sono:
a) equidistanti dall’origine;
b) vertici di un triangolo rettangolo;
c) vertici di un triangolo isoscele;
d) allineati.
3) Quali fra le seguenti coppie di equazioni rappresenta una coppia di rette perpendicolari?
a)
e
b)
e
c)
e
d)
e
87
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Algebra - secondo anno
4) Le rette di equazione
hanno in comune il punto di coordinate
a)
b)
c)
d)
5) La distanza tra il punto A
ed il punto B
è
a)
b)
c)
d)
6) Il punto M (3, 2) è il punto medio del segmento AB. Sapendo che le coordinate di A sono (1, −2)
quali sono le coordinate di B?
a) B (2, 0);
b) B (5, 6);
c) B (6, 5);
d) B (0, 2);
7) La retta passante per i punti A (1, 2) e B (−1,4) ha equazione:
a)
b)
c)
d)
8) La retta per P(3,2) parallela alla retta di equazione
ha equazione:
a)
b)
c)
d)
9) La retta per P(−2, 5) perpendicolare alla retta
ha equazione:
a)
b)
c)
d)
Soluzioni
Punteggio: viene assegnato un punto per ciascuna risposta esatta
Valutazione del test
da 0 a 3 punti: hai una scarsa conoscenza degli argomenti trattati; devi ripassare con attenzione tutto il capitolo.
4 a 5 punti: hai una conoscenza approssimativa e non sufficiente degli argomenti trattati, devi approfondire.
da 6 a 7 punti: hai conoscenza sufficienti o discrete ma puoi ancora miglorare.
da 8 a 10 punti: complimenti, hai ottime conoscenze dei contenuti trattati.
88
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14. I sistemi lineari
CAPITOLO 14. I SISTEMI LINEARI
14.1 I SISTEMI
Luca ha appena conosciuto Giorgio, il fratellino di Marta. Un po’ incuriosito, Luca chiede a Marta:
“Marta, simpatico Giorgio; ma quanti anni ha?”
Marta, enigmatica, risponde:
“La differenza fra la mia età e quella di Giorgio è di 7 anni; quattro anni fa io avevo il doppio dei suoi anni.”
Luca: “Uffa! Se mi ricordassi la tua età …….. .”
Marta e Lucia, all’Emporio della musica, hanno acquistato alcuni DVD, tutti dello stesso prezzo, e alcuni CD, anche
questi dello stesso prezzo. All’uscita incontrano Luca.
Luca: “Ciao, Marta. È vero che i prezzi di DVD e CD sono scontati? Quanto li hai pagati?”
Marta: “Non te lo dico. Devi sapere, però, che io ho speso 120 € per acquistare tre DVD e quattro CD, invece Lucia ha
speso 110 € per acquistare quattro DVD e due CD.”
Luca: ”E dai Marta! Sei sempre la solita!”
Per aiutare Luca a trovare le risposte alle sue domande, formalizziamo le risposte di Marta con i simboli della Matematica.
I risposta
“La differenza fra la mia età e quella di Giorgio è di 7 anni; quattro anni fa io avevo il doppio dei suoi anni.”
Dal momento che non conosciamo né l’età di Marta, né quella di Giorgio, indichiamo con:
■ x l’età di Marta;
■ y l’età di Giorgio
(con x > y)
È ovvio che
• “La differenza fra la mia età e quella di Giorgio è di 7 anni” diventa
• “quattro anni fa io avevo il doppio dei suoi anni” diventa
Nella risposta di Marta, le due proposizioni sono legate dalla congiunzione “e” che, nel linguaggio della logica, si traduce
con l’operazione di congiunzione logica.
La risposta di Marta, dunque, con i simboli della Matematica diventa:
Ricordiamo che una proposizione, formata da due proposizioni legate fra loro dalla congiunzione logica, è vera soltanto se
entrambe le proposizioni che la compongono sono vere.
La risposta che cerca Luca, allora, è una coppia di numeri che rende vere entrambe le proposizioni. Indicati con S1 e S2 gli
insiemi soluzioni, rispettivamente, di
,
la soluzione alla domanda di Luca è l’insieme S = S1 ∩ S2
II risposta
“Non te lo dico. Devi sapere, però, che io ho speso 120 € per acquistare tre DVD e quattro CD, invece Lucia ha speso
110 € per acquistare quattro DVD e due CD.”
Non conosciamo né il prezzo di un DVD, né il prezzo di un CD; quindi, sia:
■ x il prezzo di un DVD ;
■ y il prezzo di un CD.
Per questo problema
• “io ho speso 120 € per acquistare tre DVD e quattro CD” diventa
• “Lucia ha speso 110 € per acquistare quattro DVD e due CD” diventa
Nella risposta di Marta, le due proposizioni sono legate dalla congiunzione “invece” che, nel linguaggio della logica, si
traduce con l’operazione di congiunzione logica.
La risposta di Marta, dunque, con i simboli della Matematica, diventa:
89
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Algebra - secondo anno
Ancora una volta, la risposta che cerca Luca è una coppia di numeri che rende vere entrambe le proposizioni. Indicati con
e
,
S1 e S2 gli insiemi soluzioni, rispettivamente, di
la soluzione alla domanda di Luca è l’insieme S = S1 ∩ S2
Dal punto di vista formale, le due risposte di Marta si traducono con proposizioni aperte: due equazioni legate fra loro dalla
congiunzione logica.
Proposizioni come quelle precedenti, cioè proposizioni aperte legate fra loro dalla congiunzione logica, in Matematica
prendono il nome di sistemi e si è soliti scriverle sostituendo il simbolo di congiunzione logica con una parentesi graffa
come evidenziato di seguito:
Si parla di sistemi di equazioni, se le proposizioni aperte sono equazioni (come nei due casi precedenti); sistemi di
disequazioni se le proposizioni aperte sono disequazioni; ecc. …….. .
Possiamo, allora, dare le seguenti definizioni:
■ Si chiama sistema un insieme di proposizioni aperte che devono essere vere contemporaneamente.
■ Una soluzione di un sistema è un insieme di elementi che rendono vere contemporaneamente tutte le proposizioni
del sistema.
■ Si chiama insieme soluzione di un sistema l’insieme formato da tutte le sue soluzioni.
■ Risolvere un sistema vuol dire determinare tutte le sue soluzioni.
■ Due sistemi si dicono equivalenti se l’insieme soluzione dell’uno è insieme soluzione dell’altro e viceversa.
Con il linguaggio della Logica:
Si chiama sistema una proposizione aperta formata da proposizioni aperte legate fra loro dall’operazione di
congiunzione logica.
L’insieme soluzione di un sistema è l’insieme intersezione degli insiemi di verità delle proposizioni aperte che
formano il sistema.
Risolvere un sistema vuol dire determinare tutti gli elementi del suo insieme di verità.
Per adesso, ci occuperemo soltanto di sistemi di equazioni.
I sistemi di equazioni possono essere classificati in base alle loro soluzioni.
Un sistema di equazioni si dice
possibile se l’insieme soluzione ha almeno un elemento ed, in particolare:
determinato se l’insieme soluzione ha un numero finito di elementi,
indeterminato se l’insieme soluzione ha un numero infinito di elementi;
impossibile se l’insieme soluzione è l’insieme vuoto.
Inoltre, un sistema di equazioni può essere classificato in base alla forma delle equazioni che lo compongono.
Un sistema di equazioni si dice fratto o frazionario se almeno una delle equazioni del sistema è frazionaria.
Un sistema di equazioni si dice letterale se almeno una delle equazioni del sistema è letterale.
Un sistema di equazioni si dice letterale fratto se almeno una delle equazioni del sistema è frazionaria e almeno
una delle equazioni del sistema è letterale.
Ancora una definizione:
Si chiama grado di un sistema di equazioni il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono.
Ad esempio:
il sistema
è un sistema di equazioni di primo grado
perché entrambe le equazioni del sistema sono di primo grado.
90
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14. I sistemi lineari
Il sistema
è un sistema di secondo grado
perché la prima equazione del sistema è di secondo grado e la seconda equazione è di primo grado.
In questo capitolo impareremo a determinare l’insieme soluzione di sistemi di equazioni di primo grado, o ad esse
riconducibili, contenenti due equazioni in due variabili o tre equazioni in tre variabili.
I sistemi di equazioni di primo grado sono anche detti sistemi lineari; infatti, tutte le equazioni del sistema sono di primo
grado e, come sappiamo, la loro rappresentazione grafica è una retta.
I sistemi con i quali abbiamo formalizzato le risposte di Marta (pag. 1) sono sistemi di equazioni di primo grado.
In generale, un sistema lineare di due equazioni in due variabili è del tipo:
oppure
(con coefficienti non tutti nulli)
Se la forma di un sistema lineare è di questo tipo, il sistema si dice ridotto a forma normale.
Per ridurre un sistema di equazioni a forma normale è sufficiente applicare, a ciascuna equazione del sistema, i principi di
equivalenza delle equazioni.
PROVA TU
1) Determina il grado di ciascuno dei seguenti sistemi:
2) Riduci a forma normale i seguenti sistemi lineari:
14.2 CLASSIFICAZIONE DI UN SISTEMA LINEARE
Per il momento, ci limitiamo a considerare sistemi lineari contenenti due equazioni in due variabili.
Prima di determinare l’insieme soluzione di un sistema lineare è opportuno classificarlo in base alle sue soluzioni, cioè
stabilire se esso è determinato, indeterminato, impossibile.
La rappresentazione grafica di ciascuna equazione di un sistema lineare è una retta e, come ben sappiamo dalla geometria
euclidea, due rette nel piano possono essere:
• incidenti: hanno un solo punto in comune e, quindi, l’insieme intersezione ha un solo elemento;
• parallele e distinte: non hanno alcun punto in comune e, quindi, l’insieme intersezione è l’insieme vuoto;
• parallele e coincidenti: hanno tutti i punti in comune e, quindi, l’insieme intersezione contiene un numero infinito di
elementi.
Per classificare il sistema, allora, dobbiamo stabilire se le rette, le cui equazioni formano il sistema, sono incidenti, parallele
e distinte oppure parallele e coincidenti.
Ricordiamo che due rette sono parallele (distinte o coincidenti) se hanno coefficiente angolare uguale.
Esempio 1
Classifichiamo il sistema
Siano
e
le rette del sistema; determiniamo i loro coefficienti angolari:
Poiché i due coefficienti angolari non sono uguali, le rette non sono parallele e, quindi, sono incidenti. La loro intersezione,
allora, ha un solo elemento ed il sistema, dunque, è determinato.
In simboli:
sistema determinato.
91
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Algebra - secondo anno
Esempio 2
Classifichiamo il sistema
Siano
e
le rette del sistema; riscriviamo le equazioni di t e v in forma
implicita:
; determiniamo i loro coefficienti angolari:
I coefficienti angolari delle rette t e v sono uguali, quindi le rette sono parallele.
Adesso dobbiamo stabilire se esse sono distinte o coincidenti; determiniamo, allora, l’ordinata all’origine di ciascuna delle
due rette:
Le rette t e v hanno ordinata all’origine diversa; esse, allora, incontreranno l’asse delle ordinate in due punti distinti. Le rette
t e v sono parallele e distinte e, quindi, non hanno alcun punto in comune e la loro intersezione è l’insieme vuoto; il sistema
è impossibile.
In simboli:
sistema impossibile.
Esempio 3
Classifichiamo il sistema
Siano
implicita:
ed
le rette del sistema; riscriviamo le equazioni di t e v in forma
ed
; determiniamo i loro coefficienti angolari:
I coefficienti angolari delle rette t e v sono uguali, quindi le rette sono parallele.
Adesso dobbiamo stabilire se esse sono distinte o coincidenti; determiniamo, allora, l’ordinata all’origine di ciascuna delle
due rette:
Le rette t e v hanno uguale ordinata all’origine; esse, allora, incontrano l’asse delle ordinate nello stesso punto.
Le rette t e v essendo parallele ed avendo un punto in comune (il punto intersezione con l’asse delle ordinate), sono
coincidenti e la loro intersezione contiene un numero infinito di elementi (tutti i punti delle due rette). Il sistema, quindi, è
indeterminato.
In simboli:
sistema indeterminato.
Generalizzando, possiamo dire che per classificare un sistema lineare del tipo
(con tutti i coefficienti non nulli) è necessario confrontare fra loro i rapporti
e, nel caso in cui essi siano uguali, confrontare i rapporti
e
Tuttavia, è possibile procedere in un altro modo, forse più semplice.
Osserva le seguenti catene di implicazioni:
92
e
(coefficienti angolari delle due rette)
(ordinata all’origine di ciascuna delle due rette).
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14. I sistemi lineari
In definitiva,
Possiamo, allora, dire che:
Applichiamo le considerazioni appena fatte ai sistemi lineari del tipo
; si ottiene
Le considerazioni precedenti si applicano ad un sistema ridotto a forma normale; se il sistema non lo è, prima si riduce a
forma normale e, successivamente, si classifica.
Esempi
Classifichiamo i sistemi:
a) Il sistema è ridotto a forma normale.
Osserviamo che:
b) Il sistema è ridotto a forma normale.
Osserviamo che:
Inoltre,
; si ha
c) Il sistema è ridotto a forma normale.
Osserviamo che:
Inoltre,
; si ha
Prova, adesso, a classificare i sistemi con i quali abbiamo formalizzato le risposte di Marta (pag. 89).
Entrambi i sistemi sono …………………………………………. .
PROVA TU
Classifica i seguenti sistemi:
93
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Algebra - secondo anno
14.3 RISOLUZIONE DI UN SISTEMA LINEARE: METODO GRAFICO
Nel paragrafo precedente abbiamo imparato a stabilire se un sistema lineare di due equazioni in due variabili ha soluzioni
e, eventualmente, quante sono le sue soluzioni; non siamo ancora in grado, però, di determinarne le soluzioni.
È chiaro che “troviamo” le soluzioni di un sistema soltanto se esso è determinato.
Nel caso in cui esso sia indeterminato, l’insieme soluzione del sistema è formato da tutti i punti che appartengono alle due
rette coincidenti.
Consideriamo il sistema dell’Esempio 1 del paragrafo precedente:
Abbiamo già osservato che esso è determinato e, quindi, esiste una sola coppia di numeri reali che rende vere entrambe
le proposizioni del sistema.
Indichiamo con
e
le rette del sistema e sia P il loro punto intersezione.
Rappresentiamole in un piano cartesiano:
Poiché P appartiene alla retta r, le sue coordinate sono soluzione dell’equazione
;
poiché P appartiene alla retta s, le sue coordinate sono soluzione dell’equazione
.
Le coordinate di P, allora, rendono vere entrambe le equazioni del sistema e, dunque, ne sono la soluzione.
Dalla rappresentazione grafica deduciamo che le coordinate di P sono (2,1).
L’insieme soluzione del sistema è S =
Possiamo, allora, sintetizzare:
per risolvere un sistema del tipo
con il metodo grafico, si procede nel modo seguente:
• si classifica il sistema;
• si rappresentano, in un piano cartesiano, le rette le cui equazioni formano il sistema;
• nel caso di un sistema determinato, si determinano le coordinate del loro punto intersezione.
Tale coppia di numeri è la soluzione del sistema.
Esempio
Risolviamo il seguente sistema:
Prima di tutto, classifichiamo il sistema.
Il sistema, dunque, ha una sola soluzione.
Determiniamo la soluzione del sistema.
Rappresentiamo, nel piano cartesiano, le rette
94
e
e indichiamo con P il loro punto intersezione.
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14. I sistemi lineari
La soluzione del sistema è data dalle coordinate del punto P.
Osservando il grafico, tuttavia, non è del tutto agevole determinare le coordinate di P perché la sua ascissa non è espressa da un
numero intero.
Risolvere, dunque, un sistema con il metodo grafico non sempre consente di determinare la soluzione esatta di un sistema.
PROVA TU
Risolvi, con il metodo grafico, i seguenti sistemi:
14.4 METODO DI SOSTITUZIONE
Abbiamo detto, in precedenza, che il metodo grafico non sempre permette di determinare la soluzione esatta di un sistema.
Vediamo, adesso, uno dei metodi algebrici che ci permettono di determinare la soluzione di un sistema lineare: il metodo
di sostituzione.
Illustriamo questo metodo con un esempio e consideriamo il sistema del paragrafo precedente:
Sappiamo già che questo sistema è determinato.
Applicando il primo principio di equivalenza delle equazioni, dalla prima equazione del sistema ricaviamo la variabile y in
funzione della variabile x; si ottiene:
Nella seconda equazione del sistema, sostituiamo alla variabile y l’espressione ottenuta per essa nella prima equazione; si
ottiene:
La seconda equazione del sistema, adesso, è un’equazione di primo grado contenente la sola variabile x; possiamo, allora,
risolvere questa equazione e determinare, così, il valore della variabile x. Si ottiene:
Il valore ottenuto per la variabile x, lo sostituiamo nell’espressione ottenuta in precedenza per y. Si ottiene:
La coppia
è la soluzione del sistema; quindi l’insieme soluzione del sistema è S =
PROVA TU
1) Aiuta Luca a trovare la soluzione alle risposte di Marta (pag. 89).
2) Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di sostituzione:
95
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Algebra - secondo anno
14.5 METODO DI CONFRONTO
Illustriamo questo metodo ancora con un esempio.
Risolviamo il seguente sistema:
Prima di tutto, classifichiamo il sistema.
Il sistema, dunque, ha una sola soluzione.
Determiniamo la soluzione del sistema.
Applicando i principi di equivalenza delle equazioni, determiniamo da ciascuna di esse una espressione per la stessa
variabile.
Ricaviamo una espressione per la variabile y; si ha:
Poiché le espressioni
e
rappresentano la stessa variabile y,
per la proprietà transitiva dell’uguaglianza, esse sono uguali fra di loro.
Adesso, sempre applicando i principi di equivalenza delle equazioni, determiniamo da ciascuna di esse una espressione
per la variabile x;
si ottiene:
Poiché le espressioni
e
rappresentano la stessa variabile x,
per la proprietà transitiva dell’uguaglianza, esse sono uguali fra di loro.
Una equazione del sistema si ottiene, allora, ponendo uguali le espressioni ottenute per la variabile y; l’altra equazione del
sistema si ottiene ponendo uguali le espressioni ottenute per la variabile x.
Il sistema diventa:
Ciascuna delle equazioni del sistema è una equazione di primo grado con una sola variabile; risolviamo, allora, ciascuna di
esse. Si ottiene:
La coppia (1,1) è la soluzione del sistema; quindi l’insieme soluzione del sistema è S =
PROVA TU
Risolvi con il metodo del confronto, i seguenti sistemi:
OSSERVAZIONE
Talvolta, per risolvere un sistema si può procedere applicando un metodo che possiamo definire “combinazione” del metodo
di sostituzione e del metodo di confronto.
Osserva il seguente esempio.
Risolviamo il sistema
96
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14. I sistemi lineari
Prima di tutto, classifichiamo il sistema.
Il sistema, dunque, ha una sola soluzione.
Determiniamo la soluzione del sistema.
Applicando i principi di equivalenza delle equazioni, determiniamo da ciascuna di esse una espressione per la stessa
variabile; ad esempio per la variabile y. Si ottiene:
Poiché le espressioni
e
rappresentano la stessa variabile y,
per la proprietà transitiva dell’uguaglianza, esse sono uguali fra di loro.
Il sistema iniziale è equivalente al sistema formato dall’equazione che si ottiene ponendo uguali le espressioni della variabile
y e da una delle due equazioni che esprimono la variabile y, scelta a piacere.
Data la loro forma, è conveniente scegliere come seconda equazione del sistema l’equazione
.
Si ottiene, quindi, il seguente sistema:
La prima equazione di questo sistema è una equazione con la sola variabile x; risolviamo tale equazione ed il valore ottenuto
per la variabile x lo sostituiamo nell’altra equazione del sistema ottenendo, così, il valore per la variabile y.
Si ha dunque:
La coppia
è la soluzione del sistema; l’insieme soluzione del sistema è S =
14.6 METODO DI RIDUZIONE
Questo metodo si basa sulla seguente proprietà delle uguaglianze numeriche:
Ancora una volta, illustriamo questo metodo con alcuni esempi.
Esempio 1
Risolviamo il seguente sistema:
Prima di tutto, classifichiamo il sistema.
Osserviamo che i coefficienti della variabile y, nelle due equazioni, sono opposti; applichiamo la proprietà appena ricordata
e sommiamo membro a membro le due equazioni. Otteniamo:
Adesso, applicando il secondo principio di equivalenza delle equazioni, facciamo in modo che i coefficienti della variabile x
diventino opposti; moltiplichiamo, allora, per −2 ambo i membri della seconda equazione del sistema. Si ottiene:
97
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Algebra - secondo anno
Applichiamo la proprietà ricordata in apertura di paragrafo e sommiamo membro a membro le due equazioni.
Otteniamo:
Abbiamo, così, ottenuto due equazioni con una sola variabile.
Il sistema
è equivalente al sistema iniziale.
Risolviamo quest’ultimo sistema:
La coppia
è la soluzione del sistema; l’insieme soluzione del sistema è S =
Esempio 2
Risolviamo il seguente sistema:
Prima di tutto, classifichiamo il sistema.
Sommando membro a membro le due equazioni, ci proponiamo di ottenere una equazione nella sola variabile y.
Dobbiamo fare in modo, allora, che i coefficienti della variabile x diventino opposti.
Osservando le due equazioni notiamo che i due coefficienti non sono uno multiplo dell’altro (come nell’esempio 1) ma sono
coprimi. Moltiplichiamo, allora, ambo i membri della prima equazione per 2 e ambo i membri della seconda per −3;
si ottiene:
Adesso, sommiamo membro a membro le due equazioni; si ottiene:
Adesso, dobbiamo fare in modo che siano opposti i coefficienti della variabile y.
Osservando le due equazioni del sistema iniziale, notiamo che anche i coefficienti della variabile y non sono uno multiplo
dell’altro, ma sono coprimi. Moltiplichiamo, allora, ambo i membri della prima equazione per 3 e ambo i membri della
seconda equazione per −4; si ottiene:
Adesso, sommiamo membro a membro le due equazioni; si ottiene:
Il sistema
è equivalente al sistema iniziale.
La coppia (−10,−8) è la soluzione del sistema; l’insieme soluzione del sistema è S =
PROVA TU
Risolvi con il metodo di riduzione i seguenti sistemi:
98
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14. I sistemi lineari
OSSERVAZIONE
Talvolta, per risolvere un sistema si può procedere applicando un metodo che possiamo definire “combinazione” del metodo
di sostituzione e del metodo di riduzione.
Risolviamo il seguente sistema:
Prima di tutto, classifichiamo il sistema.
Il sistema, dunque, ha una sola soluzione.
Poiché i coefficienti della variabile y, nelle due equazioni, sono opposti, sommando membro a membro le due equazioni si
ottiene una equazione nella sola variabile x. Si ha:
Il sistema formato dall’equazione così ottenuta e da una delle due equazioni del sistema iniziale, scelta a piacere, è
equivalente al sistema iniziale.
Dobbiamo, allora, risolvere uno dei seguenti sistemi
Risolviamo il primo dei due sistemi applicando il metodo di sostituzione:
La coppia
è la soluzione del sistema; l’insieme soluzione del sistema è S =
14.7 METODO DI CRAMER
Prendiamo, nuovamente, in considerazione il sistema risolto nel paragrafo 12.5:
È possibile associare al sistema una tabella nella quale sono riportati i coefficienti delle variabili; nella prima colonna si
riportano i coefficienti della variabile x e nella seconda colonna quelli della variabile y:
In matematica, tabelle di numeri reali, come la tabella M, prendono il nome di matrici.
Abbiamo le seguenti definizioni:
Una matrice di tipo m x n è una tabella di numeri reali formata da m righe e da n colonne.
Se il numero di righe di una matrice è uguale al numero di colonne la matrice si dice quadrata.
In una matrice quadrata, il numero di righe (o colonne) è detto ordine della matrice.
Inoltre, ad ogni matrice quadrata, e solo alle matrici quadrate, è associato un numero reale che prende il nome di
determinante della matrice.
99
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Algebra - secondo anno
Esempi
a) La matrice A =
è una matrice di tipo 2x3 perché ha due righe e tre colonne.
b) La matrice F =
è una matrice di tipo 4x2 perché ha quattro righe e due colonne.
c) La matrice H =
è una matrice di tipo 3x3 perché ha tre righe e tre colonne;
H è, quindi, una matrice quadrata di ordine 3.
Le matrici e i determinanti saranno oggetto di studio approfondito nei prossimi anni. Qui ci interessiamo delle matrici quadrate
di ordine 2 e di quelle diordine 3.
In generale, una matrice quadrata di ordine due è del tipo: H =
Possiamo pensare agli elementi di questa matrice come ai vertici di un quadrato; gli elementi a e d si trovano su una
diagonale del quadrato, gli elementi c e b sull’altra diagonale, come mostrato di seguito:
H=
La diagonale
si chiama diagonale principale, la diagonale
si chiama diagonale secondaria.
Il determinante, solitamente indicato con la lettera D, associato ad una matrice quadrata di ordine 2, è uguale alla
differenza fra il prodotto degli elementi della diagonale principale ed il prodotto degli elementi della diagonale
secondaria; in simboli: D =
Spesso, per evidenziare gli elementi della matrice, il determinante ad essa associato viene indicato racchiudendo gli elementi
della matrice tra due linee verticali:
D=
Una matrice quadrata di ordine tre è del tipo:
Nel caso di questa matrice, possiamo pensare che i suoi elementi siano sui lati di un quadrato di vertici a, c, i, g; gli
elementi a, e, i sono su una diagonale, mentre g, e, c sono sull’altra diagonale come mostrato in figura:
La diagonale
si chiama diagonale principale, la diagonale
si chiama diagonale secondaria.
Esiste una regola che permette di calcolare il determinante associato ad una matrice di ordine 3.
Osserva l’esempio seguente.
Calcoliamo il determinante associato alla matrice B =
Riportiamo, a destra, gli elementi delle prime due colonne:
100
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14. I sistemi lineari
Il determinante D è dato dalla differenza fra le seguenti espressioni:
I espressione: somma dei prodotti degli elementi della diagonale principale e dei prodotti degli elementi delle parallele
alla diagonale principale contenenti tre elementi (freccia rossa nella figura);
I espressione =
II espressione: somma dei prodotti degli elementi della diagonale secondaria e dei prodotti degli elementi delle parallele
alla diagonale secondaria contenenti tre elementi (freccia azzurra nella figura);
II espressione =
Quindi:
Esempio
Calcoliamo il determinante associato alla matrice A =
Si ha:
PROVA TU
Calcola il determinante associato alle seguenti matrici:
ATTENZIONE
Non confondere la matrice con il determinante ad essa associata: la matrice è una tabella di numeri reali, il
determinante ad essa associato è un numero reale.
In simboli:
A questo punto è lecito chiedersi:
a) perché introdurre il concetto di matrice ed, in particolare, quello di determinante associato ad una matrice di ordine 2
o di ordine 3?
b) esiste, forse, qualche relazione fra la soluzione di un sistema lineare e il determinante di una matrice quadrata?
Proviamo a rispondere a queste domande.
In generale, un sistema lineare di due equazioni in due variabili (con coefficienti non nulli) è del tipo:
101
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Algebra - secondo anno
Applicando il metodo di riduzione, è facile verificare che, se il sistema è determinato, la sua soluzione è data da:
Facciamo qualche osservazione sulla forma delle espressioni ottenute per la variabile x e per la variabile y:
sia il numeratore che il denominatore delle espressioni ottenute per le due variabili sono la differenza fra due prodotti;
le espressioni ottenute per le due variabili sono due frazioni aventi lo stesso denominatore.
Ma anche il determinante associato ad una matrice di ordine 2 è la differenza fra due prodotti; possiamo, allora, pensare ai
numeratori e denominatori delle espressioni ottenute per le due variabili come determinanti associati ad opportune matrici.
All’inizio del paragrafo abbiamo visto che è possibile associare ad un sistema di due equazioni in due variabile una matrice
quadrata di ordine 2 riportando nelle righe e nelle colonne i coefficienti delle variabili. Questa matrice prende il nome di
matrice dei coefficienti del sistema.
La matrice dei coefficienti del sistema () è
; il determinante ad essa associato è:
Questo determinante è uguale al denominatore delle espressioni ottenute per le due variabili del sistema.
Calcoliamo, adesso, il determinante associato alla matrice
che si ottiene dalla matrice dei coefficienti del sistema
sostituendo i coefficienti della variabile x con i termini noti delle due equazioni:
Questo determinante è uguale al numeratore dell’espressione ottenuta per la variabile x del sistema e, in seguito, lo
indicheremo con Dx.
Possiamo, allora, scrivere che
Calcoliamo, adesso, il determinante associato alla matrice
che si ottiene dalla matrice dei coefficienti del sistema
sostituendo i coefficienti della variabile y con i termini noti delle due equazioni:
Questo determinante è uguale al numeratore dell’espressione ottenuta per la variabile y del sistema e, in seguito, lo
indicheremo con Dy.
Possiamo, allora, scrivere che
Ricordiamo che un sistema è:
determinato se
indeterminato se
102
;
ma
; ma
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14. I sistemi lineari
impossibile se
; ma
Possiamo, allora, affermare che:
un sistema lineare del tipo
(con tutti i coefficienti non nulli) è:
Inoltre, se il sistema è determinato, si ha:
PROVA TU
Determina la soluzione dei seguenti sistemi utilizzando il metodo di Cramer:
14.8 SISTEMI FRAZIONARI
Un sistema si dice frazionario o fratto se almeno una delle sue equazioni è un’equazione frazionaria.
Vediamo, con alcuni esempi, come si procede per determinarne la soluzione.
Esempio 1
Determiniamo l’insieme soluzione del seguente sistema:
Prima di tutto dobbiamo determinare il dominio di ciascuna delle equazioni che formano il sistema.
Osserviamo che ciascuna delle equazioni del sistema è un’equazione in due variabili; quindi il dominio di ciascuna di esse
è un sottoinsieme di
.
Indichiamo con D il dominio del sistema, D1 il dominio di
e D2 il dominio di
Determiniamo D1:
Determiniamo D2:
Non sono soluzioni del sistema, allora, tutte le coppie di numeri reali per le quali il primo elemento è 0 oppure tutte quelle
per le quali il secondo elemento è −1.
Si ha, allora:
Adesso possiamo applicare i principi di equivalenza e ridurre il sistema a forma normale:
Possiamo, ora, risolvere il sistema applicando uno dei metodi esposti nei paragrafi precedenti.
103
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Algebra - secondo anno
Classifichiamo il sistema:
Applichiamo il metodo di sostituzione e, dalla seconda equazione del sistema, determiniamo un’espressione per la variabile
y:
Dobbiamo stabilire se la coppia (−1,−2) appartiene al dominio del sistema:
• il primo elemento della coppia è diverso da 0
• il secondo elemento della coppia è diverso da −1
L’insieme soluzione del sistema è, dunque,
Esempio 2
Determiniamo l’insieme soluzione del seguente sistema:
Prima di tutto dobbiamo determinare il dominio di ciascuna delle equazioni che formano il sistema.
Indichiamo con D il dominio del sistema, D1 il dominio di
e D2 il dominio di
Determiniamo D1:
Determiniamo D2:
Non sono soluzioni del sistema, allora, tutte le coppie di numeri reali per le quali il primo elemento è 0 oppure tutte quelle
per le quali il secondo elemento è 1.
Si ha, allora:
Adesso possiamo applicare i principi di equivalenza e ridurre il sistema a forma normale:
Possiamo, ora, risolvere il sistema applicando uno dei metodi esposti nei paragrafi precedenti.
Classifichiamo il sistema:
Applichiamo il metodo di Cramer:
104
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Book in
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14. I sistemi lineari
Allora:
Dobbiamo stabilire se la coppia
appartiene al dominio del sistema:
• il primo elemento della coppia è diverso da 0
• il secondo elemento della coppia è uguale a 1
L’insieme soluzione del sistema è, dunque, S = ∅.
PROVA TU
Determina l’insieme soluzione dei seguenti sistemi:
14.9 SISTEMI LETTERALI
Un sistema si dice letterale se, oltre alle variabili, sono presenti altre lettere dette parametri.
Salvo avviso contrario, le variabili di un sistema di due equazioni in due variabili sono indicate con le lettere x e y; qualsiasi
altra lettera è da considerarsi come parametro.
Generalmente, i sistemi letterali si risolvono applicando il metodo di Cramer.
Vediamo, con alcuni esempi, come si procede per determinarne la soluzione.
Esempio 1
Determiniamo l’insieme soluzione del seguente sistema:
Prima di tutto, dobbiamo stabilire per quali valori del parametro a il sistema è determinato.
Calcoliamo, allora, il determinante associato alla matrice dei coefficienti del sistema:
Nel paragrafo 12.7 abbiamo detto che un sistema è determinato se il determinante associato alla matrice dei coefficienti è
diverso da zero.
