N° scheda Corso: II O.S.P.A. Laboratorio: Matematica C.S.F. En.A.I.P. Cuneo 1
Titolo Esercitazione / Argomento trattato h previste: 4 Ripasso di potenze data: ____________ Obiettivi: •
Le proprietà delle potenze: teoria ed esercizi Tipo di attività Cognome e Nome ................................................................ Attività individuale Considerazioni personali e difficoltà riscontrate nello svolgimento dell’esercitazione:
______________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ Esercitazione effettuata dal Formatore al Alessia Cesana Ore effettive Ripasso di potenze RIPASSO La scrittura a n si chiama potenza, dove a rappresenta la base e n l'esponente. La potenza di un numero reale a con esponente intero con segno positivo n è il prodotto del fattore a per se stesso quante volte dice l'esponente n cioè: an= a x a x a x a.......x a quante volte è il valore di n. Esempi: 2³ = 2 x 2 x 2 = 8 cioè: 2 x 2 = 4 4 x 2 = 8 Le proprietà delle potenze sono 5: 1)
Il prodotto di due o più potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti: am x an = a m+n con a numero qualsiasi e n, m interi con segno positivo. Esempio: 3² x 3³ =3 5 2)
Il quoziente di due o più potenze con base uguale è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti: am: an= am‐n con a numero qualsiasi diverso da 0 e m, n interi positivo, ma con m>n Esempio: 3 6: 3 4= 3² 3)
La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti: ( am )n = a mxn con a numero qualsiasi e m,n numeri interi positivo Esempio: ( 3³)² = 36 4)
Il prodotto di due o più potenze con lo stesso esponente e base diversa è una potenza che ha per base il prodotto della basi e per esponente lo stesso esponente. am x bm= ( a x b ) m dove a, b sono numeri qualsiasi e m intero positivo Esempio: 3³ x 2³ = 6³ 5)
Il quoziente di due o più potenze con lo stesso esponente e con basi diverse è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente. am: bm= ( a : b )m dove a, b sono numeri qualsiasi e b diverso da 0 e m intero positivo. Esempio: 10 m: 5 m = 2 m Scheda n. 1 A. Cesana Ripasso di potenze DOMANDE Esercizio 1: completa le frasi. •
•
•
•
Un numero positivo elevato ad esponente pari ha come risultato un numero .............................. Un numero positivo elevato ad esponente dispari ha come risultato un numero .......................... Un numero negativo elevato ad esponente pari ha come risultato un numero ............................. Un numero negativo elevato ad esponente dispari ha come risultato un numero ........................ Deduciamo che: •
se l’esponente è dispari, il segno della potenza dipende dal segno della base, cioè se la base è positiva, la potenza è positiva, se la base è negativa la potenza è negativa. •
se l’esponente è pari, il segno della potenza è sempre positivo. Esercizio 2: completa le frasi. Determina le seguenti potenze (attenzione all’uso delle parentesi). (‐2)6 = (+2)2 = (‐2)5 = (‐1)3 = (+3)5 = (‐5)3 = (‐2)4 = (‐2)3 = (‐3)1 = (‐1)4 = 1
2
1
3
‐32 = 3
4
1
2
3
2
3
4
(‐2)4 = 2
5
4
5
2
3
‐24 = 2
3
(‐3)2 = 2
3
Esercizio 3: rispondi vero o falso. V F (‐2)10 < 0 (‐3)3 < 0 ‐9 = (‐3)2 (‐5)10 > (‐10)5 V F (‐23) = (‐2)3 (‐4)8 < (+4)8 (‐10)0 > 0 (‐2)9 < 0 (‐23) = ‐ (23) (‐1)18 < (+1)18 (‐5)7 < (+5)7 ‐57 < (‐5)7 Scheda n. 1 A. Cesana Ripasso di potenze Esercizio 4: calcola utilizzando la proprietà 1 (se gli esponenti sono numeri troppo grandi lascia il risultato sotto forma di potenza). 32 x 35 = 23 x 22 = 52 x 5 x 53 = (‐3)2 x (‐3)5 = 1
3
1
3
· 1
2
·
(‐4)2 x (‐4)3 x (‐4) = 1
2
1
2
·
1
2
1
3
·
1
3
