Esercizio 1 - statistica@unimib

Esercizio 1
Un’urna contiene 6 palline rosse e 2 nere. Vengono estratte a caso due palline con reimmissione. Sia X
la variabile aleatoria ’’numero di palline rosse estratte’’
a) Determinare la funzione di probabilità di X
b) Determinare la probabilità di estrarre almeno una pallina rossa
c) Determinare la probabilità di estrarre esattamente una pallina rossa.
d) Determinare la probabilità di estrarre al più una palline rosse.
e) Quante palline rosse vi aspettate di estrarre?
f) Calcolare la varianza di X
Soluzione
a)
X=”numero di palline rosse estratte”
X rappresenta il numero di successi in 2 prove (estrazioni) indipendenti con probabilità di successo in
ogni singola prova pari a 6/8=3/4
 3
Quindi X è una variabile aleatoria di legge binomiale di parametri n=2 ,p=3/4: X  B 2, 
 4
x
2 x
 2  3   1 
per x  0,1,2
    
 ( x)   x  4   4 

altrove
0
b)
0
2
 2  3   1  15
PX  1  1  PX  0  1        =0.9375
 0  4   4  16
c)
1
1
 2  3   1  3
PX  1       
1  4   4  8
d)
0
2
1
1
 2  3   1   2  3   1 
1 3 7
PX  1  PX  0  PX  1               
 0  4   4  1  4   4  16 8 16
e)
 3 3
E ( X )  np  2  
 4 2
 3  1  3
Var ( X )  np (1  p )  2   
 4  4  8
Esercizio 2
Sapendo che il 10% dei passeggeri che hanno prenotato non si presenta all’imbarco, una compagnia
area decide di accettare fino a 22 prenotazioni su aerei da 20 posti. Nel casi di prenotazioni complete
qual è la probabilità di lasciare a terra (almeno) un passeggero che ha regolarmente prenotato?
Soluzione
X= numero di persone che si presentano tra quelle che hanno regolarmente prenotato
La probabilità che una persona si presenti (probabilità di “successo”) è pari a 0.9 ed è ragionevole
supporre che le prenotazioni siano indipendenti l’una dall’altra
X è una variabile aleatoria di legge binomiale di parametri p=0.9 e n=22: X  B22, 0.9
La probabilità di lasciare a terra almeno un passeggero è pari alla probabilità che si presentino più di 20
persone, cioè 21 o 22 persone (si accettano infatti fino a 22 prenotazioni)
 22 
 22 
21
1
22
P{X>20}=P{X=21}+P{X=22}=  0.9 0.1   0.9 =0.339
 21 
 22 
Esercizio 3
Sapendo che il numero di chiamate per ora ad un certo telefono segue la distribuzione di Poisson con
parametro   3 , calcolare la probabilità che durante un’ora:
a) non vi siano chiamate
b) vi sia almeno una chiamata
c) giungano al più tre chiamate
d) giungano non meno di due chiamate
Soluzione
Sia X =” numero di chiamate”
X  P3
La funzione di probabilità di X è
 e 3 3 x
x  0,1,2,.....

 x    x!
0
altrove

e 3 30
 e -3 =0.0498
0!
b) P{X1}=1-P{X=0}=1- e -3 =0.9502
3 e 3 3 x
 3 3 2 33 
9 27 

c) P{X3}= 
= e 3 1  
   e 3 4     (0.0498)(10.75)  0.53535
x 0
x!
4 6

 1! 2! 3! 
d) P{X2}=1-P{X<2}=1-P{X=0}-P{X=1}=1- e -3 -3 e -3 =0.8008
a) P{X=0}=
Esercizio 4
Sia X una variabile aleatoria di legge normale di media 3 e varianza 7.
a) Calcolare P{X4}
b) Calcolare P{X4}
c) Calcolare P{2.5X3.8}
Soluzione
a)
 X  3 4  3
P{X4}= P 