Allora, il sistema è determinato se
Per determinare la soluzione, calcoliamo Dx e Dy:
Determiniamo, adesso, i valori di x e y che verificano entrambe le equazioni del sistema:
La soluzione del sistema è, dunque, l’insieme
105
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Algebra - secondo anno
Determiniamo, ora, la soluzione del sistema nel caso in cui
Possiamo, allora, così riassumere la soluzione del sistema:
Esempio 2
Determiniamo la soluzione del seguente sistema:
Prima di tutto, dobbiamo stabilire per quali valori del parametro m il sistema è determinato.
Calcoliamo, allora, il determinante associato alla matrice dei coefficienti del sistema:
Ricordiamo che un sistema è determinato se il determinante associato alla matrice dei coefficienti è diverso da zero.
Il sistema, quindi è determinato se
Per determinarne la soluzione, calcoliamo Dx e Dy:
Determiniamo, adesso, i valori di x e y che verificano entrambe le equazioni del sistema:
La soluzione del sistema è, dunque, l’insieme
Determiniamo, ora, la soluzione del sistema nel caso in cui
Possiamo, allora, così riassumere la soluzione del sistema:
106
oppure
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Book in
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14. I sistemi lineari
Esempio 3
Determiniamo la soluzione del seguente sistema:
Questo sistema è un sistema letterale frazionario:
• letterale: oltre alle variabili x e y, è presente il parametro k;
• frazionario: le variabili sono presenti al denominatore di almeno una delle frazioni.
È necessario, quindi, determinare il suo dominio; dovrà essere:
Riduciamo il sistema a forma normale:
Stabiliamo per quali valori del parametro k il sistema è determinato e, dunque, calcoliamo il determinante associato alla
matrice dei coefficienti del sistema:
Ricordiamo che un sistema è determinato se il determinante associato alla matrice dei coefficienti è diverso da zero.
Il sistema, quindi è determinato se
Per determinarne la soluzione, calcoliamo Dx e Dy:
Determiniamo, adesso, i valori di x e y che verificano entrambe le equazioni del sistema:
La soluzione del sistema è, dunque, l’insieme
Determiniamo, ora, la soluzione del sistema nel caso in cui
oppure
Ricordiamo che le coppie del tipo (0,y) e (x,0) non sono soluzione del sistema. Determiniamo, allora, i valori del parametro
k per i quali la soluzione prima determinata non è da considerare soluzione del sistema:
Per questi valori di k, la soluzione determinata è un elemento non appartenente al dominio.
Possiamo, allora, così riassumere la soluzione del sistema:
107
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Algebra - secondo anno
PROVA TU
Risolvi i seguenti sistemi:
14.10 SISTEMI DI TRE EQUAZIONI CON TRE VARIABILI
In questo paragrafo ci limitiamo a considerare sistemi con tre equazioni ed altrettante variabili.
Il caso più generale, sistemi con m equazioni ed n variabili, sarà trattato negli anni successivi.
Determiniamo la soluzione del seguente sistema:
Possiamo procedere in tre modi diversi: metodo di Cramer, metodo di sostituzione, metodo di riduzione.
Metodo di Cramer
Il procedimento è simile a quello già usato per i sistemi di due equazioni in due variabili.
Indichiamo con:
D il determinante associato alla matrice dei coefficienti del sistema;
Dx il determinante associato alla matrice ottenuta dalla matrice dei coefficienti sostituendo ai coefficienti della variabile
x i termini noti;
Dy il determinante associato alla matrice ottenuta dalla matrice dei coefficienti sostituendo ai coefficienti della variabile
y i termini noti;
Dz il determinate associato alla matrice ottenuta dalla matrice dei coefficienti sostituendo ai coefficienti della variabile z
i termini noti.
Se D ≠ 0 il sistema è determinato ed i valori delle variabili che verificano tutte le equazioni del sistema sono date da:
Determiniamo, allora, la soluzione del sistema.
Applicando la regola per calcolare il determinante associato ad una matrice di ordine 3 (par. 12.7), si ottiene:
Determiniamo, ora, i valori delle variabili x, y, z:
L’insieme soluzione del sistema è S =
108
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14. I sistemi lineari
Metodo di sostituzione
• ricaviamo la variabile x dalla prima equazione e sostituiamo l’espressione ottenuta alla variabile x nelle altre due equazioni;
• ricaviamo la variabile y dalla seconda equazione e sostituiamo l’espressione ottenuta alla variabile y nella terza equazione;
• risolviamo la terza equazione che ha la sola variabile z;
• sostituiamo il valore di z così ottenuto nelle altre equazioni determinando, così, uno alla volta, i valori delle altre variabili
del sistema.
Osserva, allora, attentamente i seguenti passaggi:
L’insieme soluzione del sistema è, dunque, l’insieme S =
Metodo di riduzione
Risolviamo il sistema precedente applicando una combinazione del metodo di riduzione e del metodo di sostituzione.
Osserviamo che i coefficienti delle variabili x e y, nella seconda e terza equazione del sistema, sono opposti; scriviamo,
allora, il sistema equivalente a quello dato sostituendo la seconda equazione con quella che si ottiene sommando la seconda
e la terza equazione. Si ottiene:
Sostituiamo il valore così ottenuto per la variabile z nelle altre equazioni del sistema; si ottiene:
Osserviamo che i coefficienti della variabile x, nella prima e nella terza equazione del sistema, sono opposti; scriviamo,
allora, il sistema equivalente che sostituendo alla terza equazione quella che si ottiene sommando le due equazioni.
Si ottiene:
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Algebra - secondo anno
Sostituiamo il valore così ottenuto per la variabile y nella prima equazione del sistema; si ottiene:
L’insieme soluzione del sistema è S =
PROVA TU
1) Risolvi con il metodo di Cramer il seguente sistema:
2) Risolvi con il metodo di sostituzione il seguente sistema:
3) Risolvi con il metodo di riduzione il seguente sistema:
110
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14. I sistemi lineari
ESERCIZI CAPITOLO 14
SISTEMI LINEARI
Conoscenza e comprensione
1) Cosa si intende per sistema?
2) Come puoi classificare un sistema di equazioni in base alle sue soluzioni?
3) Come puoi classificare un sistema di equazioni in base alla sua forma?
4) Il sistema
è un sistema letterale intero.
Quali sono le variabili del sistema?
5) Uno solo fra i seguenti sistemi è di secondo grado. Quale?
6) Perché un sistema di equazioni di primo grado è detto anche sistema lineare?
7) Una sola delle seguenti affermazioni è vera; quale?
a) Un sistema lineare ha sempre una sola soluzione.
b) Un sistema lineare ha al massimo una soluzione.
c) Se un sistema lineare ha almeno due soluzioni, allora ne ha infinite.
d) Un sistema lineare ha sempre almeno una soluzione.
e) Un sistema lineare ha sempre un numero finito di soluzioni.
8) L’insieme S =
9) Sia
è soluzione di uno solo dei seguenti sistemi. Quale?
un sistema con tutti i coefficienti non nulli.
Le seguenti affermazioni sono vere o false?
a) Se
b) Se
il sistema è determinato.
il sistema è indeterminato.
V
F
V
F
c) Se
il sistema è impossibile.
V
F
d) Se
il sistema non è determinato.
V
F
V
F
V
F
V
F
e) Se
f) Se
g) Se
il sistema è indeterminato.
il sistema è indeterminato.
il sistema è determinato.
111
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Algebra - secondo anno
10) Uno solo dei seguenti sistemi lineari non è determinato. Quale?
11) Dei seguenti sistemi
possiamo dire che:
a) (1), (2) e (3) sono equivalenti;
b) (1) e (3) sono determinati;
c) (2) e (3) sono indeterminati;
d) (1) è determinato e (3) è impossibile;
e) (1) e (2) sono equivalenti.
12) Le seguenti proposizioni si riferiscono al sistema, nelle variabili x e y,
Stabilisci se esse sono vere o false.
a) Per qualsiasi valore di k il sistema ammette almeno una soluzione.
b) Per qualsiasi valore di k il sistema ammette una sola soluzione.
c) Per qualsiasi valore di k, l’insieme soluzione del sistema è
d) Per qualsiasi valore di k, l’insieme soluzione del sistema è
e) Se
f) Se
112
, l’insieme soluzione può essere S = ∅.
, si ha S =
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
13) Quale, fra le seguenti equazioni, è necessario aggiungere all’equazione
un sistema indeterminato?
affinchè tali equazioni formino
14) Quale, fra le seguenti equazioni, è necessario aggiungere all’equazione
sistema sia S = ∅?
affinchè l’insieme soluzione del
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14. I sistemi lineari
15) Osserva la figura:
Di quale, fra i seguenti sistemi, ne è l’interpretazione grafica?
16) L’interpretazione grafica del sistema
è
a) una coppia di rette parallele e distinte;
b) una coppia di rette parallele e coincidenti;
c) una coppia di rette che si intersecano nel punto F (0,−4);
d) una coppia di rette passanti per l’origine degli assi;
e) una coppia di rette che si intersecano nel punto H (−1,−2).
17) Il determinato associato alla matrice
è uguale a:
18) Il determinante associato alla matrice
19) Del sistema
è uguale a:
possiamo dire che:
a) l’insieme soluzione è S = ∅;
b) l’insieme soluzione S ha un numero infinito di elementi;
c) l’insieme soluzione è S = ;
;
d) l’insieme soluzione è S =
e) l’insieme soluzione è S =
20) Del sistema
;
;
possiamo dire che:
a) la coppia ordinata (−2,3) è soluzione del sistema;
b) l’insieme soluzione del sistema è S = ∅;
c) l’insieme soluzione è S = ;
d) la coppia ordinata (2,−3) è soluzione del sistema;
e) l’insieme soluzione S ha un numero finito di elementi.
113
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Algebra - secondo anno
21) Siano D, Dx, Dy i determinanti che consentono di risolvere il sistema
; allora:
a) se D = 0 il sistema il sistema ha un numero finito di soluzioni;
b) se D = 0 ∧ Dx ≠ 0 il sistema non ha soluzione;
c) se Dx = 0 ∧ D ≠ 0, il sistema non ha soluzione;
d) se D = 0 il sistema non ha soluzione;
e) se Dx = 0 il sistema ha un numero infinito di soluzioni;
ESERCIZI
Senza risolverli, stabilisci se i seguenti sistemi sono determinati, indeterminati o impossibili.
1)
2)
Completa inserendo al posto dei puntini opportuni coefficienti in modo che i seguenti sistemi siano indeterminati:
3)
4)
Determina per quali valori del parametro i seguenti sistemi, nelle variabili x e y, non sono determinati; stabilisci,
successivamente, se per tali valori sono indeterminati o impossibili.
5)
114
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14. I sistemi lineari
6)
7)
Individua, fra i seguenti sistemi, quelli che hanno come rappresentazione grafica una coppia di rette incidenti, una
coppia di rette parallele e distinte oppure una coppia di rette parallele e coincidenti:
8)
9)
10)
11) Scrivi i sistemi che hanno come rappresentazione grafica le seguenti figure:
115
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Algebra - secondo anno
Risolvi i seguenti sistemi applicando il metodo grafico:
12)
13)
14)
15)
16)
Dopo averli classificati, risolvi i seguenti sistemi applicando il metodo di sostituzione:
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
Dopo averli classificati, risolvi i seguenti sistemi applicando il metodo di confronto:
24)
25)
26)
27)
28)
29)
116
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14. I sistemi lineari
30)
Dopo averli classificati, risolvi i seguenti sistemi applicando il metodo di riduzione:
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
Dopo averli classificati, risolvi i seguenti sistemi applicando il metodo di Cramer:
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo che ritieni opportuno:
45)
117
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Algebra - secondo anno
46)
47)
48)
49)
50)
51)
52)
53)
54)
55)
56)
57)
58)
59)
60)
61)
62)
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Book in
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14. I sistemi lineari
63)
64)
65)
66)
67)
68)
69)
70)
71)
72)
73)
74)
75)
76)
119
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Algebra - secondo anno
77)
78)
79)
80)
81)
82)
83)
84)
85)
86)
87)
88)
89)
120
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14. I sistemi lineari
90)
91)
92)
93)
94)
95)
96)
Problemi
97) Determina due numeri sapendo che il rapporto tra il doppio del primo aumentato di 1 e il triplo
del secondo diminuito di 3 è
, mentre la somma tra dividendo e divisore è 39.
98) In un numero di due cifre, la differenza tra la cifra delle decine e quella delle unità è 3, mentre
il doppio del numero che si ottiene scambiando la cifra delle decine con quella delle unità,
aumentato di 2, dà il numero dato.
99) Tre anni fa, l’età del padre era tripla di quella del figlio; fra dieci anni l’età del padre supererà
di quattro anni il doppio dell’età del figlio. Determina le età di padre e figlio.
100) Determina due numeri naturali sapendo che, dividendo il doppio del consecutivo del numero
maggiore per il numero minore aumentato di 3, si ottiene come quoziente 3 e come resto 4;
inoltre il numero maggiore diminuito di 3 è uguale al doppio del numero minore.
101) Determina due numeri sapendo che il minore supera di 8 i
fra i
del maggiore e i
del minore è uguale ai
del maggiore e che la differenza
della loro somma.
121
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Algebra - secondo anno
102) Determina due numeri sapendo che la differenza fra il primo ed il secondo è uguale alla
quarta parte del secondo numero aumentata di 1; inoltre, la differenza fra il triplo del secondo
ed il doppio del primo è uguale alla differenza fra il primo e la metà del secondo aumentata
di 10.
103) Dividi il numero 20 in due parti in modo tale che la somma dei
della parte maggiore superi di 5 i
della parte minore con i
del numero maggiore.
104) Determina due numeri pari consecutivi sapendo che la loro somma è uguale a 170.
105) Determina due numeri dispari consecutivi sapendo che la loro somma è uguale a 76.
106) Determina due numeri sapendo che i
del minore aumentato di 4 è uguale ai
del
maggiore diminuito di 6 e che il triplo del primo è uguale al doppio del secondo.
107) Determina due numeri sapendo che sottraendo ad
2, mentre sottraendo ad
del primo
del primo
del secondo si ottiene
del secondo si ottiene 11.
108) Determina due numeri sapendo che sottraendo ad
del primo
del secondo si ottiene
2 e che il quintuplo del primo è uguale triplo del secondo aumentato di 10.
109) Determina i coefficienti a e b del polinomio
sapendo che esso è
divisibile per (x −1) e che la somma fra il triplo di a e il doppio di b è uguale a 1.
110) Il perimetro di un rettangolo misura 60cm; la base supera l’altezza di 8cm. Determina l’area
del rettangolo.
111) Il perimetro di un rettangolo misura 36 cm; se si tolgono 4 cm al lato maggiore e si triplica il
lato minore si ottiene un altro rettangolo di perimetro 44 cm. Determina l’area dei due
rettangoli.
112) La somma delle diagonali di un rombo misura 34 cm; la somma dei
maggiore con i
della diagonale
della diagonale minore misura 15cm. Determina il perimetro, l’area del
rombo ed il raggio della circonferenza inscritta nel rombo.
113) Quante sono le terne ordinate e distinte (x, y, z) formate da interi positivi tali che
a) nessuna;
b) due;
c) tre;
d) quattro;
e) più di sei.
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 2008]
114) In un rettangolo di area 150 m2 la misura della base è uguale ai
Quanto misura il perimetro del rettangolo?
a) 50 m;
115) Se
a) 5x;
b) 54 m;
e
c) 60 m;
, a cosa è uguale
b) 4y;
c) 3z;
di quella dell’altezza.
d) 64 m;
e) 70 m.
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 2006]
?
d)
y;
e)
z.
[Olimpiadi Matematica, 2002]
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15. Radici
CAPITOLO 15. RADICALI
15.1 I RADICALI
Sicuramente, hai già affrontato problemi del tipo:
a) La superficie di un quadrato misura 15 m2; qual è la misura del suo lato?
b) Il volume di un cubo misura 30 cm3; qual è la misura dello spigolo del cubo?
c) Qual è quel numero che elevato alla terza dà −27?
Formalizziamoli con i simboli della matematica:
a) indicata con x la misura del lato del quadrato, si ottiene: x2 = 15;
b) indicata con l la misura dello spigolo del cubo, si ottiene: l3 = 30;
c) indicato con n il numero da determinare, si ottiene: n3 = −27;
Le equazioni alle lettere a) e b) non hanno soluzione nell’insieme dei numeri razionali, (la loro soluzione è, infatti, un numero
irrazionale); invece, l’equazione alla lettera c) ha per soluzione un numero razionale.
La soluzione dell’equazione del problema a) è quel numero irrazionale il cui quadrato è 15; con i simboli che hai già
conosciuto negli studi precedenti, si ha:
.
Come sai, il numero
Poiché
si legge “radice quadrata di 15”.
è soluzione dell’equazione, si ha
.
La soluzione dell’equazione del problema b) è quel numero irrazionale che elevato alla terza dà 30;
si ha, quindi:
Poiché
è soluzione dell’equazione, si ha
Come sai, il numero
si legge “radice cubica (o di indice 3) di 30”.
La soluzione dell’equazione del problema c) è il numero razionale ………. (completa),
perché
I numeri
,
che abbiamo appena scritto si chiamano radicali.
Ancora qualche esempio:
Qual è quel numero che elevato alla quinta dà 64?
Formalizziamo la proposizione e risolviamo l’equazione ottenuta:
(il simbolo
si legge “radice di indice 5 di 64”)
Poiché
è soluzione dell’equazione, si ha
Osserviamo che
è un numero positivo dal momento che una potenza con esponente dispari ha lo stesso segno
della base della potenza stessa.
Qual è quel numero che elevato alla terza dà −18?
Formalizziamo la proposizione e risolviamo l’equazione ottenuta:
(il simbolo
Poiché
si legge “radice cubica, o di indice 3, di −18”)
è soluzione dell’equazione, si ha
Osserviamo che
è un numero positivo dal momento che una potenza con esponente dispari ha lo stesso segno
della base della potenza stessa.
Anche i numeri
e
sono dei radicali.
Qual è quel numero che elevato alla quarta dà −32?
Formalizziamo la proposizione e risolviamo l’equazione ottenuta:
Non esiste, infatti, alcun numero che elevato alla quarta, e in generale ad un esponente pari, dia per risultato un numero
negativo.
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Algebra - secondo anno
Introduciamo un po’ di terminologia per i simboli usati per indicare i radicali:
• il simbolo
è chiamato simbolo di radice;
• il numero, scritto con carattere più piccolo, posto sopra il simbolo di radice si chiama indice di radice;
• il numero scritto dentro il simbolo di radice si chiama radicando.
Da una prima analisi degli esempi precedenti, possiamo dire che un radicale è un numero che elevato all’indice di radice
dà il radicando; è evidente, però, che è necessario distinguere due casi:
il radicando è un numero non negativo;
il radicando è un numero negativo.
Possiamo, allora, dare la seguente definizione:
Siano
e
In simboli:
, si chiama radice n−sima (o di indice n) di a quel numero
tale che
.
.
In particolare:
• Se a ≥ 0, anche la radice n−sima di a è un numero b ≥ 0.
In simboli:
• Se a < 0, dobbiamo distinguere due casi:
- se n è dispari, anche la radice n−sima di a è un numero b < 0,
- se n è pari, la radice n−sima di a non esiste.
In simboli:
Dalla definizione segue che
(ovviamente quando esiste) e, quindi, possiamo affermare che la radice n−sima di
un numero è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.
Come si può notare dal problema c), talvolta un radicale è un numero razionale; ad esempio:
Casi particolari
• Se a =
.
• Se n = 1, il simbolo di radice non si scrive:
• Se n = 2, si omette l’indice di radice:
.
.
15.2 I RADICALI ARITMETICI
Si chiama radicale aritmetico un radicale nel quale il radicando è un numero non negativo.
Un radicale aritmetico, quindi, è un numero non negativo qualunque sia l’indice della radice.
Se il radicando è un’espressione letterale, è necessario, allora, determinarne il “dominio”, cioè l’insieme al quale devono
appartenere le variabili contenute nel radicando affinchè esso sia non negativo.
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15. Radici
Esempio
• Affinchè
sia un radicale aritmetico, il suo radicando deve essere non negativo; è necessario determinarne il
dominio ponendo il radicando maggiore o uguale a zero. Si ottiene:
PROVA TU
Determina il dominio dei seguenti radicali aritmetici:
1)
2)
Proprietà invariantiva
Prima di parlare di questa importantissima proprietà dei radicali, diamo la seguente definizione:
Due radicali aritmetici si dicono equivalenti se rappresentano lo stesso numero.
Osserva attentamente le seguenti uguaglianze e, in particolare, rifletti sugli indici delle radici e sugli esponenti dei radicandi:
(per la proprietà transitiva)
sono due “radicali” equivalenti.
(per la proprietà transitiva)
e
sono due “radicali” equivalenti.
• Nella prima uguaglianza, indice di radice ed esponente del radicando di
e dall’esponente del radicando di
, rispettivamente, dividendo entrambi per ….... (completa).
• Nella seconda uguaglianza, indice di radice ed esponente del radicando di
e dall’esponente del radicando di
si possono ottenere dall’indice di radice
si possono ottenere dall’indice di radice
, rispettivamente, moltiplicando entrambi per ….... (completa).
Questa proprietà è più generale e prende il nome di proprietà invariantiva:
Se si moltiplicano o si dividono indice della radice ed esponente del radicando di un radicale aritmetico per uno
stesso numero naturale, diverso da zero, si ottiene un radicale equivalente a quello dato.
In simboli:
oppure
Quando viene usata questa proprietà?
La proprietà invariantiva viene usata quando:
• è necessario avere due radicali aritmetici con lo stesso indice;
• è necessario “semplificare” un radicale aritmetico.
Riduzione di due o più radicali allo stesso indice
Ridurre due radicali aritmetici allo stesso indice significa determinare due radicali equivalenti a quelli dati aventi
lo stesso indice di radice.
Generalmente, si riducono i radicali al più piccolo indice comune.
Vediamo come si opera con un esempio.
• Riduciamo allo stesso indice i radicali
e
.
a) Determiniamo il minimo comune multiplo fra gli indici dei due radicali: mcm (2, 5) = 10;
(indice comune dei radicali equivalenti a quelli dati);
b) si divide il mcm trovato (in questo caso10) per il “vecchio” indice di radice e si moltiplica l’esponente del radicando per
il quoziente così determinato.
125
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Algebra - secondo anno
In questo caso 10 : 2 = 5;
Quindi,
10 : 5 = 2; si ottiene:
e
• Riduciamo allo stesso indice i radicali
Osserviamo che
e
.
e
a) mcm (4, 6) = 12;
b)
Quindi,
È necessario, per esempio, ridurre due radicali allo stesso indice, quando essi devono essere confrontati.
• Qual è il più piccolo fra
Poiché 8 < 10, anche
e
?
.
Quindi, fra due radicali aritmetici aventi lo stesso indice è minore quello che ha radicando minore.
• Qual è il più piccolo fra
e
?
Poiché sappiamo confrontare due radicali aritmetici aventi lo stesso indice di radice, per confrontare fra loro radicali
aritmetici con indice diverso è necessario, prima, ridurli allo stesso indice; sarà più piccolo il radicale che ha radicando
minore.
a) mcm (2, 3) = 6;
b)
e
Stabiliamo, allora, qual è il più piccolo fra
In definitiva, si ha:
Semplificazione di un radicale
In precedenza, abbiamo detto che si applica la proprietà invariantiva quando dobbiamo “semplificare” un radicale aritmetico;
ma…. cosa significa “semplificare” un radicale aritmetico?
Osserva i seguenti radicali aritmetici:
: indice della radice ed esponente del radicando hanno divisori comuni?
SI
NO
: indice della radice ed esponente del radicando hanno divisori comuni?
SI
NO
Si dice che
è un radicale aritmetico irriducibile; invece
Si ha la seguente definizione:
è un radicale aritmetico semplificabile o riducibile.
Un radicale aritmetico si dice irriducibile se indice della radice ed esponente del radicando sono coprimi; in caso
contrario il radicale è semplificabile.
Semplificare un radicale aritmetico, allora, vuol dire trovarne uno irriducibile ad esso equivalente.
Esempi
Semplifichiamo i seguenti radicali aritmetici:
a)
;
b)
;
c)
a) Scomponiamo in fattori primi il radicando e determiniamo il MCD fra l’indice della radice e l’esponente del radicando.
Applichiamo, quindi, la proprietà invariantiva e dividiamo indice del radicale e l’esponente del radicando per il MCD
appena determinato. Si ottiene:
▪
126
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15. Radici
▪
▪
b) Scomponiamo in fattori primi il radicando e determiniamo il MCD fra l’indice della radice e gli esponenti dei fattori del
radicando.
Applichiamo, quindi, la proprietà invariantiva e dividiamo indice del radicale e gli esponenti dei fattori del radicando per
il MCD appena determinato. Si ottiene:
▪
▪ MCD (12,6,4) = 2;
▪
c) Scomponiamo in fattori il coefficiente numerico del radicando e determiniamo il MCD fra l’indice della radice e gli
esponenti dei fattori del radicando.
Applichiamo, quindi, la proprietà invariantiva e dividiamo indice del radicale e gli esponenti dei fattori del radicando per
il MCD appena determinato. Si ottiene:
▪
▪ MCD (6, 3, 9) = 3;
▪
ATTENZIONE
• Semplifichiamo il radicale
Osserviamo che il dominio di questo radicale è l’insieme dei numeri reali dal momento che il radicando
è non negativo qualunque sia il valore attribuito alla variabile z.
Procediamo con la semplificazione:
▪ MCD (8, 6) = 2;
▪ applichiamo la proprietà invariantiva:
Abbiamo ottenuto l’uguaglianza
Siamo proprio sicuri che essa sia vera per qualunque valore attribuito alla variabile z?
Proviamo:
▪
Come è possibile? Eppure siamo sicuri di aver applicato in maniera corretta la proprietà invariantiva!
Osservando i due radicali, notiamo che essi hanno come dominio insiemi diversi:
• il dominio di
è l’insieme R
• il dominio di
è l’insieme D1 =
Condizione necessaria affinchè due radicali siano equivalenti è che abbiano lo stesso dominio.
Ora, affinchè l’insieme R sia il dominio di
, è necessario che il suo radicando sia “sempre” non negativo; per
ottenere questo basta applicare l’operazione di valore assoluto.
Si ha, allora:
Un altro esempio.
• Semplifichiamo il radicale aritmetico
Prima di tutto, determiniamo il dominio.
Deve essere
.
127
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Algebra - secondo anno
Semplifichiamo, adesso, il radicale:
MCD (6, 3) = 3
Applichiamo la proprietà invariantiva:
si ottiene l’uguaglianza
Per stabilire se i due radicali sono equivalenti, determiniamo il dominio di
Deve essere
I due radicali hanno lo stesso dominio; quindi, sono equivalenti. In questo caso non si applica l’operazione di valore
assoluto.
In definitiva:
PROVA TU
Riduci allo stesso indice le seguenti coppie di radicali aritmetici:
a)
e
;
b)
e
;
c)
e
Inserisci, al poso dei puntini, i simboli “>”, “<” in modo che le relazioni siano vere:
a)
;
b)
;
c)
Semplifica, se possibile, i seguenti radicali aritmetici:
a)
;
b)
;
c)
15.3 MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE FRA RADICALI ARITMETICI
Fra radicali aritmetici si definiscono due operazioni: moltiplicazione e divisione.
Il prodotto di due radicali aritmetici aventi indice di radice uguale è un radicale aritmetico che ha per indice di
radice l’indice dei due fattori e per radicando il prodotto dei radicandi dei due fattori.
In simboli:
Se i radicali aritmetici hanno indice di radice diverso, prima di eseguire la moltiplicazione si riducono allo stesso indice.
Il quoziente di due radicali aritmetici aventi indice di radice uguale è un radicale aritmetico che ha per indice di
radice l’indice del divisore (e del dividendo) e per radicando il quoziente dei radicandi.
In simboli:
oppure
Se i radicali aritmetici hanno indice di radice diverso, prima di eseguire la divisione si riducono allo stesso indice.
Esempi
Eseguiamo le seguenti moltiplicazioni e divisioni:
a) I due radicali hanno lo stesso indice, pertanto:
b) I due radicali hanno indice diverso:
▪ riduciamo i due radicali allo stesso indice;
▪ eseguiamo la moltiplicazione.
Si ottiene:
In definitiva:
128
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Book in
progress
15. Radici
c) I due radicali hanno lo stesso indice, pertanto:
d) I due radicali hanno indice diverso:
▪ riduciamo i due radicali allo stesso indice;
▪ eseguiamo la divisione.
Si ottiene:
In definitiva:
PROVA TU
Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni fra radicali aritmetici:
15.4 POTENZA DI UN RADICALE ARITMETICO
Come ben sai, l’operazione di potenza è un caso particolare di moltiplicazione.
Calcoliamo, allora,
.
Per definizione di potenza, si ha:
Dall’esempio appena svolto, deduciamo che:
La potenza di un radicale aritmetico è un radicale aritmetico che ha indice della radice uguale all’indice della
base e per radicando una potenza avente per base il radicando e per esponente l’esponente della potenza.
In simboli:
PROVA TU
Calcola le seguenti potenze:
15.5 TRASPORTO DI UN FATTORE ESTERNO SOTTO IL SEGNO DI RADICE IN
Affrontiamo anche questo argomento con alcuni esempi.
• Consideriamo l’espressione
nella quale il fattore esterno è un numero positivo.
Ricordando che
, possiamo scrivere
.
Si tratta, allora, di eseguire una moltiplicazione fra due radicali con diverso indice di radice.
Prima di eseguire la moltiplicazione, perciò, è necessario ridurre i due radicali allo stesso indice;
si ottiene:
Osservando l’ultima uguaglianza, notiamo che
• il “fattore esterno” (2) si trova sotto il segno di radice ed ha esponente uguale all’indice di radice.
• Consideriamo l’espressione
Ricordando che
nella quale il fattore esterno è un numero negativo.
possiamo scrivere
Siamo di fronte ad una moltiplicazione fra radicali con indice diverso.
129
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Algebra - secondo anno
Dopo aver ridotto i due radicali allo stesso indice, eseguiamo la moltiplicazione;
si ottiene:
Osservando l’ultima uguaglianza, notiamo che :
• fuori dal segno di radice è rimasto il segno “−”;
• sotto il segno di radice troviamo
.
Dall’analisi degli esempi svolti, possiamo dedurre la seguente regola:
per portare un fattore esterno non negativo sotto il segno di radice è sufficiente elevarlo all’indice di radice.
In simboli:
per portare un fattore esterno negativo sotto il segno di radice si lascia il segno “−” fuori dal simbolo di radice e
si eleva il suo valore assoluto all’indice di radice.
In simboli:
ATTENZIONE
• Consideriamo l’espressione
nella quale il fattore esterno è una lettera.
Il dominio di
è l’insieme dei numeri reali; la variabile m, allora, può assumere valori sia non negativi che negativi.
È necessario, quindi, distinguere i due casi:
▪ se m ≥ 0, lo si porta sotto radice elevandolo all’indice della radice;
▪ se m < 0, si porta sotto radice il suo valore assoluto elevandolo all’indice di radice.
Ricorda che
Si ottiene:
▪
▪
• Consideriamo l’espressione
Il dominio di
nella quale il fattore esterno è, ancora una volta, una lettera.
è l’insieme D =
(perché?); la variabile k, allora, è sicuramente non negativa.
Quindi, si ha:
PROVA TU
Porta sotto il segno di radice il fattore esterno dei seguenti radicali aritmetici:
15.6 TRASPORTO DI UN FATTORE FUORI DAL SEGNO DI RADICE IN
Ricordiamo che
se
se
, oppure, in modo equivalente,
, oppure, in modo equivalente,
Rifletti, adesso, sulle seguenti uguaglianze:
a)
130
;
.
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Book in
progress
15. Radici
b)
c)
d)
Come puoi notare dalle uguaglianze ottenute, è stato possibile scrivere il radicale come prodotto fra un fattore esterno ed
un radicale.
Quali fattori è stato possibile “portare fuori” dal segno di radice?
Completa:
• nell’esempio a) è stato portato fuori dal segno di radice il fattore ….;
• nell’esempio b) è stato portato fuori dal segno di radice il fattore ….;
• nell’esempio c) sono stati portati fuori dal segno di radice i fattori …. e 5…. ;
• nell’esempio d) sono stati portati fuori dal segno di radice i fattori ………………… .
Che cosa hanno in comune questi fattori?
Poni la tua attenzione su esponente dei fattori portati fuori dal segno di radice e indice di radice:
tutti i fattori portati fuori dal segno di radice hanno esponente ………………….. o …………………. all’indice di radice.
Ogni volta che un fattore deve essere portato fuori dal segno di radice, è necessario eseguire tutti i passaggi degli esempi
a), b), c) e d) ? NO!
È sufficiente seguire questo semplice procedimento:
È possibile portare un fattore fuori dal segno di radice soltanto se il suo esponente è maggiore o uguale all’indice
di radice.
