Momenti di variabili aleatorie

Momenti di variabili aleatorie
• Momento (ordinario) r-esimo di una variabile aleatoria unidimensionale X
µr = E ( X r )
– Caso discreto:
X
µr =
tr pX (t)
t∈RX
– Caso continuo:
µr =
Z
R
tr fX (t) dt
• Proprietà:
–
µ0 = 1
–
µ1 = E (X ) = µ
–
E X2
= 0 ⇐⇒ PX (X = 0) = 1
• Momento centrale r-esimo di una variabile aleatoria unidimensionale X
mr = E [(X − E (X ))r ]
–
m1 = E [(X − E (X ))] = 0
– Se una variabile aleatoria ha distribuzione simmetrica, il
suo valore atteso coincide con il centro di simmetria e
tutti i momenti centrali di ordine dispari sono nulli
• Il momento centrale secondo di una variabile aleatoria è detto varianza e misura la dispersione della sua distribuzione
attorno al valore medio
h
i
2
2
m2 = Var (X ) = σX = E (X − E (X ))
• Proprietà:
–
2 = µ − µ2
σX
2
–
Var (aX + b) = a2Var (X )
–
h
i
2
E (X − µ) = 0 ⇐⇒ PX (X − µ = 0) = 1
• Proprietà:
–
h
i
h
i
2
2
2
σX = E (X − µ) = min E (X − a)
a∈R
– (disuguaglianza di Cebicev)
1
PX (µ − aσX < X < µ + aσX ) ≥ 1 − 2
a
• Scarto quadratico medio o deviazione standard
σX =
q
Var (X )
• Standardizzazione della variabile aleatoria X
X −µ
Z=
σX
• Proprietà:
–
E (Z ) =
1
E ( X − µ) = 0
σX
–
1
Var (Z ) = 2 Var (X ) = 1
σX
Mediana di una variabile aleatoria
• Mediana della variabile aleatoria X o della sua distribuzione
1
1
e PX (X ≤ Me (X )) ≥
PX (X ≥ Me (X )) ≥
2
2
ovvero in termini della funzione di ripartizione
1
lim FX (Me (X ) − h) ≤ ≤ FX (Me (X ))
2
h→0+
• Quando la variabile aleatoria X è continua si ha:
FX (Me (X )) =
1
2
• Nel caso discreto la mediana è per definizione quel valore
che lascia alla sua sinistra ed alla sua destra una probabilità
almeno pari ad 1
2.
• Proprietà:
– Se Y = g (X ) con g funzione non decrescente, allora:
Me (Y ) = g (Me (X ))
– Per qualsiasi variabile aleatoria X vale
E [|X − Me (X )|] = mina∈RE [|X − a|]