  PZ  0.38  0.38 =0.64803
7 
 7
dove Z N 0,1 e il valore assunto dalla sua funzione di ripartizione nel punto 0.38, viene
determinato utilizzando le tavole della normale standard
 X  3 4  3
b)
P{X4}=1- P{X4}=1- P 

  1  PZ  0.38  1  0.38  0.35197
7 
 7
c)
P{2.5X3.8}=
 2.5  3 X  3 3.8  3 
P


  P 0.19  Z  0.30  0.30   0.19 
7
7 
 7
 (0.30)  1  (0.19)  0.61791  1  0.57535  0.19326
(Per la simmetria della funzione di densità normale si ha ( x)  1  ( x) )
Esercizio 5
Il peso X alla nascita (in kg) dei neonati maschi è una variabile aleatoria di legge normale.
Se il peso medio è pari a 3 Kg e la probabilità che un bambino nasca con un peso maggiore di 3.7 Kg è
pari a 0.15, qual è la probabilità che un bambino nasca con un peso inferiore a 2.7 kg?
Soluzione
X N 3,  2
Si sa che P X  3.7=0.15 e si vuole determinare P{X<2.7}.
Si tratta di determinare la varianza di X
0.7 
 X  3 3.7  3 

 0.7 

P X  3.7  P 
 =0.15
  1  P Z 
  1  
 
 
 

 
Da cui
 0 .7 

 =0.85
  
Si cerca sulle tavole della normale standard il punto in cui la funzione di ripartizione assume il valore
0.85: si trova che 1.04  0.85 . Quindi
0 .7
 0.85 , da cui   0.82

Si può ora determinare
 X  3 2.7  3 

P{X<2.7}= P 
  PZ  0.37  1  (0.37)  1-0.64431=0.35569
0.82 
 0.82


Esercizio 6
Il tempo di attesa X (in minuti) tra due telefonate successive ad un telefono di un ufficio si distribuisce
come una variabile aleatoria di legge esponenziale di media pari a 6 minuti.
Determinare la probabilità che tra due telefonate
a) passi meno di un quarto d’ora
b) passi più di un quarto d’ora
c) passi esattamente un quarto d’ora
Soluzione
Se X è una variabile aleatoria di legge esponenziale di parametro  , E(X)=1/  .
Nel nostro caso 1/  =6, da cui  =1/6
1
1
 x
1  x
a) PX  15   e x dx   e 6 dx   e 6
0
06
15
15
b) PX  15  1  PX  15  1   e
15
0
x
15
 1  e  2.5  0.918
0
1
1
 x
1  x
dx  1   e 6 dx  1 e 6
0 6
15
15
 e  2.5  0.082
0
c) P{X=15}=0
Esercizio 7
Sia X un variabile aleatoria rettangolare (o uniforme) sull’intervallo [0, b]. Si determini b sapendo che
P{ 1<X<7}=1/3
Soluzione
1
 1

per 0  x  b

 x    b  0 b
0
altrove
7
71
1
6
P{1<X<7}=  dx  x 
b 1 b
1b
6 1
D’altra parte  , da cui b=18
b 3
Esercizio 8
Sia X un variabile aleatoria di legge gamma di parametri   2 ,   1 .
Determinare
a) P{X<1}
b) P{3< X<4}
c) Determinare media e varianza di X
Soluzione
   1 x
x e
per 0  x  

 x     
0
altrove

a)
1
1 1
1 
1  1
1

x
x 1
x
x 1 
PX  1 

xe

e
dx


e

e

 e 1  e 1  1 
 x e dx 





0
0
 2
2 0
2 
0
 2 


 1  2e 1  0.264
(Si ricordi che la funzione   è tale che    (  1)  1 per   1 . Inoltre per valori di 
interi (   n ) si ha n  (n  1)! )
b)
4
1
1 4
1 
1 

x
x 4
P3  X  4 

xe

e  x dx  
 4e  4  3e 3  e  x  
 x e dx 



3
0

2 3
2 
3
 2 
1

 4e  4  3e 3  e  4  e 3  5e  4  4e 3  0.092  0.199  0.107
2

c)

2


Var ( X )  2  2

E( X ) 
