Variabili casuali cap1

CAPITOLO 1 : VARIABILI CASUALI
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Si vogliono studiare tutti i possibili esiti di un certo fenomeno aleatorio.
Si dicono VARIABILI CASUALI, ad esempio, le seguenti:
1)il numero delle persone che giungono in un giorno al pronto soccorso di un ospedale
( variabile casuale discreta)
2) il prezzo di un barile di petrolio tra 10 giorni ( variabile aleatoria continua)
3)il numero di macchine che si guastano in un giorno (variabile aleatoria discreta).
Una variabile aleatoria è una variabile che assume valori in corrispondenza ad
eventi aleatori che formano una partizione dell’insieme universo.
Esempio: si lanciano due monete e si puo’ presentare Testa 0, 1,2 volte.
L’insieme universo è {CC, CT,TC,TT}, poiché tali eventi sono disgiunti a due a due e la
loro unione è l’evento certo, allora generano una partizione dell’insieme universo.
Indichiamo con X la variabile aleatoria che assume come valori i possibili gli esiti di uscita
di nel lancio di due monete. TESTA puo’ uscire, 0, 1,o 2 volte.
X assume i valori x1=0 x2=1
x3 =2.
La seguente tabella indica la funzione distribuzione di probabilità della variabile
aleatoria X
U
CC
CT TC CC
X
p
0
¼
1
2/4
2
¼
nota bene: 1/4 +2/4+1/4 =1
½
¼
0
1
2
La funzione di ripartizione di una variabile aleatoria X è una funzione F(X)
che associa ad ogni valore di x, la probabilità che la variabile assuma un valore
non superiore ad x:
F(x)=P(X<x)
1
¾
Esempio:
X 0
p ¼
F(x) ¼
1
2/4
¾
2
¼
1
¼
0 1
2
la funzione di ripartizione equivale alla frequenza cumulata in Statistica
Se la variabile aleatoria è discreta, la funzione di ripartizione è sempre una funzione a
gradini, se la variabile è continua la funzione di ripartizione è una funzione continua.
VALOR MEDIO di una variabile aleatoria.
X 0
1
2
p ¼ 2/4 ¼
M(X) = x1*p1+x2*p2+x3*p3= 0*1/4+1*2/4+2*1/4= 1
il valor medio di una variabile aleatoria coincide con la media ponderata in statistica.
VARIANZA E SCARTO QUADRATICO MEDIO
varianza σ2= M(x2) – (Mx)2 = x12*p1+ x22*p2+ x32*p3= (02*1/4+12*1/2+22*1/4 ) - 12= 0,5
scarto quadratico medio σ =0,7
2
GIOCO EQUO e SPERANZA MATEMATICA
Se un giocatore ha probabilità p ( es: ¼) di vincere una certa somma S ( es: 10 euri), la
speranza matematica è
speranza matematica del giocatore è = S*p ( es. ¼ *10= 2.5 euri)
SIGNIFICATO: se il giocatore gioca un elevato numero di partite, mediamente vincerà 2.5
euri a partita.
La variabile aleatoria X= guadagno del giocatore, ha distribuzione di probabilità:
X
0 10
p
¾
¼
M(X)=0*3/4+10*1/4 = 2.5
se il giocatore ha più possibilità di vincere o perdere delle somme Si , allora la
speranza matematica = S1*p1 +S2*p2+ ……
Esempio : Nel lancio di un dado si vincono 30 euri se esce il 4, 12 euri se esce un numero
maggiore di 4, si perdono 9 euri se esce un numero diverso
X
30
12
-9
P
1/6
2/6
3/6
Speranza matematica del giocatore = 30*1/6+12*1/3-9*1/2= +4,5 euri
Il gioco è vantaggioso perché la speranza matematica del giocatore è maggiore di zero
Il gioco è equo se la speranza matematica è uguale a zero.
Il gioco è svantaggioso per il giocatore, se la speranza matematica è negativa.
ESERCIZI
Es 1- Si estrae una pallina da un urna con palline numerate da 1 a 50. Determinare e
rappresentare graficamente la distribuzione di probabilità e la funzione di ripartizione della
variabile casuale:
X= cifra delle decine del numero estratto
X 0
1
2
3
4
5
P 0,18 0,2 0,2
0,2
0,2 0,02
Es.2- Si lanciano due dadi . Determinare e rappresentare graficamente la distribuzione di
probabilità e la funzione di ripartizione della variabile casuale:
X = valore assoluto della differenza dei punti dei due dadi.
