PROGRAMMA di Analisi Matematica 1 1 Numeri 2 Funzioni di una

PROGRAMMA di Analisi Matematica 1
A.A. 2012-2013, canale 1, prof.: Francesca Albertini, Monica Motta
Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza
Testo Consigliato:
“Analisi Matematica 1”, M. Bramanti, C. D. Pagani & S. Salsa, Zanichelli Editore,
“Analisi Matematica 2” M. Bramanti, C. D. Pagani & S. Salsa, Zanichelli Editore,
Appunti di lezione e complementi in rete sulle pagine web dei docenti dei tre canali.
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Numeri
• Simboli logici. Predicati, proposizioni e loro negazioni.
• Simboli e operazioni sugli insiemi. Prodotto cartesiano. Insiemi numerici: N, Z, Q e R.
Proprietà di densità di Q. Proprietà di Archimede.
√
• Q non contiene 2 (con dim.).
• Definizione di: maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore ed estremo
inferiore. Proprietà degli estremi.
• Definizione di relazione d’ordine. Q e R sono campi totalmente ordinati. Assioma di
completezza. Proprietà caratteristiche di sup e inf per insiemi di numeri reali.
• Intervalli. Valore assoluto; disuguaglianza triangolare (con dim.).
• Definizione di insieme Numerabile. Z, Q sono numerabili, R non é numerabile.
• Principio di induzione (con dim. facoltativa). Disuguaglianza di Bernoulli (con dim.).
• Sommatorie e loro proprietà. Somma di progressione geometrica (con dim.). Fattoriale.
Coefficienti binomiali. Formula del binomio di Newton (con dim.).
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Funzioni di una variabile
• Definizione di funzione, di dominio, di codominio e di immagine e controimmagine di un
insieme.
• Definizione di funzione reale a variabile reale e del suo grafico. Definizioni di funzioni
limitate, funzioni simmetriche, funzioni monotone e funzioni periodiche.
• Funzioni elementari: potenza, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche, iperboliche,
parte intera, mantissa,
• Operazioni sui grafici. Funzioni definite a tratti.
• Composizione di funzioni.
1
• Definizione di funzione iniettiva e suriettiva. Funzioni invertibili; funzione inversa. Grafico
dell’inversa. Stretta monotonia implica invertibilità (con dim.).
• Funzioni trigonometriche inverse. Funzioni iperboliche inverse.
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Limiti e Continuità
3.1
Successioni
• Definizione di successione e di relativo limite. Successioni limitate. Successioni convergenti,
divergenti ed irregolari. Successioni infinitesime ed infinite. Limite per eccesso e per
difetto.
• Se una successione é convergente allora é limitata (con dim.). Teorema dell’unicità del
limite (con dim.)
• Successioni monotone; Teorema di monotonia (con dim.). Successione geometrica (con
dim.).
• Teoremi sui limiti di successione: algebra dei limiti su R (con dim. nel caso del prodotto),
permanenza del segno (con dim.), confronto (con dim.). Aritmetizzazione parziale di R∗ .
Algebra dei limiti estesa (con dim. nel caso bn inf. limitata per an divergente a +∞, e nel
caso 1/an , con |an | divergente a +∞). Forme indeterminate.
• La successione (1 + 1/n)n è crescente e monotona. Definizione del numero di Nepero e.
• Confronti e successioni asintotiche. Proprietà dell’asintoticità (con dim.). Gerarchia degli
infiniti (con dim).
• Criterio del rapporto per le successioni (con dim.).
3.2
Limiti di funzioni e continuità
• Definizione successionale di limite di funzione. Definizione di intorno di un punto in
R∗ . Definizione topologica di limite di funzione. Teorema-ponte (equivalenza delle due
definizioni). Criterio di nonesistenza del limite.
• Limiti per eccesso e per difetto. Limite destro e sinistro. Asintoti orizzontali, verticali e
obliqui. Caratterizzazione degli asintoti obliqui.