Sia
Indicati con q il quoziente e con r il resto della divisione fra h e n, si ha:
• q è l’esponente di a fuori di radice;
• r è l’esponente di a sotto radice.
In simboli:
Esempio
Dato il radicale aritmetico
, portiamo fuori di radice i fattori possibili.
Scomponiamo in fattori primi il radicando:
▪
possiamo portare fuori di radice i fattori 2 e 3;
▪ 4 : 3 = 1 con il resto di 1
;
▪ 4 : 3 = 1 con il resto di 1
;
▪
• In definitiva:
ATTENZIONE
Come si procede se il radicando è un’espressione letterale?
Osserva gli esempi seguenti.
131
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Algebra - secondo anno
• Dato il radicale aritmetico
, portiamo fuori di radice i fattori possibili.
▪ Determiniamo, prima di tutto, il dominio del radicale:
È opportuno evidenziare, quindi, che a k possono essere attribuiti valori sia positivi che negativi oppure il valore nullo;
ricordiamo, inoltre, che un radicale aritmetico è un numero non negativo.
Applichiamo il procedimento esposto in precedenza:
▪
▪
possiamo portare fuori di radice solo il fattore k ;
▪
con il resto di 2
•
Poniamoci, adesso, questa domanda:
l’uguaglianza ottenuta è vera per ogni valore di k appartenente al dominio del radicale?
La risposta è NO!
Osserviamo che
(perché?) e sappiamo che un numero positivo o nullo
è sicuramente diverso da un numero negativo.
Dobbiamo, allora, fare in modo che l’espressione ottenuta dopo aver portato fuori di radice il fattore k, sia non
negativa per qualsiasi valore attribuito alla lettera k.
Raggiungiamo il nostro obiettivo applicando al fattore esterno l’operazione di valore assoluto.
Si ha, quindi:
• Dato il radicale aritmetico
, portiamo fuori di radice i fattori possibili.
▪ Determiniamo, prima di tutto, il dominio del radicale:
Alla variabile t, allora, è possibile attribuire solo valori non negativi.
Applichiamo il procedimento esposto in precedenza:
▪
▪
possiamo portare fuori di radice sia il fattore 2 che il fattore t ;
▪
con il resto di 0
▪
con il resto di 1
•
Poniamoci, adesso, la domanda:
l’uguaglianza ottenuta è vera per ogni valore di t appartenente al dominio del radicale?
La risposta è SI! Perché? ………………………………………………………………. .
In questo caso, allora, non dobbiamo applicare l’operazione di valore assoluto al fattore esterno t.
Si ha, quindi:
Possiamo, allora, concludere che:
dopo aver portato fuori di radice un fattore, è necessario applicare ad esso l’operazione di valore assoluto se esiste
almeno un valore, appartenente al dominio del radicale, per il quale l’espressione è negativa.
Osservazione
Dal momento che
, i fattori con esponente 0 non sono presenti sotto il segno di radice.
PROVA TU
Porta fuori di radice i fattori possibili:
132
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Book in
progress
15. Radici
15.7 RADICE DI UN RADICALE
Nel paragrafo 13.2 abbiamo detto che, se il radicando è un numero reale non negativo, un radicale aritmetico è, a sua
volta, un numero reale non negativo.
Può capitare, allora, che il radicando di un radicale aritmetico sia un altro radicale aritmetico; cioè sia del tipo
In questo caso, vale la seguente proprietà:
La radice di indice n di un radicale aritmetico è un radicale aritmetico che ha come indice di radice il prodotto
degli indici delle due radici e come radicando lo stesso radicando.
In simboli:
Esempi
• Calcoliamo
Si ha
; si ottiene
Calcoliamo
Si ha
PROVA TU
Calcola le seguenti radici di radicali aritmetici:
15.8 RADICALI SIMILI
Nei paragrafi precedenti abbiamo imparato a conoscere alcune proprietà dei radicali aritmetici e ad eseguire le operazioni
di moltiplicazione e divisione fra di essi; non esiste, invece, una proprietà analoga per la somma algebrica fra radicali
aritmetici.
In generale, la somma algebrica fra due radicali aritmetici non è un radicale aritmetico:
•
Prova, con un esempio, a giustificare questa disuguaglianza.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Come al solito, però, esistono casi particolari!
Consideriamo l’espressione .
Osserviamo che:
• ciascuno dei due addendi è il prodotto fra un numero razionale ed un radicale aritmetico;
• i due addendi hanno un fattore uguale
.
Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma algebrica, si ottiene:
▪
In questo caso, dunque, abbiamo potuto calcolare la somma dei due radicali.
Consideriamo l’espressione
.
Osserviamo che:
• ciascuno dei due termini della differenza è il prodotto fra un numero razionale ed un radicale aritmetico;
• i due termini hanno un fattore uguale
.
Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma algebrica, si ottiene:
▪
Anche in questo caso, quindi, abbiamo potuto calcolare la differenza fra i due radicali.
133
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Algebra - secondo anno
Radicali come
e
, oppure come
e
si dicono radicali simili.
I radicali
e
sono simili?
Ad una analisi molto superficiale, diremmo che non sono simili; ma stiamo attenti!
Osserviamo che:
▪
Quindi,
▪
Quindi,
E allora:
e
sono simili.
Si ha la seguente definizione:
Due o più radicali si dicono simili se, dopo aver eventualmente semplificato e portato fuori di radice i fattori possibili,
essi differiscono, al più, per il fattore esterno.
• Il fattore esterno prende il nome di coefficiente.
• Due radicali sono opposti se sono simili ed hanno coefficienti opposti.
Osservando i due esempi precedenti possiamo affermare che:
La somma algebrica di due o più radicali simili è un radicale simile a quelli dati che ha come fattore esterno la
somma algebrica dei fattori esterni dei radicali dati.
Esempi
• Stabiliamo se i radicali
e
sono simili.
i due radicali differiscono solo per il fattore esterno, pertanto sono simili.
• Semplifichiamo la seguente espressione:
Scomponiamo in fattori primi i radicandi:
PROVA TU
1) Individua, fra i seguenti radicali aritmetici, quelli simili fra loro:
2) Semplifica le seguenti espressioni:
a)
b)
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Book in
progress
15. Radici
15.9 RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE DI UNA FRAZIONE
È possibile calcolare la differenza
?
Osservando i due radicali, probabilmente, la prima risposta che ci viene in mente è:
“NO, perché non sono simili.”
Siamo proprio sicuri che
e
non siano simili? Pensiamoci bene!
Osserviamo che:
Ora, se alla frazione
per
applichiamo la proprietà invariantiva e, quindi, moltiplichiamo numeratore e denominatore
, otteniamo:
In definitiva abbiamo ottenuto la seguente uguaglianza:
Dobbiamo, allora, ammettere di esserci sbagliati: i radicali
Possiamo, quindi, calcolare la differenza
e
sono simili!
; si ottiene:
Come sicuramente avrai notato, nello svolgimento di questo esercizio, ci siamo trovati di fronte alla frazione
al denominatore un radicale.
che ha
È stato utile, in questo caso, trasformarla, in una ad essa equivalente, in modo tale che il denominatore fosse un numero
razionale.
La “trasformazione” eseguita sulla frazione
prende il nome di razionalizzazione del denominatore di una frazione.
Abbiamo, allora, la seguente definizione:
Razionalizzare il denominatore di una frazione vuol dire rendere razionale il denominatore della frazione e, quindi,
scrivere una frazione equivalente a quella data in modo tale che il denominatore della frazione sia un numero
razionale.
Per razionalizzare il denominatore di una frazione, allora, si moltiplicano numeratore e denominatore della frazione per un’
opportuna espressione.
Analizziamo, adesso, i casi che si possono presentare.
1) La frazione è del tipo
, cioè il denominatore è il prodotto fra un numero razionale ed un radicale.
Osserva l’esempio seguente.
• Razionalizziamo il denominatore della frazione
Prima di tutto, scomponiamo in fattori primi il radicando; si ha:
Per rendere razionale il denominatore della frazione dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore in modo tale che
il prodotto al denominatore sia
, perché
.
Completa:
▪
135
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Algebra - secondo anno
Moltiplichiamo, allora, numeratore e denominatore di
per
; si ottiene:
▪
In definitiva:
Poniamo la nostra attenzione sul fattore
che ci ha consentito di razionalizzare il denominatore della frazione e
confrontiamolo con
(denominatore della frazione):
• i due radicali hanno indice di radice uguale;
• i radicandi di entrambi i radicali sono potenze aventi la stessa base;
• l’esponente del radicando di
è uguale alla differenza fra l’indice di radice e l’esponente del radicando di
.
Prova tu e completa
Razionalizza il denominatore della frazione
Prima di tutto, determina il dominio del radicale:
Per rendere razionale il denominatore della frazione devi moltiplicare numeratore e denominatore in modo tale che il prodotto
al denominatore sia
, perché
.
▪
Moltiplica, allora, numeratore e denominatore di
per
; ottieni:
▪
In definitiva:
Rifletti sul fattore
che ti ha consentito di razionalizzare il denominatore della frazione e confrontalo con
(denominatore della frazione):
• i due radicali hanno indice di radice ……………………;
• i radicandi di entrambi i radicali sono potenze aventi la …………………… base;
• l’esponente del radicando di
è uguale alla …………………………. fra l’indice di radice e l’esponente del radicando
di
.
Possiamo generalizzare e dare la seguente regola:
per razionalizzare il denominatore di una frazione del tipo
si moltiplicano numeratore
e denominatore della frazione per un radicale che ha:
• indice di radice uguale all’indice di radice del radicale al denominatore della frazione;
• per radicando una potenza avente per base la stessa base del radicando del radicale al denominatore della frazione
e per esponente la differenza fra l’indice di radice e l’esponente del radicando del radicale al denominatore della
frazione.
In simboli: se
Casi particolari
Se n = 2 si moltiplicano numeratore e denominatore della frazione per un radicale uguale al denominatore della razione.
Se m > n, si porta fuori di radice il fattore possibile e così si ricade nel caso precedente.
136
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Book in
progress
15. Radici
Esempi
• Razionalizziamo il denominatore della frazione
.
Il radicale al denominatore ha indice di radice uguale a 2.
Moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione per
; si ottiene:
• Razionalizziamo il denominatore della frazione
▪ Scomponiamo in fattori il radicando:
▪ Nel radicale al denominatore, l’esponente del radicando è maggiore dell’indice della radice; portiamo fuori di radice il
fattore 2:
▪ Nel radicale al denominatore, adesso, l’esponente del radicando è minore dell’indice della radice; possiamo applicare
la regola esposta in precedenza; si ottiene:
In definitiva:
2) La frazione è del tipo
, cioè il denominatore della frazione è la somma o la differenza di due radicali
di indice 2.
Osserva gli esempi seguenti.
• Razionalizziamo il denominatore della frazione
− Osserviamo che il denominatore della frazione è la somma di due radicali di indice 2.
− Ricordiamo che
;
Dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per un’espressione in modo tale che ciascuno dei due
radicali, dopo aver eseguito la moltiplicazione, sia un quadrato.
Poichè
, moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione per la differenza
dei due radicali presenti al denominatore della frazione; si ottiene:
In definitiva:
• Razionalizziamo il denominatore della frazione
− Osserviamo che il denominatore della frazione è la differenza di due radicali di indice 2.
− Ricordiamo che
;
Dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per un’espressione in modo tale che ciascuno dei due
radicali, dopo ave eseguito la moltiplicazione, risulti elevato al quadrato.
137
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Algebra - secondo anno
Poichè
, moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione per la somma dei
due radicali presenti al denominatore della frazione; si ottiene:
In definitiva:
Prova tu e completa
Razionalizza il denominatore della frazione
− Osserva che il denominatore della frazione è la …………… di due radicali di indice ………. .
− Ricorda che
;
Devi moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per un’espressione in modo tale che ciascuno dei due radicali,
dopo aver eseguito la moltiplicazione, risulti elevato al …………… .
Poichè
, moltiplica numeratore e denominatore della frazione per la ………………
dei due radicali presenti al denominatore della frazione; ottieni:
In definitiva:
Lo stesso procedimento si applica se il denominatore è del tipo
razionale ed un radicale di indice 2.
, cioè è la somma o la differenza fra un numero
Possiamo generalizzare e dare la seguente regola:
per razionalizzare il denominatore di una frazione del tipo
si moltiplicano numeratore e
denominatore della frazione per la differenza fra i due termini del denominatore.
In simboli:
per razionalizzare il denominatore di una frazione del tipo
si moltiplicano numeratore e
denominatore della frazione per la somma fra i due termini del denominatore.
In simboli:
3) La frazione è del tipo
radicali di indice 3.
Osserva gli esempi seguenti.
138
, cioè il denominatore della frazione è la somma o la differenza di due
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Book in
progress
15. Radici
• Razionalizziamo il denominatore della frazione
− Osserviamo che il denominatore della frazione è la somma di due radicali di indice 3.
− Ricordiamo che
;
Dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per un’espressione in modo tale che ciascuno dei due
radicali, dopo aver eseguito la moltiplicazione, sia un cubo.
Poichè
, moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione per un trinomio
formato dalla somma dei quadrati dei due radicali presenti al denominatore della frazione a cui sottraiamo il loro prodotto;
si ottiene:
• Razionalizziamo il denominatore della frazione
− Osserviamo che il denominatore della frazione è la differenza di due radicali di indice 3.
− Ricordiamo che
;
Dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per un’espressione in modo tale che ciascuno dei due
radicali, dopo aver eseguito la moltiplicazione, sia un cubo.
Poichè
, moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione per un trinomio
formato dalla somma dei quadrati dei due radicali presenti al denominatore della frazione a cui aggiungiamo il loro
prodotto; si ottiene:
Prova tu e completa
Razionalizza il denominatore della frazione
− Osserva che il denominatore della frazione è la …………… di due radicali di indice ………. .
− Ricorda che
;
Dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per un’espressione in modo tale che ciascuno dei due
radicali, dopo aver eseguito la moltiplicazione, sia un …………… .
Poichè
, moltiplica numeratore e denominatore della frazione per un trinomio formato
dalla somma dei ………….… dei due radicali presenti al denominatore della frazione a cui aggiungi il loro ………………;
si ottiene:
139
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Algebra - secondo anno
Lo stesso procedimento si applica se il denominatore è del tipo
razionale ed un radicale di indice 3.
, cioè è la somma o la differenza fra un numero
Possiamo generalizzare e dare la seguente regola:
per razionalizzare il denominatore di una frazione del tipo
si moltiplicano numeratore e
denominatore della frazione per un trinomio formato dalla somma dei quadrati dei due radicali presenti
al denominatore della frazione a cui sottraiamo il loro prodotto.
In simboli:
per razionalizzare il denominatore di una frazione del tipo
si moltiplicano numeratore e
denominatore della frazione per un trinomio formato dalla somma dei quadrati dei due radicali presenti
al denominatore della frazione a cui aggiungiamo il loro prodotto.
In simboli:
PROVA TU
Razionalizza il denominatore delle seguenti frazioni:
a)
b)
c)
15.10 RADICALI DOPPI
• Qual è il valore della potenza
?
Osserviamo che la base della potenza è la somma di due termini, quindi per calcolare
regola del quadrato di un binomio; si ottiene:
Dalla precedente uguaglianza, possiamo, allora, dedurre che:
Poichè
, si ottiene
• Calcoliamo la seguente potenza
Come nell’esempio precedente, applichiamo la regola del quadrato di un binomio; si ottiene:
140
è necessario applicare la
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Book in
progress
15. Radici
Abbiamo ottenuto, allora, che:
Possiamo, allora, dedurre che:
Poichè
, si ottiene
Osserviamo le uguaglianze () e ():
• il primo membro è un radicale di indice 2 che ha per radicando la somma o la differenza di un numero razionale
e di un radicale di indice 2;
• il secondo membro è la somma o differenza di due termini dei quali almeno uno è un radicale di indice 2.
Ricordando, poi, che
indice 2.
Radicali come
, possiamo dire che il secondo membro è la somma o differenza di due radicali di
oppure
sono chiamati radicali doppi.
Definizione
Un radicale di indice 2 che ha come radicando la somma o differenza fra un numero razionale e un radicale di
indice 2 si chiama radicale doppio.
Un radicale doppio, quindi, è un radicale del tipo
oppure
.
Nei due casi precedenti, abbiamo visto che è stato possibile scrivere un radicale doppio come somma o differenza di due
radicali “semplici” (di indice 2).
In generale, è possibile trasformare un radicale doppio nella somma o differenza di due radicali semplici (di indice 2) se il
suo radicando è il quadrato di un binomio.
Ad esempio, per stabilire se il radicale doppio
è la somma di due radicali semplici, dobbiamo determinare un
binomio del tipo
tale che
.
Osserviamo che:
inoltre,
Ipotizziamo, allora, che
calcoliamo la somma dei loro quadrati:
La nostra ipotesi è corretta!
Si ottiene, quindi:
In definitiva, abbiamo la seguente uguaglianza:
Possiamo, allora, scrivere:
Pertanto, è stato possibile trasformare il radicale doppio
nella somma di due radicali semplici.
Prova tu e completa
• Stabilisci se
è la somma di due radicali semplici.
è la somma di due radicali semplici se esiste un binomio del tipo
tale che
= …………………. .
141
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Algebra - secondo anno
Osserva che:
inoltre,
Ipotizziamo, allora, che
calcoliamo la somma dei loro quadrati:
La nostra ipotesi è ……………… !
Si ottiene, quindi:
In definitiva, abbiamo la seguente uguaglianza:
Possiamo, allora, scrivere:
Pertanto, è stato possibile trasformare il radicale doppio
nella somma di due radicali semplici.
Non è sempre agevole, però, applicare questo procedimento ogni volta che è necessario trasformare un radicale doppio
nella somma di due radicali semplici.
In realtà, si dimostra che, per i radicali doppi vale sempre la seguente relazione:
Applicando questa relazione, il radicale doppio si trasforma nella somma o differenza di due radicali semplici solo se
l’espressione A2 − B è un quadrato perfetto; pertanto essa è utile solo in questo caso.
Esempi
• Trasformiamo
nella somma di due radicali semplici.
Osserviamo che: A = 9, B = 32.
Prima di applicare la relazione
, calcoliamo l’espressione A2 − B; si ottiene:
Tale espressione è un quadrato perfetto; è possibile, pertanto, trasformare
semplici e, quindi, applichiamo la relazione
:
nella somma di due radicali
In definitiva, abbiamo avuto ottenuto:
• Trasformiamo
nella somma di due radicali semplici.
Osserviamo che: A = 8, B = 48.
Calcoliamo l’espressione A2 − B:
Tale espressione è un quadrato perfetto; è possibile, pertanto, trasformare
semplici e, quindi, applichiamo la relazione
:
142
nella somma di due radicali
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Book in
progress
15. Radici
In definitiva, abbiamo avuto ottenuto:
• Trasformiamo
nella somma di due radicali semplici.
In questo caso: A = 8, B = 30.
Calcoliamo l’espressione A2 − B:
Tale espressione non è un quadrato perfetto; pertanto, non è possibile trasformare
radicali semplici.
• Trasformiamo
nella somma di due
nella somma di due radicali semplici.
Prima di tutto, dobbiamo ricondurre il radicale doppio
alla forma
.
Portiamo, allora, il fattore 4 sotto radice; si ottiene:
Il radicale doppio da trasformare è, quindi,
In questo caso: A = 19, B = 336.
Calcoliamo l’espressione A2 − B; si ottiene:
Tale espressione è un quadrato perfetto; è possibile, pertanto, trasformare
semplici e, quindi, applichiamo la relazione
:
nella somma di due radicali
In definitiva, abbiamo avuto ottenuto:
PROVA TU
1) Senza applicare la relazione
a)
;
2) Applicando la relazione
semplici:
a)
, trasforma i seguenti radicali doppi nella somma o differenza di due radicali semplici:
b)
;
, trasforma, se possibile, i seguenti radicali doppi nella somma o differenza di due radicali
;
b)
;
c)
;
d)
;
15.11 RADICALI IN R
Nei paragrafi precedenti abbiamo imparato ad operare con radicali che avevano come radicando un numero non negativo.
Cosa accade se il radicando è un numero negativo?
Ricordiamo che:
•
•
L’unico caso da analizzare, allora, è quello in cui l’indice di radice è dispari ed il radicando è negativo.
Ad esempio, consideriamo il radicale
D’altra parte
e, quindi
perché
e, quindi,
Abbiamo, pertanto, avuto le seguenti uguaglianze:
Possiamo, allora, affermare che
è l’opposto di
perché entrambi i radicali sono equivalenti a −2 e, pertanto,
che ha radicando positivo.
143
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.16 Pagina 144
Algebra - secondo anno
In generale, allora, si ha:
• se a < 0 e n dispari,
Siamo riusciti, così, a trasformare un radicale con radicando negativo in uno, ad esso equivalente, con radicando positivo.
Così, tutto quello che è stato visto per i radicali con radicando non negativo, continua a valere per radicali, qualora esistano,
con radicando negativo purchè, prima di applicare regole e proprietà viste in precedenza, il radicale venga trasformato in
un radicale con radicando non negativo.
Radicali che hanno come radicando un numero reale sono chiamati radicali algebrici.
Esempio
Scriviamo un radicale di indice 6 equivalente a
.
Prima di tutto, trasformiamo:
Adesso possiamo scrivere il radicale di indice 6 ad esso equivalente; si ottiene:
15.12 POTENZE AD ESPONENTE RAZIONALE
Nel corso degli anni precedenti è stato definito il concetto di potenza ed è stato attribuito un significato anche alla potenza
con esponente negativo.
Praticamente, è stato dato un significato all’operazione ak, quando k è un numero intero.
In questo paragrafo proveremo ad attribuire significato ad una potenza che ha per esponente un numero razionale, cioè ad
un scrittura del tipo
con la condizione che
.
È chiaro che, in questo caso, il significato di potenza non può essere lo stesso di quello che esso ha nel caso di esponente
intero; tuttavia, anche nel caso di esponente razionale, devono valere le già note proprietà delle potenze.
Come al solito, cominciamo le nostre osservazioni da casi concreti.
Sappiamo che
Del resto
, quindi, si ha:
Abbiamo, allora, ottenuto che
Questo vuol dire che
è quel numero che elevato alla quinta è uguale a 3.
Per quanto visto in questo capitolo, sappiamo che anche
Deduciamo, allora, che:
.
Ripetendo lo stesso ragionamento per qualsiasi numero razionale positivo a e per qualsiasi numero del tipo
otteniamo che:
(p ≠ 0),
Dall’osservazione dell’uguaglianza ottenuta, deduciamo che:
• l’esponente della potenza è una frazione che ha denominatore ……..……….. all’indice di radice.
Nel caso precedente, il numeratore dell’esponente della potenza è 1; cosa accade se il numeratore dell’esponente della
potenza è diverso da 1?
Ad esempio, consideriamo la potenza
144
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.16 Pagina 145
Book in
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15. Radici
Ricordando che
Poiché sappiamo che
, quindi
, e applicando le proprietà delle potenze, si ottiene:
, possiamo scrivere:
Ancora una volta, la potenza ad esponente razionale è equivalente ad un radicale.
Proviamo, di nuovo, a generalizzare e consideriamo la potenza
Si ottiene:
.
In definitiva, possiamo affermare che
Si ha, quindi, la seguente proprietà:
Una potenza che ha per base un numero reale non negativo e per esponente un numero razionale è equivalente
ad un radicale che ha:
• indice della radice uguale al denominatore dell’esponente;
• per radicando una potenza avente come base la stessa base e per esponente il numeratore dell’esponente.
Come ben sai, per l’uguaglianza vale la proprietà simmetrica e, quindi, possiamo dire che:
Un radicale che ha come radicando una potenza con base non negativa è sempre equivalente ad una potenza
che ha per base la stessa base del radicando e per esponente una frazione che ha:
• denominatore uguale all’indice di radice;
• numeratore uguale all’esponente del radicando.
ATTENZIONE
Vediamo, con un esempio, perché per definire la potenza con esponente razionale è necessario che la sua base sia non
negativa.
Trasformiamo la potenza
in radicale:
Applicando la proprietà precedente otteniamo l’uguaglianza
.
Il radicale ottenuto ha indice pari e radicando negativo, quindi esso non è un numero reale.
È necessario, dunque, porre la condizione che la base della potenza sia non negativa in modo che possa essere definita
la potenza se il suo esponente è un qualsiasi numero razionale.
Ma, come al solito, esistono casi particolari.
Se l’esponente della potenza è un numero razionale negativo, la sua base deve essere, necessariamente, positiva.
Perché?
Esempi
• Scriviamo sotto forma di radicale la potenza
.
Tale potenza è equivalente ad un radicale che ha:
• indice di radice uguale al denominatore dell’esponente (7);
• per radicando una potenza che ha come base la stessa base (5) e per esponente il numeratore dell’esponente (3).
Quindi:
145
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Algebra - secondo anno
• Scriviamo sotto forma di radicale la potenza
.
Tale potenza è equivalente ad un radicale che ha:
• indice di radice uguale al denominatore dell’esponente (4);
• per radicando una potenza che ha come base la stessa base (3) e per esponente il numeratore dell’esponente (7).
Quindi:
In definitiva, si ha:
• Scriviamo sotto forma di radicale la potenza
Osserviamo che
.
, quindi
Tale potenza è equivalente ad un radicale che ha:
• indice di radice uguale al denominatore dell’esponente (3);
• per radicando una potenza che ha come base la stessa base (36) e per esponente il numeratore dell’esponente (−2).
Quindi:
In definitiva, si ha:
• Scriviamo sotto forma di radicale la potenza
.
La base della potenza è un’espressione letterale; prima di effettuare qualsiasi trasformazione è necessario determinarne il
dominio D.
Deve essere, allora,
Possiamo, adesso, trasformare la potenza in radicale.
Tale potenza è equivalente ad un radicale che ha:
• indice di radice uguale al denominatore dell’esponente (8);
• per radicando una potenza che ha come base la stessa base (2h) e per esponente il numeratore dell’esponente (5).
Quindi:
• Scriviamo sotto forma di potenza il radicale
.
Osserviamo che
Tale radicale è equivalente ad una potenza che ha:
per base la stessa base del radicando (5);
come esponente una frazione avente:
- denominatore uguale all’indice di radice (3);
- numeratore uguale all’esponente del radicando (1)
Quindi:
• Scriviamo sotto forma di potenza il radicale
Osserviamo che
.
.
Tale radicale è equivalente ad una potenza che ha:
per base la stessa base del radicando (7);
come esponente una frazione avente:
- denominatore uguale all’indice di radice (4);
- numeratore uguale all’esponente del radicando (3)
146
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Book in
progress
15. Radici
Quindi:
• Scriviamo sotto forma di potenza il radicale
.
Osserviamo che:
•
• il radicando è un’espressione letterale e l’indice di radice (2) è un numero pari; prima di effettuare qualsiasi trasformazione
è necessario determinarne il dominio D.
Ricordando che la base di una potenza con esponente razionale è positiva, deve essere:
Possiamo, adesso, trasformare il radicale in potenza.
Tale radicale è equivalente ad una potenza che ha:
per base la stessa base del radicando (k - 2);
come esponente una frazione avente:
- denominatore uguale all’indice di radice (2);
- numeratore uguale all’esponente del radicando (1)
Quindi
ATTENZIONE
Abbiamo detto, in precedenza, che è sempre possibile trasformare un radicale in potenza ad esponente razionale se la sua
base è non negativa.
Sappiamo, però, che se l’indice di radice è un numero dispari il radicando può anche essere negativo.
Ci chiediamo, allora, se in tal caso è possibile trasformare il radicale in una potenza con esponente razionale.
Osserva i seguenti esempi:
• Scriviamo sotto forma di potenza il radicale
.
Osserviamo che
Tale radicale è equivalente ad una potenza che ha:
per base la stessa base del radicando (7);
come esponente una frazione avente:
- denominatore uguale all’indice di radice (4);
- numeratore uguale all’esponente del radicando (3)
Quindi
• Scriviamo sotto forma di potenza il radicale
.
Osserviamo che:
Esaminiamo i due casi separatamente.
147
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Algebra - secondo anno
I caso:
Il radicale è equivalente ad una potenza che ha:
per base la stessa base del radicando (9a3);
come esponente una frazione avente:
- denominatore uguale all’indice di radice (7);
- numeratore uguale all’esponente del radicando (1)
Quindi
II caso:
Osserviamo che
Possiamo ripetere, ora, lo stesso ragionamento fatto nel I caso, si ottiene:
Sintetizzando, abbiamo che:
Ancora qualche esempio.
• Semplifichiamo la seguente espressione
Scomponiamo in fattori le basi delle potenze:
Per le potenze con esponente razionale valgono le proprietà delle potenze già viste per potenze con esponenti interi;
applichiamo, quindi, queste proprietà. Si ottiene:
Trasformiamo l’espressione così ottenuta in una espressione contenente radicali; si ha:
• Dopo aver trasformato i radicali in potenza ad esponente razionale, semplifichiamo la seguente espressione applicando
le proprietà delle potenze:
Osserviamo che:
Sostituendo nell’espressione, si ottiene:
Applichiamo le proprietà delle potenze:
In definitiva, abbiamo ottenuto:
148
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Book in
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15. Radici
PROVA TU
1) Scrivi sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale:
a)
;
b)
;
;
;
;
;
2) Scrivi sotto forma di potenza i seguenti radicali:
a)
b)
;
;
;
;
;
;
3) Semplifica le seguenti espressioni contenenti potenze con esponenti razionali; successivamente, scrivi il risultato sotto
forma di radicale.
a)
;
b)
;
4) Dopo aver trasformato i radicali in potenza ad esponente razionale, semplifica le seguenti espressioni applicando le
proprietà delle potenze:
a)
;
b)
;
149
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Algebra - secondo anno
ESERCIZI CAPITOLO 15
I RADICALI
Conoscenza e comprensione
1) Cosa si intende per radicale?
2) Uno solo, fra i seguenti radicali, è un numero razionale; quale?
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
3) Da quali parti è formato un radicale?
4) Che cos’è un radicale aritmetico?
5) Uno solo fra i seguenti non è sempre un radicale aritmetico; quale?
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
6) Quale, fra i seguenti insiemi, è il dominio del radicale aritmetico
a)
;
b)
;
c)
;
?
d)
;
e)
;
7) Che cosa afferma la proprietà invariantiva dei radicali aritmetici?
8) Quando, un radicale aritmetico si dice irriducibile?
9) Quando, due radicali aritmetici si dicono equivalenti?
10) Stabilisci se, nell’insieme dei radicali aritmetici, la relazione “essere equivalenti” è una relazione d’equivalenza.
11) Stabilisci se, nell’insieme dei radicali aritmetici, la relazione “essere equivalenti” è una relazione d’equivalenza.
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
12) Come procedi per semplificare un radicale aritmetico?
13) Uno solo dei seguenti radicali aritmetici è equivalente
a)
;
b)
;
14) Del radicale
c)
;
d)
; quale?
;
e)
possiamo dire che:
a) è un radicale aritmetico solo se
.
V
F
b) è sempre un radicale aritmetico.
V
F
c) è equivalente a
.
V
F
d) è equivalente a
.
V
F
e) è equivalente a
.
V
F
15) Come procedi per ridurre due radicali aritmetici allo stesso indice?
16) Come procedi per confrontare due radicali aritmetici?
17) Dati i radicali
a)
b)
c)
d)
e)
150
;
,
,
, quale delle seguenti relazioni è corretta?
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Book in
progress
15. Radici
18) Le seguenti proposizioni sono vere o false?
a) Il prodotto di due radicali può essere un numero razionale.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
b) L’indice di radice del prodotto di due radicali è uguale al prodotto degli indici
dei due fattori.
c) Il prodotto di due radicali è un radicale che ha come radicando il prodotto dei
due radicandi.
d) Il radicando del prodotto di due radicali è uguale al prodotto dei radicandi dei
due radicali solo essi hanno lo stesso indice.
e) Nella divisione fra due radicali, l’indice di radice del quoziente è multiplo di
entrambi gli indici di radice dei radicali assegnati.
f) Il rapporto fra due radicali è uguale a un radicale che ha come radicando il
rapporto dei radicandi dei radicali assegnati.
19) Considerando radicali aritmetici, come procedi per portare un fattore sotto il segno di radice?
20) I radicali presenti nelle seguenti relazioni sono radicali aritmetici. Una sola di esse è corretta. Quale?
a)
b)
c)
d)
e)
21) Considerando radicali aritmetici, come procedi per portare un fattore fuori dal segno di radice?
22) I radicali presenti nelle seguenti relazioni sono radicali aritmetici. Una sola di esse non è corretta. Quale?
a)
b)
c)
d)
e)
23) Dai la definizione di radicali simili.
24) Uno solo, fra i seguenti radicali, non è simile a
a)
;
b)
;
c)
;
; quale?
d)
;
e)
;
25) Stabilisci se, nell’insieme dei radicali aritmetici, la relazione “essere simili” è una relazione d’equivalenza.
