Calcolo delle Probabilità - 03AGG
Matematica per le scienze dell’ingegneria
a.a. 2003/2004
PROGRAMMA SVOLTO
Elementi di combinatorica: disposizioni, permutazioni, combinazioni. Legge ipergeometrica. Affidabilità di un sistema.
Definizione di probabilità e prime proprietà: Definizioni secondo le concezioni classica, frequentista e soggestivista.
Algebre e -algebre, spazi misurabili. Definizione assiomatica di probabilità (di Kolmogorov) e prime proprietà
elementari (con dim). Continuità della misura di probabilità (con dim). Probabilità condizionata. Teoremi del prodotto,
delle probabilità totali e formula di Bayes (con dim).
Variabili casuali: Definizione; funzioni di ripartizione e loro proprietà. Variabili casuali discrete ed assolutamente
continue e loro funzioni di densità. Variabili casuali bidimensionali e loro funzioni di ripartizione e densità congiunte;
funzioni di ripartizione e densità marginali.
Valori attesi: Definizione (integrali secondo Lebesgue-Stieltjes) e principali proprietà (con dim). Cambio di variabile
nell’integrazione secondo Lebesgue. Disuguaglianze notevoli per valori attesi (Chebyshev, Cauchy, Jensen, Lyapunov,
Holder) (con dim). Valore medio e varianza di variabili aleatorie. Momenti. Covarianza e sue proprietà. Coefficiente di
correlazione lineare.
Distribuzioni notevoli: : Bernoulliana, Binomiale, Geometrica, Ipergeometrica, di Poisson, Uniforme, Normale,
Gamma, Esponenziale, Beta, Weibull (e loro valori attesi e varianze).
Distribuzioni condizionate e valori attesi condizionati: Definizioni nel caso di variabili discrete ed assolutamente
continue; Formula del valore atteso e della varianza quali valori attesi di valori attesi condizionati (con dim).
Trasformazioni di variabili casuali: Somme di variabili casuali indipendenti (operazione di convoluzione) e nonindipendenti, massimi e minimi di variabili indipendenti, misture di variabili casuali e loro valori attesi e varianze,
somme aleatorie di variabili aleatorie e determinazione dei loro valori attesi e varianze (con dim). Formula della densità
di una variabile che è la trasformazione di una variabile di legge nota (con dim. solo nel caso unidimensionale).
Funzioni caratteristiche: Definizione e prime semplici proprietà (con dim). Relazione tra funzioni caratteristiche e
momenti di variabili casuali (con cenni alla dim). Funzioni caratteristiche di alcune distribuzioni notevoli (con dim).
Applicazione delle funzioni caratteristiche nella determinazione di proprietà delle somme di variabili casuali.
Convergenze di variabili casuali e teoremi limite: limiti di insiemi, lemma di Borel-Cantelli (con dim), convergenza
quasi certa, in probabilità, in media p-esima, in legge. Mutue relazioni. Caratterizzazione insiemistica della convergenza
quasi certa. Proposizioni dimostrate sulle convergenze: q.c. implica in probabilità; in probabilità implica q.c. per una
sottosuccessione; in media p-esima implica in probabilità; in probabilità implica in legge; in legge implica in probabilità
quando il limite è una costante. Legame tra la convergenza debole e la convergenza puntuale delle funzioni di
ripartizione (con dim). Convergenza q.c., in probabilità, in legge di funzioni continue di variabili aleatorie convergenti.
Legame tra convergenza debole e convergenza puntuale delle funzioni caratteristiche (dim. solo di conv. debole implica
conv. puntuale).
Leggi dei grandi numeri: legge debole (con dim.), legge forte (solo enunciato). Teorema del limite centrale (con dim).
Applicazione: legge di approssimazione normale.
Catene di Markov: definizione di processo stocastico (a tempo discreto o continuo). Incrementi stazionari ed indipendenti.
Proprietà di Markov e catene di Markov temporalmente omogenee. Matrice di transizione. Catene irriducibili e regolari.
Distribuzioni stazionarie e loro determinazione. Stati assorbenti e determinazione dei tempi medi per il loro
raggiungimento. Tempi medi di rientro.