• Teoremi sui limiti di funzioni: unicità del limite, algebra dei limiti su R, permanenza
del segno, confronto. Aritmetizzazione parziale di R∗ . Algebra dei limiti estesa. Forme
indeterminate.
• Teorema di continuità delle funzioni elementari (con dim. per le funzioni seno e coseno).
Teorema di cambio di variabile nel limite (con dim.). Teorema di continuità della funzione
composta. Prolungamento per continuità di una funzione.
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• Limiti notevoli (tutti con dim.)
sin x 1−cos x tan(x) arcsin(x)
, x ,
e arctan(x)
per
x ,
x
x
x2
x
(1 + 1/x) per x → +∞ e per x → −∞.
log(1+x) ex −1
, x
x
e
(1+x)α −1
x
x → 0.
per x → 0.
• Definizione di asintoticità tra due funzioni per x → x0 . Definizione di o-piccolo per x → x0 .
Relazione tra o-piccolo e asintotico.
• Ordine di infinito e di infinitesimo per le funzioni. Proprietá di o-piccolo (con dim. facoltativa) e Teorema di utilizzo di asintitoticitá e o-piccolo nei limiti (con dim. facoltativa).
Scala delle funzioni infinitesime ed infinite.
3.3
Proprietà globali delle funzioni continue o monotone su un intervallo
• Teorema degli zeri (con dim.). Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi (con
dim.). L’immagine di un intervallo tramite una funzione continua è un intervallo.
• Teorema di monotonia (con dim.). Teorema sulla continuità della funzione inversa (con
dim.).
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Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
• Definizione di derivata e sua interpretazione geometrica. Definizione di derivata seconda
e di derivata n-esima. Relazione tra derivabilitá e continuitá (con dim.).
• Calcolo delle derivate di alcune funzioni elementari (x, xn , xα , sin x, ex , log x con dim.).
Tabelle delle derivate delle funzioni elementari.
• Definizione di derivata destra e sinistra. Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale.
• Teorema sull’algebra delle derivate (con dim. della regola di Leibnitz, derivata del prodotto).
Teorema sulla derivata della funzione composta, regola della catena (con dim.). Teorema
sulla derivata della funzione inversa (con dim.).
• Definizione di punti di massimo e di minimo locale e di punti stazionari. Teorema di
Fermat (con dim.).
• Teorema di Lagrange (con dim.). Caratterizzazione delle funzioni costanti (con dim.).
Teorema-test di monotonia (con dim.). Ricerca dei punti di massimo e minimo locali ed
assoluti.
• Teorema di De l’Hôpital (con dim. nel caso 0 su 0 e nell’ipotesi di continuitá delle derivate
prime). Relazione tra limite di f 0 e derivata destra e sinistra (con dim.).
• Definizione di funzione concava o convessa e di punto di flesso. Teorema-test di concavità.
Relazione tra concavità e rette tangenti.
• Studio del grafico di una funzione.
3
• Definizione del polinomio di Taylor e sue proprietà. Formula di Taylor con resto di Peano
(con dim.). Sviluppi di MacLaurin delle principali funzioni elementari. Calcolo dei limiti
di successioni e di funzioni tramite gli sviluppi. Formula di Taylor con resto secondo
Lagrange.
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Calcolo integrale per funzioni di una variabile
• Definizione di partizione di un intervallo, di somma di Cauchy-Riemann. Definizione di
funzione integrabile. Classi di funzioni integrabili. Esempi.
• Proprietà dell’integrale definito (con dim. della linearitá). Teorema della media (con dim.).
• Definizione di funzione integrale e di primitiva. Primo teorema fondamentale del calcolo
integrale (con dim.). Caratterizzazione delle primitive.
• Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim.). Definizione di integrale
indefinito. Integrali immediati. Integrazione per scomposizione.
• Integrazione per sostituzione (con dim.) e per parti (con dim.).