26) Come procedi per calcolare la somma algebrica di due o più radicali simili?
27) Cosa vuol dire razionalizzare il denominatore di una frazione?
28) Le seguenti proposizioni sono vere o false?
a) La frazione
è equivalente alla differenza fra due radicali.
V
F
b) La frazione
è equivalente ad un radicale simile a
V
F
c) La frazione
è il doppio di
V
F
151
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Algebra - secondo anno
d) La frazione
è la metà di
V
F
e) La frazione
è equivalente alla somma di tre radicali.
V
F
29) Quale, fra le seguenti espressioni, è un radicale doppio?
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
30) Uno solo, fra i seguenti radicali doppi, non può essere trasformato nella somma o differenza di due radicali “semplici”.
Quale?
a)
b)
c)
d)
e)
31) Il radicale doppio
è uguale a:
a)
b)
c)
d)
e)
32) Qual è la differenza fra un radicale aritmetico ed un radicale algebrico?
33) Quale, fra i seguenti insiemi, è il dominio del radicale algebrico
?
a)
b)
c)
d)
e)
34) È possibile trasformare un radicale algebrico in un radicale aritmetico? Se sì, come procedi?
35) A che cosa è equivalente una potenza con esponente razionale?
152
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Book in
progress
15. Radici
ESERCIZI
Quali, fra le seguenti scritture, rappresentano radicali?
1)
2)
3)
Quali, fra i seguenti radicali, rappresentano, sicuramente, numeri razionali?
4)
5)
6)
Quali, fra le seguenti scritture, rappresentano, sicuramente, radicali aritmetici?
7)
8)
9)
Determina il dominio dei seguenti radicali aritmetici:
10)
11)
12)
13)
14)
Completa le seguente uguaglianze fra radicali aritmetici in modo che esse risultino vere:
15)
16)
17)
18)
19)
153
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Algebra - secondo anno
Riduci allo stesso indice i seguenti radicali aritmetici:
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
154
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.17 Pagina 155
Book in
progress
15. Radici
Riduci allo stesso indice i seguenti radicali aritmetici:
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
155
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.17 Pagina 156
Algebra - secondo anno
39)
40)
Confronta i seguenti radicali aritmetici:
41)
42)
43)
44)
45)
Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri reali:
46)
47)
Scrivi in ordine decrescente i seguenti numeri reali:
48)
49)
156
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.17 Pagina 157
Book in
progress
15. Radici
Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni fra radicali aritmetici:
50)
51)
52)
53)
54)
55)
56)
57)
58)
157
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.17 Pagina 158
Algebra - secondo anno
59)
60)
61)
62)
63)
64)
65)
66)
67)
68)
69)
70)
71)
72)
73)
74)
75)
158
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Book in
progress
15. Radici
Calcola le seguenti potenze di radicali aritmetici:
76)
77)
78)
79)
80)
81)
82)
83)
84)
85)
86)
87)
88)
89)
90)
91)
159
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Algebra - secondo anno
92)
93)
94)
95)
96)
97)
160
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.18 Pagina 161
Book in
progress
15. Radici
Considerando radicali aritmetici, trasporta il fattore esterno sotto il segno di radice:
98)
99)
100)
101)
102)
103)
104)
105)
106)
107)
108)
109)
110)
111)
112)
113)
114)
115)
116)
117)
118)
161
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.18 Pagina 162
Algebra - secondo anno
162
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Book in
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15. Radici
Considerando radicali aritmetici, porta fuori di radice tutti i fattori possibili:
119)
120)
121)
122)
123)
124)
125)
126)
127)
128)
129)
130)
131)
132)
133)
134)
135)
136)
137)
138)
163
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Algebra - secondo anno
In alcune delle seguenti uguaglianze non sono stati messi i necessari valori assoluti. Inseriscili tu!
139)
140)
141)
Calcola le seguenti radici di radicali aritmetici:
142)
143)
144)
145)
146)
147)
148)
149)
150)
151)
164
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Book in
progress
15. Radici
Individua, fra i seguenti radicali aritmetici, quelli simili:
152)
153)
154)
155)
156)
165
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Algebra - secondo anno
Semplifica le seguenti espressioni contenti radicali aritmetici:
157)
158)
159)
160)
161)
162)
163)
164)
165)
166)
167)
168)
169)
170)
171)
172)
173)
174)
175)
176)
166
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.19 Pagina 167
Book in
progress
15. Radici
Occhio agli errori
177) Semplifica le seguenti espressioni contenti radicali aritmetici:
167
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Algebra - secondo anno
Trasforma le seguenti frazioni in frazioni ad esse equivalenti con denominatore razionale
(considera i fattori letterali positivi):
178)
179)
180)
181)
182)
183)
184)
185)
186)
187)
188)
189)
190)
191)
192)
193)
194)
195)
196)
168
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.19 Pagina 169
Book in
progress
15. Radici
197)
198)
199)
200)
201)
169
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Algebra - secondo anno
Trasforma le seguenti frazioni in frazioni ad esse equivalenti con denominatore razionale:
202)
203)
204)
205)
206)
207)
208)
209)
210)
211)
212)
213)
214)
215)
216)
217)
218)
219)
170
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.20 Pagina 171
Book in
progress
15. Radici
Trasforma le seguenti frazioni in frazioni ad esse equivalenti con denominatore razionale:
220)
221)
222)
223)
224)
225)
226)
227)
171
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.20 Pagina 172
Algebra - secondo anno
228)
229)
Trasforma le seguenti frazioni in frazioni ad esse equivalenti con denominatore razionale:
230)
231)
232)
233)
234)
172
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.20 Pagina 173
Book in
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15. Radici
235)
236)
237)
238)
239)
240)
241)
242)
243)
244)
245)
Stabilisci se ciascuno dei seguenti radicali esiste in R e, in caso affermativo, calcolane il valore.
246)
247)
248)
249)
250)
251)
252)
253)
254)
255)
173
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.20 Pagina 174
Algebra - secondo anno
Determina il dominio D dei seguenti radicali in R.
256)
257)
258)
259)
260)
Semplifica i seguenti radicali in R:
261)
262)
174
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.21 Pagina 175
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15. Radici
263)
264)
265)
266)
267)
268)
269)
Semplifica le seguenti espressioni:
270)
271)
272)
273)
274)
275)
276)
277)
278)
279)
280)
281)
282)
175
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.21 Pagina 176
Algebra - secondo anno
283)
284)
285)
Scrivi sotto forma di potenza con esponente razionale i seguenti radicali:
286)
287)
288)
289)
290)
291)
292)
Scrivi sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale.
293)
294)
295)
296)
297)
298)
176
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.21 Pagina 177
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15. Radici
299)
Semplifica le seguenti espressioni applicando, se possibile, le proprietà delle potenze.
Scrivi poi il risultato ottenuto sotto forma di radicale (razionalizzando, se possibile, il denominatore della frazione).
300)
301)
302)
303)
304)
305)
306)
307)
308)
177
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.21 Pagina 178
Algebra - secondo anno
Scomponi in fattori le seguenti espressioni:
309)
310)
311)
312)
313)
314)
315)
316)
317)
318)
319)
320)
321)
322)
323)
178
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.22 Pagina 179
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15. Radici
324)
Dopo aver scomposto in fattori il numeratore e/o il denominatore, semplifica le seguenti frazioni:
325)
326)
327)
328)
329)
330)
331)
Risolvi le seguenti equazioni:
332)
333)
334)
335)
336)
337)
338)
339)
340)
341)
342)
179
AIE604_C2_algebra_secondo'16ok_Layout 1 28/07/15 15.22 Pagina 180
Algebra - secondo anno
343)
344)
345)
346)
347)
Risolvi i seguenti sistemi:
348)
349)
350)
351)
352)
353)
354)
180
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.10 Pagina 181
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16. Le equazioni di secondo grado
CAPITOLO 16. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
16.1 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO E LORO CLASSIFICAZIONE
Luca e Marta sono al bar della città di Mattown per la solita colazione.
Osservando il listino prezzi, si accorgono che i prezzi delle consumazioni sono espressi con proposizioni matematiche:
Luca: “Che fatica per una colazione! Non ne ho più voglia! E poi, abbiamo, in tutto, solo 4 €; chissà cosa possiamo
prendere!”
Marta: “Dai Luca, che ci vuole? Vedrai non sarà poi così difficile stabilire i prezzi delle consumazioni. Aspetta, fammi fare un
po’ di conti!”
Aiutiamo Marta a stabilire i prezzi delle consumazioni.
Formalizziamo le proposizioni del listino prezzi con i simboli della Matematica e indichiamo con
determinare in ciascuna proposizione.
il numero da
La formalizzazione è riportata nella seguente tabella:
Osserviamo che ciascuna proposizione è formalizzata da un’equazione di secondo grado; riduciamole a forma normale:
a)
b)
c)
181
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.10 Pagina 182
Algebra - secondo anno
d)
e)
Possiamo, allora, generalizzare:
una equazione di secondo grado, in una variabile (in genere, indicata con la lettera x), ridotta a forma normale è
del tipo
con
.
Perché a ≠ 0? …………………………………………………………………….. (Completa)
Osserviamo la forma del polinomio al primo membro di ciascuna delle equazioni ottenute:
• nelle equazioni a) e b) il polinomio di secondo grado non è completo;precisamente:
- nell’equazione a) manca il termine di grado 0;
- nell’equazione b) manca il termine di primo grado;
• nelle equazioni c), d), e) il polinomio di secondo grado è completo.
Classifichiamo, allora, le equazioni di secondo grado in base alla forma del polinomio:
16.2 RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO
Marta si rende subito conto che è in grado di risolvere le equazioni a), b) e c) perché è possibile ricondurle ad equazioni di
………… grado; infatti:
a)
(Marta applica la legge di ………...……………..…….. ….… ………………………………);
b)
c)
Luca: “Brava Marta; mi sembra, però, che le altre equazioni siano un po’ diverse da queste.”
Marta, dopo averci pensato un po’, chiama Luca:
Marta: “Luca, mi è venuta un’idea. Riusciremo a trovare le soluzioni dell’equazione d).
Guarda, se poniamo A = k − 2, l’equazione d) diventa: A2 = 7; e, quindi:
Sostituendo ad A l’espressione precedente, otteniamo:
Luca: “Bella idea, Marta! Ma, … l’ultima equazione?”
Marta: “Dai Luca, non diamoci per vinti!”
E dopo qualche minuto:
Marta: “Eureka! Luca, ho trovato il modo di risolvere l’ultima equazione”.
Stai attento: se al binomio k2 + 3k aggiungiamo
esso diventa il quadrato di (k + …….)
Allora, applicando il ……….. principio di equivalenza delle equazioni, trasformiamo l’equazione:
182
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.10 Pagina 183
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16. Le equazioni di secondo grado
Ponendo
, otteniamo:
Le soluzioni dell’equazione sono
Luca e Marta, adesso, sono riusciti a stabilire i prezzi delle consumazioni.
Completa, adesso, il listino prezzi:
Marta e Luca che cosa potranno ordinare per la loro colazione?
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Osservando il procedimento seguito da Marta per risolvere le precedenti equazioni, possiamo generalizzare e descrivere
come si procede per risolvere i diversi tipi di equazioni di secondo grado.
Equazioni incomplete
Equazione pura:
Si risolve applicando il seguente procedimento:
si porta il termine noto c al secondo membro:
si ricava x2:
si determina x:
Osservazione
Ricordiamo che un radicale di indice pari è un numero reale soltanto se il radicando è non negativo; quindi, poiché
c≠0, si ha:
l’equazione ha due soluzioni opposte:
l’equazione non ha soluzioni in R; quindi S = ∅.
Le soluzioni di un’equazione pura, se esistono, sono opposte.
183
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Algebra - secondo anno
Equazione spuria:
Si risolve applicando il seguente procedimento:
Poiché x è comune ad entrambi i termini del primo membro dell’equazione, possiamo fare il raccoglimento a fattor
comune; si ottiene:
Applicando la legge di annullamento del prodotto si ha:
Le due soluzioni cercate sono:
L’insieme soluzione è S =
Osservazione
L’equazione spuria ammette sempre due soluzioni reali e distinte di cui una è x = 0.
Equazione monomia:
Per risolvere questo tipo di equazione è sufficiente ricordare la legge di annullamento del prodotto:
184
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.10 Pagina 185
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16. Le equazioni di secondo grado
PROVA TU
Risolvi le seguenti equazioni incomplete:
a)
b)
Equazioni completa
Ripetiamo, nel caso generale, il procedimento seguito da Marta per risolvere le equazioni complete di secondo grado.
Osserva i seguenti passaggi:
1. Consideriamo l’equazione:
2. Applichiamo il secondo principio di equivalenza e moltiplichiamo per 4a primo e secondo membro dell’equazione:
3. Trasportiamo il termine noto 4ac al secondo membro:
4. Applichiamo il primo principio di equivalenza e sommiamo il termine b² ad entrambi i membri dell’equazione (3) :
5. Il primo membro dell’equazione (4) è il quadrato di un binomio:
6. Da cui:
7. Ricaviamo la variabile x dall’equazione (6); si ottiene:
o anche, come si è soliti scrivere,
La formula così ottenuta prende il nome di formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
La formula risolutiva permette di determinare le soluzioni, dette anche radici, di un’equazione di secondo grado.
In particolare, poiché per convenzione, x1 < x2 , si ha:
Osserviamo che, nella formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, è presente un radicale di indice pari
esso è un numero reale soltanto se il radicando non è negativo.
;
Dal discriminante… al numero delle soluzioni
L’espressione
, che compare sotto il segno di radice, prende il nome di discriminante e viene indicata con la
lettera Δ (delta) dell’alfabeto greco.
In relazione al valore di Δ =
si possono presentare tre casi:
Δ > 0:
• l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte (x1 ≠ x2)
185
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Algebra - secondo anno
Δ = 0:
• si ottiene
L’equazione, dunque, ha una sola soluzione.
In questo caso è consuetudine dire che l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti oppure
che
è una soluzione doppia.
Δ < 0:
• in R non esiste la radice con indice pari di un numero negativo, quindi l’equazione non ha soluzioni reali;
l’equazione, perciò, è impossibile. Quindi, S = ∅.
Per stabilire il numero di soluzioni di un’equazione di secondo grado, è sufficiente determinare il valore del discriminante e
stabilirne il segno, come riportato nella seguente tabella:
Esempi
Stabiliamo il numero delle soluzioni delle seguenti equazioni:
a)
;
b)
;
c)
;
a) I coefficienti di questa equazione sono:
Determiniamo il valore del discriminante:
L’equazione ha, dunque, due soluzioni distinte.
b) I coefficienti di questa equazione sono:
Determiniamo il valore del discriminante:
L’equazione ha, dunque, ha una sola soluzione reale (o due soluzioni reali e coincidenti).
c) I coefficienti di questa equazione sono:
Determiniamo il valore del discriminante:
L’equazione, dunque, non ha soluzioni in R.
PROVA TU
Completa la seguente tabella:
186
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.10 Pagina 187
Book in
progress
16. Le equazioni di secondo grado
Esempi
Determiniamo l’insieme soluzione delle seguenti equazioni:
a)
;
b)
;
c)
d)
;
e)
;
f)
;
;
a) I coefficienti di questa equazione sono:
Determiniamo il valore del discriminante:
L’equazione ha due soluzioni distinte; applichiamo la formula risolutiva trovata in precedenza:
Quindi, l’insieme soluzione è S =
b) I coefficienti di questa equazione sono:
Determiniamo il valore del discriminante:
L’equazione ha due soluzioni reali distinte; applichiamo la formula risolutiva:
Quindi, l’insieme soluzione è S =
c) I coefficienti di questa equazione sono:
Determiniamo il valore del discriminante:
L’equazione ha una soluzione reale (o due soluzioni reali coincidenti); in questo caso:
Quindi, l’insieme soluzione è S =
d) I coefficienti di questa equazione sono:
Determiniamo il valore del discriminante:
L’equazione ha due soluzioni reali distinte; applichiamo la formula risolutiva:
Quindi, l’insieme soluzione è S =
e) I coefficienti di questa equazione sono:
Determiniamo il valore del discriminante:
L’equazione ha due soluzioni distinte; applichiamo la formula risolutiva trovata in precedenza:
Quindi, l’insieme soluzione è S =
187
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.10 Pagina 188
Algebra - secondo anno
f) I coefficienti di questa equazione sono:
Determiniamo il valore del discriminante:
L’equazione, quindi, non ha soluzioni in R; l’insieme soluzione è S = ∅.
Osservazione
Se, nell’equazione
, a è negativo, prima di applicare la formula risolutiva, è opportuno cambiare di segno
a tutti i termini dell’equazione moltiplicando primo e secondo membro per −1.
PROVA TU
Determina l’insieme soluzione delle seguenti equazioni:
Completa la seguente tabella:
Osserva la tabella e completa le seguenti proposizioni scegliendo il termine opportuno fra quelli indicati in parentesi:
in ciascuna delle equazioni il coefficiente b è un numero …………………… (pari, dispari);
il valore del discriminate è un multiplo di …….. (3, 4, 5);
le soluzioni delle equazioni sono espresse da frazioni nelle quali sia il numeratore che il denominatore sono numeri
reali contenenti il fattore …… (2, 3, 4).
Generalizziamo e consideriamo l’equazione
in cui il coefficiente b è pari.
L’equazione diventa:
Calcoliamo il discriminante:
Se Δ ≥ 0, applichiamo la formula risolutiva:
In definitiva, se b è pari e Δ ≥ 0, la formula che permette di determinare le soluzioni dell’equazione è la seguente:
Osserviamo che
188
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16. Le equazioni di secondo grado
Questa formula viene chiamata formula risolutiva ridotta.
Ovviamente, il numero delle soluzioni dell’equazione dipende dal segno di
:
•
> 0 ==> l’equazione ha due soluzioni reali e distinte;
•
= 0 ==> l’equazione ha una soluzione reale (o due soluzioni reali e coincidenti);
•
< 0 ==> l’equazione non ha soluzioni in R.
Se b è pari e a = 1, la formula ridotta diventa
Esempio
Risolviamo l’equazione
I coefficienti di questa equazione sono:
Poiché b è pari, si ha
a = 3,
; determiniamo
b = −8,
c = 5.
:
L’equazione ha due soluzioni reali e distinte; applichiamo la formula risolutiva ridotta:
Quindi, l’insieme soluzione è S =
Osservazione
Non sempre le equazioni di secondo grado sono scritte in forma normale, ovvero sono del tipo
prima di applicare la formula risolutiva, allora, è necessario ridurre l’equazione a forma normale.
Esempio
Risolviamo l’equazione
Prima di tutto riduciamo l’equazione a forma normale:
• innanzitutto calcoliamo il quadrato del binomio al primo termine:
• trasportiamo i termini del secondo membro al primo membro:
• sommiamo i termini simili ed ordiniamo secondo le potenze decrescenti della variabile:
Adesso, possiamo risolvere l’equazione:
• calcoliamo il discriminante:
• l’equazione ha due soluzioni reali e distinte;
• applichiamo la formula risolutiva:
Quindi, l’insieme soluzione è S =
189
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Algebra - secondo anno
PROVA TU
Dopo averle ridotte a forma normale, risolvi le seguenti equazioni:
a)
b)
16.3 RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI DI UNA EQUAZIONE DI SECONDO GRADO E LE SUE SOLUZIONI
Completa la seguente tabella:
Osserva la colonna “Somma soluzioni” e quella in cui hai riportato il valore
:
la somma delle soluzioni dell’equazione è …………………… all’opposto di ……………. .
Osserva la colonna “Prodotto soluzioni” e quella in cui hai riportato il valore di
:
il prodotto delle soluzioni dell’equazione è …………………… a …………… .
Vediamo, adesso, se queste relazioni valgono in generale.
con Δ ≥ 0; le sue soluzioni sono:
Consideriamo una equazione
e
Eseguiamo la loro somma che indichiamo con s:
In definitiva, si ha
Eseguiamo il prodotto che indichiamo con p:
In definitiva, si ha che
190
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.10 Pagina 191
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progress
16. Le equazioni di secondo grado
In sintesi:
data l’equazione
(Δ ≥ 0), si hanno le seguenti relazioni:
• somma delle soluzioni:
• prodotto delle soluzioni:
Applicazioni
Vediamo, adesso, come possono essere applicate queste relazioni.
a) Consideriamo, ancora una volta, l’equazione
e indichiamo con s la somma delle sue soluzioni e con p il prodotto delle stesse soluzioni; quindi:
Applichiamo il secondo principio di equivalenza e dividiamo entrambi i membri per a (≠0, perché ………………..);
otteniamo:
Per le relazioni precedenti si ha
Poiché
e
e
, la
, sostituendo nell’equazione
otteniamo:
diventa:
Possiamo, allora, affermare che in una equazione di secondo grado con discriminante non negativo e coefficiente
a = 1, il coefficiente del termine di primo grado è uguale all’opposto della somma delle sue soluzioni, mentre il
termine noto è uguale al prodotto delle soluzioni stesse.
b) Dato un trinomio di secondo grado
uguagliando a zero il trinomio stesso.
Allora, se abbiamo il trinomio
si chiama equazione ad esso associata l’equazione che si ottiene
, l’equazione ad esso associata è
Consideriamo, adesso, il trinomio
.
e siano x1 e x2 le soluzioni dell’equazione ad esso associata.
Operando il raccoglimento a fattor comune, abbiamo:
Ricordando che
e
, si ottiene:
Operando il raccoglimento parziale, scomponiamo il polinomio in fattori; si ottiene:
In definitiva, si ha che:
In sintesi, per scomporre in fattori un trinomio di secondo grado dobbiamo:
• scrivere l’equazione ad esso associata;
• calcolare il suo discriminante:
se Δ ≥ 0, determinare le sue soluzioni;
- scrivere il trinomio come prodotto di tre fattori applicando la relazione ();
191
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.10 Pagina 192
Algebra - secondo anno
se Δ < 0, il trinomio è irriducibile.
Queste osservazioni ci permettono di dare una risposta a quesiti di varo tipo; ad esempio:
• scrivere una equazione, ridotta a forma normale, della quale sono note le sue soluzioni;
• determinare due numeri conoscendo la loro somma ed il loro prodotto;
• scomporre in fattori, nell’insieme dei numeri reali, un trinomio di secondo grado;
• semplificare alcune frazioni algebriche.
Esempi
a) Determiniamo l’equazione, ridotta a forma normale, che ha come soluzioni i numeri −2 e 3.
Calcoliamo la somma s ed il prodotto p delle soluzioni:
Sostituendo nell’equazione
, otteniamo:
che è l’equazione cercata.
b) Determiniamo l’equazione, ridotta a forma normale, che ha come soluzioni i numeri
Poiché le soluzioni sono opposte, l’equazione è pura.
La somma
, otteniamo:
c) Determiniamo l’equazione, ridotta a forma normale, che ha come soluzioni i numeri
La somma
, il prodotto
Sostituendo nell’equazione
, otteniamo:
che è l’equazione cercata.
d) La somma di due numeri è
ed il loro prodotto è
e
Risolviamo l’equazione:
• calcoliamo il discriminante:
• determiniamo le soluzioni:
I numeri richiesti, quindi, sono
e) Scomponiamo in fattori il trinomio
Scriviamo l’equazione associata:
• calcoliamo il discriminante:
• determiniamo le soluzioni:
. Quali sono i due numeri?
; sostituendo nell’equazione
che, ridotta alla forma normale, diventa
192
.
, il prodotto
Sostituendo nell’equazione
che è l’equazione cercata.
Sappiamo che
e
e 1.
, otteniamo:
e
.
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 09.30 Pagina 193
Book in
progress
16. Le equazioni di secondo grado
Si ha
, sostituendo nella relazione (), otteniamo:
f) Scomponiamo in fattori il trinomio
Scriviamo l’equazione associata:
• calcoliamo il discriminante:
• determiniamo le soluzioni:
Si ha
, sostituendo nella relazione (), otteniamo:
g) Scomponiamo in fattori il trinomio
Scriviamo l’equazione associata:
• calcoliamo il discriminante:
Il trinomio è irriducibile.
h) Semplifichiamo la frazione algebrica
Scomponiamo in fattori il numeratore
• Scriviamo l’equazione associata
• calcoliamo il discriminante:
• determiniamo le soluzioni dell’equazione associata:
Si ha
; applicando la relazione (), otteniamo:
Scomponiamo in fattori il denominatore
• Scriviamo l’equazione associata
• calcoliamo il discriminante:
• determiniamo le soluzioni dell’equazione associata:
193
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.11 Pagina 194
Algebra - secondo anno
Si ha
; applicando la relazione (), si ottiene:
Riscriviamo la frazione sostituendo al numeratore e al denominatore la loro scomposizione in fattori; si ottiene:
PROVA TU
1) Scrivi l’equazione di secondo grado, ridotta a forma normale, che ha come soluzioni:
a) i numeri
e
;
b) il numero −3;
c) i numeri 0 e 5;
d) i numeri −4 e 4.
2) Determina due numeri conoscendo la loro somma s ed il loro prodotto p:
a)
b)
c)
3) Scomponi i seguenti trinomi di secondo grado:
a)
b)
c)
d)
4) Semplifica le seguenti frazioni algebriche:
a)
b)
16.4 EQUAZIONI PARAMETRICHE DI SECONDO GRADO
Si chiamano equazioni parametriche quelle equazioni in cui, oltre all’incognita, compare un’altra lettera chiamata
“parametro”; per tali equazioni non si richiede di determinare l’insieme soluzione, ma di stabilire per quale valore del
parametro esse soddisfano determinate condizioni.
Esempi
a) Determina per quali valori del parametro k le soluzioni dell’equazione
sono reali e coincidenti.
Un’equazione di secondo grado ha due soluzioni reali e coincidenti soltanto se Δ = 0.
In questa equazione si ha
;
;
• calcoliamo il discriminante:
Dovendo essere Δ = 0, si ottiene
Risolviamo l’equazione ottenuta:
I valori di k che soddisfano la condizione richiesta sono:
b) Determina per quali valori del parametro h le soluzioni dell’equazione
Un’ equazione di secondo grado ha due soluzioni reali soltanto se Δ ≥ 0.
In questa equazione si ha
• calcoliamo il discriminante:
Dovendo essere Δ ≥ 0, si ottiene
194
;
;
sono reali.
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.11 Pagina 195
Book in
progress
16. Le equazioni di secondo grado
Eseguendo le operazioni indicate, si ottiene:
L’insieme soluzione di questa disequazione è S =
La condizione richiesta è verificata da tutti i numeri h tali che
c) Determina per quale valore del parametro m l’equazione
ha una soluzione nulla.
Un’equazione di secondo grado ha una soluzione nulla se è una equazione spuria; il suo termine noto, allora, deve
essere nullo.
Imponiamo, perciò, c = 0 ; si ottiene:
Il valore di m che soddisfa la condizione richiesta è:
d) Determinare il valore del parametro l affinché il numero 3 sia soluzione dell’equazione
Un numero è soluzione di un equazione se, sostituito alla variabile, rende vera l’uguaglianza.
Sostituendo il numero 3 alla variabile x, si ottiene:
Dobbiamo, allora, determinare il valore di l per il quale è vera quest’ultima uguaglianza:
Il valore di l che soddisfa la condizione richiesta è:
e) Determina per quale valore del parametro p, la somma delle soluzioni dell’equazione
è uguale a 3.
Poichè
, deve essere
In questa equazione
Sostituendo i valori dei coefficienti otteniamo:
Risolviamo l’equazione:
Il valore di p che soddisfa la condizione richiesta è
f) Determina per quale valore del parametro h il prodotto delle soluzioni dell’equazione:
è uguale a
Poichè
.
, deve essere
In questa equazione
Sostituendo i valori dei coefficienti otteniamo :
Risolviamo l’equazione:
Il valore di h che soddisfa la condizione richiesta è
g) Determina per quale valore del parametro k le soluzioni dell’equazione
sono reciproche fra loro e scrivi l’equazione corrispondente.
Affermare che le soluzioni sono reciproche vuol dire che
195
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Algebra - secondo anno
In questa equazione
Sostituendo i valori dei coefficienti otteniamo:
Risolviamo l’equazione:
Il valore di k che soddisfa la condizione richiesta è
.
Per scrivere l’equazione corrispondente, sostituiamo al parametro k il valore 2:
h) Determina per quale valore del parametro t l’equazione:
ha due soluzioni opposte.
Una equazione di secondo grado ha due soluzioni opposte se è una equazione pura con coefficienti a e c discordi;
dovrà, allora essere b = 0 e
.
In questa equazione
Deve essere, allora,
Osserviamo, inoltre, che
per qualsiasi valore di t ≠ 5 (perché?).
Il valore di t che soddisfa la condizione richiesta è
PROVA TU
Data l’equazione
, determina k in modo che:
a) una soluzione sia uguale a 1;
b) una soluzione sia nulla;
c) le soluzioni siano reali;
d) le soluzioni siano opposte.
16.5 EQUAZIONI E PROBLEMI
Come già visto nel paragrafo 9.12, esistono nel campo matematico, in quello delle scienze applicate e nella realtà problemi
il cui modello matematico è rappresentato da un’equazione.
In questo paragrafo affrontiamo problemi che hanno come modello matematico una equazione di secondo grado.
Per la costruzione del modello matematico del problema riprendiamo lo schema del paragrafo 9.12.
196
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16. Le equazioni di secondo grado
Applichiamo lo schema precedente per individuare la soluzione di alcuni problemi.
a) Determina un numero positivo tale che il suo quadrato aumentato del suo doppio sia uguale a 8.
b) In un rettangolo la misura di una dimensione supera il triplo della misura dell’altra di 8 cm. Sapendo che l’area del
rettangolo misura 3 cm² , determina le misure dei lati del rettangolo.
Osservazione
In un problema di carattere geometrico, è opportuno costruire, oltre al modello matematico, anche il modello grafico del
problema; quindi, è necessario disegnare la figura che soddisfa le condizioni poste dal problema.
197
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Algebra - secondo anno
16.6 EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
Qual è il grado delle seguenti equazioni?
a)
b)
c)
d)
Come sicuramente hai già notato, tutte le precedenti equazioni hanno grado maggiore di …… .
In questo e nei prossimi paragrafi ci occuperemo di particolari equazioni di grado superiore al secondo in una sola variabile.
Possiamo dare, allora, la seguente definizione:
Un’equazione algebrica a coefficienti reali in una variabile si dice di grado superiore al secondo se, ridotta a forma
normale, è del tipo P(x) = 0, con P(x) polinomio di grado n ≥ 3.
Ad esempio sono di grado superiore al secondo le seguenti equazioni:
Risolvere, nell’insieme dei numeri reali, un’equazione di questo tipo vuol dire determinare tutte le sue soluzioni o radici reali
e, quindi, determinare tutti gli zeri reali del polinomio P(x).
• Ricordiamo che si chiama zero di un polinomio il numero reale α per il quale risulta P(α) = 0.
Prima di illustrare i vari procedimenti per la risoluzione di equazioni di grado superiore al secondo, premettiamo il Teorema
fondamentale dell’Algebra ed alcune sue conseguenze:
• Il numero delle soluzioni di un’equazione algebrica in una variabile è uguale al grado dell’equazione stessa.
Conseguenza:
• Un’equazione algebrica di grado n a coefficienti reali ammette al massimo n soluzioni reali.
È possibile dimostrare che le soluzioni non reali di un’equazione algebrica sono sempre in numero pari ( 0, 2, 4 ,6,….),
quindi:
198
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16. Le equazioni di secondo grado
• un’equazione algebrica a coefficienti reali di grado dispari ha sempre una soluzione reale.
La risoluzione di equazioni di grado superiore al secondo, ed in particolare la ricerca di formule risolutive per esse, ha
rappresentato per molti secoli un vero problema per i matematici.
Due matematici italiani del Cinquecento, G. Cardano e Scipione del Ferro, riuscirono a determinare formule risolutive per le
equazioni di terzo e di quarto grado, anche se la loro applicazione non è semplice.
All’inizio del 1800, precisamente nel 1824, il matematico norvegese N. Abel dimostrò che non esistono formule risolutive
per le equazioni di grado superiore al quarto.
E’ importante, comunque, sottolineare che questo non significa che non sia possibile risolvere equazioni di grado superiore
al quarto, ma soltanto che non esiste una formula generale, come ad esempio per le equazioni di secondo grado e terzo
grado, che mette in relazione le sue soluzioni dell’equazione con i suoi coefficienti reali.
Esaminiamo, comunque, alcune procedimenti che permettono di risolvere particolari equazioni di grado superiore al
secondo.
16.7 EQUAZIONI BINOMIE
Osserva il polinomio al primo membro delle seguenti equazioni e completa:
a)
b)
c)
d)
• ciascuno dei polinomi in esame è formato da …… termini e, quindi, esso è un …………….. ;
• in ciascuno dei polinomi in esame è presente il termine di grado ……. ;
• il grado di ciascuno dei polinomi in esame è maggiore di …….. ;
• il grado delle equazioni a) e c) è espresso da un numero ……………… ;
• il grado delle equazioni b) e d) è espresso da un numero ……………… .
