VARIABILI ALEATORIE DISCRETE E CONTINUE
ESEMPIO DI V. A. DISCRETA: lancio di un dado regolare a 6
facce. Ad ogni possibile esito del lancio si associa il numero
corrispondente alla faccia uscita. I valori della variabile aleatoria
“esito del lancio del dado” sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
La DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’ di una variabile aleatoria
discreta è rappresentata dall’elenco dei valori che la variabile
assume, a ciascuno dei quali è associata la relativa probabilità
Nell’esempio del dado:
Si tratta di una
DISTRIBUZIONE UNIFORME
somma
Una distribuzione di probabilità può essere rappresentata
graficamente con un diagramma a barre:
L’area di ogni rettangolo corrisponde alla probabilità di ogni xi.
La somma delle aree dei rettangoli è uguale a 1
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
2
3
4
5
6
ALTRO ESEMPIO:
DISTRIBUZIONE BINOMIALE
La probabilità che un test medico risulti errato è del 2,3%.
Prova di Bernoulli: correttezza del test.
Successo: test errato, p=0,023. insuccesso: test corretto, 1-p = 0,977
Qual è la probabilità che su 10 test 3 siano errati?
n = 10, k = 3
0,14%
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’ DELLA VARIABILE BINOMIALE (dell’esempio):
VALORE ATTESO (media):
VARIANZA:
FUNZIONE DI RIPARTIZIONE
Dimenticando ora i rettangolini, e facendo riferimento solo alla
curva continua, che è il grafico di una certa funzione f, potremo
dire che la probabilità che X assuma un valore compreso in un
intervallo (a, b) qualsiasi sarà uguale all’area sottesa dal grafico
di f su (a, b)
=
È il modo per indicare l’area tratteggiata in
rosso, vedremo perché l’anno prossimo…)
A2 A4
A1 A3 A5
La funzione f non è una funzione di probabilità (le ordinate
non corrispondono ai valori della probabilità), ma una
FUNZIONE DI DENSITA’ DI PROBABILITA’ di una variabile
aleatoria continua.
EQUAZIONE DELLA FUNZIONE f:
La distribuzione di probabilità (teorica) corrispondente prende
il nome di DISTRIBUZIONE NORMALE
Si tratta di una distribuzione teorica, che però approssima
“molto bene”un grandissimo numero di fenomeni aleatori
concreti, sia continui che discreti.
PER ESEMPIO, una
distribuzione binomiale con n “molto grande” è
approssimabile con una normale:
Scriviamo l’equazione della funzione normale che otteniamo
ponendo = 20 e = 4 (i parametri della binomiale precedente )
nell’equazione della funzione normale:
Caratteristiche della funzione
Questo è un coefficiente positivo di
dilatazione sulle y: influisce solo sui
valori di y, possiamo tralasciarlo per
determinare limiti, ascissa del massimo,
ascisse dei flessi.
D = R. y > 0 per ogni x, perché è un’esponenziale.
y’=0 x = 20
y’’ = 0 x = 20 4
Stessa varianza: la forma dei grafici è la stessa, la posizione del
grafico varia per traslazioni lungo l’asse delle x:
Stessa media: la posizione è la stessa, la forma varia : se la
varianza è minore ( i dati sono meno dispersi intorno alla media) il
picco si “alza”, per racchiudere la stessa area.
Per indicare che X è (approssimativamente) una variabile
aleatoria avente distribuzione normale, con media e scarto
quadratico medio , scriviamo:
La probabilità che la variabile continua X assuma valori
compresi in un intervallo (a,b) si indica con:
P( a< X < b)
e corrisponde alla misura
dell’area sotto la curva
normale compresa tra a e
b:
P( 17< X < 29)
Si potrebbe dimostrare che l’area sotto tutta la funzione normale
vale 1 :
E che, qualunque siano i valori di media e varianza:
ESEMPIO:
una variabile aleatoria segue una distribuzione normale, con
media 38 e varianza 7.
Qual è la probabilità che i suoi valori siano compresi tra 31 e 45?
In generale come si fa a calcolare le probabilità di una variabile
aleatoria che ha una distribuzione normale?
Tavole - ma ci manca un pezzo di teoria…….
Geogebra
“Probability distribution” o un’altra app simile
Calcolatrice statistica
2. Una ditta produce sbarrette della lunghezza media di 1,50 cm
con scarto quadratico medio di 0,05 cm.
Sapendo che le lunghezze sono normalmente distribuite,
calcolare la probabilità scegliendo a caso una sbarretta, questa
sia lunga:
più di 1,62 cm
meno di 1,45 cm;
fra 1,45 e 1,60 cm.
