Compiti per mercoledì 18 maggio
1) Un test è costituito da 10 quesiti, ciascuno con 4 risposte di cui una sola esatta. Il docente assegna 1
punto per ogni risposta corretta e 0 punti per ogni risposta errata o non assegnata. Paolo risponde a caso a
tutti i quesiti. Indica con X la variabile aleatoria che conta il numero di risposte corrette e individua la
distribuzione di probabilità.
a. Qual è la probabilità che Paolo prenda la sufficienza, cioè che almeno sei risposte siano corrette?
b. Qual è la probabilità che Paolo prenda un voto compreso tra 3 e 5 (estremi inclusi)?
c. Qual è il voto medio che Paolo può aspettarsi dando tutte risposte a casa?
d. Supponiamo che il docente decida di cambiare metodo di valutazione: stabilisce di assegnare 1 punto per
ogni risposta corretta, 0 punti per ogni risposta non data e di togliere m punti per ogni risposta sbagliata.
Quale dovrebbe essere il valore di m per far si che il voto medio atteso, rispondendo a caso a tutte le
domande, sia 0?
[circa2%,circa 33% ,2.5, m=1/3]
2) Calcola i seguenti integrali specificandone il tipo:
[ diverge ]
[ 2 ln3 ]
3) Una coltura di batteri cresce istante per istante proporzionalmente al numero di batteri della colonia,
secondo una costante k=0,1h-1. Indicato con y(t) il numero di batteri della colonia dopo t ore,
a. scrivi l'equazione differenziale che deve soddisfare la funzione y(t)
Supposto che all'inizio fossero presenti 100 batteri
b. determina la soluzione particolare dell'equazione differenziale che costituisce il modello del problema
c. stabilisci da quanti batteri sarà costituita la colonia dopo 5 ore
d. stabilisci dopo quanto tempo il numero di batteri sarà doppio di quello iniziale. Esprimi il risultato in ore
e minuti, arrotondato ai minuti.
[
,
,
4) Considera la funzione
a. determina a e b in modo che sia continua
b. traccia il grafico in corrispondenza dei valori di a e b determinati
,
]
c. calcola l'area della regione di piano limitata dal grafico della funzione f, dall'asse x e dalle rette di
equazione x=-4 e x=4.
[a. a=16, b=8 b.
]
5) Considera la funzione
a. determina per quale valore di k il suo punto di massimo relativo ha ordinata uguale a - ln 2
b. traccia il grafico in corrispondenza del valore di k individuato
c. deduci il grafico di y=f(|x|)
[k=1, asintoto: x=0, max(1, -ln2), flesso per x=
]
6) Considera la funzione
a. Calcola la derivata prima della f(x)
b. scrivi l'equazione della retta tangente e della retta normale al grafico della funzione nel punto di ascissa
x=0
c. Calcola
[f'(x)=2cos2(4x2), y=2x e y=-(1/2)x, 16/5]
7)Stabilisci se la retta di equazioni
è parallela, incidente o appartenente al piano di equazione x+2y-z+1=0
[incidente in (-8,2,-3) ]
8) Scrivi l'equazione della superficie sferica di centro C(-1,0,1) e passante per P(0,1,2). Determina inoltre
l'equazione del piano tangente alla superficie sferica in P.
[x2+y2+z2+2x-2z-1=0, x+y+z-3=0]