Poiché il polinomio a primo membro è un binomio, queste equazioni sono chiamate equazioni binomie.
Risolviamo le equazioni precedenti.
a)
Poiché l’esponente della potenza è un numero dispari, esiste un solo numero reale che rende vera l’uguaglianza, quindi:
b)
Poiché l’esponente della potenza è un numero pari esistono due numeri reali che, rendono vera l’uguaglianza, quindi:
c)
Poiché l’esponente della potenza è un numero dispari, esiste un solo numero reale che rende vera l’uguaglianza, quindi:
d)
Il binomio
esprime la somma fra un termine non negativo ed uno positivo;
tale somma, pertanto, non potrà mai essere zero. L’equazione, quindi, non ha soluzioni.
In simboli:
199
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Algebra - secondo anno
Analizzando i risultati ottenuti, notiamo che:
• l'insieme soluzione di entrambe le equazioni di grado dispari è diverso dall’insieme vuoto ed è formato da un solo numero
reale;
• solo l’insieme soluzione di una delle due equazioni di grado pari è diverso dall’insieme vuoto ed esso è formato da due
numeri reali opposti. In particolare, ha soluzioni l’equazione in cui i due termini sono discordi.
Le osservazioni appena fatte sono di carattere generale.
Si ha, quindi, la seguente definizione:
Si chiama binomia un’equazione del tipo
con
e
Casi particolari:
• se n = 1, l’equazione binomia è un’equazione di primo grado;
• se n = 2, l’equazione binomia è un’equazione pura di secondo grado;
• se b = 0, l’equazione si riduce all’equazione monomia
ed il suo insieme soluzione è S =
.
Osservazione
Consideriamo l’equazione monomia
.
Per definizione di potenza, possiamo scrivere
.
Ora, per la legge di annullamento del prodotto, sappiamo che il prodotto di più fattori è zero se almeno uno di essi è zero.
Si ottiene, allora:
La soluzione “0” è stata ottenuta cinque volte; si dice, pertanto, che essa è una soluzione reale con molteplicità 5 oppure
che essa ha cinque soluzioni reali coincidenti con la soluzione 0.
Consideriamo, quindi, l’equazione binomia
con
Per determinarne l’insieme soluzione, ricaviamo xn; otteniamo:
A questo punto, è necessario distinguere due casi:
• n pari
a e b discordi: l’equazione ammette due radici reali opposte
, quindi
a e b concordi: l’equazione non ha soluzioni reali, quindi S = ∅;
n dispari: l’equazione ammette una sola radice reale
200
, quindi
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16. Le equazioni di secondo grado
PROVA TU
1) Senza risolverle, riconosci quali delle seguenti equazioni binomie sono impossibili e quali ammettono una sola radice
reale:
a)
b)
c)
d)
c)
d)
e)
2) Risolvi le seguenti equazioni binomie:
a)
b)
ESERCIZIO SVOLTO:
Risolviamo e discutiamo, al variare del parametro reale a, l’equazione binomia
Distinguiamo due casi:
.
•a=0
l’equazione diventa 5 = 0. Ovviamente è impossibile, quindi S = ∅;
•a≠0
esplicitando x4 si ottiene
;
− se a < 0, l’espressione
è positiva; l’equazione ha due radici reali:
− se a > 0, l’espressione
risulta negativa; l’equazione non ha soluzioni reali: S = ∅.
PROVA TU
1) Data l’equazione binomia
completa in modo adeguato lo schema seguente :
•
•
•
201
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Algebra - secondo anno
•
2) Risolvi e discuti l’equazione binomia
al variare del parametro b
R.
16.8 EQUAZIONI TRINOMIE
Osserva il polinomio al primo membro delle seguenti equazioni e completa:
a)
b)
c)
• ciascuno dei polinomi in esame è formato da …… termini; esso è un ………………….. ;
• in ciascuno dei polinomi in esame è presente il termine di grado ……. ;
• in ciascuno dei polinomi in esame l’esponente maggiore è il …………… dell’esponente minore.
Equazioni di questo tipo sono chiamate equazioni trinomie.
Si ha, allora, la seguente definizione:
Un’equazione si dice trinomia se è del tipo
, con
e a, b, c numeri reali non nulli.
Casi particolari
• n = 1 :l’equazione è un’equazione di secondo grado completa, già studiata precedentemente;
• n = 2 :l’equazione è un’equazione di quarto grado
, detta biquadratica.
Determinare l’insieme soluzione di equazioni di questo tipo non è molto difficile.
• Risolviamo l’equazione a):
Poniamo
.
; sostituendo nell’equazione, si ottiene
.
Risolviamo l’equazione di secondo grado ottenuta:
Δ = …………. > 0;
= ………………………………..
Sostituiamo a t i valori così determinati; si ottengono le equazioni:
•
•
L’insieme soluzione dell’equazione a) è, dunque, S =
• Risolviamo l’equazione b):
.
Questa equazione è un’equazione trinomia di quarto grado, quindi è un’equazione biquadratica.
Poniamo
; sostituendo nell’equazione, si ottiene
Risolviamo l’equazione di secondo grado ottenuta:
Δ = …………. > 0;
= ………………………………..
Sostituiamo a t i valori così ottenuti; si ottengono le equazioni:
•
•
L’insieme soluzione dell’equazione b) è, dunque, S =
• Risolviamo l’equazione c):
Ripetendo il procedimento seguito per le equazioni degli esempi a) e b), poniamo
sostituendo nell’equazione, si ottiene ……………..……. .
Risolviamo l’equazione di secondo grado ottenuta:
Δ = …………. > 0;
= ………………………………..
202
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16. Le equazioni di secondo grado
Sostituiamo a t i valori così ottenuti; si ottengono le equazioni:
•
•
L’insieme soluzione dell’equazione c) è, dunque, S =
Sintetizziamo il procedimento che, in generale, permette di determinare le soluzioni reali dell’equazione trinomia
• si opera un cambiamento di variabile ponendo
e, quindi,
• l’equazione trinomia si riduce ad un’equazione di secondo grado:
detta equazione risolvente dell’equazione trinomia (*);
• si determinano le soluzioni y1 e y2 dell’equazione risolvente;
;
,
• si risolvono le equazioni binomie
e
;
• detti S1 e S2 gli insiemi soluzioni delle equazioni binomie, l’insieme soluzione S dell’equazione trinomia è S =
.
203
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Algebra - secondo anno
ATTENZIONE
L’equazione
non è una equazione trinomia perché 6 non è il doppio di 2.
PROVA TU
1) Risolvi le seguenti equazioni trinomie:
a)
b)
2) Data l’equazione
quale condizione deve essere verificata affinchè essa ammetta radici reali?
In tal caso quante sono le sue soluzioni reali?
OSSERVAZIONE
Un’equazione biquadratica
è una particolare equazione trinomia che si riduce ad una equazione
di secondo grado con la sostituzione di variabile
.
Le sue soluzioni reali, se esistono, sono date dalle soluzioni delle due equazioni binomie di secondo grado
e
, dove y1 e y2 sono le soluzioni reali dell’equazione risolvente di secondo grado.
Un’equazione biquadratica, essendo di quarto grado, può avere , al massimo, quattro soluzioni reali. Facendo un semplice
ragionamento si può osservare che le soluzioni reali della biquadratica saranno effettivamente quattro se l’equazione
risolvente avrà discriminante maggiore di zero e se entrambe le sue radici sono positive.
Quali condizioni devono verificare i coefficienti di un’equazione biquadratica affinchè essa abbia due sole soluzioni reali?
………………………………………………………………………….….….….….….….….….….….….….….….….….…. .
E quali condizioni devono essere verificate affinchè essa non abbia alcuna soluzione reale ?
……………………………………………………………………………………………………….….….….….….….….….… .
PROVA TU
1) Risolvi le seguenti equazioni biquadratiche:
a)
b)
c)
d)
2) Senza risolverle, stabilisci il numero di soluzioni reali delle seguenti equazioni biquadratiche:
a)
b)
c)
3) Scrivi un’equazione biquadratica avente per soluzioni i numeri
16.9 EQUAZIONI RISOLUBILI CON PARTICOLARI SOSTITUZIONI
Ci proponiamo di risolvere l’equazione
.
Probabilmente, la prima cosa che ci viene in mente è quella di svolgere i calcoli indicati e ridurla a forma normale.
Così facendo, otteniamo un’equazione che presenta al primo membro un polinomio di quarto grado.
Ricorda, però, è sempre opportuno riflettere prima di agire!
La forma dell’equazione
è simile a quella di un’equazione trinomia, il primo membro, infatti, è
formato da tre termini e sono presenti due potenze i cui esponenti sono uno il doppio dell’altro.
La differenza è che la base delle potenze non è la variabile dell’equazione (x), ma una espressione che dipende da essa,
204
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16. Le equazioni di secondo grado
cioè una funzione.
Per risolvere questa equazione, possiamo seguire lo schema indicato per la risoluzione delle equazioni trinomie:
• operiamo il cambiamento di variabile:
• l’equazione
si trasforma nell’equazione di secondo grado
• determiniamo le soluzioni dell’equazione risolvente:
• risolviamo le equazioni che si ottengono sostituendo ad y i valori ottenuti:
• L’insieme soluzione dell’equazione
è:
Adesso generalizziamo.
Equazioni della forma
dove f(x) è un’espressione algebrica nella variabile x, come le equazioni trinomie, possono essere ricondotte ad equazioni
di secondo grado operando il cambiamento di variabile
Esempio
Risolviamo l’equazione
Osserviamo che questa equazione è del tipo
; infatti:
Operiamo il cambiamento di variabile:
l’equazione
diventa
;
determiniamo le soluzioni dell’equazione di secondo grado ottenuta:
risolviamo le equazioni che si ottengono sostituendo ad y i valori ottenuti:
L’insieme soluzione dell’equazione
è:
PROVA TU
Mediante opportune sostituzioni, riconduci le seguenti equazioni ad equazioni di secondo grado e risolvile in R:
a)
b)
205
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Algebra - secondo anno
16.10 EQUAZIONI RECIPROCHE
Consideriamo le seguenti equazioni:
a)
b)
c)
d)
Osserviamo che:
• tutte le equazioni sono ridotte a forma normale;
• il polinomio è ordinato secondo le potenze decrescenti della variabile.
Spostiamo, adesso, la nostra attenzione sui coefficienti dei termini del polinomio; notiamo che:
nelle equazioni a) e c)
• i coefficienti del primo ed ultimo termine sono opposti;
• i coefficienti del secondo e penultimo termine sono opposti.
nelle equazioni b) e d)
• i coefficienti del primo ed ultimo termine sono uguali;
• i coefficienti del secondo e penultimo termine sono uguali;
• i coefficienti del terzo e terzultimo termine sono uguali (equazione d)).
Possiamo, allora, dire che in queste equazioni i termini equidistanti dagli estremi sono uguali oppure opposti.
Risolviamo l’equazione a):
Osserviamo che la somma dei coefficienti del polinomio è zero, quindi esso è divisibile per (x −1);
scomponendo in fattori, allora, otteniamo:
applichiamo la legge di annullamento del prodotto:
•
•
L’insieme soluzione del’equazione è
Risolviamo l’equazione b):
Applicando due volte il teorema del resto, otteniamo:
applichiamo la legge di annullamento del prodotto:
•
•
•
L’insieme soluzione dell’equazione è l’insieme
La stessa equazione può essere risolta senza scomporre il polinomio in fattori.
Dividiamo, infatti, il polinomio per b2 (divisione lecita, perché?); si ottiene:
osserviamo che il primo e l’ultimo termine del polinomio hanno in comune il fattore 6, il secondo ed il penultimo termine
hanno in comune il fattore 5;
206
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Book in
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16. Le equazioni di secondo grado
operiamo dunque il raccoglimento parziale:
Osserviamo che
Ponendo
; sostituendo nell’equazione precedente si ha:
, l’equazione diventa:
L’ultima equazione è un’equazione di secondo grado; dopo averla ridotta a forma normale, determiniamone l’insieme
soluzione:
Poiché
, otteniamo le seguenti equazioni:
•
•
L’insieme soluzione dell’equazione è
Risolviamo l’equazione c):
Osserviamo che la somma dei coefficienti dei termini del polinomio è zero, quindi il polinomio è divisibile per t −1;
inoltre è facile verificare che −1 è una radice del polinomio, quindi esso è divisibile anche per t +1.
Scomponendo in fattori l’equazione data, si ottiene:
applichiamo la legge di annullamento del prodotto:
•
•
•
L’insieme soluzione dell’equazione è
Risolviamo l’equazione d):
Verifica che, applicando più volte il teorema del resto e successivamente la legge di annullamento del prodotto, l’insieme
soluzione dell’equazione è S =
Possiamo riepilogare i risultati ottenuti nella seguente tabella:
207
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Algebra - secondo anno
Osserviamo la colonna “Insieme soluzione”: gli insiemi soluzione di ciascuna delle precedenti equazioni hanno qualcosa in
comune?
l’equazione
ha, fra le soluzioni, i numeri −3 e
questi due numeri sono uno il reciproco dell’altro;
l’equazione
così come 3 e
;
ha, fra le soluzioni, i numeri −2 e
che sono uno il reciproco dell’altro,
che sono uno il reciproco dell’altro;
l’equazione
uno il ……………… dell’altro;
ha, fra le soluzioni, i numeri
e
che sono
Possiamo, allora, generalizzare (ed è possibile anche dimostrare):
Equazioni (ridotte a forma normale e ordinate secondo le potenze decrescenti della variabile di grado n ≥ 3) nelle quali i
coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali o opposti, se hanno come soluzione
un numero reale a, allora hanno come soluzione anche il suo reciproco
.
Per questo motivo, equazioni di questo tipo prendono il nome di equazioni reciproche.
Possiamo dare, allora, la seguente definizione.
Si dice reciproca un’equazione del tipo P(x) = 0 dove P(x) è un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti
o crescenti dell’a variabile x nel quale i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali
o opposti.
Inoltre:
se i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali l’equazione si dice di prima
specie;
se i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono opposti l’equazione si dice di seconda
specie.
Osservando ancora la tabella precedente, possiamo dedurre che:
• equazioni reciproche di grado dispari hanno, fra le soluzioni, il numero 1 se i coefficienti dei termini equidistanti dagli
estremi sono opposti (equazioni reciproche di prima specie); hanno, fra le soluzioni, il numero −1 se i coefficienti dei
termini equidistanti dagli estremi sono uguali (equazioni reciproche di seconda specie);
• equazioni reciproche di grado pari hanno, fra le soluzioni, i numeri 1 e −1 solo se i coefficienti dei termini equidistanti
dagli estremi sono opposti (equazioni reciproche di seconda specie).
Le proprietà dedotte con le precedenti osservazioni sono generali.
Infatti, è possibile dimostrare, applicando il teorema del resto, al polinomio P(x), che un’equazione reciproca:
• di grado dispari di prima specie ammette sempre come soluzione −1;
• di grado dispari di seconda specie ammette sempre come soluzione 1;
• di grado pari di seconda specie ammette sempre come soluzioni 1 e −1.
Osservazione
Le equazioni reciproche di terzo grado, oltre che con l’applicazione del Teorema del resto, possono essere abbassate di
grado anche attraverso il raccoglimento parziale, come illustrato nell’esempio seguente.
Puoi scegliere, quindi, in quale modo abbassarle di grado; forse, in presenza di coefficienti irrazionali o letterali è preferibile
applicare il Teorema del resto.
208
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Book in
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16. Le equazioni di secondo grado
PROVA TU
1) Stabilisci se le seguenti equazioni reciproche sono di prima o seconda specie:
a)
b)
c)
d)
e)
2) Completa le seguenti equazioni in modo che risultino reciproche di prima specie:
a)
b)
3) Completa le seguenti equazioni in modo che risultino reciproche di seconda specie:
a)
b)
4) Osservando che un’equazione reciproca di quarto grado seconda specie si può scrivere nella forma
, dimostra che essa ha, sempre,
come soluzioni.
Riassumiamo, negli esempi seguenti, i procedimenti che consentono di risolvere equazioni reciproche di prima e seconda
specie.
209
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.11 Pagina 210
Algebra - secondo anno
Esempi
Risolviamo l’equazione
.
Prima di tutto classifichiamo l’equazione.
Osservando i suoi coefficienti possiamo dire che è una equazione reciproca di terzo grado di prima specie. Quindi:
• essa ammette la soluzione
;
• il polinomio a primo membro è divisibile per il binomio x + 1ed il quoziente è
;
• l’equazione diventa
;
• applicando la legge di annullamento del prodotto si ottiene:
• L’insieme soluzione dell’equazione
Risolviamo l’equazione
Classifichiamo l’equazione.
Completa
Osservando i suoi coefficienti possiamo dire che è una equazione reciproca di terzo grado di ……………. specie.
Quindi:
• ammette la soluzione x = 1;
• il polinomio a primo membro è divisibile per il binomio …...... ed il quoziente è ……………………………………...;
• l’equazione diventa
;
• applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottiene:
• L’insieme soluzione dell’equazione
èS=
.
Risolviamo l’equazione
Classifichiamo l’equazione.
Osservando i suoi coefficienti possiamo dire che è una equazione reciproca di quarto grado di seconda specie. Quindi:
• ammette la soluzione x = −1, x = 1;
• il polinomio a primo membro è divisibile sia per il binomio x + 1 che per il binomio x −1;
• scomponendo in fattori il polinomio a primo membro, l’equazione diventa
• applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottiene:
• L’insieme soluzione dell’equazione è l’insieme S =
.
Risolviamo l’equazione
Osservando i suoi coefficienti possiamo dire che essa è una equazione reciproca di quarto grado di prima specie.
È possibile determinarne le soluzioni scomponendo in fattori il polinomio al primo membro e applicando,
successivamente, la legge di annullamento del prodotto.
Seguiremo, invece, un'altra strada:
• dividiamo tutti i termini per x2, operazione lecita in quanto x = 0 non è soluzione dell’equazione; si ottiene:
210
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.12 Pagina 211
Book in
progress
16. Le equazioni di secondo grado
• operiamo un raccoglimento parziale: fra il primo ed ultimo termine raccogliamo a fattor comune il fattore 12, fra il
secondo e il penultimo termine il fattore 4; si ha:
• operiamo un cambiamento di variabile:
• l’equazione precedente diventa:
• risolvendo l’equazione di secondo grado, si ottiene
;
• sostituendo i valori di t così ottenuti, otteniamo le due equazioni:
• L’insieme soluzione dell’equazione è l’insieme S =
PROVA TU
1) Risolvi le seguenti equazioni reciproche:
a)
b)
c)
d)
2) Risolvi la seguente equazione reciproca di quarto grado di prima specie senza applicare la legge di annullamento del
prodotto:
16.11 EQUAZIONI RICONDUCIBILI AD EQUAZIONI DI PRIMO E SECONDO GRADO MEDIANTE LA
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
Nei paragrafi precedenti abbiamo imparato a risolvere particolari equazioni di grado superiore al secondo.
In altri casi, la legge di annullamento del prodotto rappresenta uno strumento molto utile per la risoluzione di questo tipo di
equazioni.
Infatti, equazioni che si presentano nella forma
sono polinomi di primo o secondo grado) si risolvono applicando la legge di annullamento del prodotto e, quindi, trovando
i valori di x che annullano ogni singolo fattore.
Ad esempio, consideriamo l’equazione
Per determinare le sue soluzioni è sufficiente applicare la legge di annullamento del prodotto ottenendo, così, equazioni
di primo e secondo grado:
211
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.12 Pagina 212
Algebra - secondo anno
L’insieme soluzione dell’equazione
Risolviamo l’equazione
Ancora una volta applichiamo la legge di annullamento del prodotto:
L’insieme soluzione dell’equazione
Osserviamo che, per determinare l’insieme soluzione di queste equazioni, abbiamo risolto equazioni di primo e secondo
grado; si dice, allora, che le equazioni sono state abbassate di grado.
Talvolta, (secondo esempio), le soluzioni di una equazione possono non essere distinte; se una soluzione è presente, ad
esempio, s volte si dice che essa compare con molteplicità s.
In generale, allora, abbassare di grado un’equazione algebrica vuol dire scriverla come prodotto di due o più fattori,
ciascuno di essi di grado inferiore a quello dell’equazione data.
Esempi
Risolviamo l’equazione
Il polinomio
è scomponibile in fattori:
operando il raccoglimento parziale si ottiene:
è possibile, allora, abbassare di grado l’equazione; si ha:
applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottengono le seguenti equazioni:
L’insieme soluzione dell’equazione
Risolviamo l’equazione
Per scomporre in fattori il polinomio
applichiamo il teorema del resto.
Osserviamo che P (1) = 0, quindi P(x) è divisibile per il binomio (x −1).
Applicando la regola di Ruffini, si ottiene
abbassiamo di grado l’equazione:
Applicando la legge di annullamento del prodotto, risolviamo le equazioni:
L’insieme soluzione dell’equazione
PROVA TU
Dopo averle abbassate di grado, risolvi le seguenti equazioni:
a)
b)
c)
Osservazione
Ricordiamo due teoremi che forniscono un criterio per la individuazione di eventuali radici intere razionali di un’equazione a
coefficienti interi o razionali.
Essi sono molto utili quando è necessario abbassare di grado una equazione.
212
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progress
16. Le equazioni di secondo grado
Teorema 1
Le eventuali soluzioni intere di un’equazione algebrica del tipo
a coefficienti in Z, sono da ricercare tra i divisori del termine noto p dell’equazione.
,
Teorema 2
Le eventuali soluzioni razionali di un’equazione algebrica del tipo
a coefficienti in Z, sono da ricercare tra le frazioni irriducibili
,
con r divisore del termine noto p e s divisore del primo
coefficiente a.
Esempio
Consideriamo l’equazione di terzo grado
Se essa ammette come soluzione una frazione ridotta ai minimi termini del tipo
, r sarà uno dei divisori del termine
noto (4) e s sarà uno dei divisori del coefficiente del termine di grado massimo (2).
I divisori di 4 sono:
; i divisori di 2 sono:
:
i numeri razionali che possono essere soluzioni dell’equazione sono da ricercarsi fra i seguenti:
Poichè
, possiamo dire che il numero razionale
è soluzione dell’equazione.
Abbassando di grado l’equazione, determina, se esistono, le altre soluzioni reali dell’equazione data.
PROVA TU
1) Dopo averla abbassata di grado, risolvi l’equazione
2) Risolvi, nell’insieme R, le seguenti equazioni:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(differenza di due quadrati )
g)
ESERCIZIO SVOLTO
Scriviamo un’equazione di terzo grado avente come soluzioni
Per quanto osservato in precedenza, le soluzioni di un’equazione del tipo
sono anche zeri di
e, pertanto,
Una equazione che soddisfa le condizioni richieste è
Riduciamo a forma normale:
Tale equazione non è unica; infatti anche l’equazione
verifica le condizioni poste.
PROVA TU
Determina un’equazione di terzo grado avente come soluzioni
Determina un’equazione di quarto grado avente come uniche soluzioni reali
.
.
213
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.12 Pagina 214
Algebra - secondo anno
ESERCIZI CAPITOLO 16
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Conoscenza e comprensione
1) Inserisci negli spazi vuoti le seguenti formule:
a) Un’equazione di secondo grado …………………… con …………………… è monomia se ……………………… ,
è spuria se ……..……………… e ……………………. , è pura se …………………… e …………………… , mentre
è completa se anche b e c sono diversi da zero.
b) Un’equazione monomia ha sempre un’unica soluzione ……………………… . In questo caso si dice anche che
l’equazione ha una soluzione doppia o che le due soluzioni sono coincidenti ……………………… .
c) Un’equazione pura ha soluzioni solo se …………….………… e in tal caso le soluzioni sono i due valori opposti …
……………….…… .
d) Un’equazione spuria ha sempre due soluzioni distinte, di cui una è ……………………… e l’altra è …………………
….… .
e) Il numero di soluzioni di un’equazione completa dipende dal discriminante ………………………… : se ……………
…...…………… , l’equazione non ha soluzioni; se ………………………… l’equazione ha un’unica soluzione ………
…….………… o due coincidenti ……………………… , altrimenti, se …………………… , ha due soluzioni distinte
……………………… e …………..…………… .
2) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.
a) L’equazione
è pura se
b) L’equazione
è spuria se
c) Il discriminante di
è
d) Se il discriminante è positivo, le soluzioni di
.
.
.
sono
e) Un’equazione monomia ha sempre un’unica soluzione pari a 1.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
f) Un’equazione pura ha sempre due soluzioni.
V
F
g) L’equazione
può non avere soluzioni.
V
F
h) L’equazione
ha sempre due soluzioni opposte se a e c sono
V
F
V
F
V
F
concordi.
i) Se una soluzione di un’equazione di secondo grado è zero, allora l’equazione
è spuria.
j) L’equazione
214
non ha soluzioni se a e b hanno lo stesso segno.
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16. Le equazioni di secondo grado
3) Quale delle seguenti è un’equazione di secondo grado pura?
a)
b)
c)
d)
4) Quale delle seguenti è un’equazione di secondo grado spuria?
a)
b)
c)
d)
5) Per quale valore di k l’equazione
è pura?
a) Per nessun valore di k.
b) k = 0
c) k = −2
d) k = 2
6) Per quale valore di k l’equazione
è monomia?
a) Per nessun valore di k.
b) k = 0
c) k = −2
d) k = 2
7) Per quale valore di k l’equazione
è spuria?
a) Per nessun valore di k.
b) k = 0
c) k = −2
d) k = 2
8) Quale delle seguenti equazioni ha due soluzioni coincidenti?
a)
b)
c)
d)
9) Tra le seguenti equazioni di secondo grado incomplete, quale è impossibile?
a)
b)
c)
d)
10) Una sola delle seguenti coppie di numeri è soluzione dell'equazione
; quale?
a)
b)
215
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Algebra - secondo anno
c)
d)
11) Una sola delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?
a) Il polinomio 4m2 − 25 ha due radici opposte;
b) k = −3 è una radice del polinomio 2k2 + 18;
c) Il polinomio a2 – 2a + 1 ha una sola radice;
d) Il polinomio b4 + 4b2 + 4 non ammette radici.
12) Quante sono le soluzioni dell'equazione
a) 1 o due coincidenti;
b) 2;
?
c) 0;
d) più di due.
13) Quante sono le soluzioni dell'equazione
a) 1 o due coincidenti;
b) 2;
?
c) 0;
d) più di due.
14) Quante sono le soluzioni dell'equazione
a) 1 o due coincidenti;
b) 2;
?
c) 0;
d) più di due.
15) Quante sono le soluzioni dell'equazione
a) 1 o due coincidenti;
b) 2;
?
c) 0;
16) Il discriminante dell’equazione
a) 56;
b) 49;
c) 7;
è
d) 13.
17) Il discriminante dell’equazione
a) 4;
b) −4;
c) 1;
d) più di due.
è
d) −1.
18) Vero o Falso?
a) Se il discriminante di un’equazione di secondo grado è positivo, l’equazione
ha due soluzioni positive.
b) Se il discriminante di un’equazione di secondo grado è un quadrato perfetto,
l’equazione ha due soluzioni intere.
c) Se il discriminante di un’equazione di secondo grado è negativo, l’equazione
ha soluzioni irrazionali.
d) Un’equazione spuria ha sempre due soluzioni l’una reciproca dell’altra.
V
F
V
F
V
F
V
F
e) L’equazione
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
ha due soluzioni, l’una inversa e opposta dell’altra.
f) L’equazione
ha due soluzioni opposte.
g) L’equazione
non ha soluzioni.
h) L’equazione
ha due soluzioni coincidenti
i) L’equazione
.
ha una soluzione uguale a quella di
.
19) L’equazione 5x2 + kx = 0 ha come soluzioni x = 0 e x = −2. Per quale valore di k questa affermazione è vera?
a) 10;
b) −10;
20) L’insieme S =
a) 4;
216
b) −4;
c) 2;
d) −2.
è l’insieme soluzione dell’equazione kx2 −16 = 0. Per quale valore di k questa affermazione è vera?
c) 8;
d) −8.
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.12 Pagina 217
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16. Le equazioni di secondo grado
21) Per quale valore di a l’equazione x2 − ax + 9 = 0 ha come soluzione il numero 1?
a) Per nessun valore di a.
b) a = 1;
c) a = −10;
d) a = 10.
22) Per quali valori di a l’equazione x2 − ax + 9 = 0 ha una sola soluzione?
a) Per nessun valore di a;
b)
c)
23) Per quali valori di a l’equazione
a) Per nessun valore di a;
d)
non ha soluzione?
b)
c)
d)
24) Le seguenti affermazioni si riferiscono all'equazione 49x + 33x2 − 10 = 0. Una sola di esse è corretta; quale?
a) ha entrambe le soluzioni intere.
b) ha entrambe le soluzioni numeri razionali.
c) ha entrambe le soluzioni numeri irrazionali.
d) non ha soluzioni reali.
25) Vero o Falso?
a) Le equazioni
sono equivalenti.
b)
sono equivalenti.
V
F
V
F
c)
non sono equivalenti.
V
F
d)
hanno le stesse soluzioni.
V
F
V
F
V
F
V
F
e)
è soluzione di
f) L’equazione
ha due soluzioni, una la reciproca dell’altra.
g) Se il discriminante di un’equazione di secondo grado è nullo, l’equazione
non ha soluzione.
26) Uno solo, fra i seguenti, è l’insieme soluzione dell’equazione
a)
b)
c)
d)
27) Uno solo, fra i seguenti, è l’insieme soluzione dell’equazione
a)
b)
c)
d)
28) Quali sono le soluzioni dell'equazione
a)
b)
c)
d)
; quale?
quale?
?
217
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Algebra - secondo anno
29) Quali sono le soluzioni dell'equazione
?
a)
b)
c)
d)
30) Quali sono le soluzioni dell'equazione
?
a)
b)
c)
d)
31) Quali sono le soluzioni dell'equazione
?
a)
b)
c)
d)
32) Quali sono le soluzioni di
?
a)
b)
c)
d)
33) Quali sono le soluzioni dell'equazione
a)
b)
c)
d)
218
?
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.12 Pagina 219
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16. Le equazioni di secondo grado
34) Vero o Falso?
a) La somma delle soluzioni dell’equazione
V
F
b) La somma delle soluzioni dell’equazione
V
F
c) Il prodotto delle soluzioni dell’equazione
V
F
d) Il prodotto delle soluzioni di un’equazione spuria è negativo.
V
F
e) La somma delle soluzioni di un’equazione spuria è sempre 0.
V
F
f) Il prodotto delle soluzioni di un’equazione pura è sempre 0.
V
F
g) La somma delle soluzioni di
V
F
V
F
i) Un trinomio di secondo grado, in R, è sempre scomponibile in fattori.
V
F
j) Un trinomio di secondo grado, se è scomponibile in fattori, è il prodotto,
al massimo, di 3 fattori.
V
F
h) Il prodotto delle soluzioni di
è negativa.
è 6.
35) Qual è la somma delle soluzioni di
?
a) la somma è 1;
b) la somma è −1;
c) la somma è 3;
d) l’equazione non ha soluzioni.
36) Qual è la somma delle soluzioni di
?
a) la somma è 1;
b) la somma è −1;
c) la somma è 3;
d) l’equazione non ha soluzioni.
37) Qual è il prodotto delle soluzioni di
?
a) il prodotto è 8;
b) il prodotto è −8;
c) il prodotto è
;
d) l’equazione non ha soluzioni.
38) Per quale valore di k la somma delle soluzioni dell’equazione
a)
b)
c)
è uguale a 10?
d)
39) Per quale valore di k il prodotto delle soluzioni dell’equazione
a)
b)
40) La scomposizione in fattori primi del trinomio
c)
è uguale a −3?
d
è
a)
b)
c)
219
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.12 Pagina 220
Algebra - secondo anno
d)
41) Le età di due fratelli sono una il doppio dell’altra e il loro prodotto è 128. Qual è l’età di ciascuno dei due fratelli?
a) 3 e 6;
b) 4 e 32;
c) 16 e 8;
d) 5 e 10
42) Se l’area di un rettangolo è 21 m2 e il perimetro è 20 m, quanto misurano i lati?
a) 4,2 m e 5 m.
b) 7 m e 3 m.
c) 8 m e 12 m.
d) 2 m e 10 m.
43) La diagonale di un quadrato misura 3 cm. Qual è la sua area?
a) 9 cm2;
b)
cm2;
c)
cm2;
44) Qual è il perimetro di un triangolo equilatero se l’area è
d)
cm2;
dm2?
a) 6 dm.
b)
dm.
c)
dm.
d)
dm.