• Integrazione delle funzioni razionali. Sostituzioni canoniche: integrazione delle funzioni
trigonometriche, delle funzioni irrazionali, delle funzioni in potenze razionali di x. Integrazione delle funzioni discontinue.
• Integrali generalizzati su intervalli illimitati per funzioni non negative: definizione, condizione necessaria per l’integrabilità (con dim.), convergenza/divergenza di x1α (con dim.),
Criterio del confronto (con dim.), Criterio del confronto asintotico (con dim. facoltativa),
convergenza/divergenza di xα log1 β (x) (con dim. facoltativa).
• Integrali generalizzati su intervalli limitati per funzioni non negative: convergenza/divergenza
di x1α nell’intervallo [0, 1] (con dim.), Criterio del confronto, Criterio del confronto asintotico, convergenza/divergenza di xα | log1 β (x)| nell’intervallo [0, 1/2].
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Serie numeriche
• Definizione di somma parziale. Definizione di serie convergente, divergente ed irregolare.
Serie geometrica, serie armonica. serie armonica generalizzata, serie di Mengolie serie
telescopiche (con relative dim. di convergenza/divergenza).
• Condizione necessaria per la convergenza di una serie (con dim.). Il resto di una serie
convergente è infinitesimo (con dim. facoltativa)
• Serie a termini nonnegativi: comportamenti possibili (con dim.), criterio del confronto
(con dim.), criterio del confronto asintotico (con dim. facoltativa), criterio dell’integrale
(con dim. facoltativa), criterio della radice (con dim). criterio del rapporto.
1
.
Comportamento della serie Σ nα (log
n)β
• Serie a termini di segno variabile: definizione di convergenza assoluta, convergenza assoluta
implica convergenza semplice (con dim.), Criterio di Leibniz.
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Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili (vol. 2)
• Def. di funzione da X ⊆ Rn in R. Grafici di funzioni reali in 2 variabili reali; insiemi di
livello. Dominio di funzioni in più variabili: grafico del dominio di funzioni di 2 variabili.
• Def. di intorno sferico per x ∈ Rn . Definizione topologica di limite di funzione. Teoremi
e definizioni che continuano a valere inalterati nell’enunciato (unicità del limite, algebra
dei limiti, confronto, continuità, algebra delle funzioni continue, permanenza del segno).
Elemento ∞ e relativo limite.
• Criterio per la non esistenza del limite, restrizione ad una curva. Coordinate polari e
criterio per l’esistenza del limite. (caso n = 2)
• Richiami di topologia: punto interno, esterno e di frontiera. Insiemi aperti, insiemi chiusi,
insiemi nè aperti nè chiusi. L’unione e l’intersezione di due insieme chiusi (aperti) é chiusa
(aperta).
• Teorema sugli aperti/chiusi definiti da funzioni continue (con dim. facoltativa). Definizione
di interno e della frontiera di un insieme. Caratterizzazione degli aperti e dei chiusi tramite
la frontiera. Definizione di insieme limitati, Teorema di Weierstrass.
• Definizione di derivate parziali; funzioni derivabili; gradiente di una funzione.
• Definizione di funzione differenziabile. Differenziabilità implica continuità. Definizione
di piano tangente al grafico della funzione. Condizione sufficiente per la differenziabilità.
(caso n = 2)
• Definizione di derivata direzionale, Formula del gradiente. (caso n = 2)
• Definizione di derivate di ordine 2. Teorema di Schwarz. (caso n = 2)
N.B. I teoremi da sapere con dimostrazione sono solo quelli in cui viene specificato “(con dim.)”.
Per gli altri teoremi, lo studente deve essere in grado di esporre rigorosamente l’enunciato,
spiegare il significato e le applicazioni del risultato. Lo studente deve inoltre saper enunciare
tutte le definizioni in modo rigoroso. Gli esempi inclusi nel testo non fanno parte del programma
di teoria, ma se ne consiglia vivamente la lettura per una migliore comprensione degli argomenti
svolti.
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