Qual è la probabilità che il valore non superi 2 ? X 0
1
2
3
4
5
P 1/6 5/18
2/9
1/6 1/9 1/18
P(x<2)=24/36
Es.3- In una gara di tiro al bersaglio si assegnano 10 punti per ogni tiro centrato. Un
giocatore ha la probabilità del 60% di colpire il bersaglio e spara 5 colpi. Determinare la
distribuzione della variabile aleatoria: X= punteggio realizzato.
Qual è la probabilità che il punteggio non superi 20?
X
0
10
20
30
40
50
P(X<20)=0,317
P 0,01024
0,0768
0,2304
0,3456
0,2592 0,07776
3
Es.4- Un’urna contiene 5 palline numerate da 1 a 5; si estraggono due palline rimettendo la
pallina estratta nell’urna. Determinare e rappresentare graficamente la distribuzione di
probabilità e la funzione di ripartizione della variabile casuale:
X= somma dei numeri delle palline estratte. Calcolare inoltre la probabilità che la somma sia
al massimo 5.
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P 0,04 0,08
0,12 0,16 0,20 0,16 0,12
0,08
0,04
P( X<=5)=F(5)=0,40
Es.5-Un’urna contiene 6 palline numerate da 1 a 6; si estraggono due palline
successivamente senza rimettere la pallina estratta nell’urna. Determinare e rappresentare
graficamente la distribuzione di probabilità e la funzione di ripartizione della variabile
casuale:
X= il maggiore dei due numeri estratti. Calcolare inoltre la probabilità che il maggiore dei
due numeri sia almeno 4.
X
2
3
4
5
6
P(X>4)=1-F(3)= 24/30
P
1/15
2/15 1/5
4/15
1/3
**)Calcolare il valor medio e la varianza dell’esercizio 1 [μ= 2,1 σ2=2,09];
dell’ esercizio 2 [μ= 35/18 σ2=665/324] ; dell’esercizio 3 [μ= 30 σ2=120]; esercizio 4
[μ= 6 σ2=4]; esercizio 5 [μ= 14/3 σ2=14/9]
Esercizio 6. In una produzione di 100 pezzi, si è rilevato che al massimo 5 pezzi sono
difettosi e inoltre si conosce la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria : X=
numero dei pezzi difettosi in n gruppo di 100 pezzi:
X
0
1
2
3
4
5
P
0,08 0,22 0,36 0,16 0,12
0,06
Calcolare il numero medio dei pezzi difettosi, lo scarto quadratico medio e la probabilità di
avere al più 3 pezzi difettosi
[μ= 2,2 σ=1,3 F(3)=0,82]
Esercizio 7 : Un commerciante ha rilevato statisticamente che le vendite di una merce, in
Kg, sono espresse dalla variabile casuale X
X 50
60
70
80
90
100
P 0,10 0,2 0,45 0,15 0,05
0,05
Calcolare la quantità media che prevede di vendere e lo scarto quadratico medio . [μ= 70 Kg
σ=11.83 Kg]
Esercizio 8: un giocatore vince 600 euri, se lanciando 4 volte una moneta, si presentano 4
facce uguali. Qual è la speranza matematica della vincita? [75 euri]
Esercizio 9: Si lanciano due dadi e se si presenta almeno una faccia con un 6 si vincono 540
euri. Qual è la speranza matematica della vincita? [165 euri]
Esercizio 10: un giocatore lancia due dadi, e vince 400 euri se vengono due numeri uguali,
altrimenti deve pagare 50 euro. Si chiede se il gioco è equo . [no, è favorevole al giocatore]
Esercizio 11: In una operazione finanziaria si possono guadagnare 20000 euri con
probabilità 0,3 , 25000 con probab. 0,4 oppure 40000 con probabilità 0,1, altrimenti si
possono perdere 30000 euri con probabilità 0,2. Calcolare il vslor medio e lo scarto
quadratico medio della variabile casuale: X= guadagno realizzabile
[μ=14000 euri
σ=22671,57 euri osservazione: l’operazione è rischiosa perché il valore di
σ è molto alto]