45) Quanti soldi il babbo dà a Luca e a Carlo se Luca riceve il quadrato di quello che riceve Carlo e il babbo dà in tutto
€12,00 ?
a) Luca riceve € 2,00 e Carlo € 4,00.
b) Luca riceve € 9,00 e Carlo € 3,00.
c) Luca riceve € 3,00 e Carlo € 9,00.
d) Luca riceve € 5,00 e Carlo € 2,50.
Equazioni di grado superiore al secondo
46) Scrivi un’equazione binomia di quarto grado.
47) Scrivi un’equazione trinomia di ottavo grado.
48) Scrivi un’equazione reciproca di terzo grado di seconda specie.
49) Dimostra che un’equazione reciproca di terzo grado ammette le soluzioni x = 1 oppure x = −1.
50) Quante sono, al massimo, le soluzioni reali di un’equazione algebrica di ottavo grado a coefficienti reali?
51) Dimostra che l’equazione
ammette sicuramente la radice x = 2.
52) Quante radici reali distinte può avere un’equazione binomia di grado dispari. E se è di grado pari?
53) Una sola, fra le seguenti, è un’equazione binomia. Quale?
a)
b)
c)
d)
54) Stabilisci, motivando la risposta, se le seguenti affermazioni sono vere o false:
220
a) Un’equazione di terzo grado a coefficienti reali ammette una ed una sola
soluzione reale.
V
F
b) Un’equazione di terzo grado a coefficienti reali ammette tre soluzioni reali.
V
F
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16. Le equazioni di secondo grado
c) Un’equazione di quinto grado a coefficienti reali ammette sicuramente una
radice reale.
V
F
d) Un’equazione di grado pari a coefficienti reali può avere tre soluzioni reali.
V
F
e) Il grado di un’equazione trinomia è sempre pari.
V
F
f) Ogni equazione biquadratica è un’equazione trinomia.
V
F
g) L’equazione
V
F
h) Un’equazione binomia di grado dispari ammette sempre una soluzione reale.
V
F
i) Un’equazione binomia di grado pari ammette sempre due soluzioni reali.
V
F
j) L’equazione P(x) = 0, con P(x) polinomio di grado n, ammette per
soluzione x = α se e solo se P(α) = 0.
V
F
k) x = −1 è uno zero del polinomio P(x) = −k2x3 + x2 + kx −3 se e solo se
k = −1 v k = 2.
V
F
è una equazione trinomia solo se k = 1.
55) Una sola delle seguenti equazioni di grado superiore al secondo ammette come uniche soluzioni reali
a)
b)
d)
e)
; quale?
c)
56) Indica quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false, motivando la risposta :
a) L’equazione
ammette sempre soluzioni reali.
V
F
b) L’equazione
soluzione reale.
con n dispari ammette sempre una ed una sola
V
F
c) L’equazione
ammette n soluzioni reali
V
F
d) L’equazione
reali opposte.
con n pari e a > 0 ammette sempre due radici
V
F
e) L’equazione
con n pari ammette soluzioni reali solo se a > 0.
V
F
V
F
f) L’equazione
.
ammette soluzioni reali se e solo se k ≤ 1.
57) Sia Δ il discriminante dell’equazione risolvente l’equazione biquadratica
Allora:
.
a) Se Δ = 0 l’equazione ha quattro soluzioni due a due uguali
V
F
b) Se Δ < 0 è impossibile nei reali
V
F
c) E’ impossibile nei reali se e solo se Δ < 0
V
F
d) Se Δ > 0 ammette quattro radici reali
V
F
e) Se Δ > 0 può ammettere due sole radici reali
V
F
f) Se Δ > 0 può essere impossibile nei reali
V
F
58) Un’equazione della forma
a) 1;
b) ± 1;
con
c) −1;
59) Per quali valori del parametro k, l’equazione binomia
60) Determina per quali valori di h e k l’equazione
ha fra le sue radici:
d) né 1, né −1.
ammette soluzioni reali?
:
a) risulta biquadratica
221
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.12 Pagina 222
Algebra - secondo anno
b) risulta reciproca
61) Quali condizioni devono essere verificate affinchè l’equazione trinomia
ammetta radici reali? E per l’equazione
?
ESERCIZI
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado incomplete:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
222
(a, b, c coefficienti reali)
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.13 Pagina 223
Book in
progress
16. Le equazioni di secondo grado
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
Risolvi le seguenti equazioni di II grado:
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
223
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.13 Pagina 224
Algebra - secondo anno
45)
46)
47)
48)
49)
50)
51)
52)
53)
54)
55)
56)
57)
58)
59)
60)
61)
62)
63)
64)
65)
66)
224
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.13 Pagina 225
Book in
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16. Le equazioni di secondo grado
Per non dimenticare……
Esempi
Risolviamo alcune equazioni di secondo grado senza applicare la formula risolutiva:
225
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.13 Pagina 226
Algebra - secondo anno
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado senza utilizzare la formula risolutiva:
67)
68)
69)
70)
71)
72)
73)
74)
75)
226
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.13 Pagina 227
Book in
progress
16. Le equazioni di secondo grado
Risolvi le seguenti equazioni:
76)
77)
78)
79)
80)
81)
82)
83)
84)
85)
86)
87)
88)
89)
90)
91)
92)
93)
94)
227
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.13 Pagina 228
Algebra - secondo anno
95)
96)
97)
98)
99)
100)
101)
102)
103)
104)
105)
106)
107)
108)
109)
110)
111)
228
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.14 Pagina 229
Book in
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16. Le equazioni di secondo grado
Risolvi e discuti le seguenti equazioni di II grado letterali, intere e fratte:
112)
113)
114)
115)
116)
117)
118)
119)
120)
121)
229
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.14 Pagina 230
Algebra - secondo anno
122)
123)
124)
125)
126)
127)
128)
129)
130)
131)
132)
133)
134)
135)
136)
137)
138)
139)
140)
141)
230
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Book in
progress
16. Le equazioni di secondo grado
Senza risolverle, stabilisci se le seguenti equazioni hanno soluzioni reali e, in caso affermativo, determina la loro
somma e il loro prodotto.
142)
143)
144)
145)
146)
147)
231
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.14 Pagina 232
Algebra - secondo anno
Scrivi l’equazione di secondo grado che ha come insieme soluzione l’insieme S indicato.
148)
149)
150)
151)
152)
153)
154)
155)
156)
157)
158)
159)
Determina due numeri, se esistono, conoscendo la loro somma s ed il loro prodotto p (Esempio d) pag. 192).
160)
161)
162)
163)
164)
165)
166)
167)
168)
169)
170)
171)
232
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Book in
progress
16. Le equazioni di secondo grado
172)
173)
174)
Scomponi in fattori, se possibile, i seguenti trinomi di secondo grado:
175)
176)
177)
178)
179)
180)
181)
182)
183)
184)
Semplifica, se possibile, le seguenti frazioni algebriche:
185)
186)
187)
188)
189)
190)
191)
192)
233
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.14 Pagina 234
Algebra - secondo anno
Equazioni parametriche
193) Data l’equazione
, determina il valore di k in modo che:
a) una soluzione sia uguale a 1;
b) una soluzione sia nulla;
c) le soluzioni siano reali e coincidenti.
194) Data l’equazione
, determina il valore di a in modo che:
a) le soluzioni siano reali e coincidenti;
b) le soluzioni siano opposte;
c) una soluzione sia nulla.
195) Data l’equazione
, calcola il valore di h in modo tale che:
a) le soluzioni siano reali e coincidenti;
b) l’equazione sia pura;
c) l’equazione sia spuria;
d) le soluzioni siano una reciproca dell’altra;
e) una soluzione sia uguale a 4;
f) la somma dei quadrati delle soluzioni sia 6.
196) Data l’equazione
, calcola il valore di l in modo tale che :
a) la somma delle soluzioni sia 1;
b) l’equazione sia spuria;
c) le soluzioni siano opposte;
d) una soluzione sia
;
e) il prodotto delle soluzioni sia 4;
f) le soluzioni siano una la reciproca dell’altra;
g) la somma dei quadrati delle soluzioni sia
197) Data l’equazione
a) una soluzione sia nulla;
b) una delle soluzioni sia uguale a −3;
c) le soluzioni siano reali e coincidenti;
d) la somma delle soluzioni sia −1;
e) il prodotto delle soluzioni sia 4;
f) le soluzioni siano opposte.
234
calcola il valore di m in modo tale che:
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Book in
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16. Le equazioni di secondo grado
Problemi
[(28, 29); (−28, −29)]
198) Determina due numeri interi consecutivi tali che il loro prodotto sia 812.
199) Determina un numero naturale tale che il suo quadrato superi di 4 il suo triplo.
200) Il prodotto di due numeri naturali pari consecutivi è 1088. Quali sono i due numeri?
[4]
[32; 34]
201) Se ad un numero positivo si aggiunge il suo quadrato, si ottiene il triplo del numero stesso aumentato di 24.
Qual è il numero?
[6]
202) Trova due numeri naturali pari e consecutivi tali che la somma dei loro quadrati sia 340.
[12; 14]
203) Dividi il numero 54 in due parti in modo tale che il loro prodotto sia 693.
[21; 33]
204) Determina due numeri naturali consecutivi tali che la differenza tra il cubo del maggiore ed il cubo del minore sia
uguale alla differenza fra il quadrato del doppio del minore e 9.
[5; 6]
205) Il prodotto di due numeri naturali pari e consecutivi è 48. Quali sono i due numeri?
[6; 8]
206) Determina un numero intero tale che il prodotto fra il suo doppio ed il suo successivo sia uguale alla differenza fra il
numero 5 ed il numero stesso.
[1]
207) In un numero palindromo di tre cifre, la somma delle cifre è 12 e la seconda cifra è uguale al doppio del quadrato
della prima cifra. Qual è il numero?
[282]
208) Determina un numero naturale tale che il prodotto fra il numero stesso e la sua metà aumentata di 1 supera di 8 il
numero stesso.
[4]
209) Determina quel numero naturale tale che la differenza fra il quadrato del suo successivo e il doppio del suo precedente
sia uguale a 52.
[7]
210) Determina due numeri interi dispari e consecutivi tali che i
ai
del quadrato del minore aumentati di 1 siano uguali
del quadrato del maggiore.
[5; 7]
211) Determina due numeri pari consecutivi tali che il doppio del quadrato del maggiore supera di 24 il triplo del quadrato
del minore.
[4; 6]
212) Trova due numeri interi consecutivi tali che la somma dei loro quadrati sia 61.
213) Il rapporto fra un numero intero ed il suo quadrato diminuito di 3 è
214) Il rapporto fra due numeri interi positivi è
; qual è questo numero?
[(−6, −5) ∨ (5,6)]
[5]
e la differenza dei loro quadrati è 63; quali sono i due numeri? [9; 12]
215) Le dimensioni di un rettangolo misurano 3 cm e 2 cm. Di quanto è necessario aumentare le dimensioni affinchè l’area
del rettangolo sia di 42 cm2?
[4 cm]
216) La somma di due numeri è 8 ed il loro prodotto è 15; quali sono i due numeri?
[3; 5]
217) Determina due numeri interi consecutivi tali che il quadrato della loro somma superi di 144 la somma dei loro quadrati
[−9,−8; 9, 8]
218) Il numeratore di una frazione supera di 3 il denominatore, inoltre diminuendo di 2 sia il numeratore che il denominatore
si ottiene una frazione che supera di
la prima frazione. Qual è la frazione?
219) In un numero di due cifre, la cifra delle decine supera di 3 quella delle unità; il prodotto delle due cifre è uguale alla
metà del numero dato diminuita di 9. Qual è il numero?
[74]
220) L’area di un triangolo rettangolo misura 30 cm2 ed un cateto supera l’altro di 4 cm. Qual è la misura di ciascuno dei
due cateti?
[6 cm; 10 cm]
221) In un triangolo rettangolo ABC, l’ipotenusa BC misura 10 dm e la somma dei due cateti 14 cm. Determina la misura
dei due cateti. Se la somma delle misure dei cateti fosse 15, quale sarebbero le loro misure?
[6 dm; 8 dm]
222) Sia C un punto del segmento AB tale che AC sia medio proporzionale tra l’intero segmento e la parte restante CB.
Se AB misura 20 cm, qual è la misura di AC?
235
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Algebra - secondo anno
223) L’area di un rombo misura 36 m2 e la diagonale maggiore è il doppio di quella minore. Qual è la misura di ciascuna
[6 m; 12 m]
delle due diagonali?
224) Il perimetro di un rombo misura 52 cm e la somma delle sue diagonali misura 34 cm; quanto misura l’area del rombo?
[120 cm2]
225) L’area di un rettangolo misura 80 cm2 e una dimensione supera l’altra di 11 cm. Quanto misura il perimetro del
rettangolo?
[42 cm]
226) In un triangolo rettangolo la misura del cateto maggiore supera di 2 cm quella del cateto minore. Sapendo che
l’ipotenusa misura 10 cm, determina le misure dei cateti del triangolo.
[6 cm; 8 cm]
227) In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 45 cm e il doppio del cateto minore supera quello maggiore di 18 cm.
Determina l’area del triangolo.
[486 cm2]
228) L’area di un rettangolo misura 440 dm2 ed una dimensione supera di 10 dm i
del rettangolo?
dell’altra dimensione. Qual è il perimetro
[84 dm]
229) Sia AB un segmento di lunghezza 9 cm. Determina su di esso un punto P in modo tale che il segmento AB resti
diviso in due segmenti tali che AP sia medio proporzionale fra l’intero segmento e la sua parte restante aumentata di
1. Qual è la misura di AP?
[6 cm]
230) In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è 9 cm e l’ipotenusa supera di 6 cm i
misura dell’ipotenusa?
dell’altro cateto. Qual è la
231) Sia ABCD un quadrato di lato 4 cm. Determina sul prolungamento del lato AB, dalla parte di B, un punto P tale che
la somma dei quadrati delle sue distanze dai vertici C e D sia 90 cm2.
232) Il diametro AB di una circonferenza misura 25 cm. Determina sulla circonferenza la posizione di un punto Q in modo
tale che, detta H la sua proiezione sul diametro AB, valga la relazione
233) I lati AD e AB di un rettangolo misurano, rispettivamente, 20 cm e 30 cm. Sul prolungamento del lato AB, dalla parte
di B, determina la posizione di un punto E in modo tale che valga la relazione
essendo O il punto di intersezione delle diagonali del rettangolo.
Equazioni di grado superiore al secondo
Risolvi in R le seguenti equazioni binomie:
234)
235)
236)
237)
238)
239)
240)
241)
236
,
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16. Le equazioni di secondo grado
242)
243)
244)
245)
Determina per quali valori del parametro a le seguenti equazioni ammettono soluzioni reali:
246)
247)
248)
249)
Risolvi in R le seguenti equazioni biquadratiche:
250)
251)
252)
253)
254)
255)
256)
257)
258)
259)
260)
261)
262)
237
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Algebra - secondo anno
263)
264)
265)
266)
267)
268)
269)
270)
271)
272)
273)
274)
275)
276)
Senza risolvere le seguenti equazioni stabilisci qual è il numero di soluzioni reali che esse ammettono:
277)
278)
279)
280)
Determina per quali valori del parametro k le seguenti equazioni biquadratiche ammettono:
a) quattro soluzioni reali;
b) due soluzioni reali;
c) nessuna soluzione reale
281)
282)
283)
238
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.15 Pagina 239
Book in
progress
16. Le equazioni di secondo grado
Scomponi in fattori, se è possibile, i seguenti polinomi:
284)
285)
286)
287)
Semplifica le seguenti frazioni algebriche, dopo averne determinato il dominio:
288)
289)
290)
239
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.15 Pagina 240
Algebra - secondo anno
Risolvi, in R, le seguenti equazioni trinomie:
291)
292)
293)
294)
295)
296)
297)
298)
299)
300)
301)
Risolvi, in R, le seguenti equazioni trinomie:
302)
303)
304)
305)
306)
307)
308)
309)
310)
311)
312)
240
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.16 Pagina 241
Book in
progress
16. Le equazioni di secondo grado
313)
314)
315)
316)
Risolvi, in R, le seguenti equazioni:
317)
318)
319)
320)
321)
322)
323)
241
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.16 Pagina 242
Algebra - secondo anno
324)
Risolvi in R le seguenti equazioni reciproche, dopo averne indicato il grado e la specie:
325)
326)
327)
328)
329)
330)
331)
332)
333)
334)
335)
336)
337)
338)
339)
340)
341)
342)
343)
344)
242
AIE604_C2_algebra_terzo'16ok_Layout 1 29/07/15 08.16 Pagina 243
Book in
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16. Le equazioni di secondo grado
345)
346)
347)
348)
Senza scomporre in fattori, risolvi, in R, le seguenti equazioni reciproche di quarto grado di prima specie:
349)
350)
351)
352)
353)
354)
355)
356)
357)
358)
359)
360)
Scrivi le equazioni che hanno come insieme soluzione i seguenti insiemi e, successivamente, verifica che sono
equazioni reciproche:
361)
362)
363)
243
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Algebra - secondo anno
Classifica e risolvi le seguenti equazioni di grado superiore al secondo di vario tipo:
364)
365)
366)
367)
368)
369)
370)
371)
372)
373)
374)
375)
376)
377)
378)
379)
380)
381)
382)
383)
384)
385)
386)
244
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16. Le equazioni di secondo grado
387)
388)
389)
390)
391)
392)
393) Quale numero diverso da 0 è tale che la sua decima parte è uguale a dieci volte il quadrato del numero stesso?
[Olimpiadi Matematica, 1999]
394) Siano a, b,c le soluzioni dell’equazione
.
Sapendo che ab = 10, calcolare c (a + b).
[Olimpiadi Matematica, 2000]
395) Quante soluzioni positive ha l’equazione
[Olimpiadi Matematica, 2004]
396) Il valore di a ≥ 0, per cui l’equazione
ha almeno una soluzione reale, è
[Olimpiadi Matematica, 2004]
397) Quanti numeri interi relativi x risolvono l’equazione
[Olimpiadi Matematica, 2004]
398) a e b sono due numeri reali tali che
Quanti valori distinti può assumere a?
[Olimpiadi Matematica, 2005]
399) Il numero reale a è tale che l’equazione
ha due soluzioni reali coincidenti.
Quanti sono i possibili valori di a?
[Olimpiadi Matematica, 2006]
400) Per quanti numeri naturali n, sia n che (n − 6)2 + 1 sono primi?
[Olimpiadi Matematica, 2009]
245
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Algebra - secondo anno
401) Per quanti valori distinti del numero naturale n l’equazione
ha due soluzioni reali distinte, e queste sono entrambe numeri interi?
[Olimpiadi Matematica, 2010]
402) Determina la somma dei quadrati di tutti i numeri reali che soddisfano l’equazione
[Olimpiadi Matematica, Tor Vergata, 2010]
246
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17. Le disequazioni di secondo grado
CAPITOLO 17. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
17.1 LA FUNZIONE y = ax2
Nel capitolo 11 abbiamo visto che la rappresentazione grafica della funzione espressa da un polinomio di primo grado,
y = ax + b (al variare di a, b in R), è una retta non parallela all’asse delle ordinate.
È lecito chiedersi quale sarà la rappresentazione grafica di un polinomio di secondo grado, cioè della funzione
al variare dei coefficienti a, b, c nell’insieme dei numeri reali.
Osserviamo subito che sarà sempre a ≠ 0; infatti:
e, quindi, l’espressione di
è data da un polinomio di primo grado e la sua rappresentazione grafica è una retta.
Tutte le considerazioni che faremo in questo capitolo terranno conto della condizione
Consideriamo la funzione
quindi la funzione
.
nel caso in cui b = 0 e c = 0;
e determiniamone la rappresentazione grafica.
Come fatto in precedenza, iniziamo con l’analisi di casi particolari per arrivare, successivamente, alla generalizzazione.
Si ha la funzione y = x2 (fig. 1).
Nella prima e seconda colonna della seguente tabella sono riportati, rispettivamente, alcuni valori assegnati alla variabile
indipendente e le loro immagini.
Analizziamo la rappresentazione grafica ottenuta:
a) i punti appartenenti alla funzione y = x2 non sono allineati; la curva che abbiamo ottenuto si chiama parabola e, si
dice, che ha la concavità rivolta verso l’alto;
b) l’origine degli assi è un punto della parabola;
c) la parabola è situata nel I e II quadrante;
d) per ogni punto della parabola ne esiste un altro che, pur avendo ascissa diversa, ha la stessa ordinata (ad esempio: i
punti A e B, i punti C e D) e questi sono equidistanti dall’asse delle ordinate.
Dalle osservazioni b) e c) deduciamo che il codominio della funzione y = x2 è l’insieme
;
in particolare, il codominio della funzione ammette un valore minimo: il valore “0”.
Il punto che ha come ordinata questo valore, cioè il più piccolo fra i valori appartenenti al codominio della funzione, prende
il nome di vertice della parabola.
L’osservazioni d) ci permette di affermare che l’asse delle ordinate è asse di simmetria per la parabola.
247
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Algebra - secondo anno
Si ha la funzione y = 2x2 (fig. 2).
In fig. 2 sono riportati i grafici della funzione y = x2 (colore nero) y = 2x2 (colore rosso)
Analizziamo la fig. 2 per cogliere analogie e differenze fra le due rappresentazioni grafiche.
Analogie
• i punti di entrambe le funzioni non sono allineati;
• la curva rappresentativa di y = 2x2 ha la stessa forma del grafico della funzione y = x2, quindi anche essa è una parabola
ed ha la concavità rivolta verso l’alto;
• l’origine degli assi appartiene al grafico di entrambe le funzioni;
• entrambe le parabole sono situate nel I e II quadrante;
• in entrambe le funzioni, per ogni punto ne esiste uno che, pur avendo ascissa diversa, ha la stessa ordinata e questi
due punti sono equidistanti dall’asse delle ordinate.
Entrambe le funzioni, quindi, hanno come:
• codominio l’insieme
;
• vertice l’origine degli assi;
• asse di simmetria l’asse delle ordinate.
Differenze
L’unica differenza fra i due grafici riguarda l’ampiezza della parabola: la parabola di equazione y = 2x2 è “più stretta” rispetto
a quella di equazione y = x2.
Poiché l’unica differenza fra le equazioni delle due funzioni è il valore di a (coefficiente numerico del monomio di secondo
grado), possiamo pensare che l’ampiezza della parabola dipenda dal valore di a.
In fig. 3 è disegnata la parabola di equazione y = x2; completa la seguente tabella e rappresenta, nella stessa figura, la
funzione di equazione
.
248
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17. Le disequazioni di secondo grado
Analizza la fig. 3 per cogliere analogie e differenze fra le due rappresentazioni grafiche, come fatto in precedenza.
Completa le seguenti proposizioni in modo che esse risultino vere.
Analogie
• i punti di entrambe le funzioni ………. sono allineati;
• la curva rappresentativa di
ha la …………… forma del grafico della funzione y = x2, quindi anche essa è una
parabola ed ha la concavità rivolta verso l’………..;
• l’origine degli assi appartiene al grafico di ……….. le funzioni;
• entrambe le parabole sono situate nel ……….. e ……….. quadrante;
• in entrambe le funzioni, per ogni punto ne esiste uno che, pur avendo ascissa diversa, ha la ……….. ordinata e questi
due punti sono ……….. dall’asse delle ordinate.
Entrambe le funzioni, quindi, hanno come:
• codominio l’insieme …….. ;
• vertice l’…….. degli assi;
• asse di simmetria l’asse delle …….. .
Differenze
La sola differenza fra i due grafici riguarda l’ampiezza della parabola: la parabola di equazione
è “più larga” rispetto a quella di equazione y = x2.
In fig. 4 è rappresentata la parabola y = x2. Rappresenta, nella stessa figura, le funzioni del tipo y = ax2 assegnando ad a
i seguenti valori:
249
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Algebra - secondo anno
Analizza la fig. 4 per cogliere analogie e differenze fra le rappresentazioni grafiche ottenute e ripeti le osservazioni fatte per
le figg. 2 e 3.
Riassumendo i risultati ottenuti, possiamo affermare che tutte le funzioni rappresentate hanno come:
•
•
•
•
grafico una parabola con la concavità rivolta verso l’alto;
codominio l’insieme
;
vertice l’origine degli assi;
asse di simmetria l’asse delle ordinate.
L’unica differenza fra i diversi grafici riguarda l’ampiezza della parabola; tale ampiezza dipende dal coefficiente a.
Osserviamo che, in questi casi, all’aumentare di a, la parabola diventa “più stretta”.
Nei casi precedenti abbiamo considerato, per il coefficiente a, solo valori positivi; adesso, assegniamo ad a valori negativi.
Si ha, quindi, la funzione y = – x2 la cui rappresentazione grafica è riportata in fig. 5.
Analizziamo la rappresentazione grafica ottenuta:
a) i punti appartenenti alla funzione y = – x2 non sono allineati; la curva che abbiamo ottenuto, possiamo dire, che è
analoga a quella della funzione y = x2 però è capovolta; essa è, quindi, una parabola e la sua concavità è rivolta
verso il basso;
b) l’origine degli assi è un punto della parabola;
c) la parabola è situata nel III e IV quadrante;
d) per ogni punto della parabola ne esiste un altro che, pur avendo ascissa diversa, ha la stessa ordinata (ad esempio: i
punti A e B, i punti C e D) e questi due punti sono equidistanti dall’asse delle ordinate.
Dalle osservazioni b) e c) deduciamo che il codominio della funzione y = – x2 è l’insieme
; in particolare, il codominio
della funzione ammette un valore massimo: il valore “0”.
Il punto che ha come ordinata questo valore, cioè il più grande fra i valori appartenenti al codominio della funzione, è il
vertice della parabola.
L’osservazioni d) ci permette di affermare che l’asse delle ordinate è asse di simmetria per la parabola.
In fig. 6 è rappresentata la parabola y = – x2.
Completa le seguenti tabelle e rappresenta, nella stessa figura, le funzioni del tipo y = ax2 dove ad a sono stati assegnati
valori negativi:
250
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Book in
progress
17. Le disequazioni di secondo grado
Analizza la fig. 6 per cogliere analogie e differenze fra le rappresentazioni grafiche ottenute.
Completa le seguenti proposizioni in modo che esse risultino vere
Analogie
• i punti di tutte le funzioni ………. sono allineati;
• le curve rappresentative delle diverse funzioni hanno la …………… forma del grafico della funzione y = – x2, quindi
anche esse sono parabole con la concavità rivolta verso il …………..;
• l’origine degli assi appartiene al grafico di ……….. le funzioni;
• tutte le parabole sono situate nel ……….. e ……….. quadrante;
• in tutte le funzioni, per ogni punto ne esiste uno che, pur avendo ascissa diversa, ha la ……….. ordinata e questi due
punti sono ……….. dall’asse delle ordinate.
Tutte le funzioni rappresentate nella fig. 6, quindi, hanno come:
• codominio l’insieme …….. ;
• vertice l’…….. degli assi;
• asse di simmetria l’asse delle …….. .
Differenze
L’unica differenza fra i grafici delle diverse funzioni riguarda l’ampiezza della parabola:
− la parabola di equazione
è “più larga” rispetto a quella di equazione y = – x2;
− la parabola di equazione
è “più larga” rispetto a quella di equazione y = – x2;
− la parabola di equazione
è “più stretta” rispetto a quella di equazione y = – x2;
− la parabola di equazione
è “più stretta” rispetto a quella di equazione y = – x2.
Poiché l’unica differenza fra le equazioni delle due funzioni è il valore di a (coefficiente numerico del monomio di secondo
grado), si rafforza l’ipotesi che l’ampiezza della parabola dipenda dal valore di a.
251
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Algebra - secondo anno
Osserviamo che, nel caso in cui a assume valori negativi, all’aumentare del valore di a la parabola diventa “più larga”.
Possiamo, adesso, così sintetizzare le osservazioni fin qui fatte:
la rappresentazione grafica della funzione y = ax2
è una parabola avente per vertice l’origine degli
assi e per asse di simmetria l’asse delle ordinate.
Il vertice è il punto intersezione della parabola con il suo asse di simmetria.
Dal valore di a dipende l’ampiezza della parabola
Distinguiamo i seguenti casi:
• la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto;
• la parabola è situata nel I e II quadrante; il codominio della funzione è
• maggiore è il valore di a, minore è l’ampiezza della parabola.
• la parabola ha la concavità rivolta verso il basso;
• la parabola è situata nel III e IV quadrante; il codominio della funzione è
• maggiore è il valore di a, maggiore è l’ampiezza della parabola.
PROVA TU
Senza rappresentare le seguenti parabole, indica:
▪ la concavità;
▪ il codominio della funzione;
▪ le coordinate del vertice;
▪ l’asse di simmetria.
17.2 LA FUNZIONE y = ax2 + bx + c
Analizziamo tre casi:
I caso: b = 0 e c ≠ 0. La funzione, quindi, è del tipo y = ax2 + c
Sia a = 1 e c = 1; l’equazione della funzione diventa y = x2 +1 il cui grafico è riportato in fig.7.
252
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17. Le disequazioni di secondo grado
Osservando la fig.7, notiamo che:
a) la curva ottenuta è una parabola con la concavità rivolta verso l’alto (a > 0);
b) la parabola è situata nel I e II quadrante; il suo codominio è l’insieme
c) il punto intersezione della parabola con l’asse delle ordinate ha coordinate (0,1);
d) il vertice della parabola ha coordinate (0,1), perchè il “più piccolo” valore del codominio è 1;
e) esistono sempre due punti della parabola che, pur avendo ascissa diversa, hanno uguale ordinata;
f) per ogni punto della parabola ne esiste uno che ha la stessa distanza dall’asse delle ordinate.
Le osservazioni e) ed f) ci permettono di affermare che l’asse delle ordinate è asse di simmetria della parabola.
In fig. 8 sono rappresentate le funzioni y = x2 (colore rosso) e y = x2 + 1 (colore nero)
Poniamo la nostra attenzione sulle coordinate dei punti A (appartenete a y = x2 ) e A' (appartenente a y = x2 + 1):
A (–1,1), A' (–1,2).
Si ha, quindi:
Osservando le coordinate degli altri punti evidenziati in fig. 8, si osserva che:
Queste osservazioni sono più generali:
presi due punti M, appartenente alla parabola y = x2 ed M', appartenente alla parabola y = x2 + 1, aventi la stessa
ascissa, per le loro ordinate vale la relazione
Possiamo, allora, dire che la parabola di equazione y = x2 + 1 è ottenuta da quella di equazione y = x2 applicando una
traslazione di vettore parallelo all’asse delle ordinate, avente verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse y
e
=1.
Le equazioni delle parabole che abbiamo confrontato, differiscono fra di loro per la presenza del termine c = 1.
Sia a = 1 e c = –1; l’equazione della funzione diventa y = x2 –1.
In fig. 9 sono riportati i grafici delle funzioni y = x2 –1 (colore nero) e y = x2 (colore rosso).
253
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Algebra - secondo anno
Osserviamo il grafico della funzione y = x2 –1.
a) la curva ottenuta è una parabola con la concavità rivolta verso l’alto (a > 0);
b) i punti della parabola sono situati in tutti i quadranti; il codominio della funzione è l’insieme
c) il punto intersezione della parabola con l’asse delle ordinate ha coordinate (0,–1);
d) il vertice della parabola ha coordinate (0,–1), perchè il “più piccolo” valore del codominio è –1;
e) esistono sempre due punti della parabola che, pur avendo ascissa diversa, hanno uguale ordinata;
f) per ogni punto della parabola ne esiste uno che ha la stessa distanza dall’asse delle ordinate.
Le osservazioni e) ed f) ci permettono di affermare che l’asse delle ordinate è asse di simmetria della parabola.
Come fatto in precedenza, confrontiamo i due grafici della fig. 9; in particolare cerchiamo di stabilire delle relazioni fra le
coordinate dei punti evidenziati.
Osserviamo che:
Queste osservazioni, come nel caso precedente, sono più generali:
presi due punti M, appartenente alla parabola y = x2 ed M', appartenente alla parabola y = x2 –1, aventi la stessa
ascissa, per le loro ordinate vale la relazione
Possiamo, allora, dire che la parabola di equazione y = x2 –1 è ottenuta da quella di equazione y = x2 applicando una
traslazione di vettore parallelo all’asse delle ordinate, avente verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse y
e
=1.
Le equazioni delle parabole che abbiamo ora confrontato, differiscono fra di loro per la presenza del termine c = −1.
• Dalla rappresentazione grafica delle funzioni y = x2 +1 e y = x2 –1 deduciamo che:
il termine c, nell’equazione della parabola y = ax2 + c, indica l’ordinata del punto intersezione della parabola stessa
con l’asse delle ordinate ed è anche l’ordinata del vertice della parabola;
è uguale al modulo del vettore
, parallelo all’asse delle ordinate, della traslazione che alla parabola di equazione
2
y = ax fa corrispondere la parabola di equazione y = ax2 + c;
Inoltre,
• c > 0 : il verso di
• c < 0: il verso di
254
è uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate;
è opposto a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.