Esercizio 5: calcola utilizzando la proprietà 2 (se gli esponenti sono numeri troppo grandi lascia il risultato sotto forma di potenza). 37 : 35 = 73 : 72 = 56 : 5 : 52 = (‐2)5 : (‐2)2 = 1
3
: 1
3
1
2
:
(‐4)5 : (‐4)3 : (‐4) = 1
2
1
2
:
1
2
1
3
:
1
3
Esercizio 6: calcola utilizzando la proprietà 3 (se gli esponenti sono numeri troppo grandi lascia il risultato sotto forma di potenza). (32)5 = (23)2 = ((‐4)2)3 = ((52)2)3 = (((‐3)2)5)3 = = = = = Esercizio 7: calcola utilizzando la proprietà 4 (se gli esponenti sono numeri troppo grandi lascia il risultato sotto forma di potenza). 35 x 35 = 42 x 22 = 52 x 22 x 42 = (‐3)2 x (‐5)2 = 3
2
· Scheda n. 1 1
3
4
·
(‐4)3 x (‐3)3 x (2)3 = 1
2
1
2
·
1
3
1
3
·
15
2
A. Cesana Ripasso di potenze Esercizio 8: calcola utilizzando la proprietà 5 (se gli esponenti sono numeri troppo grandi lascia il risultato sotto forma di potenza). 165 : 25 = 32 : 22 = 202 : 22 : 42 = (‐35)2 : (‐5)2 = 3
2
27
8
: (‐18)3 : (‐3)3 : (‐2)3 = 1
2
4 :
2
9
:
1
3
1
3
:
2
15
CASI PARTICOLARI per ogni a, a1=a per ogni a ¹≠ 0, a0 = 1 (ATTENZIONE! 00 è indeterminato) per ogni a, 1a=1 per ogni a intero positivo con a ≠ 0, 0a = 0 Esercizio 9: completare gli esercizi seguenti. (‐5)0 = (‐1)0 = (0)0 = (0)5 = (2)1 = 60 = 08 = ‐10 = 14 = 12 = = = 3 2
·
2 3
= 0
Esercizio 10: sostituire ai puntini il valore che rende vera ciascuna uguaglianza. 3
2
32 x …3 = 35 7…x 5… = 352 75 x 72 x 7… = 711 (33)… x 2… = 612 18… : 6… = 34 [(33)…]… = 330 125: …5 = 45 5… x 54 : 53 = 53 …
:
1
3
27
8
…
…
1
3
2
9
(‐4)… : (…)2 = (8)2 1
2
…
·
1
2
…
1
3
…
1
:
3
3
2
…
· …
…
2
3
3
2
…
1
3
Scheda n. 1 A. Cesana Ripasso di potenze ANCORA PROPRIETÀ (+4)4 = (‐4)4 infatti: qualsiasi sia il segno della base una potenza elevata a esponente pari è sempre positiva (+4)3 = ‐(‐4)3 infatti: (+4)3 = (+4) x (+4) x (+4) = +64 (‐(‐4)3 = ‐[(‐4) x (‐4) x (‐4)] = ‐[‐64] = +64 3
infatti: (‐4)3 = (‐4) x (‐4) x (‐4) = ‐64 ‐(+4)3 = ‐[(+4) x (+4) x (+4)] = ‐[+64] = ‐64 3
(‐4) = ‐(+4) Esercizio 11: correggi gli errori VERSIONE ERRATA VERSIONE CORRETTA (‐2)5 x (3)5 = (‐6)10 (‐1)0 = ‐1 (‐24)8 : (‐6)8 = (4)1 107‐103=104 00 = 0 1
1
2
2
3
0 5
1
1
1
·
4
4
4
3
3
3
·
2
2
2
27
3
8
2
1
2
Esercizio 12: evidenzia le proprietà delle potenze utilizzate. ESPRESSIONE PROPRIETÀ UTILIZZATA (‐2)5 x (‐2)3 = (‐2)8 = 28 (‐1)6 : (‐1)4 = (‐1)2 = +1 3
5
3
5
2
·
5
3 ·
5
·
2
5
3
5
3
2
5 ·
·
2
5
2
5
·
2 2 Scheda n. 1 A. Cesana Ripasso di potenze Esercizio 13: risolvi applicando le proprietà delle potenze. ESERCIZIO SOLUZIONE ESERCIZIO SOLUZIONE 53 x 54 = (‐12) x (‐12)3 = 213 x 21 x 214 = (‐5)6 : (‐5)2 = 68 : 65 = (‐3)2 x (3)5 = 34 : (‐3)3 = 565 x 56 x 564 = (‐6)5 x (‐6)4 x (‐6)2= (‐81)5: (‐81)4 = 23 x 24 x 22 = 8
(62 x 6)4 : (620 : 69)= 4
17
8
5
8
5
:
8
5
:
7
1
2
·
1
2
Esercizio 14: sulla traccia degli esempi riportati di seguito, calcola il valore delle successive espressioni applicando le proprietà delle potenze. Esempio 1: 3 · 3 : 3
3
Esempio 2: 9 : 3 · 27
:3
3
3 :3
:3 · 3
3
3
:3 · 3
3 :3 · 3
ESPRESSIONE 8
2
9 3 SOLUZIONE 5
(4 : 4 ) : (4 : 4) = [(62)3]5: (25)6 [34 : (30 ∙ 34)] ∙ [43 ∙ 42 : 45] [(53 : 53)2 ∙ (3 ∙ 32)] ∙ [(53)2 : 52 : 5] [(22 ∙ 23)2 : 24] : 2 (87 : 86 ∙ 82)2 : (26 : 23)2 125 ∙ (2 ∙12 ∙ 32) : (25 ∙ 15 ∙ 9) 1
3
2
3
Scheda n. 1 ·
·
1
3
27
4
:
1
3
:
6
5
·
2
5
A. Cesana Ripasso di potenze 2
2
·
·
2
2
2
·
3
·
1
1
2
3
·
2
3
·
5
:
3 :
2
3
2 PUNTEGGIO OTTENUTO Esercizi Tot. ottenuto Valore esercizio
Esercizio 1 4 Esercizio 2 25 Esercizio 3 12 Esercizio 4 9 Esercizio 5 9 Esercizio 6 9 60Esercizio 7 9 Esercizio 8 9 Esercizio 9 15 Esercizio 10 15 Esercizio 11 10 Esercizio 12 5 Esercizio 13 18 Esercizio 14 11 Totale 160 X : 80 = Totale ottenuto : 160 X = (80 ∙ Totale ottenuto)/160 + 20 = ________ Scheda n. 1 A. Cesana
