Funzione caratteristica

Funzione caratteristica
• F unzione caratteristica di una variabile aleatoria X con funzione di ripartizione FX (trasformata di Eulero-Fourier della
funzione di ripartizione):
ψX (u) = E eiuX =
Z
R
eiut dFX (t)
– Caso discreto:
X
ψ X (u) =
eiutpX (t)
t∈RX
– Caso continuo:
ψ X (u) =
Z
R
eiutfX (t) dt
• Proprietà:
– La funzione caratteristica esiste sempre finita (l’integrale
che la definisce non diverge mai) per u ∈ Ṙ
– Ad ogni funzione di ripartizione corrisponde una funzione
caratteristica e viceversa: le funzioni caratteristiche sono
in corrispondenza biunivoca con le funzioni di ripartizione
– Sviluppo in serie di Taylor della funzione caratteristica:
u2 2 (iu)h h
ψX (u) = 1 + iuE (X ) − E X + · · · +
E X +···
2
h!
• Proprietà:
– Se la variabile aleatoria X ammette momenti finiti sino
all’r-esimo, allora la funzione caratteristica ψX (u) è derivabile r volte e, per h = 1, . . . , r, vale:
E X h = i−h
dhψ
X (u) duh u=0
– Per a e b reali si ha: ψaX+b (u) = eiubψX (au)
– X1, . . . , Xk sono k variabili aleatorie mutuamente stocasticamente indipendenti:
ψX1+···+Xk (u) = ψX1 (u) · · · ψXk (u) =
k
Y
j=1
ψXj (u)
Funzione generatrice dei momenti
• Funzione generatrice dei momenti di una variabile aleatoria
X con funzione di ripartizione FX (trasformata di Laplace
della funzione di ripartizione):
φX (u) = E euX =
Z
R
eutdFX (t)
• Proprietà:
– Sviluppo in serie di Taylor della funzione generatrice dei
momenti:
u2 2 uh h φX (u) = 1 + uE (X ) +
E X + ··· +
E X + ···
2
h!
– Se la variabile aleatoria X ammette momenti finiti sino
all’r-esimo, allora la funzione generatrice dei momenti
φX (u) è derivabile r volte e, per h = 1, . . . , r, vale:
E Xh
h
d φX (u) = µh =
h
du
u=0
• Proprietà:
– Per a e b reali si ha:
φaX+b (u) = eubφX (au)
– X1, . . . , Xk sono k variabili aleatorie mutuamente stocasticamente indipendenti:
φX1+···+Xk (u) = φX1 (u) · · · φXk (u) =
k
Y
j=1
φXj (u)
Funzione generatrice delle probabilità
• Funzione generatrice delle probabilità della variabile aleatoria
X che assume solo valori interi non negativi con funzione
di probabilità pX (trasformata di Dirichlet della funzione di
ripartizione)
γ X (u) = E u X =
∞
X
t=0
utpX (t)
u ∈ [−1, 1]
• Proprietà:
– Per u > 0 la funzione caratteristica calcolata nel punto
i−1 log u fornisce la funzione generatrice delle probabilità:
ψX i−1 log u = E ei
i−1 log u
X
X
=E u
= γ X (u )
– Per una variabile aleatoria X con funzione generatrice delle
probabilità γX si ha:
x
1 d γX (u) pX (x) =
x!
dux x = 0, 1, 2, . . .
u=0