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17. Le disequazioni di secondo grado
Rappresenta, nel piano cartesiano della fig. 10, dove è stata rappresentata la funzione y = – x2 , le funzioni sotto elencate,
e individua le caratteristiche della loro rappresentazione grafica come fatto nell’esempio precedente:
In generale, allora:
la rappresentazione grafica della funzione y = ax2 + c è una parabola che ha vertice nel punto di coordinate (0,c) e
per asse di simmetria l’asse delle ordinate.
Il vertice, come nel caso precedente, è il punto intersezione della parabola con il suo asse di simmetria.
Inoltre,
se a > 0, la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto e il codominio della funzione è l’insieme
se a < 0; la parabola ha la concavità rivolta verso il basso e il codominio della funzione è l’insieme
La parabola di equazione y = ax2 + c è ottenuta per traslazione da quella di equazione y = ax2.
Il vettore
della traslazione è parallelo all’asse delle ordinate ed è tale che:
•
;
• se c > 0, ha verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate;
• se c < 0, ha verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.
PROVA TU
Senza rappresentarle, stabilisci qual è il grafico delle seguenti funzioni indicandone le caratteristiche:
▪ concavità;
▪ coordinate del punto intersezione con l’asse y;
▪ asse di simmetria;
▪ coordinate del vertice;
▪ codominio della funzione.
II caso: b ≠ 0 e c = 0. La funzione, quindi, è del tipo y = ax2 + bx
Sia a = 1 e b = 2; la funzione diventa y = x2 +2x.
255
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Algebra - secondo anno
La rappresentazione grafica di questa funzione è riportata nella fig. 11.
Dall’analisi della fig. 11, notiamo che:
a) il grafico della funzione y = x2 +2x è, come ci aspettavamo, una parabola con la concavità rivolta verso l’alto (a > 0)
e che questa passa per l’origine degli assi;
b) il codominio della funzione è l’insieme
c) il vertice della parabola ha coordinate (–1,–1), perché –1 è il “più piccolo” valore del codominio;
d) i punti della parabola che hanno la stessa ordinata sono equidistanti dalla retta di equazione x = –1;
e) la retta di equazione x = –1, quindi, è asse di simmetria per la parabola.
Mettiamo in evidenza che, in questa parabola, il vertice non è un punto dell’asse delle ordinate e, di conseguenza,
l’asse di simmetria non è l’asse delle ordinate, ma è una retta ad esso parallela.
Dal confronto della forma delle equazioni delle parabole che abbiamo rappresentato, deduciamo che dal coefficiente b
dipende l’ascissa del vertice della parabola e, quindi, l’equazione dell’asse di simmetria.
In realtà, è possibile dimostrare, e lo farai nel corso degli studi dei prossimi anni, che l’ascissa del vertice di una parabola
è legata ai coefficienti a e b dalla relazione:
Indicando con y = ax2 + bx l’equazione generica di una parabola passante per l’origine degli assi, l’ordinata del vertice della
parabola si può determinare calcolando
Quindi, il vertice della parabola ha coordinate
L’asse di simmetria, essendo una retta parallela all’asse delle ordinate e passante per il vertice della parabola, ha equazione
256
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17. Le disequazioni di secondo grado
Sia a = –1 e b = 1; la funzione diventa y = x2 + x e la sua rappresentazione è riportata in fig.12.
Dall’osservazione della fig. 12 non è semplice determinare le coordinate del vertice; le calcoliamo, allora, applicando le
relazioni scritte in precedenza:
Analizzando la fig. 12, completa le seguenti proposizioni:
a) il grafico della funzione y = x2 + x è una ………………… con la concavità rivolta verso il ……………… (a …….. 0) e
questa passa per l’…………….. degli assi;
b) il codominio della funzione è l’insieme
c) il vertice della parabola ha coordinate , perché …….. è il “più grande” valore del codominio;
d) i punti della parabola che hanno la stessa ordinata sono ………………….. dalla retta di equazione x = …….. ;
e) la retta di equazione x = …….. , quindi, è asse di simmetria per la parabola.
Rappresenta, nel piano cartesiano della fig. 13, le funzioni sottoelencate e, per ciascuna di esse, individua le caratteristiche
della rappresentazione grafica come fatto negli esempi precedenti:
257
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Algebra - secondo anno
Possiamo, adesso, generalizzare:
la rappresentazione grafica della funzione y = ax2 + bx è una parabola passante per l’origine degli assi;
• il vertice ha coordinate:
• l’asse di simmetria è la retta di equazione
Inoltre:
se a > 0, la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto e il codominio della funzione è l’insieme
se a < 0, la parabola ha la concavità rivolta verso il basso e il codominio della funzione è l’insieme
PROVA TU
Senza rappresentarle, stabilisci qual è il grafico delle seguenti funzioni indicandone le caratteristiche:
▪ concavità;
▪ coordinate del punto intersezione con l’asse y;
▪ asse di simmetria;
▪ coordinate del vertice;
III caso:
▪ codominio della funzione.
b ≠ 0 e c ≠ 0. La funzione, quindi, è del tipo y = ax2 + bx + c.
Nell’analizzare la funzione y = ax2 + c, abbiamo osservato che essa può essere ottenuta per traslazione dalla funzione
y = ax2 ed il vettore traslazione, parallelo all’asse delle ordinate, dipende, in qualche modo, dal coefficiente c.
Le osservazioni fatte in quel caso, valgono anche per la funzione y = ax2 + bx + c : essa, infatti, può essere ottenuta dalla
funzione y = ax2 + bx per traslazione ed il vettore traslazione, parallelo all’asse delle ordinate, dipende dal coefficiente c.
Ad esempio, nella fig. 14 sono rappresentate le funzioni y = x2 + 2x –1 (colore rosso) e y = x2 + 2x (colore nero).
Osservando la fig. 14, possiamo dire che
a) il grafico della funzione y = x2 + 2x –1 è una parabola che ha la concavità rivolta verso l’alto (a > 0);
b) il punto intersezione con l’asse y ha coordinate (0,–1);
c) il codominio della funzione è l’insieme
d) il vertice della parabola ha coordinate (–1,–2), perché –1 è il “più piccolo” valore del codominio (determina le
coordinate del vertice applicando le relazioni precedenti);
e) i punti della parabola che hanno la stessa ordinata sono equidistanti dalla retta di equazione x = –1;
f) la retta di equazione x = –1, quindi, è asse di simmetria per la parabola.
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17. Le disequazioni di secondo grado
Confrontiamo, ora, i grafici della fig. 14 e, in particolare, cerchiamo di stabilire delle relazioni fra le coordinate dei punti
evidenziati.
Osserviamo che:
Queste osservazioni sono più generali:
• preso il punto P, appartenente alla parabola y = x2 + 2x, ed il punto P', appartenente alla parabola y = x2 + 2x –1, aventi
la stessa ascissa, per le loro ordinate vale la relazione
.
Quindi, la parabola di equazione y = x2 + 2x –1 è ottenuta da quella di equazione y = x2 + 2x applicando una traslazione
di vettore parallelo all’asse delle ordinate, avente verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse y e
.
Possiamo, adesso, generalizzare:
la rappresentazione grafica della funzione y = ax2 + bx + c è una parabola che interseca l’asse delle ordinate nel
punto di coordinate (0,c);
• il vertice ha coordinate:
• l’asse di simmetria è la retta di equazione
Inoltre:
se a > 0, la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto e il codominio della funzione è l’insieme
se a < 0, la parabola ha la concavità rivolta verso il basso e il codominio della funzione è l’insieme
La parabola di equazione y = ax2 + bx + c può essere ottenuta per traslazione da quella di equazione y = ax2 + bx.
Il vettore
della traslazione, parallelo all’asse delle ordinate, è tale che:
•
;
• se c > 0, ha verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate;
• se c < 0, ha verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.
PROVA TU
Senza rappresentarle, indica le caratteristiche della rappresentazione grafica delle seguenti funzioni:
▪ concavità;
▪ coordinate del punto intersezione con l’asse y;
▪ asse di simmetria;
▪ coordinate del vertice;
▪ codominio della funzione.
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Algebra - secondo anno
PROVA TU
Dopo averne determinato le caratteristiche, rappresenta le seguenti funzioni:
260
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17. Le disequazioni di secondo grado
17.3 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO IN UNA VARIABILE E PARABOLA
Ricordiamo che una delle soluzioni di un’equazione ridotta a forma normale, quindi del tipo P(x) = 0, rappresenta, dal punto
di vista grafico, l’ascissa di uno dei punti intersezione della funzione y = P(x) con l’asse delle ascisse.
• Le soluzioni, se esistono, dell’equazione ax2 + bx + c = 0, allora, sono le ascisse dei punti intersezione della parabola
di equazione y = ax2 + bx + c con l’asse x e, viceversa, le ascisse dei punti intersezione, se esistono, della parabola
y = ax2 + bx + c con l’asse x sono soluzioni dell’equazione ax2 + bx + c = 0.
Ad esempio, osservando la fig. 15, notiamo che la parabola, di equazione y = 3x2 + 4x –1, interseca l’asse delle ascisse in
due punti di ascissa, rispettivamente,
e
.
L’equazione –3x2 + 4x –1 = 0, quindi, ha due soluzioni e queste sono le ascisse dei punti intersezione della parabola con
l’asse x; l’insieme soluzione è, pertanto,
Ricordiamo, inoltre, che data l’equazione ax2 + bx + c = 0, si ha:
•
•
•
l’equazione ha due soluzioni reali e distinte;
l’equazione ha una sola soluzione reale;
l’equazione non ha soluzioni reali.
Possiamo, perciò, mettere in relazione il valore del discriminate dell’equazione ax2 + bx + c = 0 con la posizione della
parabola y = ax2 + bx + c nel piano cartesiano.
•
•
la parabola interseca l’asse delle ascisse in due punti distinti;
la parabola interseca l’asse delle ascisse in un solo punto, il vertice, (o due punti coincidenti); in questo
caso l’asse delle ascisse è tangente alla parabola;
•
la parabola non ha intersezioni con l’asse delle ascisse.
Nelle seguenti figure sono sintetizzate le diverse possibilità:
261
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Algebra - secondo anno
PROVA TU
Senza rappresentarle, stabilisci se le seguenti funzioni intersecano l’asse delle ascisse e determina, eventualmente, l’ascissa
dei loro punti intersezione :
17.4 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO IN UNA VARIABILE E PARABOLA
Sia P(x) = 3x2 – x – 2, un polinomio; se attribuiamo ad x un numero reale, si può verificare una delle seguenti relazioni:
Ad esempio,
Esistono altri numeri reali che rendono vere le relazioni a), b) o c)?
Ci proponiamo, allora, di determinare:
a) tutti i valori di x per i quali P(x) = 0 e, quindi, le soluzioni dell’equazione 3x2 – x – 2 = 0;
b) tutti i valori di x per i quali P(x) > 0 e, quindi, le soluzioni della disequazione 3x2 – x – 2 > 0;
c) tutti i valori di x per i quali P(x) < 0 e, quindi, le soluzioni della disequazione 3x2 – x – 2 < 0;
Osserviamo che le relazioni b) e c) sono disequazioni nelle quali il primo membro è un polinomio di secondo grado; esse,
quindi, sono disequazioni di secondo grado (in una variabile).
Per risolvere i tre quesiti proposti, rappresentiamo nel piano cartesiano il polinomio P(x) = 3x2 – x – 2 (Fig. 17)
262
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Book in
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17. Le disequazioni di secondo grado
Dall’osservazione della fig. 17, possiamo dedurre che:
• i valori di x per i quali 3x2 – x – 2 = 0 sono le ………..…….………. dei punti A e ……., intersezione della parabola con
l’…….….. delle ………………….. ; quindi x = …….…... e x = …….…...
(Determina lo stesso risultato algebricamente).
Riflettiamo ancora sulla fig. 17.
L’asse delle ascisse “divide” la parabola in tre archi:
• due archi (colore rosso) sono situati “al di sopra” dell’asse x; i loro punti hanno ordinata ………………… ;
• un arco, che ha come estremi i punti A e B (colore nero), è situato “al di sotto” dell’asse x; i suoi punti hanno ordinata
…………………… .
Possiamo, allora, dire che:
le ascisse dei punti della parabola di ordinata positiva sono le soluzioni della disequazione 3x2 – x – 2 > 0;
le ascisse dei punti della parabola di ordinata negativa sono le soluzioni della disequazione 3x2 – x – 2 < 0.
Consideriamo, adesso, punti della parabola che appartengono agli archi situati “al di sopra” dell’asse x (ordinata positiva)
e confrontiamo le loro ascisse con quelle dei punti A e B.
In fig. 18, i punti in rosso sull’asse delle x indicano le ascisse dei punti (in verde) della parabola che hanno ordinata positiva.
Osserviamo che:
le ascisse dei punti di ordinata positiva sono minori dell’ascissa di …….. oppure sono maggiori dell’ascissa di ……… .
Possiamo, allora, dire che la relazione 3x2 – x – 2 > 0 è verificata da tutti i numeri reali minori di
numeri reali maggiori di 1.
Pertanto, l’insieme soluzione della disequazione
è
.
oppure da tutti i
Rappresentiamo graficamente questo insieme (fig. 19).
Come possiamo notare, le soluzioni dell’equazione 3x2 – x – 2 = 0 (
e 1) dividono l’insieme R in tre parti e le soluzioni
della disequazione 3x2 – x – 2 > 0 sono date da tutti i numeri “al di fuori” dell’intervallo che ha come estremi
e 1.
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Algebra - secondo anno
L’equazione 3x2 – x – 2 = 0 prende il nome di equazione associata alla disequazione 3x2 – x – 2 > 0; inoltre, è
consuetudine dire che le soluzioni della disequazione 3x2 – x – 2 > 0 sono date dai valori esterni all’intervallo delle
soluzioni dell’equazione associata.
Consideriamo, adesso, punti della parabola che appartengono all’arco situato “al di sotto” dell’asse x (ordinata negativa) e
confrontiamo le loro ascisse con quelle dei punti A e B.
In fig. 20, i punti in viola sull’asse delle x indicano le ascisse dei punti (in azzurro) della parabola che hanno ordinata negativa.
Osserviamo che:
le ascisse dei punti di ordinata negativa sono maggiori dell’ascissa di …….. e minori dell’ascissa di ……… .
Possiamo, perciò, dire che la relazione 3x2 – x – 2 < 0 è verificata da tutti i numeri reali compresi fra
e 1.
Pertanto, l’insieme soluzione della disequazione è
Rappresentiamo graficamente questo insieme (fig. 21).
Come possiamo notare, le soluzioni della disequazione 3x2 – x – 2 < 0 sono date da tutti i numeri reali “interni” all’intervallo
che ha come estremi
e 1, soluzioni dell’equazione 3x2 – x – 2 = 0.
In questo caso si dice che le soluzioni della disequazione 3x2 – x – 2 < 0 sono i valori interni all’intervallo delle soluzioni
dell’equazione associata.
Consideriamo, adesso, il polinomio
.
Determiniamo tutti i valori della variabile per i quali:
a)
; quindi, le soluzioni dell’equazione
b)
; quindi, le soluzioni della disequazione ;
c)
; quindi, le soluzioni della disequazione .
;
Come nell’esempio precedente, le relazioni b) e c) sono disequazioni di secondo grado (in una variabile).
264
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17. Le disequazioni di secondo grado
Per risolvere i tre quesiti proposti, rappresentiamo nel piano cartesiano il polinomio
(Fig. 22).
Osservando la fig. 22, determina le soluzioni del quesito a) usando sia il metodo grafico che quello algebrico.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Riflettiamo ancora sulla fig. 22.
L’asse delle ascisse “divide” la parabola in tre archi:
• due archi (colore nero) sono situati “al di sotto” dell’asse x; i loro punti hanno ordinata ………………… ;
• un arco, che ha come estremi i punti A e B (colore rosso), è situato “al di sopra” dell’asse x; i suoi punti hanno ordinata
…………………… .
Ripetendo le osservazioni fatte nell’esempio precedente, si ha che:
le ascisse dei punti della parabola di ordinata positiva sono le soluzioni della disequazione –x2 + 4x – 3 > 0;
le ascisse dei punti della parabola di ordinata negativa sono le soluzioni della disequazione –x2 + 4x – 3 < 0.
Consideriamo i punti della parabola che appartengono all’arco situato “al di sopra” dell’asse delle ascisse (ordinata positiva)
e confrontiamo le loro ascisse con quelle dei punti A e B.
Nella fig. 23, i punti in rosso sull’asse delle x indicano le ascisse dei punti (in verde) della parabola che hanno ordinata
positiva.
Osserviamo che:
le ascisse dei punti di ordinata positiva sono maggiori dell’ascissa di …….. e minori dell’ascissa di ……… .
Possiamo, allora, dire che la relazione –x2 + 4x – 3 > 0 è verificata da tutti i numeri reali compresi fra 1 e 3.
Pertanto, l’insieme soluzione della disequazione
è
.
Rappresentiamo graficamente questo insieme (fig. 24).
265
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Algebra - secondo anno
Le soluzioni dell’equazione –x2 + 4x – 3 = 0 (1 e 3) dividono l’insieme R in tre parti; questa volta le soluzioni della
disequazione –x2 + 4x – 3 > 0 sono “interne” all’intervallo che ha come estremi 1 e 3.
In questo caso, le soluzioni della disequazione –x2 + 4x – 3 > 0 sono date dai valori interni all’intervallo delle soluzioni
dell’equazione associata.
Consideriamo, adesso, punti della parabola che appartengono agli archi situati “al di sotto” dell’asse x (ordinata negativa)
e confrontiamo le loro ascisse con quelle dei punti A e B.
In fig. 25, i punti in viola sull’asse delle x indicano le ascisse dei punti (in azzurro) della parabola che hanno ordinata negativa.
Osserviamo che:
le ascisse dei punti di ordinata negativa sono minori dell’ascissa di …….. e sono maggiori dell’ascissa di ……… .
Possiamo, perciò, dire che la relazione –x2 + 4x – 3 < 0 è verificata da tutti i numeri reali “al di fuori” dell’intervallo che ha
come estremi i numeri 1 e 3.
Pertanto, l’insieme soluzione della disequazione –x2 + 4x – 3 < 0 è
.
Rappresentiamo graficamente questo insieme (fig. 26).
Le soluzioni della disequazione –x2 + 4x – 3 < 0, allora, sono date da tutti i numeri reali “esterni” all’intervallo che ha come
estremi 1 e 3, soluzioni dell’equazione –x2 + 4x – 3 = 0.
Quindi, le soluzioni della disequazione –x2 + 4x – 3 < 0 sono date dai valori esterni all’intervallo delle soluzioni
dell’equazione associata.
Proviamo, adesso, a generalizzare.
Una equazione di secondo grado in una variabile, ridotta a forma normale, è sempre del tipo:
Dagli esempi precedenti deduciamo che le soluzioni di una disequazione di secondo grado dipendono della posizione della
parabola y = ax2 + bx + c nel piano cartesiano.
Riprendiamo in esame le figure di pag. 261 e determiniamo, nei diversi casi, le soluzioni delle disequazioni ax2 + bx + c >0
e ax2 + bx + c < 0.
Indicate con x1 e x2, (x1 ≤ x2) le soluzioni, se esistono, dell’equazione ax2 + bx + c = 0, si ha:
266
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17. Le disequazioni di secondo grado
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Algebra - secondo anno
Osservazione
Per risolvere una disequazione di secondo grado è necessario conoscere la posizione della parabola nel piano cartesiano;
quindi, la sua concavità e, se esistono, le ascisse dei punti intersezione con l’asse x; non è, invece, necessario disegnare
in maniera precisa la parabola.
È necessario, quindi, conoscere il segno di a e stabilire se il discriminante dell’equazione associata è positivo, negativo o
nullo.
PROVA TU
Risolvi, come nell’esempio precedente, le seguenti disequazioni:
Un’attenta analisi dei risultati ottenuti, ci consente di risolvere una disequazione di secondo grado senza osservare il grafico
della parabola.
Premettiamo alcuni “modi di dire”:
in una disequazione, si dice che a e verso sono concordi se:
a > 0 e la disequazione è ax2 + bx + c > 0
a < 0 e la disequazione è ax2 + bx + c < 0
in una disequazione, si dice che a e verso sono discordi se:
a > 0 e la disequazione è ax2 + bx + c < 0;
a < 0 e la disequazione è ax2 + bx + c > 0.
Inoltre indicheremo:
v. e. = valori esterni all’intervallo delle soluzioni dell’equazione associata alla disequazione;
v. i. = valori interni all’intervallo delle soluzioni dell’equazione associata alla disequazione.
La seguente tabella è una sintesi dei risultati ottenuti:
268
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17. Le disequazioni di secondo grado
Osservazione
Se la disequazione è del tipo ax2 + bx + c ≥ 0 oppure ax2 + bx + c ≤ 0 anche le soluzioni dell’equazione associata (alla
disequazione) verificano la disequazione.
Si ha, quindi, la seguente tabella:
269
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Algebra - secondo anno
Sintetizziamo il procedimento che consente di risolvere una disequazione di secondo grado:
a) si scrive l’equazione associata;
b) si calcola il suo discriminante e si stabilisce se è positivo, negativo o nullo;
c) se il discriminante è non nullo si determinano le soluzioni dell’equazione associata;
d) si confrontano a e verso della disequazione;
e) si scrive la soluzione della disequazione come descritto nelle tabelle sopra riportate.
Esempi
Risolviamo le seguenti disequazioni applicando il procedimento appena descritto:
270
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17. Le disequazioni di secondo grado
Osservazione
Se la disequazione da risolvere non si presenta in forma normale, prima di applicare lo schema esposto in precedenza, è
necessario ridurla a forma normale applicando i principi di equivalenza.
PROVA TU
Risolvi le seguenti disequazioni come negli esempi precedenti:
271
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Algebra - secondo anno
17.5 SISTEMI DI DISEQUAZIONI
Ricordiamo le definizioni legate al concetto di sistema date all’inizio del capitolo 12.
■ Si chiama sistema un insieme di proposizioni aperte che devono essere vere contemporaneamente.
■ Una soluzione di un sistema è un insieme di elementi che rendono vere contemporaneamente tutte le
proposizioni del sistema.
■ Si chiama insieme soluzione di un sistema l’insieme formato da tutte le sue soluzioni.
■ Risolvere un sistema vuol dire determinare tutte le sue soluzioni.
Si chiama, allora, sistema di disequazioni un sistema nel quale le proposizioni aperte sono disequazioni.
Da un punto di vista logico, un sistema di disequazioni è una proposizione molecolare nella quale le proposizioni aperte
sono legate dall’operazione logica di congiunzione ed il predicato delle proposizioni aperte è “essere maggiore” oppure
“essere minore” oppure “essere maggiore o uguale” oppure “essere minore o uguale”.
Ad esempio, sono sistemi di disequazioni (in una variabile) i seguenti sistemi:
In questo paragrafo imparerai a determinare l’insieme soluzione di sistemi di disequazioni in una variabile.
Ricordiamo che esiste una corrispondenza fra operazioni logiche e operazioni fra insiemi: in particolare, all’operazione di
congiunzione logica corrisponde l’operazione di intersezione fra insiemi.
Vediamo, ora, con alcuni esempi, come si procede per determinare l’insieme soluzione di un sistema di disequazioni.
272
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17. Le disequazioni di secondo grado
273
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Algebra - secondo anno
Per determinare, quindi, l’insieme soluzione di un sistema di disequazioni si procede in questo modo:
• si determina l’insieme soluzione di ciascuna disequazione del sistema;
• si determina l’insieme intersezione degli insiemi precedentemente trovati.
Tale insieme è l’insieme soluzione del sistema.
PROVA TU
Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni:
274
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17. Le disequazioni di secondo grado
ESERCIZI CAPITOLO 17
DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Conoscenza e comprensione
1) Completa le proposizioni inserendo, in maniera opportuna, al posto dei puntini i termini di seguito elencati:
ordinata;
simmetrica;
equidistanti;
il basso;
l’origine degli assi;
parabola;
l’alto;
;
massima;
vertice.
a) la rappresentazione grafica della funzione
, con
, è una ………………… ; se
la sua
concavità è rivolta verso …………………..; se
la sua concavità è rivolta verso ………………… .
b) Se
, il punto della parabola di ordinata minima si chiama ……………. ; se
, il punto della parabola di
ordinata ………………… è il suo vertice.
c) La parabola di equazione
ha per vertice ……………………………………………… ed è …………………
….……… rispetto all’asse delle ordinate perché punti con la stessa …………………………….. sono ………………
……………………… da esso.
2) Le seguenti proposizioni si riferiscono alla funzione
. Una sola di esse è falsa; quale?
a) è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate;
b) la sua concavità è rivolta verso l’alto;
c) non ha intersezione con l’asse delle ascisse;
d) è immagine della funzione
in una traslazione;
e) il suo vertice è un punto dell’asse delle ordinate.
3) Vero o falso?
a) Il codominio della funzione
b) Se
c) Se
, la funzione
, la funzione
d) Se
la parabola
con l’asse delle ascisse.
e) Se
, la parabola
è
.
è situata nel I e II quadrante.
è situata nel III e IV quadrante.
ha sempre due intersezioni distinte
non ha intersezioni con l’asse delle ascisse.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
4) Quale, fra le seguenti parabole, è immagine della parabola
nella traslazione di vettore
parallelo all’asse y, avente verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse y e tale che
5) La parabola
è immagine della parabola
Una sola delle seguenti affermazioni è corretta; quale?
in una traslazione di vettore
?
.
a)
è parallelo all’asse delle ordinate;
b)
è parallelo all’asse delle ascisse;
c)
è parallelo all’asse delle ordinate ed ha verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse y;
275
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Algebra - secondo anno
d)
è parallelo all’asse delle ordinate ed ha verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse y;
6) La rappresentazione grafica di una sola delle seguenti funzioni non è una parabola; quale?
7) Della parabola di equazione
si può dire che:
a) L’asse di simmetria ha equazione
V
F
b) Può essere tangente all’asse delle ascisse
V
F
c) Interseca l’asse delle ordinate nel punto
V
F
d) Ha sempre due intersezioni distinte con l’asse delle ascisse
V
F
e) Se
V
F
V
F
, il suo vertice è un punto del I o IV quadrante
f) L’ascissa del suo vertice è
8) Se
, il codominio della funzione
è:
9) A ciascuna delle seguenti equazioni associa la relativa rappresentazione grafica.
10) Quale, fra le seguenti parabole, è la “più larga”? E quale è la “più stretta”?
11) Osserva la parabola di equazione
rappresentata in figura e completa:
a) L’ascissa del vertice della parabola è …………………………… di 0.
b) L’ordinata del vertice della parabola è …………………………. di 0.
c) Il coefficiente a è …………………………….. di 0.
d) Il coefficiente b è …………………………… di 0.
e) Il coefficiente c è ……………………………. di 0.
f) Il discriminante dell’equazione
è
………………………….. di 0.
g) L’insieme soluzione dell’equazione
è
S = …………………….. .
h) Le ascisse dei punti di ordinata negativa appartengono a
…………………….… .
i) Le ascisse dei punti di ordinata positiva appartengono a
………………………… .
276
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17. Le disequazioni di secondo grado
12) Osserva la parabola di equazione
rappresentata in figura e completa:
a) L’ascissa del vertice della parabola è …………………………… di 0.
b) L’ordinata del vertice della parabola è …………………………. di 0.
c) Il coefficiente a è …………………………….. di 0.
d) Il coefficiente b è …………………………… di 0.
e) Il coefficiente c è ……………………………. di 0.
f) Il discriminante dell’equazione
è
………………………….. di 0.
g) L’insieme soluzione dell’equazione
è
S = …………………….. .
h) Le ascisse dei punti di ordinata negativa appartengono a
…………………….… .
i) Le ascisse dei punti di ordinata positiva appartengono a
………………………… .
13) Sia
e Δ il discriminate dell’equazione
Le seguenti affermazioni sono vere o false?
.
a)
tutti i punti della parabola sono situati nel I o II quadrante.
V
F
b)
la parabola interseca l’asse delle ascisse in due punti distinti
V
F
c)
esiste almeno un punto della parabola che non appartiene né al
III né al IV quadrante.
V
F
d)
la parabola interseca l’asse y in un punto di ordinata negativa.
V
F
e)
la parabola ha un solo punto intersezione con l’asse x.
V
F
V
F
f)
la parabola interseca l’asse y in un punto di ordinata positiva.
14) Nella disequazione
, come devono essere il coefficiente a e Δ (discriminante dell’equazione ad essa
associata) affinchè l’insieme soluzione sia S = ∅?
15) Nella disequazione
, come devono essere il coefficiente a e Δ (discriminante dell’equazione ad essa
associata) affinchè l’insieme soluzione sia S =
16) Nella disequazione
?
, come devono essere il coefficiente a e Δ (discriminante dell’equazione ad essa
associata) affinchè l’insieme soluzione sia S =
?
17) Nella disequazione
, come devono essere il coefficiente a e Δ (discriminante dell’equazione ad essa
associata) affinchè l’insieme soluzione sia S = ∅ ?
18) Data la disequazione
proposizione è corretta?
, sia Δ il discriminante dell’equazione ad essa associata; quale delle seguenti
a) La disequazione ammette sempre almeno una soluzione.
b) Se
, la disequazione non ha soluzioni.
c) Se
, la disequazione è sempre verificata.
d) Se
, la disequazione non ha soluzioni.
e) Se
, l’insieme soluzione della disequazione è l’unione di due intervalli.
19) Data la disequazione
proposizione è falsa?
, sia Δ il discriminante dell’equazione ad essa associata; quale delle seguenti
a) La disequazione può essere verificata per qualunque valore della variabile.
b) Se
, la disequazione non ha soluzioni.
c) Se
, la disequazione ha almeno due soluzioni.
277
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Algebra - secondo anno
d) Se
e) Se
, l’insieme soluzione della disequazione è l’unione di due intervalli.
, la disequazione ha, al minimo, una soluzione.
20) Vero o falso?.
Le seguenti affermazioni sono vere o false?
a) La disequazione
ha soluzioni solo se
.
b) Se
, la disequazione
ha una sola soluzione.
c) Tutte le soluzioni della disequazione
sono positive.
d) Se
, R è l’insieme soluzione della disequazione
e) Se
f)
g) Se
, la disequazione
.
non ha soluzioni.
soltanto se
, la disequazione
ha almeno una soluzione.
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
F
ESERCIZI
Rappresenta nel piano cartesiano le seguenti funzioni e determinane il codominio:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Dopo averne determinato l’equazione, rappresenta le parabole che si ottengono da quella di equazione
in una traslazione di vettore parallelo all’asse delle ordinate:
7)
8)
9)
10)
11)
Dopo averne determinato l’equazione, rappresenta le parabole che si ottengono da quella di equazione
in una traslazione di vettore parallelo all’asse delle ordinate:
12)
13)
14)
15)
278
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17. Le disequazioni di secondo grado
16)
17)
279
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Algebra - secondo anno
Determina l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate, che ha vertice nel punto
V e passa per il punto A aventi coordinate:
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
280
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Book in
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17. Le disequazioni di secondo grado
Determina l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate, passante per i punti A,
B e C aventi coordinate:
29)
30)
31)
32)
33)
Dopo averle rappresentate, stabilisci per quali valori di x i punti delle seguenti parabole hanno:
a) ordinata nulla;
b) ordinata positiva;
c) ordinata negativa.
34)
35)
36)
37)
38)
Risolvi graficamente le seguenti disequazioni:
39)
40)
41)
42)
43)
Risolvi algebricamente le seguenti disequazioni:
44)
45)
46)
47)
48)
281
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Algebra - secondo anno
49)
50)
51)
52)
53)
54)
55)
56)
57)
58)
59)
60)
61)
62)
63)
64)
65)
66)
67)
68)
69)
70)
71)
282
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Book in
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17. Le disequazioni di secondo grado
Risolvi le seguenti disequazioni:
72)
73)
74)
75)
283
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Algebra - secondo anno
76)
77)
78)
79)
80)
81)
82)
83)
84)
85)
86)
87)
88)
89)
90)
91)
92)
93)
94)
95)
96)
97)
98)
99)
100)
284
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Book in
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17. Le disequazioni di secondo grado
101)
102)
103)
104)
105)
106)
107)
108)
109)
110)
111)
112)
113)
114)
115)
116)
117)
118)
119)
120)
121)
122)
123)
285
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Algebra - secondo anno
124)
Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni:
125)
126)
127)
128)
129)
130)
131)
132)
133)
134)
135)
136)
137)
286
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Book in
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17. Le disequazioni di secondo grado
138)
139)
140)
141)
142)
143)
144)
145)
146)
147)
148)
149)
287
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Algebra - secondo anno
150)
151)
152)
153)
154)
288
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18. Sistemi di equazione di grado superiore al primo
CAPITOLO 18. SISTEMI DI EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL PRIMO
18.1 I SISTEMI DI SECONDO GRADO
Sicuramente ricorderai che il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gradi delle equazioni che formano il sistema.
Se un sistema è di secondo grado, allora, delle equazioni che lo compongono una sola deve essere di secondo grado e
tutte le altre devono essere di primo grado.
Ad esempio, sono di secondo grado i seguenti sistemi:
In generale, l’insieme soluzione di un sistema di secondo grado si determina utilizzando il metodo di sostituzione.
A tal proposito, osserva i seguenti esempi:
289
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Algebra - secondo anno
290
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18. Sistemi di equazione di grado superiore al primo
Nel capitolo 11, abbiamo visto che, da un punto di vista grafico, la soluzione di un sistema lineare rappresenta le coordinate
del punto intersezione di due rette.
Quale interpretazione grafica possiamo dare ad un sistema di secondo grado?
Consideriamo, ancora, il sistema dell’esempio 1:
Tale sistema è equivalente a
Ricordando quanto detto nei capitoli precedenti, osserviamo che l’equazione (a) è quella di una retta e l’equazione (b) è
quella di una parabola.
Una soluzione del sistema, quindi, rappresenta le coordinate di uno dei punti
intersezione della retta con la parabola come mostrato nella figura a lato.
In questo caso, retta e parabola hanno due punti in comune (A, B): il sistema
ha due soluzioni la retta è secante la parabola.
Consideriamo il sistema
e rappresentiamo graficamente le equazioni che lo compongono:
l’equazione (a) ha come rappresentazione grafica una retta, la rappresentazione
grafica dell’equazione (b) è una parabola.
In questo caso retta e parabola hanno una sola intersezione: il sistema ha una
sola soluzione [il punto A(1, 0)] e la retta si dice tangente alla parabola.
Infine, rappresentiamo graficamente le equazioni che compongono il sistema dell’esempio 3:
La rappresentazione grafica dell’equazione (a) è una retta, mentre la
rappresentazione grafica dell’equazione (b), come puoi osservare nella figura a
lato, è una circonferenza.
In questo caso, retta e circonferenza non hanno alcun punto in comune: il
sistema non ha soluzioni e la retta si dice esterna alla circonferenza.
Come hai, sicuramente, notato osservando gli esempi precedenti, un sistema
di secondo grado con due equazioni e due variabili, può avere una sola
soluzione, due soluzioni oppure nessuna soluzione.
Nell’interpretazione grafica, questo vuol dire che una retta può avere un solo punto intersezione , due punti intersezione
oppure nessun punto intersezione con la curva reale (espressa dall’equazione di secondo grado).
Riassumiamo in una tabella quanto osservato negli esempi precedenti.
291
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Algebra - secondo anno
PROVA TU
a) Risolvi il seguente sistema:
b) Stabilisci se la retta di equazione y = 7x − 4 è secante, tangente oppure esterna alla parabola di equazione
18.2 PARTICOLARI SISTEMI DI GRADO SUPERIORE AL PRIMO: SISTEMI SIMMETRICI
Osserva i seguenti sistemi:
Essi, oltre ad essere di grado superiore al primo, hanno un’altra caratteristica in comune: se, in ciascuna equazione del
sistema, scambiamo tra loro le variabili, le equazioni e, quindi anche i sistemi, non cambiano.
Sistemi di questo tipo sono chiamati sistemi simmetrici.
• Risolviamo il sistema a):
Il sistema, essendo di secondo grado, potrebbe essere risolto con il metodo di sostituzione come visto nel paragrafo
precedente.
Tuttavia, se riflettiamo sulle equazioni del sistema, ci accorgiamo che può essere risolto in un modo, forse, più semplice.
Il sistema dato è equivalente al seguente problema: “Determina due numeri reali conoscendo la loro somma ed il loro
prodotto”.
Abbiamo già imparato a risolvere problemi di questo tipo: è sufficiente trovare le soluzioni dell’equazione i secondo grado
, dove s indica la somma di due numeri e p il loro prodotto. L’equazione
prende il nome di
equazione risolvente (o equazione caratteristica) del sistema.
Poiché nel sistema assegnato la somma dei due numeri è 2 ed il loro prodotto è −8, si ottiene:
Una soluzione del sistema è la coppia (−2,4), l’altra soluzione è data dalla coppia che si ottiene scambiando fra di loro i due
numeri della coppia.
Soluzione del sistema è, quindi, l’insieme S = {(−2,4),(4,−2)}
• Risolviamo il sistema b):
Osserviamo che
sistema, si ottiene:
292
(formula di Waring); sostituendo questa espressione nella prima equazione del
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Book in
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18. Sistemi di equazione di grado superiore al primo
Come puoi notare, dopo opportune sostituzioni, per risolvere il sistema assegnato, ci siamo ricondotti a sistemi del tipo a).
e con S2 l’insieme soluzione del sistema
,
Indicato con S1 l’insieme soluzione del sistema
l’insieme soluzione di
Verifica che S = {(−2,−3),(−3,−2),(2,3),(3,2)}.
• Risolviamo il sistema c):
Consideriamo l’uguaglianza
; sostituendo in entrambe le equazioni del sistema, si ottiene:
Operiamo una sostituzione di variabili
Il sistema precedente diventa:
che risolto con il metodo di sostituzione,
ha come soluzioni
Operando la sostituzione inversa, il sistema c) è equivalente a:
Pertanto, l’insieme soluzione del sistema c) è l’unione degli insiemi soluzioni dei due sistemi precedenti.
Determina tu l’insieme soluzione del sistema c).
Osserva che, ancora una volta, la soluzione del sistema simmetrico è ricondotta alla soluzione di sistemi del tipo a).
In generale, un sistema simmetrico è sempre riconducibile alla forma
sistema simmetrico fondamentale.
per questo motivo, esso è chiamato
Esempi.
• Risolviamo il sistema
Osserviamo che
(formula di Waring); sostituendo si ottiene:
Ci siamo, così, ricondotti al sistema simmetrico fondamentale.
Verifica che S = {(1,2);{2,1}}è l’insieme soluzione del sistema assegnato.
• Risolviamo il sistema
Ricordando che
si ottiene:
Ci siamo, ancora una volta, ricondotti al sistema simmetrico fondamentale. Verifica che S = {(−1,−5);(−5,−1);(1,5);(5,1)} è
l’insieme soluzione del sistema assegnato.
293
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Algebra - secondo anno
OSSERVAZIONI
Osservando l’insieme soluzione dei sistemi simmetrici risolti in precedenza, notiamo che se una soluzione del sistema è
la coppia ordinata (α,β), allora anche la coppia ordinata (β,α)ne è soluzione.
Il sistema
simmetrico.
non è simmetrico, ma con un semplice accorgimento può essere trasformato in un sistema
Infatti:
Verifica S = {(7,3),(−3,−7)} è l’insieme soluzione del sistema.
PROVA TU
Risolvi i seguenti sistemi:
18.3 INTERPRETAZIONE GRAFICA DI ALCUNI SISTEMI SIMMETRICI
Abbiamo già visto che, da un punto di vista grafico, l’insieme soluzione di un sistema di equazioni rappresenta le coordinate
dei punti intersezione delle rappresentazioni grafiche delle equazioni del sistema.
Prima di dare l’interpretazione grafica di alcuni sistemi simmetrici, è necessario stabilire quale sia la rappresentazione grafica
delle equazioni presenti in un sistema simmetrico.
La rappresentazione grafica dell’equazione x + y = s , come ben sai, è una retta avente coefficiente angolare m = −1
che interseca l’asse delle ordinate nel punto di coordinate (0, s).
La rappresentazione grafica dell’equazione xy = p (con p ≠ 0) è un’iperbole equilatera il cui grafico, riportato nelle
seguenti figure, probabilmente, ti è già familiare.
̈ Se p > 0, l’iperbole è situata nel I e III quadrante; se p < 0, l’iperbole è situata nel II e IV quadrante.
Se p = 0 la rappresentazione grafica dell’equazione xy = 0 non è quella di un’iperbole equilatera, ma è data dalla
coppia degli assi cartesiani ( x = 0, y = 0).
La rappresentazione grafica dell’equazione x2 + y2 = a (con a > 0 ) è una circonferenza (figura seguente) con centro
nell’origine degli assi e raggio di misura
Se a < 0, l’equazione x2 + y2 = a non ha soluzioni e, quindi, non rappresenta una circonferenza; pertanto il sistema
risulta impossibile.
294
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18. Sistemi di equazione di grado superiore al primo
Se a = 0 , l’equazione x2 + y2 = a diventa x2 + y2 = 0 che ammette come unica soluzione la coppia (0,0); la sua
rappresentazione grafica è, quindi, un solo punto di coordinate (0,0) (l’origine degli assi). In tal caso, si dice che la
circonferenza degenera in un punto.
Consideriamo il sistema simmetrico fondamentale
Risolvere il sistema significa trovare, se esistono, i punti di intersezione tra retta e iperbole.
Poichè l’equazione risolvente del sistema è un’equazione di secondo grado, indicato con la lettera Δ il suo discriminante,
si possono presentare tre casi:
• Δ > 0 : l’equazione ha due soluzioni distinte; pertanto, la retta incontra l’iperbole in due punti distinti, le cui coordinate
rappresentano le due soluzioni del sistema.
• Δ = 0 : l’equazione ha una sola soluzione (o, come, talvolta si dice, due soluzioni coincidenti); pertanto la retta incontra
l’iperbole in un solo punto (o due coincidenti). La retta, dunque, è tangente all’iperbole in un punto, le cui coordinate
costituiscono la soluzione del sistema.
• Δ < 0 : l’equazione non ha soluzioni; pertanto la retta non interseca l’iperbole in alcun punto ed il sistema risulta
impossibile.
Esempio
Risolviamo graficamente il sistema
In figura sono state riportate le rappresentazioni grafiche della retta e dell’iperbole (la
rappresentazione grafica dell’iperbole è stata ottenuta per punti).
I punti intersezione fra retta e iperbole hanno coordinate (−2,5)e (5,−2); l’insieme
soluzione del sistema, quindi, è S ={(−2,5);(5,−2)}.
Le soluzioni dell’equazione risolvente il sistema sono …………….. (Completa).
Consideriamo il sistema simmetrico
295
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Algebra - secondo anno
Risolvere il sistema significa trovare, se esistono, i punti di intersezione tra retta e circonferenza.
Si possono verificare i seguenti casi:
• la retta è secante la circonferenza e, pertanto, la incontra in due punti distinti; il sistema, quindi, ha due
soluzioni distinte;
• la retta è tangente alla circonferenza in un punto; il sistema quindi, ha una sola soluzione (o due coincidenti).
• la retta è esterna alla circonferenza e, pertanto, non ha punti in comune con la circonferenza; il sistema è impossibile.
Osservazione
Se a = 0, la circonferenza degenera in un punto (l’origine degli assi); il sistema avrà soluzione solo se anche la retta passa
per l’origine degli assi (b = …..). In tal caso la retta è la bisettrice del ….. e …… quadrante.
Esempio
Risolviamo graficamente il sistema
In figura sono state riportate le rappresentazioni grafiche della retta e della
circonferenza.
I punti intersezione fra retta e circonferenza hanno coordinate (−2,1) e (1,−2); l’insieme
soluzione del sistema, quindi, è S ={(−2,1);(1,−2)}.
Consideriamo il sistema simmetrico
Risolvere il sistema significa trovare, se esistono, i punti di intersezione tra circonferenza e iperbole.
Anche in questo caso le coordinate degli eventuali punti di intersezione tra le due curve, (al massimo quattro), rappresentano
le soluzioni del sistema.
18.4 PARTICOLARI SISTEMI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO: SISTEMI OMOGENEI
Osserva i seguenti sistemi ed, in particolare, le equazioni che sono contenute in essi:
Completa:
I sistemi sono ridotti a …………… normale.
In ogni sistema, i termini dei polinomi al primo membro hanno lo …………. grado; i polinomi sono, dunque, ………………
… . In questi esempi sono polinomi di ………………… grado.
Sistemi di questo tipo si chiamano sistemi omogenei.
Possiamo dare, dunque, la seguente definizione:
Un sistema si dice omogeneo se, ridotto a forma normale, i termini dei polinomi al primo membro di ciascuna
equazione hanno lo stesso grado.
296
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18. Sistemi di equazione di grado superiore al primo
In questo paragrafo imparerai a determinare le soluzioni di un sistema omogeneo di quarto grado .
• Risolviamo il sistema a)
Prima di tutto osserviamo che la coppia (0,0) non è soluzione del sistema e, operando la sostituzione di x = ty (oppure
y = tx), otteniamo:
Poiché y = 0 non è soluzione del sistema, possiamo dividere membro a membro le due equazioni del sistema, ottenendo
un’equazione di secondo grado nella variabile t :
Il sistema a), allora, è equivalente a
Risolvi questi ultimi due sistemi e verifica che S = {(2,1),(−2,−1)}è l’insieme soluzione del sistema a).
• Risolviamo il sistema b)
Anche in questo caso, la coppia (0,0) non è soluzione del sistema.
Operando nuovamente la sostituzione x = ty (oppure y = tx) la prima equazione del sistema diventa:
(poiché y ≠ 0, per la legge di annullamento del prodotto) Come nell’esempio precedente, il sistema b) è equivalente a
Risolvi questi ultimi due sistemi e verifica che
è l’insieme soluzione del sistema b).
• Risolviamo il sistema c)
In questo caso, la coppia (0,0) è sicuramente una soluzione del sistema.
Per determinare le altre soluzioni, si procede come negli esempi precedenti: operando la sostituzione x = ty
(oppure y = tx) in entrambe le equazioni del sistema, si ottiene:
L’insieme soluzione dell’equazione
è S1 =
l’insieme soluzione dell’equazione
è
S2 =
Le due equazioni hanno in comune la soluzione
Sostituendo il valore di t così determinato nella relazione x = ty , si ottiene
Le soluzioni del sistema c) sono, allora, tutte le coppie di numeri reali (x, y) tali che
In simboli, l’insieme soluzione del sistema è S =
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Algebra - secondo anno
E’ banale osservare che, in tale insieme, è inclusa la soluzione (0,0).
In generale, nella risoluzione dei sistemi omogenei dello stesso tipo del sistema c), indicati con S1 e S2 gli insiemi soluzione
delle equazioni di secondo grado, si possono presentare le seguenti situazioni:
PROVA TU
Quali, fra i seguenti sistemi non lineari, sono omogenei?
Risolvi i seguenti sistemi omogenei:
18.5 SISTEMI CHE SI RISOLVONO CON ARTIFICI
Talvolta, alcuni sistemi possono essere trasformati in sistemi che siamo in grado di risolvere usando dei piccoli accorgimenti:
operando particolari sostituzioni di variabili, sommando e/o sottraendo fra di loro le equazioni del sistema; dividendo e/o
moltiplicando fra di loro le equazioni del sistema; applicando sostituzioni di variabili.
In applicazioni matematiche, capita spesso di dover risolvere sistemi simili a quelli degli esempi seguenti.
Esempio 1
Determiniamo la soluzione del sistema
Come si può facilmente vedere, questo sistema non è simmetrico; tuttavia, con un piccolo accorgimento, è possibile
trasformarlo in un sistema simmetrico.
Operiamo la sostituzione: x = u e 2y = v;
otteniamo, così, il sistema
che è simmetrico.
Le sue soluzioni sono:
Operando la sostituzione inversa, si determinano le soluzioni del sistema dato:
Esempio 2
Determiniamo la soluzione del sistema
Sommando membro a membro le due equazioni, otteniamo:
Il sistema
è, quindi, equivalente a
Questi ultimi sistemi possono essere risolti con il metodo di sostituzione (Prova tu).
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18. Sistemi di equazione di grado superiore al primo
Esempio 3
Determiniamo la soluzione del sistema
Operiamo la sostituzione:
il sistema
si trasforma in un sistema lineare:
che ha come soluzione
Operando la sostituzione inversa, si ottiene:
L’insieme soluzione del sistema
è, dunque, S =
Esempio 4
Determiniamo la soluzione del sistema
Questo sistema è irrazionale, perché una delle due equazioni è irrazionale. Prima di procedere alla sua risoluzione è
necessario determinarne il dominio:
Ancora una volta, operiamo le seguenti sostituzioni:
otteniamo:
L’ultimo sistema ottenuto è un sistema simmetrico.
Risolvi il sistema simmetrico ottenuto e verifica che l’insieme soluzione del sistema
è S ={(1,4);(4,1)}
Esempio 5
Determiniamo la soluzione del sistema
Le equazioni del sistema possono essere riscritte nella forma
Applichiamo le seguenti sostituzioni:
il sistema si trasforma in un sistema lineare:
Completa la risoluzione del sistema e verifica che l’insieme S = {(−2,−3),(−2,3),(2,−3),(2,3)}
è l’insieme soluzione del sistema
299
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Algebra - secondo anno
Esempio 6
Determiniamo la soluzione del sistema
Il sistema dato può essere ridotto ad un sistema di secondo grado:
sottraendo la seconda equazione dalla prima, si ottiene un’equazione di primo grado ;
costruiamo un sistema formato dall’equazione di primo grado e da una delle due equazioni di secondo grado;
Seguendo il procedimento indicato, si ottiene:
Risolvi il sistema così ottenuto e verifica che
è l’insieme soluzione
del sistema
PROVA TU
Seguendo le indicazioni date negli esempi precedenti, risolvi i seguenti sistemi:
300
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18. Sistemi di equazione di grado superiore al primo
ESERCIZI CAPITOLO 18
SISTEMI DI EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL PRIMO
Risolvi i seguenti sistemi simmetrici di secondo grado:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
301
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Algebra - secondo anno
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
302
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18. Sistemi di equazione di grado superiore al primo
Risolvi i seguenti sistemi simmetrici di grado superiore al secondo :
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
303
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Algebra - secondo anno
45)
46)
47)
48)
49)
50)
51)
52)
Determina le soluzioni dei seguenti sistemi simmetrici per via algebrica e, successivamente, effettuane la verifica grafica.
53)
54)
55)
56)
57)
58)
59)
60)
304
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18. Sistemi di equazione di grado superiore al primo
61)
62)
63)
64)
65)
66)
67)
68)
69)
Risolvi i seguenti sistemi omogenei:
70)
71)
72)
73)
74)
75)
76)
77)
305
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Algebra - secondo anno
78)
79)
Risolvi i seguenti sistemi scegliendo la strategia più adeguata e ricorrendo, eventualmente, a qualche artificio :
80)
81)
82)
83)
84)
85)
86)
87)
88)
89)
90)
91)
92)
93)
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18. Sistemi di equazione di grado superiore al primo
94)
95)
96)
97)
98)
99)
Problemi
100) In un numero naturale di 2 cifre , il prodotto delle cifre è 28 e la somma dei loro quadrati è 65. Determina tale numero.
[ 47,74]
101) Determina due frazioni, sapendo che il loro prodotto è 2 e che la somma dei loro reciproci è
102) La somma di due numeri è 7, mentre la somma dei loro quadrati supera di 1 il loro doppio prodotto.
Determina i due numeri.
[3,4]
103) Determina due numeri interi tali che il loro prodotto è 75 e la somma dei loro quadrati è 250.
[(5,15);(−5,−15)]
[−2,5]
104) Determina due numeri tali che la loro somma è 3 e la somma dei loro cubi è 117.
105) In un rettangolo il perimetro è 24 cm e l’area è 35cm2. Determina la misura delle dimensioni.
106) Un triangolo rettangolo ha il perimetro di 90 cm e l’ipotenusa misura 41 cm.
Determina la misura dei due cateti.
[9 cm,40 cm]
107) Calcola il perimetro di un rombo, sapendo che l’area misura 84 cm2 e la somma delle due diagonali
misura 31cm.
108) In un rettangolo l’area è 240 cm2 e la diagonale misura 26 cm. Determina il perimetro del rettangolo.
109) In un triangolo rettangolo la somma dei cateti è 46 cm e l’ipotenusa misura 34 cm.
Determina la misura dei cateti e l’area.
110) Calcola la misura delle diagonali di un rombo in cui il perimetro misura
[5 cm,7 cm]
[16 cm,30 cm, 240 cm2]
cm e l’area è 16 cm2.
111) Un rettangolo, avente il perimetro di 56 cm, è inscritto in un cerchio di raggio 10 cm.
Determina l’area del rettangolo.
112) In un triangolo isoscele ciascuno dei lati obliqui misura 17 cm, mentre l’area è 120 cm2.
Determina la misura del perimetro.
[50 cm]
[68 cm]
[8 cm,4 cm]
[192 cm2]
[50 cm,64 cm]
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Algebra - secondo anno
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19. Le equazioni irrazionali
CAPITOLO 19. LE EQUAZIONI IRRAZIONALI
19.1 EQUAZIONI IRRAZIONALI
Nei capitoli precedenti abbiamo imparato a risolvere vari tipi di equazioni razionali: intere, fratte, di primo e secondo grado,
altre di grado superiore al secondo. Quindi, sono, sicuramente, familiari le seguenti espressioni:
• incognita
• identità
• equazione
• soluzione di un’equazione
• equazioni equivalenti
• risolvere un’equazione
In particolare, risolvere un’equazione significa trasformarla, applicando i principi di equivalenza, in equazioni, ad essa
equivalenti, più semplici fino ad ottenere equazioni elementari.
Certamente ricorderai i principi di equivalenza delle equazioni; ne enunciamo, adesso, un altro:
III Principio di equivalenza
Elevando entrambi i membri di una equazione ad uno stesso esponente dispari otteniamo un’equazione equivalente
a quella data.
Elevando entrambi i membri di un’equazione ad uno stesso esponente pari otteniamo un’equazione equivalente a
quella data solo se i due membri dell’equazione hanno lo stesso segno.
Esempio
Risolviamo l’equazione x − 2 = −3 .
x − 2 = −3 ⇒ (applicando il I principio di equivalenza) ⇒ x = −1 ⇒ S = {−1}.
Eleviamo al quadrato ambo i membri dell’equazione e determiniamo le soluzioni dell’equazione ottenuta:
(x − 2)2 = 9 ⇒ x2 − 4x − 5 = 0 ⇒ x1 = −1, x2 = 5 ⇒ S = {−1,5}
Come possiamo notare, gli insiemi soluzioni delle due equazioni sono diversi e, quindi, le due equazioni non sono equivalenti.
Adesso, oltre ad elevare al quadrato ambo i membri dell’equazione, imponiamo anche la condizione che il primo e secondo
membro dell’equazione abbiano lo stesso segno ( x − 2 < 0 ) ottenendo, così,
il seguente sistema:
Risolviamo il sistema:
Osserviamo che l’insieme soluzione dell’equazione x − 2 = −3 è uguale all’insieme soluzione del sistema
In definitiva, l’equazione x − 2 = −3 è equivalente al sistema
Definizione
Un’equazione si dice irrazionale se almeno una delle sue variabili compare almeno una volta sotto il simbolo di radice.
Ad esempio, le equazioni
sono equazioni irrazionali.
Le equazioni
non sono equazioni irrazionali.
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Algebra - secondo anno
PROVA TU
Quali, delle seguenti equazioni, sono irrazionali?
(rispetto alla variabile z. E se la variabile fosse w?)
Osservando gli esempi precedenti, saremmo portati a dire che risolvere un’equazione irrazionale, fors3, non è del tutto
agevole. Tuttavia, con semplici considerazioni e molta attenzione, impareremo a risolvere alcuni tipi di equazioni irrazionali.
Stabiliamo, prima di tutto, i casi che si possono presentare:
equazioni irrazionali che contengono un solo radicale;
equazioni irrazionali che contengono solo due radicali;
equazioni irrazionali che contengono “non solo” due radicali.
In generale, per risolvere le equazioni irrazionali si applicano gli opportuni principi di equivalenza trasformando l’equazione
data in equazioni sempre più semplici fino ad ottenere un’equazione elementare.
Ricordiamo, inoltre, che se l’indice n del radicale è pari la scrittura
, quando esiste, rappresenta un numero positivo;
, quando esiste, rappresenta un numero negativo.
19.2 EQUAZIONI IRRAZIONALI CONTENENTI UN SOLO RADICALE
Sono equazioni del tipo:
dove g (x) può essere una costante reale (k ∈ R) o un’espressione contenente la
variabile dell’equazione.
E’ necessario distinguere due casi:
̈ n dispari;
̈ n pari.
Nelle seguenti tabelle sono illustrati i procedimenti da seguire per risolvere questo tipo di equazioni.
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19. Le equazioni irrazionali
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Algebra - secondo anno
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19. Le equazioni irrazionali
19.3 EQUAZIONI IRRAZIONALI CONTENENTI SOLO DUE RADICALI
Sono equazioni irrazionali del tipo:
Se i due radicali hanno indici diversi, prima di applicare i procedimenti di seguito illustrati, si riducono allo stesso indice.
Anche per questo tipo di equazioni irrazionali, è necessario distinguere due casi:
n dispari;
n pari.
Nelle seguenti tabelle sono illustrati i procedimenti da seguire per risolvere questo tipo di equazioni.
313
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Algebra - secondo anno
19.4 EQUAZIONI CONTENENTI NON SOLO DUE RADICALI
Consideriamo equazioni irrazionali del tipo:
Cioè, equazioni che contengono non solo due radicali.
Per risolvere queste equazioni, in genere, è necessario più di un elevamento a potenza.
Nella fase risolutiva, inoltre, dobbiamo essere molto attenti perché, talvolta, oltre a porre inizialmente alcune condizioni, è
necessario porre altre condizioni nelle fasi successive. Gli strumenti matematici che abbiamo a disposizione non sempre
permettono di esplicitare le condizioni di accettabilità nel suo complesso, pertanto è preferibile, e spesso più agevole,
eseguire la verifica dei valori ottenuti.
Come in precedenza, se i radicali hanno indici diversi, prima di applicare i procedimenti di seguito illustrati, si riducono allo
stesso indice.
Anche per questo tipo di equazioni irrazionali, è necessario distinguere due casi:
̈ n dispari;
̈ n pari.
Nelle seguenti tabelle sono illustrati i procedimenti da seguire per risolvere questo tipo di equazioni.
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19. Le equazioni irrazionali
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Algebra - secondo anno
ESERCIZI CAPITOLO 19
EQUAZIONI IRRAZIONALI
Conoscenza e comprensione
1) Cos’è il dominio (o insieme di definizione) di un’equazione irrazionale? Come si determina?
2) A che cosa è equivalente l’equazione
3) Se a(x) e b(x) sono polinomi, qual è l’equazione equivalente a
4) Riconosci quali delle seguenti equazioni sono irrazionali:
5) Un’equazione irrazionale ammette sempre soluzioni? Perché?
6) Stabilisci, senza risolverle, se le seguenti equazioni sono determinate, indeterminate, impossibili:
7) Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:
a) L’equazione
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
n)
V
F
o)
V F
b) L’equazione
non ha soluzioni.
non ha soluzioni.
c) Le equazioni
d) L’equazione
e) L’equazione
f) Se x + 2 > 0 l’equazione
sono equivalenti.
è equivalente all’equazione
è equivalente a
ha due soluzioni.
g) Se x + 1 > 0 l’equazione
ha due soluzioni.
h) Se x > 0 le equazioni
i) L’equazione
j) L’equazione
k) L’equazione
l) L’equazione
m) Le equazioni
316
sono equivalenti.
ha una soluzione x = 4.
è impossibile.
ha solo la soluzione x = 0 .
ha soluzione per x ≥ 7 .
hanno le stesse soluzioni.
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19. Le equazioni irrazionali
8) Individua quali, fra le seguenti coppie di equazioni, hanno le stesse soluzioni:
ESERCIZI
Risolvi le seguenti equazioni irrazionali:
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
317
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Algebra - secondo anno
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
45)
46)
47)
48)
49)
318
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19. Le equazioni irrazionali
50)
51)
52)
53)
54)
55)
56)
57)
58)
59)
60)
61)
62)
63)
64)
65)
]
319
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Algebra - secondo anno
Problemi
66) Se dal quadrato di un numero positivo sottrai 5 e alla radice quadrata del risultato sottrai 7, trovi l’opposto della radice
[3]
quadrata della somma del quadrato del numero con il quadrato di 4. Trova il numero.
67) La radice quadrata del sestuplo di un numero sommato ad 1 è uguale alla differenza del doppio del numero con 3. [4]
68) Il doppio della radice quadrata di un numero sommato a 5 è uguale alla differenza del doppio del numero con 2. Trova
il numero.
[4]
69) Il triplo della radice cubica del successivo di un numero diminuita del numero stesso è uguale a 3.
Trova il numero.
320
[0,-9
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20. Equazioni e disequazioni contenenti valore assoluto
CAPITOLO 20. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CONTENENTI VALORE ASSOLUTO
20.1 EQUAZIONI CONTENENTI VALORE ASSOLUTO
Con la scrittura a si indica il valore assoluto di un numero reale a .
Tale valore assoluto coincide col numero stesso a se tale numero è positivo o nullo, mentre è uguale all’opposto del numero
a se quest’ultimo è negativo. In simboli:
Per poter dunque determinare il valore assoluto di a occorre conoscere il segno di a .
PROVA TU
Determina i seguenti valori assoluti dove all’interno delle “due stanghette” sono racchiusi valori numerici o espressioni
algebriche contenenti valori numerici:
E se all’interno del valore assoluto troviamo un’espressione letterale?
Per poter determinare il valore assoluto occorre conoscere il segno dell’espressione letterale.
Anche in questo caso dobbiamo fornire due risposte diverse, una nel caso in cui l’espressione letterale risulti essere positiva
o nulla, l’altra nel caso in cui l’espressione letterale risulti essere negativa.
In simboli:
COMPLETA
Prendiamo ora in esame equazioni o disequazioni contenenti l’incognita all’interno di un valore assoluto. Per risolverle
dobbiamo innanzitutto essere in grado di valutare il segno dell’espressione letterale contenuta nel valore assoluto in modo
da poter riscrivere il testo eliminando “le due stanghette”.
321
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Algebra - secondo anno
Equazioni
A seconda del segno di A(x), l’equazione assumerà due diverse forme:
• se
• se
L’equazione è allora equivalente ai due sistemi:
l’insieme soluzione della disequazione è l’insieme unione degli insiemi, S1 e S2, soluzione dei due sistemi: S = S1 S2 .
Esempio 1
Si ha:
Esempio 2
Si ha:
322
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Book in
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20. Equazioni e disequazioni contenenti valore assoluto
Quindi:
20.2 DISEQUAZIONI
• Sia data la disequazione:
A seconda del segno di A(x), la disequazione assumerà due diverse forme; essa è dunque equivalente ai due sistemi:
L’insieme S delle soluzioni della disequazione è l’insieme unione degli insiemi S1 e S2 soluzione dei due sistemi:
S = S1 S2 .
Esempio 3
Si ha:
Quindi:
• Sia data la disequazione:
A seconda del segno di A(x), la disequazione assumerà due diverse forme; essa è dunque equivalente ai due sistemi:
L’ insieme S delle soluzioni sarà l’insieme unione degli insiemi S1 e S2 soluzione dei due sistemi: S = S1 S2 .
323
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Algebra - secondo anno
Esempio 4
Si ha:
Quindi:
Nel caso in cui B(x) = k con k numero reale, utilizzando la seguente tabella, si può evitare di procedere con la risoluzione
dei sistemi.
Si ha, infatti:
324
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20. Equazioni e disequazioni contenenti valore assoluto
Per concludere risolviamo un’ equazione contenente più di un valore assoluto:
Innanzitutto studiamo i segni dei tre binomi racchiusi nei valori assoluti:
segno di x – 1
segno di 2 – x
segno di 4x – 12
L’asse dei numeri reali risulta suddiviso in 4 parti ed in ciascuna di esse possiamo ora determinare l’aspetto assunto dai
valori assoluti coinvolti:
Questo ci permette di ottenere i 4 sistemi a cui l’equazione risulta essere equivalente:
Risolvendo i quattro sistemi si ha:
Quindi:
(Spesso le disequazioni inserite nei 4 sistemi sono, nell’ordine,
risultato).
portano allo stesso
325
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Algebra - secondo anno
ESERCIZI CAPITOLO 20
EQUAZIONI CONTENENTI VALORI ASSOLUTI
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
326
[scomponi x − x 2 , studia il segno dei fattori trovati in modo da
ottenere il segno del binomio racchiuso nel valore assoluto]
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20. Equazioni e disequazioni contenenti valore assoluto
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
Disequazioni contenenti valori assoluti
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
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Algebra - secondo anno
42)
43)
44)
45)
46)
47)
48)
49)
50)
51)
52)
53)
54)
55)
56)
57)
58)
59)
60)
61)
63)
328
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20. Equazioni e disequazioni contenenti valore assoluto
64)
65)
66)
67)
68)
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330
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20. Equazioni e disequazioni contenenti valore assoluto
331
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Algebra - secondo anno
332
AIE604_C2_algebra quinto'16ok_Layout 1 28/07/15 13:39 Pagina 333
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20. Equazioni e disequazioni contenenti valore assoluto
333
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334
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20. Equazioni e disequazioni contenenti valore assoluto
335
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Algebra - secondo anno
336
